隨機前沿分析培訓講學

1、隨機前沿分析 第三章第三章 技術有效性估計技術有效性估計 3.1 橫截面生產邊界模型橫截面生產邊界模型 3.1.1 確定性生產邊界確定性生產邊界 3.1.1.1 目標規(guī)劃法目標規(guī)劃法 3.1.1.2 修正最小二乘法（修正最小二乘法（COLS） 3.1.1.3 修正最小二乘法（修正最小二乘法（MOLS） 3.1.2 隨機生產邊界隨機生產邊界 3.1.2.1 正態(tài)正態(tài)半正態(tài)模型半正態(tài)模型 3.1.2.2 正態(tài)正態(tài)指數(shù)模型指數(shù)模型 3.1.2.3 正態(tài)正態(tài)半正態(tài)模型的距估計半正態(tài)模型的距估計 3.2 面板數(shù)據生產邊界模型面板數(shù)據生產邊界模型 3.2.1 非時變的技術有效性非時變的技術有效性 3.2.

2、2 時變的技術有效性時變的技術有效性 第四章第四章 對生產率和效率變化的度量對生產率和效率變化的度量 第五章第五章 與其他方法的比較與其他方法的比較一、導言一、導言 在經濟學中，技術效率的概念應用廣泛。在經濟學中，技術效率的概念應用廣泛。Koopmans首先提出了技術效率的概念，他將技術有效首先提出了技術效率的概念，他將技術有效定義為：定義為：在一定的技術條件下，如果不減少其它產出就在一定的技術條件下，如果不減少其它產出就不可能增加任何產出，或者不增加其它投入就不可能減不可能增加任何產出，或者不增加其它投入就不可能減少任何投入，則稱該投入產出為技術有效的。少任何投入，則稱該投入產出為技術有效的

3、。Farrell首首次提出了技術效率的前沿測定方法，并得到了理論界的次提出了技術效率的前沿測定方法，并得到了理論界的廣泛認同，成為了效率測度的基礎廣泛認同，成為了效率測度的基礎 。1.1 隨機前言方法簡介隨機前言方法簡介 生產率和效率的度量涉及到生產率和效率的度量涉及到生產函數(shù)生產函數(shù)。DEA方方法的特點是將有效的生產單位連接起來，用分段法的特點是將有效的生產單位連接起來，用分段超平面的組合也就是生產前沿面來緊緊包絡全部超平面的組合也就是生產前沿面來緊緊包絡全部觀測點，觀測點，是一種確定性前沿方法是一種確定性前沿方法，沒有考慮隨機沒有考慮隨機因素對生產率和效率的影響因素對生產率和效率的影響。隨

4、機前沿生產函數(shù)。隨機前沿生產函數(shù)則解決了這個問題。則解決了這個問題。 前沿生產函數(shù)前沿生產函數(shù)(Frontier Prodution Function)反映反映了在具體的了在具體的技術條件技術條件和給定和給定生產要素生產要素的組合下的組合下, 企業(yè)各企業(yè)各投入組合與最大產出量之間的函數(shù)關系。投入組合與最大產出量之間的函數(shù)關系。通過比較各企通過比較各企業(yè)實際產出與理想最優(yōu)產出之間的差距可以反映出企業(yè)業(yè)實際產出與理想最優(yōu)產出之間的差距可以反映出企業(yè)的綜合效率。的綜合效率。 傳統(tǒng)的生產函數(shù)只反映樣本各投入因素與平均產出之傳統(tǒng)的生產函數(shù)只反映樣本各投入因素與平均產出之間的關系間的關系, 稱之為平均生產

5、函數(shù)。但是稱之為平均生產函數(shù)。但是1957 年年, Farrell 在在研究生產有效性問題時開創(chuàng)性地提出了研究生產有效性問題時開創(chuàng)性地提出了前沿生產函數(shù)前沿生產函數(shù)(Frontier Prodution Function)的概念。對既定的投入因的概念。對既定的投入因素進行最佳組合素進行最佳組合, 計算所能達到的最優(yōu)產出計算所能達到的最優(yōu)產出, 類似于經類似于經濟學中所說的濟學中所說的“帕累托最優(yōu)帕累托最優(yōu)”, 我們稱之為前沿面。前我們稱之為前沿面。前沿面是一個理想的狀態(tài)沿面是一個理想的狀態(tài), 現(xiàn)實中企業(yè)很難達到這一狀態(tài)?，F(xiàn)實中企業(yè)很難達到這一狀態(tài)。 前沿生產函數(shù)的研究方法有前沿生產函數(shù)的研究方

6、法有: 參數(shù)方法和非參方法參數(shù)方法和非參方法。兩。兩者都可以用來測量效率水平。參數(shù)方法沿襲了傳統(tǒng)生產函者都可以用來測量效率水平。參數(shù)方法沿襲了傳統(tǒng)生產函數(shù)的估計思想數(shù)的估計思想, 主要運用主要運用最小二乘法最小二乘法或或極大似然估計法極大似然估計法（解釋）（解釋）進行計算。參數(shù)方法進行計算。參數(shù)方法首先確定或自行構造一個首先確定或自行構造一個具體的函數(shù)形式具體的函數(shù)形式, 然后基于該函數(shù)形式對函數(shù)中各參數(shù)然后基于該函數(shù)形式對函數(shù)中各參數(shù)進行計算進行計算; 而非參數(shù)方法首先根據投入和產出而非參數(shù)方法首先根據投入和產出, 構造出構造出一個包含所有生產方式的最小生產可能性集合一個包含所有生產方式的最

7、小生產可能性集合, 其中非其中非參數(shù)方法的有效性是指以一定的投入生產出最大產出參數(shù)方法的有效性是指以一定的投入生產出最大產出, 或以最小的投入生產出一定的產出。這里所說的非參數(shù)或以最小的投入生產出一定的產出。這里所說的非參數(shù)方法是結合方法是結合DEA(Data 數(shù)據包絡分析數(shù)據包絡分析) 來進計算的。來進計算的。 但但非參數(shù)方法非參數(shù)方法存在的存在的最大局限最大局限是是: 該方法主要該方法主要運用線性規(guī)劃方法進行計算運用線性規(guī)劃方法進行計算, 而不像參數(shù)方法有統(tǒng)而不像參數(shù)方法有統(tǒng)計檢驗數(shù)作為樣本擬合度和統(tǒng)計性質的參考計檢驗數(shù)作為樣本擬合度和統(tǒng)計性質的參考; 另外另外, 非參數(shù)方法對觀測數(shù)有一定

8、的限制非參數(shù)方法對觀測數(shù)有一定的限制, 有時不得不舍有時不得不舍棄一些樣本值棄一些樣本值, 這樣就影響了觀測結果的穩(wěn)定性。這樣就影響了觀測結果的穩(wěn)定性。因此因此, 我們在這里選擇參數(shù)方法進行前沿生產函數(shù)我們在這里選擇參數(shù)方法進行前沿生產函數(shù)的計算。的計算。 在參數(shù)型前沿生產函數(shù)的研究中在參數(shù)型前沿生產函數(shù)的研究中, 圍繞誤差項的圍繞誤差項的確立確立, 又分為又分為隨機性隨機性和和確定性確定性兩種方法。首先兩種方法。首先, 確確定性前沿生產函數(shù)不考慮隨機因素的影響定性前沿生產函數(shù)不考慮隨機因素的影響, 直接直接 直接采用線性規(guī)劃方法計算前沿面直接采用線性規(guī)劃方法計算前沿面, 確定性前確定性前沿生

9、產函數(shù)把影響最優(yōu)產出和平均產出的全部誤差沿生產函數(shù)把影響最優(yōu)產出和平均產出的全部誤差統(tǒng)歸入單側的一個誤差項統(tǒng)歸入單側的一個誤差項中中, 并將其稱為生產非并將其稱為生產非效率效率; 隨機前沿生產函數(shù)隨機前沿生產函數(shù)( Stochastic Frontier ProductionFunction)在確定性生產函數(shù)的基礎上提在確定性生產函數(shù)的基礎上提出了具有復合擾動項的隨機邊界模型。其出了具有復合擾動項的隨機邊界模型。其主要思想主要思想為為隨機擾動項隨機擾動項應由應由v 和和u 組成組成, 其中其中v 是隨機誤差是隨機誤差項項, 是企業(yè)不能控制的影響因素是企業(yè)不能控制的影響因素, 具有隨機性具有隨機

10、性, 用以用以計算系統(tǒng)非效率計算系統(tǒng)非效率; u是技術損失誤差項是技術損失誤差項, 是企業(yè)可以是企業(yè)可以控制的影響因素控制的影響因素, 可用來計算技術非效率?？捎脕碛嬎慵夹g非效率。很明顯很明顯, 參數(shù)型隨機前沿生產函數(shù)體現(xiàn)了樣本的統(tǒng)計特性參數(shù)型隨機前沿生產函數(shù)體現(xiàn)了樣本的統(tǒng)計特性, 也反映了樣本計算的真實性。也反映了樣本計算的真實性。1.2 發(fā)展史簡要回顧發(fā)展史簡要回顧 20世紀世紀20年代，美國經濟學家年代，美國經濟學家道格拉斯道格拉斯（PDouglas）與數(shù)學家）與數(shù)學家柯布柯布（CCobb）合作）合作提出了提出了生產函數(shù)理論生產函數(shù)理論，開始了生產率在經濟增長，開始了生產率在經濟增長中作

11、用的定量研究。稱其為中作用的定量研究。稱其為技術進步率技術進步率，這些未，這些未被解釋部分歸為技術進步的結果，稱其為技術進被解釋部分歸為技術進步的結果，稱其為技術進步率，這些未被解釋的部分后來被稱為步率，這些未被解釋的部分后來被稱為“增長余增長余值值”（或（或“索洛值索洛值”），也即為全要素生產率），也即為全要素生產率（TFP）的增長率。）的增長率。 1977年，年，Aigner，Lovell，Schmidt和和Meeusen，Van den Broeck分別獨立提出了分別獨立提出了隨隨 機前沿生產函數(shù)機前沿生產函數(shù)，之后逐漸發(fā)展起來的隨機前沿，之后逐漸發(fā)展起來的隨機前沿 生產函數(shù)法則允許技術

12、無效率的存在，并將全要生產函數(shù)法則允許技術無效率的存在，并將全要 素生產率的變化分解為生產可能性邊界的移動和素生產率的變化分解為生產可能性邊界的移動和 技術效率的變化，這種方法比傳統(tǒng)的生產函數(shù)法技術效率的變化，這種方法比傳統(tǒng)的生產函數(shù)法 更接近于生產和經濟增長的實際情況。能夠將影更接近于生產和經濟增長的實際情況。能夠將影 響響TFP的因素從的因素從TFP的變化率中分離出來，從而的變化率中分離出來，從而 更加深入地研究經濟增長的根源。更加深入地研究經濟增長的根源。 利用隨機前沿生產函數(shù)法，利用隨機前沿生產函數(shù)法，Schmidt（1980， 1986）、）、Kumbhakar（1988，1990）

13、、）、Bauer（1990）、）、Kalirajan（1993）.Batese和和Coelli 1988，1992，1995）等對技術效率對）等對技術效率對TFP和和 產出的影響做了大量的產出的影響做了大量的實證研究實證研究。第二章第二章 分析基礎分析基礎生產有效性：生產者為了達到一定的生產目標，在生產有效性：生產者為了達到一定的生產目標，在分配他們可支配的投入和生產的產出時所實現(xiàn)的分配他們可支配的投入和生產的產出時所實現(xiàn)的成功度。成功度。初級層面：給定投入，產出最大初級層面：給定投入，產出最大 OR 給定產出給定產出,投入投入最小，最小，生產有效性生產有效性與與技術有效性技術有效性一致（解釋

14、一致（解釋1）更深層面：給定產出，成本最小更深層面：給定產出，成本最小 OR 給定投入，收給定投入，收入最大入最大 OR 投入產出配置使利潤最大，投入產出配置使利潤最大，生產有效生產有效性性與與經濟有效性經濟有效性一致（解釋一致（解釋2）本章框架：本章框架：生產技術生產技術)(ff.7)(.6)y(ff.5)(.4.3.2.1xPExIsoqPLEyIsoqxPyLGR產出有效性子集產出等量曲線投入有效性子集投入等量曲線）（生產技術的產出組合）（生產技術的投入組合生產技術曲線技術有效性技術有效性經濟有效性經濟有效性TEoTEi產出導向型技術有效性投入導向型技術有效性. 2. 1利潤有效性收入有

15、效性成本有效性.3.2.12.1 生產技術生產技術 生產技術曲線生產技術曲線GR=(y,x):x能生產能生產y描述了一組可行描述了一組可行的投入的投入-產出向量產出向量 生產技術的投入組合生產技術的投入組合L(y)=x:(y,x) GR描述了對描述了對對于每個產出向量對于每個產出向量y的投入向量組合的投入向量組合 生產技術的產出組合生產技術的產出組合P(x)=y:(y,x) GR描述了對描述了對于每個投入向量的可行產出向量組合于每個投入向量的可行產出向量組合 投入等量曲線投入等量曲線IsoqL(y)=x:x L(y),ax L(y),a1描述描述了每一投入向量了每一投入向量x所生產的所有產出向

16、量集合，而當其所生產的所有產出向量集合，而當其徑向擴張時，就不能由投入向量徑向擴張時，就不能由投入向量x來生產來生產 產出有效性子集產出有效性子集EffP(x)=y:y P(x),y yy P(x) 描述了每一投入向量描述了每一投入向量x所生產的所有產出向量集合，而所生產的所有產出向量集合，而當其在任一維度上擴張時，就不能由投入向量當其在任一維度上擴張時，就不能由投入向量x來生產來生產對比幾組概念：對比幾組概念：)(ff)(s)(yLEyoqLIyL投入有效性子集投入等量曲線投入集合關于產出的類似關于產出的類似2.2 技術有效性技術有效性定義：當且盡當（定義：當且盡當（y,x） GR,在（在（

17、y,-x） (y,x) 時，產出時，產出-投入向量（投入向量（y,x） GR為技術有效為技術有效 投入導向型技術有效性投入導向型技術有效性是由函數(shù)是由函數(shù)TEi(y,x)=min : x L(y)來測量的來測量的 產出導向型技術有效性產出導向型技術有效性是由函數(shù)是由函數(shù)TEo(x,y)=max : y P(x)-1來測量的來測量的2.3 經濟有效性經濟有效性 成本有效性：成本有效性：CE(y,x,w)=C(y,w)/wTx 收入有效性：收入有效性：RE(x,y,p)=pTy/r(x,p) 利潤有效性：利潤有效性： EA(y,x,p,w)=(pTy-wTx)/ (p,w)第三章第三章 技術有效性

18、估計技術有效性估計本章框架：本章框架：面板數(shù)據生產邊界模型橫截面生產邊界模型隨機生產邊界確定性生產邊界時變的技術有效性非時變的技術有效性MOLSCOLS修正最小二乘法修正最小二乘法目標規(guī)劃法半正態(tài)模型的距估計正態(tài)指數(shù)模型正態(tài)半正態(tài)模型正態(tài)3.1.1確定性生產邊界確定性生產邊界 測算全要素生產率的傳統(tǒng)方法是測算全要素生產率的傳統(tǒng)方法是索洛余索洛余值法值法(SRA) ,其關鍵是其關鍵是假定假定所有生產者都能實所有生產者都能實現(xiàn)現(xiàn)最優(yōu)的生產效率最優(yōu)的生產效率,從而將產出增長中要素投從而將產出增長中要素投入貢獻以外的部分全部歸結為技術進步入貢獻以外的部分全部歸結為技術進步( technological

19、progress) 的結果的結果,這部分索洛這部分索洛剩余后來被稱為剩余后來被稱為全要素生產率全要素生產率(李京文等李京文等1998) 。然而。然而,SRA 法的理論假設不完全符合法的理論假設不完全符合現(xiàn)實現(xiàn)實,因為現(xiàn)實經濟中大部分生產者不能達到因為現(xiàn)實經濟中大部分生產者不能達到投入投入產出關系的技術邊界產出關系的技術邊界(Farrell ,1957) 。基于這一思。基于這一思想想,Aigner 和和Chu (1968) 提出了提出了前沿生產函數(shù)模型前沿生產函數(shù)模型,將生將生產者效率分解為技術前產者效率分解為技術前(technological frontier) 和技術和技術效效(techni

20、cal efficiency) 兩個部分兩個部分,前者刻畫所有生產前者刻畫所有生產者投入者投入產出函數(shù)的邊界產出函數(shù)的邊界(frontier of the production function) ;后者描述個別生產者實際技術與技術前沿的后者描述個別生產者實際技術與技術前沿的差距。差距。 確定性前沿生產函數(shù)模型如下：確定性前沿生產函數(shù)模型如下： Y() e x p ()fXu 其中其中u大于等于大于等于0，因而，因而exp(-u)介于介于0和之間，和之間，反映了生產函數(shù)的非效率程度，也就是實際產出與反映了生產函數(shù)的非效率程度，也就是實際產出與最大產出的距離。在確定了生產函數(shù)的具體形式后，最大產

21、出的距離。在確定了生產函數(shù)的具體形式后，可以計算或估計其參數(shù)，如下所述?？梢杂嬎慊蚬烙嬈鋮?shù)，如下所述。 假如假如N個公司，每個公司使用個公司，每個公司使用K種投入組成的種投入組成的投入向量投入向量 來生產出單一產出來生產出單一產出 ，生產函數(shù)，生產函數(shù)采用采用C-D形式：形式： （1）ixiy,()iiLn yxu1, 2,iN (1)式中式中 是產出的自然對數(shù)；是產出的自然對數(shù)； 是是K+1維行向量，其中一個元素是維行向量，其中一個元素是1，其余，其余K個個元素元素K種投入數(shù)量的自然對數(shù)種投入數(shù)量的自然對數(shù). 是待估計的是待估計的K+1維列向量；維列向量； 是非負的隨機是非負的隨機變量，用

22、來度量技術的有效性：變量，用來度量技術的有效性： （2）()iLn y01(,)K iuexp() exp() exp() exp()iiiiiiiTEyxxuxuix 是一種是一種產出導向的效率度量產出導向的效率度量，其值介于，其值介于0和和1之間，它是觀察到的產出之間，它是觀察到的產出 與使用同樣投入并與使用同樣投入并且由技術有效的公司生產的且由技術有效的公司生產的 之比，參之比，參數(shù)數(shù) 由下述方程得出。由下述方程得出。 1.目標規(guī)劃方法目標規(guī)劃方法 （3） iTEiyexp()ix11minmin()NNiiiiiuxLny 它等價于： （4） st0iiiuxLny1 , 2 ,iN1

23、1min()min()NNiiiixxstiixLny1, 2 ,iN 參數(shù)參數(shù) 也可以由下列二次規(guī)劃問題計算得出：也可以由下列二次規(guī)劃問題計算得出： （5） 上述目標規(guī)劃的主要缺點是其上述目標規(guī)劃的主要缺點是其參數(shù)是計算的而不是參數(shù)是計算的而不是估計的，無統(tǒng)計解釋估計的，無統(tǒng)計解釋。如果假設。如果假設 服從指數(shù)分布，服從指數(shù)分布，2211minmin()NNiiiiiuxLnyst0iiiuxLny1 , 2 ,iNiu則線性規(guī)劃“估計”就是最大似然估計： 1()exp(),iiuuuf u111()()exp(),NiNNiiiuuuLf u11lnln,NuiiuLNu 1m axm i

24、niNiLiffu 如果假設如果假設 服從正態(tài)分布，則二次規(guī)劃服從正態(tài)分布，則二次規(guī)劃“估估計計”就是最大似然估計：就是最大似然估計： 其中其中C代表常數(shù)代表常數(shù)iu222()exp(),22iiuuuf u 1(),NiiLf u2211ln,2NiiuLCu21maxminNiiLiffu 上述上述“解釋解釋”給予目標規(guī)劃方法一個清晰的統(tǒng)計基給予目標規(guī)劃方法一個清晰的統(tǒng)計基礎，但這些計算的參數(shù)礎，但這些計算的參數(shù) 仍然像估計的參數(shù)那樣仍然像估計的參數(shù)那樣有標準差。有標準差。 2.修正最小二乘法（修正最小二乘法（COLS） 它分為兩步：它分為兩步： 第一步，先用第一步，先用OLS估計（估計（

25、1）式：）式： ,()iiLn yxu1,2,iN 得到得到 一致和無偏的一致和無偏的 斜率參數(shù)斜率參數(shù) ，以及一致和有，以及一致和有偏的截面參數(shù)偏的截面參數(shù) 。 第二步，有偏的截距參數(shù)第二步，有偏的截距參數(shù) 被向上修正以保證估計的前被向上修正以保證估計的前沿是所有數(shù)據的上界：沿是所有數(shù)據的上界： 1,k00 *00max,iiu *maxiiiuuu*exp()iiTEu COLS估計的生產前沿平行于估計的生產前沿平行于OLS回歸（以自回歸（以自然對數(shù)形式），意味著最好的生產技術的結構與然對數(shù)形式），意味著最好的生產技術的結構與中心（平均）趨勢的生產結構一致，這是中心（平均）趨勢的生產結構一

26、致，這是COLS的缺陷，應當允許處于生產前沿上的有效率的公的缺陷，應當允許處于生產前沿上的有效率的公司的生產結構不同于位于平均位置的公司的生產司的生產結構不同于位于平均位置的公司的生產結構。結構。3.1.2隨機生產邊界隨機生產邊界 由于確定性前沿生產函數(shù)沒有考慮到產活動中由于確定性前沿生產函數(shù)沒有考慮到產活動中存在的隨機現(xiàn)象，存在的隨機現(xiàn)象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和和Meeusen,van den Broeck (MB)同時于同時于1977年引進了隨機前沿生產函數(shù)年引進了隨機前沿生產函數(shù) （1）()exp()Yf Xvu 其中其中v代表影響生產活動的隨機因素，一般假

27、代表影響生產活動的隨機因素，一般假設它是獨立同分布（設它是獨立同分布（i.i.d)的正態(tài)隨機變量，具有的正態(tài)隨機變量，具有0均值和不變方差；均值和不變方差； 代表隨機前沿生代表隨機前沿生產函數(shù)；產函數(shù)；u(非負非負)代表著生產效率或管理效率，代表著生產效率或管理效率，一般假設它是獨立同分布的半正態(tài)隨機變量或指一般假設它是獨立同分布的半正態(tài)隨機變量或指數(shù)隨機變量獨立于數(shù)隨機變量獨立于 。 假設生產函數(shù)取假設生產函數(shù)取C-D形式：形式： （2） 在上述在上述v和和u的假設下，可以使用的假設下，可以使用最大似然法最大似然法（ML）或）或調整最小二乘法調整最小二乘法（MOLS）估計參數(shù)）估計參數(shù) 和誤

28、差項和誤差項 ，進而得到技術效率，進而得到技術效率 ，如下所述。，如下所述。()exp( )f Xv0v0lninniiinLnyXvu1,2,.iIiivuexp()iiTEu 1.正態(tài)正態(tài)半正態(tài)模型的半正態(tài)模型的ML估計估計 假設：假設： （1） （2） （3） 和和 的分布相互獨立，且與解釋變的分布相互獨立，且與解釋變量相互獨立。量相互獨立。 u ,v的密度函數(shù)以及的密度函數(shù)以及u 和和v的聯(lián)合密度函數(shù)，的聯(lián)合密度函數(shù)， u和和 的聯(lián)合密度函數(shù)分別是的聯(lián)合密度函數(shù)分別是: 2(0,)ivviidN2(0,)iuuiidNiviuv u 222( )exp()22uuuf u 221( )

29、exp()22vvvfv 22222( , )exp()222uvuvuvf u v 22222()( , )exp()222uvuvuuf u 2202( )( , )()exp()22ff udu 是標準正態(tài)分布函數(shù)是標準正態(tài)分布函數(shù) （3） 于是可給出參數(shù)于是可給出參數(shù) 、 、 的的ML估估 計，從而得到計，從而得到 、 以及技術效率的估計：以及技術效率的估計： (.)1222(),uv,uvuv(exp():iiTEEu1()IiiLF221121lnlnlnln ()22IIiiiiILI ,uvML (,)(|)()fufuf*2*2*1()exp1() ,22u22*,u 222

30、2*,uv (exp|)iiiTEEu2*1()1exp,1()2iii 2.正態(tài)正態(tài)指數(shù)模型的指數(shù)模型的ML估計估計 假設：假設： （1） （2） 指數(shù)分布指數(shù)分布 （3） 和和 的密度函數(shù)以及的密度函數(shù)以及u和和v的聯(lián)合的聯(lián)合密密 度函數(shù)、度函數(shù)、 和和 的聯(lián)合密度函數(shù)分別是：的聯(lián)合密度函數(shù)分別是：2( 0 ,)ivvNiuiidiviuuv u 1( )exp(),uuuf u221( )exp(),22vvvf v 于是可給出參數(shù)于是可給出參數(shù) 、 、 的的ML估計以及估計以及技術效率的估計：技術效率的估計：222( , )exp(),22uvuvuvf u v 222()( ,)ex

31、p(),22uvuvuf u 2201( )( , )()exp(),(5)2vvuuvuuff uduuv(exp():iiTEEu1( )IiiLF22111lnln()ln (),2IIviiiiuuLIIA ,uvM L (,)(|)()fufuf221()exp,22()vvu iivA 2(),iivu 3.正態(tài)正態(tài)半正態(tài)模型的矩估計（半正態(tài)模型的矩估計（MOLS） 此時的假設與正態(tài)此時的假設與正態(tài)半正態(tài)模型的半正態(tài)模型的ML估計估計 的假設一樣，模型是：的假設一樣，模型是： （7） 首先，模型（首先，模型（7）具有）具有0均值和不變的方差，均值和不變的方差，因而可用因而可用OLS

32、得到參數(shù)得到參數(shù) 的一直估計，的一直估計，的的OLS估計不是一致的。估計不是一致的。(exp|)iiiT EEu2*1()1exp,(6)1()2iii 0ln( )ln( )iinniiiinYE uXvuE un0()iE u 其次，用矩方法得到其次，用矩方法得到 和和 的方差估計：的方差估計： 是常數(shù)，是常數(shù)， iviu( )2,iuE u2()(2),iuV u33()2(14),uuE u ( )iE u( )( )iiiiiE uvuE u222(2)()vuiiEE 22()()iiiiEE uEE um332(14)()uiiEE 33()(),iiiiEE uEE um 再次

33、，用再次，用 的方差估計量來對的方差估計量來對OLS截距估計截距估計進行調整（進行調整（MOLS）：）： 最后用（最后用（6）式得到技術效率）式得到技術效率 的點估計。的點估計。 關于這兩種估計方法的比較，關于這兩種估計方法的比較，Olson,Schmidt,Waldman基于蒙特卡羅試驗的基礎上指出：選擇基于蒙特卡羅試驗的基礎上指出：選擇哪種估計反復取決于哪種估計反復取決于 值和值和樣本大小樣本大小。當容量。當容量 400且且 3.16時，矩估計優(yōu)于時，矩估計優(yōu)于ML估計，當估計，當 較大時，較大時，ML估計優(yōu)于矩估計，并且隨著樣本容量估計優(yōu)于矩估計，并且隨著樣本容量2233(),2(14)

34、um2222(1)vumiu002()iuE uiTE 的增加，這種優(yōu)勢也增加。但是，由于增加，這種優(yōu)勢也增加。但是，由于MOLS估計的第估計的第一步沒有使用分布假設，所以其第一步估計對一步沒有使用分布假設，所以其第一步估計對 和和 的分布是穩(wěn)健的。的分布是穩(wěn)健的。 下面利用下面利用隨機前沿生產函數(shù)隨機前沿生產函數(shù)估計估計利潤效率利潤效率。 假設生產前沿為：假設生產前沿為： 這里這里 是產出數(shù)量，是產出數(shù)量， 代表可變投入向量，代表可變投入向量， 代表固定投入向量，代表固定投入向量， 代表著產出導向的代表著產出導向的 iviu( , ,)*exp(),yf x zu12(,),Nxxxx12(

35、,)Qzzzzyxzu 技術無效率，利潤最大化的一階條件是：技術無效率，利潤最大化的一階條件是： 其中其中 度量配置效率，度量配置效率， 0 ,pyc0( , ,)exp(),nnnpfx zuwx(,)ex p (),nnfxzuwp1,2,nN12(,)Nww ww( , ,)exp()exp(),nnnwfx zup 分別代表著可變投入的不足和過度。分別代表著可變投入的不足和過度。 考慮考慮CD生產函數(shù)及其一階條件：生產函數(shù)及其一階條件： 假設：假設： （1） （2） （3）0lnlnlnnnqqnqyxzvu0lnlnlnlnlnnnnkkqqnkqwxxzup 1,2,nN2(0 ,

36、)ivviid N2(0,)iuuiidN12(,)(0,)NiidN （4） ， ， 是相互獨立的是相互獨立的 則密度函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)和似然函數(shù)分別則密度函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)和似然函數(shù)分別是：是： iivnu()()ffvu22222222()exp()2()2()uvuvuvuv 1 2121()exp(),2(2)|nf222lntanlnlnln|ln2222vuIIIILconst 1ln()ln(1)22iiiiIr這里：這里： 2212212( )( )()iiviiivibbIb 1222111uvII2221()iiviIbiiiuviiibIu (1,1,1) .I 極大化

37、該似然函數(shù)，得到所有技術參數(shù)和效率極大化該似然函數(shù)，得到所有技術參數(shù)和效率參數(shù)，然后用下式估計技術效率：參數(shù)，然后用下式估計技術效率： 配置效率配置效率的估計可通過在一階條件的殘差中減的估計可通過在一階條件的殘差中減去技術效率來得到。去技術效率來得到。 ()(|,)()iiiiiiE ub 橫截面數(shù)據與面板數(shù)據橫截面數(shù)據與面板數(shù)據面板數(shù)據面板數(shù)據：各生產單元的觀察值重復出現(xiàn)，引入：各生產單元的觀察值重復出現(xiàn)，引入T(各生產單元有各生產單元有T各觀察值各觀察值)橫截面數(shù)據模型存在橫截面數(shù)據模型存在2各問題：各問題：1.用極大似然法對隨機生產邊界模型估計和從統(tǒng)計用極大似然法對隨機生產邊界模型估計和

38、從統(tǒng)計噪音中分離出技術無效項都要求對每個誤差組成噪音中分離出技術無效項都要求對每個誤差組成部分設定嚴格的分步部分設定嚴格的分步假設假設。對于這些假設的推導。對于這些假設的推導尚無充分的論證。尚無充分的論證。2.極大似然估計法還要求技術無效項與極大似然估計法還要求技術無效項與自變量無關自變量無關，事實上，技術有效性是很容易與生產者選擇的投事實上，技術有效性是很容易與生產者選擇的投入向量相關的。入向量相關的。3.2.1非時變技術有效性非時變技術有效性固定效應模型固定效應模型-最簡單的面板數(shù)據模型最簡單的面板數(shù)據模型假設：假設：vitiid(0, v2)且與自變量不相關且與自變量不相關 ui的分布不

39、設定假設的分布不設定假設（解釋）（解釋）通過通過 OLS:Lnyit= 0i+ n Lnxnit+vit 其中，其中， oi= o-ui表示各個生產單表示各個生產單元的截距元的截距nLSDV模型模型(虛擬變量最小二乘模型虛擬變量最小二乘模型)1.排除排除 o，估計，估計I個生產單元的截距個生產單元的截距2.保留保留 o，估計，估計I-1個生產單元的截距個生產單元的截距3.將所有數(shù)據表示成對于均值的偏差，將所有數(shù)據表示成對于均值的偏差，I個截個截距作為各個生產單元殘值的均值距作為各個生產單元殘值的均值 o=max oi ui= o- oi 所以，各個生產單元技術有效性可表所以，各個生產單元技術有

40、效性可表示為：示為： TEi=exp-uii 第四章第四章 對生產率和效率變化的度量對生產率和效率變化的度量 生產率的增長是由三部分組成，一個是生產率的增長是由三部分組成，一個是技術進技術進步步（如新技術的采用和新產品的發(fā)現(xiàn)），二是（如新技術的采用和新產品的發(fā)現(xiàn)），二是技術技術效率效率（如管理效率的提高和生產經驗的積累），三（如管理效率的提高和生產經驗的積累），三是是規(guī)模效率規(guī)模效率（組建和管理大企業(yè)乃至大國經濟的能（組建和管理大企業(yè)乃至大國經濟的能力）。在實踐中，這一新的生產率概念主要應用生力）。在實踐中，這一新的生產率概念主要應用生產函數(shù)進行拆分，而前沿生產函數(shù)的估測又較多依產函數(shù)進行拆分

41、，而前沿生產函數(shù)的估測又較多依賴于面板數(shù)據的采用。賴于面板數(shù)據的采用。 對生產率進行拆分的前沿生產函數(shù)模型主要對生產率進行拆分的前沿生產函數(shù)模型主要分兩種，一種為分兩種，一種為隨機性的參數(shù)型模型隨機性的參數(shù)型模型，另一種為，另一種為 確定性的非參數(shù)型模型確定性的非參數(shù)型模型。前者通常先估計一個生產。前者通常先估計一個生產函數(shù)，考慮到該生產函數(shù)中誤差項目的復合結構及函數(shù)，考慮到該生產函數(shù)中誤差項目的復合結構及其分布形式，并根據誤差項的分布假設不同，采用其分布形式，并根據誤差項的分布假設不同，采用相應的技術方法來估計生產函數(shù)中的各個參數(shù)。其相應的技術方法來估計生產函數(shù)中的各個參數(shù)。其最大優(yōu)點是通過

42、估計生產函數(shù)對個體的生產過程進最大優(yōu)點是通過估計生產函數(shù)對個體的生產過程進行了描述，從而使對技術效率的估計得到了控制；行了描述，從而使對技術效率的估計得到了控制；缺點是對效率的偏倚方向設定及效率和技術進步參缺點是對效率的偏倚方向設定及效率和技術進步參數(shù)之間的識別尚無法提供靈活、可行的解決方案。數(shù)之間的識別尚無法提供靈活、可行的解決方案。后者則首先根據樣本中所有個體的投入和產出構造后者則首先根據樣本中所有個體的投入和產出構造一個能包容所有個體生產方式的最小的可能性集一個能包容所有個體生產方式的最小的可能性集合：即所有要素和產出的有效組合。合：即所有要素和產出的有效組合。 1、 設設 以上代表所采

43、用的生產技術：以上代表所采用的生產技術：( ):,( , )min:()( )P xy xdo x yyP x可以生產y0.50000( , )( , )( , )( , )stttttststssssd y xd y xTFPd y xd y x0.5000000( , )( , )( ,)( ,)( , )( ,)tssttttsssstssttssd y xd y xd y xd y xd y xd y x （1） （2）00(,)(,)tttstSssdyxT Edyx0.50000(,)(,)(,)(,)ssttssstttttssdyxdyxTCdyxdyxstststTFPTET

44、Cln()ln()ln()stststTFPTETC 其中其中TE代表技術效率的變化，代表技術效率的變化，TC代表技術進代表技術進步，二者均以步，二者均以S期為基期，即假定基期數(shù)值為期為基期，即假定基期數(shù)值為1，求出比較期的數(shù)值，他們均可能大于求出比較期的數(shù)值，他們均可能大于1，若以對數(shù)，若以對數(shù)形式表示，其含義是相對于基期的增長率，因而形式表示，其含義是相對于基期的增長率，因而（2）式更符合平常的生產率核算要求。）式更符合平常的生產率核算要求。 2、SFA 方法方法 假設假設SFA生產函數(shù)如下：生產函數(shù)如下： (3) ln(, , )itititityf x tvu1,2,iN1,2,tT

45、這里這里f(.) 是合適的生產函數(shù)形式，如超越對數(shù)是合適的生產函數(shù)形式，如超越對數(shù)函數(shù)；函數(shù)； t是時間趨勢，代表技術進步（是時間趨勢，代表技術進步（TC），其他），其他符號如前。符號如前。 在估計了參數(shù)后，可得到；在估計了參數(shù)后，可得到； 0( ,)(exp()|),tititititititititd x yTEEueevu0(,)(exp()|),sisisisisisisisisd x yTEEueevuitisTECTE TE 3、對生產率變化（、對生產率變化（TFPC）的分解）的分解 設生產函數(shù)為設生產函數(shù)為 則則技術技術進步進步（準確的說叫技術變化，（準確的說叫技術變化，TC）用

46、）用 度量，度量，TC為正、為為正、為0、為負分別對應著技術、為負分別對應著技術變化使得生產前沿向上移動、不動、向下移動；變化使得生產前沿向上移動、不動、向下移動；技術效率變化技術效率變化（TEC）用）用0.5(, ,)(, ,)(1)(1)isitf xsf xtTCst( , ,)exp(),yf x tuln( , ,)fx tTCt 度量，度量，TEC為正、為為正、為0、為負分別對應著技術、為負分別對應著技術效率的下降、不變、上升。技術效率變化可以被效率的下降、不變、上升。技術效率變化可以被解釋為生產者遠離生產前沿、保持相對距離、向解釋為生產者遠離生產前沿、保持相對距離、向生生產前沿移

47、動，當然在此過程中生產前沿也隨時間產前沿移動，當然在此過程中生產前沿也隨時間移動，移動，全要素生產率變化全要素生產率變化(TFPC)采用采用Divisia指數(shù)指數(shù)（迪氏數(shù)量指數(shù)迪氏數(shù)量指數(shù)）來度量，用）來度量，用sn表示基期（或現(xiàn)表示基期（或現(xiàn)期）投入要素加之份額，期）投入要素加之份額，字母上邊加一點表示其字母上邊加一點表示其變化率：變化率： uT E Ct (, ,) e x p (),yfx tulnln(, ,),1dyyfx tuyydxlnln( , ,)ln()nnnxdyf x tfudtxttt ln ( , , ) 1( , , )nnnnnxxf x tTE TECf x txxtnnxTCTEC ()n nnnnnnTFPCy XYS xTCS xTEC (1)()()nnnnnnnTCxSxTECnnnEwxnnnSw xE(