數(shù)列收斂判別法畢業(yè)論文

1、學士學位畢業(yè)論文設計數(shù)列收斂的判別法 所在系別：數(shù)學與應用數(shù)學系 專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學- 14 - / 19目錄中文摘要-I英文摘要-II前 言-III第一章數(shù)列極限的概念-11.1數(shù)列極限的定義-11.2 收斂數(shù)列的定義-2第二章判別數(shù)列收斂的方法-3 2.1定義法-3 2.2 單調有界定理-6 2.3迫斂性定理-8 2.4 柯西收斂準則-9 2.5 關于子列的重要定理-12參考文獻-14致-15數(shù)列收斂的判別法摘要：數(shù)列收斂是極限方法的基本情況，而極限方法是微積分學的基本方法，是初等數(shù)學所沒有的一套嶄新的方法，它解決了“直與曲”、“均勻變化與非均勻變化”、“近似于精確”的矛盾，是客觀世界

2、中由量變到質變的一種反應。數(shù)列收斂恰是這些的基礎，它的概念、 性質、定理、推論為研究其它極限等數(shù)學理論研究起到鋪墊作用。本篇文章重點討論的是判別數(shù)列收斂的一些方法，對于判斷一個數(shù)列是否收斂有些茫然的人，本文會有針對性的對以上問題做細致的講解和歸納。開篇第一章的容是對一些基礎概念做了敘述，以便于對后面的定理有更好的理解。在第二章重點介紹了判別數(shù)列收斂的方法，數(shù)列收斂的判別法有很多，對于簡單的數(shù)列，通過定義其極限的存在常常可以通過觀察直接看出，或通過極限的四則運算得出，研究數(shù)列收斂的判別法可以判斷一些較復雜的極限，例如應用柯西收斂準則和迫斂性定理，它們是利用極限來研究微分學的許多理論問題時的有力工

3、具，在近代分析中有極其重要的理論意義。關鍵詞：數(shù)列收斂、數(shù)列極限、判別法Series convergence criterionAbstract：Series is the ultimate way to convergence of the basic situation, and the limit is the basic calculus method is not elementary mathematics a new way, it has resolved the straight and curly, uniform change and nonuniform change,

4、 close to accurate, the contradiction is the objective world from quantitative to qualitative changes in a response. Convergent series is just the foundation of the concept, nature, theorem, inference to study the other limit, such as paving the way mathematics has played the role of theoretical res

5、earch.This article key discussion is distinguished sequence restraining some methods, regarding judge a sequence whether restrains some at a loss people, this article can have pointed makes the careful explanation and the induction to above ques question.The introduction first chapter of content has

6、 made the narration to some foundation concept, was advantageous for to the behind t heorem has a better understanding.Introduced with emphasis in the second chapter the distinction sequence restraining method, the sequence restraining distinction law has very much, regarding the simple sequence, th

7、rough defines its limit the existence to be possible to see directly frequently through the observation, or obtains through the limit mathematical operations, the research sequence restraining distinction law may judge some complex limit, for example west the applica tion tan oak restrains the crite

8、rion and compels collects the theorem, they are study the differential calculus using the limit time many theory question powerful tool, has the extremely important theory significance in the modern analysis.Key word:Sequence restraining, Sequence limit, Sequence restraining distinction way前 言數(shù)列收斂問題

9、始終是數(shù)學分析課程入門的重要概念，本文從數(shù)列收斂的定義、性質與與數(shù)列收斂等價的一些定理命題入手進行探討判別數(shù)列收斂的方法。當然也可以從另一個角度探討，如用數(shù)列收斂與不收斂的關系探討數(shù)列收斂問題，數(shù)列收斂與有界的關系等。隨著知識的積累對數(shù)列收斂問題的理解將會更深刻，在函數(shù)極限、多元函數(shù)極限、級數(shù)與后繼的專業(yè)理論學習中對不同的問題、不同的概念都會有研究收斂問題，在此基礎上將會更深刻和更廣泛的實際意義。數(shù)列收斂是極限理論的一種基本的情況，一個數(shù)列存在極限也就是這個數(shù)列收斂，極限方法是微積分學的基本方法，是初等數(shù)學所沒有的一套嶄新的方法，它解決了“直與曲”、“均勻變化與非均勻變化”、“近似與精確”的矛

10、盾，是客觀世界中由量變到質變的一種反映。數(shù)列收斂恰是這些的基礎，它的概念、 性質、定理、推論為研究其它極限等數(shù)學理論研究起到鋪墊作用。數(shù)列收斂的判別法有很多，對于簡單的數(shù)列，通過定義其極限的存在常常可以通過觀察直接看出，或通過極限的四則運算得出，研究數(shù)列收斂的判別法可以判斷一些較復雜的極限，例如柯西收斂準則和迫斂性定理，它們是利用極限來研究微分學的許多理論問題時的有力工具，在近代分析中有極其重要的理論意義。數(shù)列收斂是現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎，例如迫斂性定理在解決求極限的中有廣泛的應用，柯西收斂準則的作用與影響更是尤為顯著。它的概念與思想滲透到所有的數(shù)學分支，而理論與方法在統(tǒng)計學、信息論、計算機科學、

11、近代物理、化學以與其他許多科學與工程領域中都有廣泛而深入的應用，是理工類和其他相關專業(yè)研究應具備的數(shù)學基礎。并且在中學數(shù)學教育中有著其實際的作用，對培養(yǎng)學生極限抽象思想和找尋數(shù)學規(guī)律或者實際生活規(guī)律提供了很好的實踐平臺。第一章 數(shù)列極限的概念極限論是數(shù)學分析的基礎。極限問題是數(shù)學分析中困難問題之一。中心問題有兩個：一是證明極限存在，二是求極限的值。兩問題有密切關系：若求出了極限的值，自然極限的存在性也被證明。反之，證明了存在性，常常也就為計算極限鋪平了道路。下面我們重點研究的是數(shù)列的極限，1.1數(shù)列極限的定義（= ，）的變化趨勢；當無限增大時，趨于極限?，F(xiàn)在我們要用嚴格的數(shù)學語言來定義極限概念

12、。我們先來分析一個簡單數(shù)列（=，） （1-1）很明顯，當無限增大時，趨于極限0 。此數(shù)列寫出來是，它趨于0的意思，就是沿此數(shù)列往后看，它與0愈來愈接近；例如，從第100項以后開始，每一項與0 的差都小于0.01；從第1000項以后開始，每一項與0的差都小于0.001；一般來說，從“充分遠”的某一項開始，它的每一項與0 之差可以“任意小”。下面我們來分析一下“任意小”和“充分遠”是什么意思。顯然任意小的意思就是|0|=0= （1-2）其中是預先任意給定的在我們熟悉的數(shù)列中有這樣一類數(shù)列，其特點是：當自然數(shù)n無限增大時，數(shù)列的通項無限地接近某一常數(shù)。例如數(shù)列等數(shù)列都具有這樣的特點，當n無限增大時，

13、它們都無限地接近于0 。我們稱這樣的數(shù)列為收斂的數(shù)列，并稱常數(shù)0分別是數(shù)列的極限。由此引出數(shù)列極限的精確定義，在各版本的教材中也稱為數(shù)列極限的定義。經過上述分析，我們給出數(shù)列極限的嚴格定義如下：1.1.1數(shù)列極限定義1：設為數(shù)列，為常數(shù)，若對任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當nN 時，有，則稱數(shù)列收斂于，常數(shù)為數(shù)列的極限，并記作：，或，讀作 “當趨于無窮大時，的極限等于或趨于”。若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列。這里lim是拉丁字limes的簡寫，意思就是極限。有時我們把“的極限是”，說成“趨于”或“收斂于”。注意，極限的符號（5）是很完整的：代表變化過程（即無限增大的過程），li

14、m代表在此變化過程中變量趨向于。從定義1可以看出收斂數(shù)列一定有極限。其等價定義是：定義2：任意的，若在之外，數(shù)列中項只有有限個，則稱數(shù)列收斂，且收斂于。1.1.2 數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列對應于數(shù)軸上的一個點列，是數(shù)軸上一個確定的點。對于任給的，在數(shù)軸上作出點的鄰域。由于絕對值不等式與不等式等價，而數(shù)列中總存在一項，在此項后面的所有項，（即除了前項，以外），它們在數(shù)軸上所對應的點，都位于區(qū)間之中，至多能有個點，在此區(qū)間外。因為是任意小的正數(shù)，所以數(shù)列中各項所對應的點都無限聚集在點的附近。當時，所有的點都落在，只有有限個落在其外。1.2收斂數(shù)列的定義通過數(shù)列極限的定義我們可以看出，如果我們知道一個

15、數(shù)列的極限，那么也就說明這個數(shù)列收斂于這個極限，即數(shù)列收斂。所以說數(shù)列極限的定義也就是收斂數(shù)列的定義。第二章 判別數(shù)列收斂的方法第一章的定義1與定義2給出了數(shù)列收斂定義，且有著明顯的幾何意義。通常我們都是對定義1和定義2中的，進行討論，由此來研究或證明數(shù)列的收斂問題。其特點是將數(shù)列與一個常數(shù)聯(lián)系在一起進行論證。當數(shù)列的形式較復雜時，我們可以將其分解后利用四則運算法則計算數(shù)列極限。同時，問題往往不是孤立的，一個數(shù)列極限的計算可能要使用幾種方法。在有了極限的定義之后，為了判斷具體某一數(shù)列或函數(shù)是否有極限，人們必須不斷地對極限存在的充分條件和必要條件進行探討。那么怎樣判斷一個數(shù)列是否收斂或者說極限是

16、否存在的問題，對于簡單的數(shù)列，其極限的存在常?？梢酝ㄟ^觀察直接看出（例如，數(shù)列的極限顯然存在，而且是零），或通過四則運算得出（參看上面例7）。但對于較復雜的極限，例如， （2-1）就無能為力了。極限（2-1）是一個重要的極限，在研究放射性元素的衰變規(guī)律，電容器的充放電以與自然對數(shù)等許多問題中都要用到它。下面我們將建立幾個判斷數(shù)列收斂或者說極限存在的一般性判別法。它們不僅可以用來判斷一些較復雜的極限（例如極限（2-1）的存在性），而且在理論研究時也經常用到。2.1定義法利用數(shù)列極限定義判別數(shù)列收斂，通過數(shù)列極限的定義我們可以看出，如果我們知道一個數(shù)列的極限，那么也就說明這個數(shù)列收斂于這個極限，即

17、數(shù)列收斂。所以說用定義可以判別一個數(shù)列是否收斂。即若能求出一個數(shù)列的極限也就說明這個數(shù)列收斂利用極限定義計算極限的關鍵是；將通項化為一常數(shù)與一含n的無窮小之和，從而得到。并依此求得對應的N。2.1.1 定義法的應用例1 證明分析 由于（）（2-2）因此，對任給的，只要，便有，（2-3）即當時，（2-3）式成立。又由于（2-2）式是在的條件下成立的，故應取3， （2-4）證 任給，取3，。據(jù)分析，當時有（2-3）式成立。于是本題得證。注 本題在求的過程中，（2-2）式中運用了適當放大的方法，這樣求就比較方便。但應注意這種放大必須適當，以根據(jù)給定的能確定出。又（2-4）式給出的不一定是正整數(shù)。一般

18、地，在定義1中的不一定限于正整數(shù)，而只要它是正數(shù)即可。例2證明數(shù)列收斂于1。證明：對，要使得，只須，所以取，當時，有，所以。注1：是衡量與的接近程度的，除要求為正以外，無任何限制。然而，盡管具有任意性，但一經給出，就應視為不變。（另外，具有任意性，那么等也具有任意性，它們也可代替） 2：是隨的變小而變大的，是的函數(shù)，即是依賴于的。在解題中，等于多少關系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個，使得當時，有就行了，而不必求最小的。例3證明。證明：對，因為 （此處不妨設，若，顯然有）所以要使得，只須就行了。 即有. 所以取 ，當時，因為有，所以。注3：有時找比較困難，這時我們可把適當?shù)刈冃巍⒎糯螅ㄇ?/p>

19、萬不可縮?。。?，若放大后小于，那么必有。在求數(shù)列極限時，常需要使用極限的四則運算法則。2.1.2 應用四則運算求數(shù)列極限四則運算法則 若與為收斂數(shù)列，則，也都是收斂數(shù)列，且有特別當為常數(shù)時有，若再假設與，則也是收斂數(shù)列，且有例4 求，其中 解 若，則顯然有；若，則由得；若，則例5 求解，用有理化法，得=因為，而有理化得所以 ，故 例6 求解 = = 2.2單調有界定理2.2.1 有界數(shù)列的定義定理1若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正整數(shù)，使得對一切正整數(shù)有證明 設。根據(jù)數(shù)列極限的定義，對于存在正整數(shù)，使得對于一切有不等式 即 記 ，那么對一切正整數(shù)都滿足不等式這就證明了數(shù)列是有界的。注 有界性

20、只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充要條件。例如數(shù)列有界，但它并不收斂。那什么條件才是充要條件呢，接下來第三章將會介紹。例7 判斷數(shù)列， 是否有界。解 因為存在，使得對于一切都滿足不等式，故數(shù)列有界。例8 判斷數(shù)列是否有界。解 因為當無限增大時可超過任何正數(shù)，所以數(shù)列無界。定理2 單調有界定理（實數(shù)連續(xù)性）在實數(shù)系中，有界的單調數(shù)列必有極限證 不妨設為有上界的遞增數(shù)列由確界原理，數(shù)列有上界，記下面證明就是的極限。事實上，任給，按上確界的定義，存在數(shù)列中某一項，使得。又由的遞增性，當時有另一方面，由于是的一個上界，故對一切都有。所以當時有，這就證得。同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下

21、確界。公理的幾何意義十分明顯.若數(shù)列單調增加有上界，設在數(shù)軸上的對應點是.當n無限增大時，點在數(shù)軸上向右方移動，因為有上界，所以這些點必無限地趨近于某個點.設的坐標為，則就是數(shù)列的極限.例如：研究數(shù)列的收斂。首先數(shù)列是單調上升：，這可以用數(shù)學歸納法予以驗證。其次 ，同樣可以驗證數(shù)列有界，因此由這個知，數(shù)列必收斂。該定理用來判別數(shù)列是否收斂，不用刻意地和常數(shù)聯(lián)系在一起就可以判別某些數(shù)列講解的收斂問題，或解決極限的存在問題，為理論上探討數(shù)列的收斂問題奠定了基礎，隨著在對數(shù)學的深入接觸中我們會發(fā)現(xiàn)用這個定理又導出實數(shù)完備性的基本定理。2.2.2單調有界定理的應用例9 試證明數(shù)列有極限。證 下面我們證

22、明數(shù)列是增數(shù)列，而且有上界，從而由定理，即知它趨于有限極限。根據(jù)二項式定理，我們有故由此可知，從而是一個增數(shù)列。另外，從上面的的展開式，知故是有上界的。于是，由定理知的極限存在，且此極限不超過3 。我們用代表此極限：用其他方法我們可以計算出的精確數(shù)值是2.3迫斂性定理迫斂性定理有時習慣稱兩邊夾定理定理3（迫斂性定理）設，是三個數(shù)列。若NN+，nN，有，且=，則=.證明：已知=，即0，有N+，n，有，從而，有，從而，同時有，從而，或 N+，有，又=，則=.迫斂性定理不僅指出了極限存在性,還給出了極限值。所以迫斂性定理也是判定數(shù)列收斂的一種方法，同時也提供了一個求極限的工具。2.3.1迫斂性定理的

23、應用例10求數(shù)列的極限。解 令，因為當時，所以，于是，即 00 故 11+顯然收斂于零。因為就有。所以，由迫斂性得2.4柯西收斂準則有時我們可以從數(shù)列本身的項來研究數(shù)列的收斂問題，這就是下面的定理：定理4（柯西（Cauchy）收斂準則） 數(shù)列收斂的充分必要條件是：對于任給的0，必有正整數(shù)N存在，使當n，mN時，恒有0，NN+，n，mN，有.在證明之前，我們先解釋一下0，NN+，N，N+，有0，NN+，N，有.從而與，分別有與N，有=和，有，有=0，NN+，n，mN，有0，N+，有.取L=max，.從而，L，L，同時有與.于是，即=.或數(shù)列收斂.在這里，指出，單調有界定理和Cauchy收斂準則則

24、只指出極限存在性。2.4.1柯西收斂準則的應用例11 研究任一無限十進制小數(shù)的n位不足近似（n= 1，2，）所組成的數(shù)列（其中為0，1，2， 9，中的一個數(shù)）的收斂問題。首先不妨設，有此題的特點是：在討論有些數(shù)列時，用定義1是不好確定其收斂問題的，但是用柯西收斂準則就非常方便。因此柯西收斂準則不僅可以判別數(shù)列收斂性，而且在數(shù)學分析課程中貫穿始終，是實數(shù)完備性理論的基本定理之一。例12 證明當時，收斂。證 用柯西收斂準則來證因為，所以對任給的0都有N，使當N時，。于是只要，便有所以由柯西收斂準則知收斂。注 用柯西收斂準則來證明數(shù)列收斂和用極限定義來證明是很不一樣的。用定義來證明一個數(shù)列收斂（或有

25、極限），必須事先知道（或能觀察出）該極限值，但這一點往往是比較困難的，柯西收斂準則的優(yōu)點，就在于只通過數(shù)列本身來判斷其是否收斂。當然柯西收斂準則主要在于它在近代分析中有極其重要的理論意義。我們知道一個數(shù)列不是收斂就是發(fā)散，那如果我們判斷出一個數(shù)列是發(fā)散的，也就說明它是不收斂的，所以也可以判定數(shù)列是否收斂。 柯西收斂準則指出：數(shù)列收斂等價于數(shù)列中充分遠（即自然數(shù)充分大）的任意兩項的距離能夠任意小。這是收斂數(shù)列的最本質的特征?？挛魇諗繙蕜t的優(yōu)點在于它不需要借助數(shù)列以外的任何數(shù)，只需根據(jù)數(shù)列自身各項之間的相互關系就能判別該數(shù)列的斂散性。例13證明：若N+，有，其中是正常數(shù)，且01，則數(shù)列收斂。證明：

26、，N+，有=（）=.已知（00，NN+，N，有0，NN+，N，N+有.其中是正常數(shù)，根據(jù)柯西收斂準則，數(shù)列收斂。2.5關于子列的重要定理2.5.1子數(shù)列的定義定義3 給定數(shù)列：，在這個數(shù)列里，任取無窮多項，不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列，任何一個數(shù)列都存在無窮多個子數(shù)列。如果這個子數(shù)列存在極限，就稱它為是原來數(shù)列的一個收斂子數(shù)列。 如果原來的數(shù)列收斂于A，則它的任何一個子數(shù)列都一定收斂于A。 如果數(shù)列有一個子數(shù)列發(fā)散，或有兩個子數(shù)列收斂于不同的數(shù)，則這個數(shù)列一定發(fā)散。所以一個數(shù)列即使存在無窮多個收斂的子數(shù)列，我們也不能確定它是否收斂。2.5.2 應用子列

27、的相關定理判別數(shù)列收斂定理5.若數(shù)列收斂于，則的任意子數(shù)列也收斂于.它的等價命題是：若數(shù)列有某一個子數(shù)列發(fā)散，或有某兩個收斂子數(shù)列，它們的極限不相等，則數(shù)列發(fā)散，且應用該定理的這一等價命題很容易判別某些數(shù)列的發(fā)散性。例如：數(shù)列是發(fā)散的。因為它的偶子列=發(fā)散。數(shù)列是發(fā)散的，因為它的奇子列收斂于-1；它的偶子列收斂于1，而.定理6 數(shù)列收斂的充要條件是偶子數(shù)列與奇子數(shù)列都收斂，且它們的極限相等，即例如：在數(shù)列中抽出子數(shù)列、和都收斂，且有一樣的極限值，這時數(shù)列一定收斂。實質上定理5、定理6都是在一個數(shù)列的前提下給出的，它們在判別數(shù)列是否收斂時也不用刻意地和常數(shù)聯(lián)系在一起就可以判別某些數(shù)列的收斂問題，或解決極限的存在問題，因此可以說這兩個命題是收斂數(shù)列的一種判別法。其實，在以后的接觸中你會發(fā)現(xiàn)，用這兩個命題判別一個數(shù)列是否收斂非常方