是假分?jǐn)?shù)對(duì)嗎

1、3 是假分?jǐn)?shù) , 對(duì)嗎？2冼頌華這是在一本小學(xué)教材學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(shū)中出現(xiàn)的判斷題。有學(xué)生判斷3 是假分?jǐn)?shù)，因?yàn)樗姆肿颖确帜复?，答案看?lái)顯而易見(jiàn)；也2有學(xué)生判斷3 不是假分?jǐn)?shù)，因?yàn)榧俜謹(jǐn)?shù)大于或等于1，而3 比1 小，應(yīng)該是22真分?jǐn)?shù)才對(duì)。去查找一下數(shù)學(xué)典藉，確有這么一說(shuō)：值小于1 的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)，值大于或等于 1 的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)。以此佐證，所有的負(fù)分?jǐn)?shù)都小于1，它們都是真分?jǐn)?shù)了。然而認(rèn)同后面觀點(diǎn)的話，更多的問(wèn)題就陸續(xù)出現(xiàn)了：其一，0 分?jǐn)?shù)的值小于 1，但“ 0 分?jǐn)?shù)不屬于真分?jǐn)?shù)”的規(guī)定就與此產(chǎn)生矛盾了；其二，真、假分?jǐn)?shù)的劃分是以1 為分界點(diǎn)實(shí)施的，這樣的劃分在數(shù)學(xué)上有何意義？看來(lái)我們還是從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的

2、歷史去尋找答案吧。分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生來(lái)源于丈量長(zhǎng)度和平均分。當(dāng)我們用單位長(zhǎng)度去測(cè)量物體長(zhǎng)度而得不到整數(shù)結(jié)果時(shí)， 就用單位長(zhǎng)度的幾分之幾來(lái)表示不足整數(shù)1 的部分。小學(xué)教材中曾有這樣的分?jǐn)?shù)定義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)，規(guī)定分子是1 的分?jǐn)?shù)叫分?jǐn)?shù)單位（或單位分?jǐn)?shù)） 。由此可見(jiàn)，分1數(shù)和整數(shù)一樣，有著相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位。事實(shí)上古人就是這樣理解分?jǐn)?shù)的意義的。從該定義還可以知道， 古人最先使用的分?jǐn)?shù)都是不足1 的，或者說(shuō)這些分?jǐn)?shù)的分子都比分母小，是“真正意義上”的分?jǐn)?shù)。后來(lái)，人們逐漸利用分?jǐn)?shù)來(lái)表示除法的商，就產(chǎn)生了分子和分母相等或者分子大于分母的分?jǐn)?shù)。人們認(rèn)為，將單位“1”平均分成

3、 N 份，取出的份數(shù)不可能大于 N，所以有了這樣的規(guī)定：分子小于分母的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)； 分子比分母大的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù) （因?yàn)檫@樣的分?jǐn)?shù)不是真正意義上的分?jǐn)?shù)）。此外，對(duì)于以下兩種特殊情況分子等于 0 的分?jǐn)?shù)以及分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，又作了相應(yīng)的規(guī)定：分子等于 0 的分?jǐn)?shù)，相當(dāng)于把單位“ 1” 平均分成 N 份，卻一份也不取出， 不存在不足 1 的部分，所以分子是 0 的分?jǐn)?shù)相當(dāng)于整數(shù) 0，故而它的值規(guī)定等于0，不屬于真分?jǐn)?shù)范疇； 分子等于分母的分?jǐn)?shù)，相當(dāng)于把單位“ 1”平均分成 N 份后， N 份全都取了，實(shí)際上也不存在不足1 的部分，故而它不是真正意義上的分?jǐn)?shù)，歸到假分?jǐn)?shù)一類。 順帶翻看一下外國(guó)

4、的數(shù)學(xué)書(shū)，非常有趣的是，真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)在英語(yǔ)里分別叫做proper fraction和improper fraction， proper 和 improper意思分別是“真正意義的”和“非真正意義的”。真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的命名思路，中國(guó)人和外國(guó)人可謂“心有靈犀”！約在公元前五世紀(jì)，我國(guó)真、假分?jǐn)?shù)已有了明確的劃分辦法。相較之下，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生要晚一些。 盡管負(fù)數(shù)在兩千年前已經(jīng)出現(xiàn)， 但關(guān)于負(fù)數(shù)概念的敘述以及2負(fù)數(shù)四則運(yùn)算的規(guī)定仍是相當(dāng)零散的。負(fù)數(shù)的明確定義（盡管仍有不足之處）3直到三國(guó)時(shí)期才由數(shù)學(xué)家劉徽（公元250？）提出。負(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史告訴我們，在分?jǐn)?shù)定義比較明確的時(shí)代，負(fù)數(shù)的概念才萌芽沒(méi)多久，人們對(duì)

5、真、假分?jǐn)?shù)的劃分只限于正數(shù)（正有理數(shù)） ，不涉及到負(fù)數(shù)（負(fù)有理數(shù)） 。換言之，真、假分?jǐn)?shù)的劃分，是人們對(duì)負(fù)分?jǐn)?shù)還沒(méi)有明確概念的情況下實(shí)施的，因而這種劃分只限于正分?jǐn)?shù)。回到本文的題目上，3 不屬于正分?jǐn)?shù)的范疇，它既不是真分?jǐn)?shù)，也2不是假分?jǐn)?shù)。問(wèn)題雖然解決了，但筆者認(rèn)為仍有必要對(duì)它作更深入的理性思考。劃分，在數(shù)學(xué)研究中是一項(xiàng)非常重要的手段。 對(duì)概念進(jìn)行下位劃分， 有助于更徹底地理解概念的內(nèi)涵， 同時(shí)概念劃分往往會(huì)產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。如對(duì)于整數(shù)， 以能否被 2 整除為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分， 誕生了奇數(shù)和偶數(shù)兩個(gè)子概念，在研究奇數(shù)偶數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中， 又誕生了奇偶性分析理論， 解決了很多原來(lái)與整

6、數(shù)理論領(lǐng)域風(fēng)馬牛不相及的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 數(shù)學(xué)由此向前邁進(jìn)了一大步。 然而真、假分?jǐn)?shù)的劃分， 起先是人們希望為了更好地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)而實(shí)施的， 當(dāng)時(shí)人們對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)尚在混沌之中， 與對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)相比， 不在同一個(gè)層次上， 人們并沒(méi)有考慮過(guò)負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的結(jié)合是何種模樣，自然也就不會(huì)聯(lián)想到負(fù)分?jǐn)?shù) “真”與“假”的問(wèn)題?？上В?、假分?jǐn)?shù)的劃分對(duì)分?jǐn)?shù)的研究并沒(méi)有產(chǎn)生多大影響，在4往后的算術(shù)理論以及代數(shù)理論中，真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的蹤跡可謂寥寥無(wú)幾?？梢赃@樣認(rèn)為，真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)僅僅是分?jǐn)?shù)歷史發(fā)展的見(jiàn)證，因?yàn)閷?duì)分?jǐn)?shù)研究影響甚微，它們已逐漸退出數(shù)學(xué)理論的舞臺(tái)，徒剩名字而已。既然如此，“3 是假分2數(shù)”作為一道判斷題來(lái)考學(xué)生，其

7、實(shí)毫無(wú)意義。注釋：1分?jǐn)?shù)的這個(gè)定義存在著缺陷，它不能對(duì)負(fù)分?jǐn)?shù)予以充分解釋，所以分?jǐn)?shù)的嚴(yán)格定義是這樣的：形如m 的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)，其中m、 n Z， n 0。于是，分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵就完備了。n2 成書(shū)于公元一世紀(jì)的數(shù)學(xué)論著九章算術(shù)首次明確規(guī)定負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則：“正負(fù)數(shù)曰：同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之；其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之。 ”這里的“名”就是“號(hào)” ，“除”就是“減” ，“相益”、“相除”就是兩數(shù)的絕對(duì)值“相加” 、“相減”，“無(wú)”就是“零” 。3 劉徽提出：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。 ”意思是說(shuō)，在計(jì)算過(guò)程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)區(qū)分它們。4 高等代數(shù)中， 在討論有理分式的時(shí)候曾引入過(guò)真分式和假分式的概念： 對(duì)于一元有理分式， 若分子的次數(shù)