江蘇專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)定積分例題加習(xí)題

1、第四章定積分本章主要知識點(diǎn)定積分計算特殊類函數(shù)的定積分計算變限積分定積分有關(guān)的證明題廣義積分?jǐn)可⑿远ǚe分應(yīng)用(1)面積(2)旋轉(zhuǎn)體體積、定積分計算定積分計算主要依據(jù)牛頓萊伯尼茲公式：設(shè)f (x)dx F(x) C ,則f(x)dxF(b) F(a) F(x)a。其主要計算方法與不定積分的計算方法是類似的，也有三個主要方法，但需要指出的是對于第n類直接交換法，注意積分限的變化:bx (t)1(b)Jx)dxti(x)%)f( (t)t dt。1)dx231)d In x = (-(ln x)23e 5ln x)|i 3例 4.2 ._+ dx0 x 1 1T1t2t212t3t23解：原式2td

2、t = 2 dt = (一tx t2 11 t11 t132 2t )|1例 4.3.02xsin2xdx1 71212解：原式一 2xd cos2x =一 x cos 2x|(22 cos2xdx2 022012-sin2x |02 =44、特殊類函數(shù)的定積分計算1 .含絕對值函數(shù)利用函數(shù)的可拆分性質(zhì)，插入使絕對值為0的點(diǎn)，去掉絕對值，直接積分即可。2例 4.4 . J x 1 | dx12解：原式=10 x)dx 1 (x 1)dx2例 4.5.2(| x 11| x 1 |)dx2x 22 (第 x)|1212 0 (1)21解：原式=2 (| x 1| | x 1|)dx11(|x 1

3、| |x 1|)dx1(|x 1| |x 1|)dx11z ( x 1 x 1)dx1(x 1 1 x)dx2(x 1 x 1)dx2 2xdx12dx2 , 12 ,212xdx= x | 2 4 x |1=(1 4) 4 (4 1)=102.分段函數(shù)積分例 4.6 . f (x),x1,x11f (x)dx0解：原式=1f(x)dxf (x)dx =0(x 1)dx22 . (Xx dx =(一2x) |0113 .1-x 10 3例 4.7. f (x)2x 1,x 1 x, x 1 '1求 2 f (x1)dx解：原式u x 12f (x 1)dx 1 f (u)du121f

4、(u)du 1f (u)du1udu1221 (2u 1)du 0 (u2u)16 2 43.奇函數(shù)積分如果 f(x)為定義在a,a的奇函數(shù)，則aa f(x)dx0 ,這是一個很重要考點(diǎn)。2008 _32 x arctan x例 4.8.4dx 021 x333. 21 x sin x x例 4.9.1 (444( e )dx1 x 1一，、1 VV 1斛：原式 0 e dx e e e11例 4.10 .xcosx22(x 1)(x2)x4sin2xxex dx解：原式2_xx2 xe dx (xeex)匕% 1) e2(- 1)例4.11. f (x)為卜a,a上的連續(xù)函數(shù)，計算aa(f(

5、x)af ( x) ln( xx2 1)dx解：f(x) f( x),ln(x Jx2 1)為奇函數(shù)，原式=04.關(guān)于三角函數(shù)積分2 n2 n對積分 I n02sin xdx02 cos xdx 成乂:I 2n2n 1 2n 32n 2(n 2)I 2n2n2(n 1)L 2 12n 1 2n 13這個結(jié)論應(yīng)牢記,對于某些三角函數(shù)積分可以做到快捷O例 4.12.2 . 2sin0xcos6 xdx解：原式。112 6cos x)cos xdx例 4.13.5 722sin xcos xdx0解：原式22 sin7 xcos2 xdx05. 一些特殊的含有特定技巧的積分1例 4.14.11 e1

6、. 2 ,xsin ( x)dx解：令t原式=te 2-t sinetdt. 2 sin例 4.15.041n(1解：令tx,原式=I =6 4 2 225611tanx)dx0ln(1 tan( t)dt74xe 2-x sinxdx J ,e041n(11 tant1 tant)dt041n(1 tant)dt=ln 2 I ,解得 1= ln 2。例 4.16.osin x x1 sin2一 dx x解：令t原式=t)-dt0(dtsin t2- dt1 sin tsinx0 420 1 sin xdx -ln22.2.2 1三、變限積分變上限積分是函數(shù)的另一種重要形式。求導(dǎo)公式t dt

7、 fxx （其中更一般的結(jié)a const）是一個非常重要的公式，它提供了利用導(dǎo)數(shù)來研究它的工具. 論是：2 Xdxf t dtx例 4.17.xsintln04t dt解：原式例 4.18.limx 0tan(、1 2x 1)xsin tln 1 4t dt0tanxlimx 0sin xln 1 4x3x2limx I4x3x2t23t3(e 2 1)dtsin2 x t 2e sin 2t dt,2tan xe 22sec x解：原式則不 2 02 n.e sin 2x 2sin xcosxlim4-x 0 4x 2x16例 4.19.的單調(diào)性，凹凸性.x 2已知f x t e dt ,研

8、究f x0解：f2x2x ex22xe2 x2x e 2x2 x22x 1 x ex,111,000,111,f xf xf xU拐點(diǎn)I拐點(diǎn)U拐點(diǎn)I0,fx 0 得 x 0, x 13xx f (x 2t)dt,其中f(x)是已知一階可導(dǎo)函數(shù)，求例 4.20.若 p(x)dp dxd2p dx2u解：p(x)x 2t5xx f (u)du5xf (u)dudpdx2(f(x)5f( 5x),例 4.21.已知函數(shù)x連續(xù)。且d2p dx2.flim 一x 0的連續(xù)性。解：.當(dāng)0時,(x)10 f(xt)dtu xt0時,(x)f(0)dtf(0)由f(x)x2,故 f(0) 0,(x)當(dāng)x 0,

9、(x)xxf (x)0 f (u)du2xf(x) 25f1 .f (u)du x5x)1f xt dt , 0(u)du ;x0 f (u)du(0)lim(h) h(0)limh0 f(u)duh2嘰(x)xf (x) lim x 0h0 f(u)duh 0 2hf (u)dulimx 0f(x)limx 0x0 f (u)du2 lim f 2 1 1(0),x 0 2x所以，(x)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)。四、有關(guān)定積分的證明題有關(guān)定積分的證明題，主要的方法有:(1)線性交換，如t ax b(2)變上限求導(dǎo)公式(3)恒等變形例4.22 .如果f (x)為a,a上的奇函數(shù)，證明af (x)dxa0。證明

10、:aa f (x)dx0a令t x 0a f(x)dx 0 f(x)dx a f ( t)dtf (x)dxf(t)dt0 f (x)dxa0 f (t)dtf (x)dxf (x)dxf (x)dx例 4.23 .證明:f (sin x)dxf (cosx)dx ,其中f (x)為已知可積函數(shù)。t _ x證明：左邊f(xié)(sin( t)dt f (cos( t)dt ； f (cos( t)dt0222例4.24.已知f (x)是以T0為周期的連續(xù)函數(shù)，那么對任何實(shí)數(shù)a成立證明:a Tf x dx aTf (x)dx0f x dxaf (x)dxTa Tf x dx f x dx0Taf t d

11、t0f x dxa Tt x T a由于 f x dx f t T dta T所以a0dx fax dxdxx dxTf x dx0例 4.25 .證明:2 0 T2 _0 f sinf22cos x2cos xdxf為任一非零可積函數(shù)。證明：I原式f22 .cos t2 f2 sin2 t22f cosdt t2I02所以I例4.26 .證明:證明：當(dāng)0 x2 0 f2.2sin x2. 2f sin2910 2 9所以，成立例4.27.證明:d證明： dx2 cosf22cos x2 cosdx x2 cos22f cos彳. 91 sin x , dx0 .1 xdx101時,成立2x

12、sinx所以_.9sin x2910 2du xf兩邊同時取x 0 C292 9u dududxxfdu0,9dx1x9dx0100fx dxduu du所以原命題成立。dududxxufdux dx du C五、廣義積分的斂散性u定義： f(x)dx lim f (x)dx 存在有限 aua人 1收斂，p 1基本結(jié)論：1dxp (其中a 0)a xp發(fā)散，p 1復(fù)習(xí)時應(yīng)著重掌握通過直接計算來研究廣義積分的斂散性。例4.28 .研究11x(1dx的斂散性 x)解：limuu dx1 . x(1 x)2 limu，d、.x1 x2 lim arctan x uuI2 lim (arctan ,

13、u u2()2 42所以， -dx是收斂的。1, x(1 x)一k例 4.29 .2d 1,求 k4 x. k x kk解：左邊 一arctan-()1 k222 222dx ，. “，,例4.30 .當(dāng)k為何值時，廣義積分一dx 收斂？當(dāng)2 x(lnx)k2Ok為何值時，這個廣義積分發(fā)散?又當(dāng)k為何值時，廣義積分取得最小值?解：當(dāng)k 1時，有dx (ln x)1 k (ln x)1k，1k2 /i、k2 dld 2(ln2)(2 x(ln x) 21 k 1 k-k 1k 1 '，.1當(dāng) k 1, ln(ln x) 2 發(fā)放,2 xln x即，當(dāng)k 1時，廣義積分dxx(ln x)k

14、收斂;k 1時，廣義積分發(fā)散。設(shè) f (x)(ln2)1kf (k)(ln2)1 klnln2 (k 1) (In 2)1 k(k 1)2(ln2)1k(1 k)lnln2 12 (k 1)21令f (k) 0,得駐點(diǎn)：ko 1 。ln ln 2但當(dāng) k k0時，f (k) 0；當(dāng) k k0時，f (k) 0；1從而，當(dāng)k k01 時，廣義積分取極小值，也就是最小值。ln ln 2注：類似可研究無界函數(shù)積分，即瑕積分。假設(shè)a為f (x)的瑕點(diǎn),f(x)dxb一lim f(x)dx存在有限。例 5.26.1-1dx0 x(x 2)1 1 11斛：原式=lim ()dx02 x x 2所以原式發(fā)散

15、。叫(gln x)1 2(ln x 2) 1)一 dx.x(4 x)解：原式=1lim0, x (4 x)dxlin3d x 盛 arctane，1=arctang)六、定積分應(yīng)用圖示4.1如圖所示“影a f (x) g(x)dx。求面積首要問題是畫出草圖，圖形的上下位置，交點(diǎn)一定要做得準(zhǔn)確。通常曲線，1例直線、拋物線、雙曲線y 、指數(shù)、對數(shù)、 sin x,cosx的圖像要回得熟練、準(zhǔn)確。x例4.28. y x2與直線x y 2所圍圖形面積。解：由x2 2 x ,解得x 1,x2x x2 dx例 4.29 . y2e, x e ,ox軸所圍圖形面積。解：Se2ln2xdxxlne2ee2ln

16、xdx例 4.30 .解：S、3 124e22e23 "2" 12sin2xln xarcsinxe21dx earcsinx dx y12 arcsinxdx22xarcsin x3212_2 T12x . dx1 x2二2所圍圖形面積。2圖示4.4例4.31 .求由過拋物線y= JX上點(diǎn)1,1的切線與拋物線本身及x軸所圍圖形的面積。圖示4.5點(diǎn)1 乖 12T十-2(-)2。1 x2 1222 3 2 62二步 二1、3二且二 3 1 2366. 1解：切線l的方程：y =, 2 : x.1k y 1-,21y 1 x 1 x 2y 1212Sy2 2y 1 dy0,13

17、2、11二(二 y y y) 0 = - °33例4.32.過0,0作拋物線y x21兩切線，求兩切線與拋物線本身所圍圖形的面積2.旋轉(zhuǎn)體體積繞x軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖 4.7）b 2Vxa f x dx繞y軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.7)bVv 2 xf x dxya繞y軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.8)d 2.c ydy繞x軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積（圖4.8)圖示4.8Vx 2 y y dyc例4.33. y x2與y X所圍部分,(1)繞X軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積;(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)所得圖形的體積。1 o .解： V1x x dx101 1_2_3 5151112 362例4.34.拋物

18、線y 4x xx軸？寫出切線方程？y軸所圍平面圖形的面積。(1) 拋物線上哪一點(diǎn)處切線平行于(2) 求由拋物線與其水平切線及(3) 求該平面圖繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：(1) y 4 2x切點(diǎn)為 2,4 ,切線方程為y 422.(2) S 4 4x x dx 022x 2 dx 0(3) V222 2.4 4x x dx02/0o32x4 8x3 16x2 dx0x3225328 32224圖示4.10例4.35 .計算由y sin x（0 得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。x ）和x軸所圍成的平面圖形繞 x軸，y軸分別旋轉(zhuǎn)而解：（1） Vxsin2 xdx0Vyxsin xdx03.應(yīng)用綜合例4.

19、36.由直線y 0, x 8及拋物線y22 .x 圍成一個曲邊三角形，在曲邊 y x 上求一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線0,x 8的圍成的三角形面積最大。解：如圖，設(shè)所求切點(diǎn)為 P （ Xo, y0）切線PT交x軸于a,交直線x 8于B ,切線PT的方程為y y0 2x0(xx0），又P點(diǎn)在2 ,x上,因此，y0x0Ago),10得，x X0,A點(diǎn)坐標(biāo)為28 得，y 16x0 x02B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8, 16 x0 x02),于是三角形 ABC的面積為S ABC12(81Xo )(16xo2xo2), 0122令 S' (3x064x0 16 )4/日 16-伶：Xo 一,16(舍去)

20、，30,因?yàn)镾''釁）4096為最小值, 27故S（）”96為所有三角形中面積之最小值。327單元練習(xí)4dtln x21 ,則 f 22.5_. x sindx3.ddx1x2.2 .sint dt4.dx"""""2 x ln x5.exdx6 .設(shè)fx為區(qū)間 a,b上的連續(xù)函數(shù)，則曲線y f x 與直線 x a, x b, y0所圍成的封閉的圖形的面積為(b(A)f x dxa(B)7.卜列命題正確的有(A)1 13 dx 031 x(C)1sinx5dx018.dxbarcsin xdx a(A)arcsinb arcsi

21、na9.卜列關(guān)系中正確的有(A)1exdx01ex2dx0(C)1exdx012ex dx0(B)-dx在p滿足條件 p(A) p 1(B) pf x dx(B)(D)(B)(D)(C)bf x dxa(D)不能確定2 _x sin xdx 0dxexdx(C) arcsinx (D). 01ex2 dx0以上都不正確)時收斂(C) p 1(D) p 111.求下列極限xm0x 2cost dt0limx 0sin x .tantdt0 tanx.sin tdtlimx tte sin tdt03 xx elimxsin t dt12.計算ln 2、.ex 01dx(2)dxx 丫 x2 1(

22、3)3arcsin0x dx1 x(4)_ x2e sin xdx(5)1 arcsin x . dx0、,x(6)(7)：xGdx(8)(9)1 ln 1xdx(10)(11)(12)(14)(16)x,0,-dx 111 158 ,x . 1 3x dx0f x dx2一o exdx , x表示對x取整3 dx2 3/24 x(13)3 x x .1 x4. 1 x21 xdx4z1cosxdx(15). 4 xsin dx2d n1 xdx0 1 x2(17)041n 1tanxdx(18)dx2x x 1(19)dx1 x x 12e(20) ° x(x )dx (為常數(shù))(

23、21)1/elnxdxp(22) , pcos x p dx(p 0)0 sin x cos xe x.x 0.2(23) f x . ，求 f x 1 dx1 x2, 022 . (24 )max 2,x dx2xt2x 0其中x 0u為連續(xù)函數(shù)，試討論函數(shù)在t 1 u du dt 0013 .設(shè) f x 2sin x0,x 0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。x214 .求y 0 t 1 t 2 dt的極值與拐點(diǎn)。15 .設(shè)f x是連續(xù)的偶函數(shù)，且 f x 0。設(shè)F x(1)證明F x是單調(diào)遞增函數(shù)。(2)當(dāng)x為何值時，F(xiàn) x取最小值。16 .求f x1nt出在 e, e2 上的最大值。e t2 2t

24、117 .已知拋物線 y2 8x,求(1)拋物線在點(diǎn)2,4處的法線方程。(2)拋物線y 0的部分及其在 2,4處的法線和x軸所圍成圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。18 .將拋物線 y x x a的橫坐標(biāo)O與C c a 0之間弧段與直線 PC ( C為點(diǎn)c,0 , PC垂直于橫軸，p在拋物線上)&x軸所圍成圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)，問c為何值時,旋轉(zhuǎn)體體積 V等于以三角形 OPC繞X軸旋轉(zhuǎn)所成的錐體的面積。19 .求 y ln x , y 0, x 0.1, x 10所圍面積。220 . y x, y x sin x 0 x所圍圖形面積。21 .設(shè)有曲線y過原點(diǎn)作其切線，求由此曲線、切線及x軸

25、圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。22 .若1kg的力能使彈簧伸長 1cm,現(xiàn)要使彈簧伸長 10cm,問需要多大的功？23 .設(shè)一半球形水池直徑為6m,水面離開地面1m深，現(xiàn)將水池內(nèi)的水抽盡，至少要作多少功？歷年真考題,、'2I,、1. (2001 )定積分 x 1 dx ()0arctan xdxA. 0B. 2 C. -1 D. 1232. (2001 )設(shè) f(x)為連續(xù)函數(shù)，則2f(x)f( x) xx dx ,0 k ,1 3. (2001 )2dx ,求常數(shù) k。1 x 2x t2x e dt4. (2001 )計算 lim 產(chǎn)x 0 x sin x5. （

26、2001 ）過P（1,0）作拋物線y Jx 2的切線,求（1）切線方程；（2）由拋物線、切線、以及 x軸所圍平面圖形的面積；（3）該平面分別繞 x軸、y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。1 x46. （2002） I dx ,則 I 的范圍是（）0，1 xA. 0 I B. I 1 C. I 0 D. I 1227. （2002） 若廣義積分dx收斂，則 p應(yīng)滿足（）1 xpA. 0 p 1 B. p 1 C. p 1 D. p 08. ( 2002)21 xtan xdx9. (2002)設(shè) f (x)11 x1x x1 ex 02，求 0 f (x 1)dx。x 010. (2002)求極限x2 tan

27、xlim x 0x 0 o t(t sint)dt _ . 、2_ 一 , 一一11. ( 2002 )從原點(diǎn)作拋物線 f (x) x 2x 4的兩條切線，由這兩條切線與拋物線所圍成的圖形記為 S。求(1) S的面積；(2)圖形S繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積。1_12. (2003)1 x (Vx sin x)dx 。13. (2003)萬 sin22 1 cos214. (2003)拋物線 y 4x x(1)拋物線上哪一點(diǎn)處切線平行于x軸？寫出切線方程。(2)求拋物線與水平切線及y軸所圍平面圖形的面積。(3)求該平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。2. 2R 15. (2004)設(shè)圓周x

28、1 0y2 8R2所圍成的面積為 S,則0J8R2 x2dx的值為()A. S B. 1S C. - S D. 2S 42x (tant sint)dt16. (2004)求極限 lim T-x0(ex1)ln(1 3x2)17. (2004)dx計算廣義積分 o r= 2 x-x18. (2004)證明：0 xf (sin x)dxsin xf (sin x)dx ,并利用此等式求x00 1 cos xdxdx19. (2005)20. (2005)計算221. (2005)已知曲邊三角形由拋物線y2 2x及直線x 0, y1所圍成，求(1)曲邊三角形的面積；(2)該曲邊三角形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一

29、周,所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。本章測試題x f(x) x 1x2.3.卜列廣義積分收斂的是A 1.A dx1 xf (x)dx1,f (x)dx14.4dx收斂,0x則有(1nx0dxdx1 3x1 dx°x31)(t 2)dt。則 y (0)6.f(x)f(x)dx,且a是不等于1的常數(shù),求證:0 f (x)dx3a 。3(a 1)7.x0 f(t)dt；f (向dxx,2.sin t dt8.lim -3x 0 x9.10.求 f(x)20 t 2t 2dt在0, 1上的最大值和最小值。(1 t21 t2)dt11.0-一x5 .,、.12 .設(shè) f(2x 1) xe ,求 f(t)d

30、t32ln 2113 . dt -，求 aaet1614 .設(shè)曲線y v2x(1)求過曲線上 2,2點(diǎn)的切線方程,(2)求此切線與曲線 y J27及直線y 0所圍成的平面圖形面積。15 .曲線xy a(a 0)與直線x a, x 2a,及y 0圍成一個平面圖形(1)求此圖形繞 x軸所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。(2)求此圖形繞 y軸所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。16 .求曲線y x3 3x 2和它的右極值點(diǎn)處的切線所圍區(qū)域面積x17 .設(shè) f(x)在 0,1 上連續(xù)，且 f(x) 1,又F(x) (2x 1)0 f (t)dt o證明：F(x)在0,1內(nèi)只有一個零點(diǎn)。18.證明:1 dx7 sin x ,dx0

31、arccosx0 x19.設(shè)連續(xù)函數(shù) f (x)在a,b上單調(diào)增加，又G(x)xf (t )dt , x a(a,b),試證：G (x)在a,b內(nèi)非負(fù)。20.在曲線y ln x上e,1點(diǎn)處作切線l ,(1)求由曲線切線、曲線本身及x軸所圍的面積。(2)求上述所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得體積。21.f(x)22.2(1 xcosx),1,cost2dt設(shè)f (x)在0,1上可導(dǎo),0,討論單元練習(xí)題4答案1、2、03、2xsin4、6、11、解:(2) limx 07、C 8、 D2(1)原式= limcos x 1x 0f (x)在x 0處連續(xù)性和可導(dǎo)性。12 xf0x dx0,證明在(0,1)內(nèi)至少

32、存在一個2、(tan(sin x) cosx) /(. sin(tan x) sec x)=lim x 0.tan(sinx)/sin(tanx) =110、(3) limx 0x t te sin tdt03x=limx 0x _xe sin x3x2(4)limx| sin x |2x12、解：(1)原式；ex 12t2dt1arctant102(14)dx1(2)原式=.2x.,x2 101)出=1 t2(3) 原式 =x arcsin J-px|3 x 1 1n 7；73720 (1 x)310(1 x)dx031 x)2dx1 dx (1 x)3/22.1一, v1(4)原式= ex

33、 1 0cos(2x)dx=-ex2|0v11e cos(2x)dx (e 1) I22(5)(6)(7)所以Iexcos2xdx0xe cos2xdx所以，原式t原式原式=xcos2xdexe cos2x I0sin 2xdx2exsin2x|01二(e21 arcsin t1(x二21n3t 31-x 原式x 1 t30ecos2xdx = e4I1)1 (e 102tdtt22)22.31 t321) -(e51arcsin tdt0一 dx =, 3 2(萬)t 3t2dtn(x223 0 t321)2arcsin tt61)dt1 tdt 02,1 t2、3t4 t7468(8)原式

34、 u3x8 dx8 w3udu2w2 1w2 1 8w 2wdw3(9)原式(10)原式(11)原式(12)原式(13)原式(14)361ln0ln2In 2ln22 w4ln 2dw54ln 2一 dx12 dxln2InIn 1dxdxln3dxln 2ln 4dxln3dxIn 2ln2In 231n2dxdx20dx13x dxln5dxln 4dxln7dx32ln 3ln23 2cost2sint 3-dt8cos316原式令I(lǐng)6ln7(2ln 7)147!1tant | 4dx x sint1 sin 2t4cosx ,人4 -dx 令tz1 e x =4 (e x 1)cos

35、xdx2 cos2 tdt2：(12cos2t)dtcosxdx4cosx41dxxe cosxdx1- sin x2(15)原式2. 42 sin udu 422-4,2sin udu0(16)x原式sin t2 sinn t2 costdt0 costjsin'dt(17)(18)(19)(20)2k 1 !2 2k !2k !2k!2k2k 1x原式II ln 28原式原式/40ln(11 tan u)du tan uln()du ln 21 tan u 4t212時,(21)原式dx222x (x 1)產(chǎn)21 ln22xx2 10時,11ln 1 ln 22一一2tdt (t2

36、 1)t2arctant原式20x(x)dxJ 3(3x2時，原式(2x2原式20x(x)dxx dxdxx( x)dx2x(x)dxlnx dx1ln x dx111n xdxeeln xdx1(22)原式I(23)原式=(24)原式=13、xln1/e11 dxesinP2 sin up2 sin u0p0 sin u3 u u -3(ex ln x1)pcos up cos up- cos u1)dxu x 1.,22 max22x2dx2解：lim f (x)x 0(x lim x 0lim f(x)x 0dudu3724x2 dx- 2_2dx- 21)f(0)lhmedx1sinf

37、 (u)du(h lim h 0h2lhm0一。p sin uPPu cos10 f (u)du2、max2, x x2dx 4.2-du u01 1 u2 22.max2, x dx23(82、2)163du8.231e udu0t21) 0 (u)dudt一 2sin x2 x0 (u)du2xf(0)f(h)f (x)在 xf(0) hh21) 0 (u)du3h2(h)du6h眄。(h2xu du x01x22x 0ht20(t 1)0 (u)dudtsin2h°hh2lim - h 0(u)du (h 1) (h2) 2h21) (h )6h(0)2h2 2hlimh 06

38、f (x)在x 0處可導(dǎo)，且f (0)13 (0)。如 dy14、解： dx d2y dx2(x 1)(x(x 2)22)22(x 1)(x 2)(x 2)(3x 4),111,3433,222,yyy極小值拐點(diǎn)拐點(diǎn)1 2 - ''3由 y 0 , y 0 ,得：x極小值y(1)10(t1)(t2)2dt10(t2)1)(t2)2dt15、解 F x(1) F (x)F (x)2)41 l(t0 3(t2)314(116)13(8)15f (t )dtf(t)dt1712xa(x t)f (t)dt (t x)f(t)dt axf(t)dtaxf(t)出xatf (t)dtax

39、tf (t)dtxaf(t)dtaxf(t)dt axf (x)af(t)dt, xf (t)dt xf (x) xf (x) xf (x)f(x) f (x) 2f x 0(2) F 0xf (t)dt故F單調(diào)遞減函數(shù)af(t)dt ,由偶函數(shù)性質(zhì)知 x 0,又由F的嚴(yán)格單調(diào)性知,16、解:0為唯一解，F(xiàn)df In x(x)0知其為最小值，F(xiàn)minaatf(t)dt 1 2a0tf (t)dtf maxdx x2e2e t22x 1Int0,x 1,所以f(x)在 e,e2上的最大值為ln te22tdt 1e2出,工出e (t 1)e t(t 1)=ln(e1)e2ln td ( e17、解：y 78x(1) 2yy8, y3k y1,k法法線方程為 y 4即 x y 6 0(2) V2y dy64634564 51