數(shù)列求和的七種基本方法

1、文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.數(shù)列求和的七種基本方法數(shù)列求和是數(shù)列問(wèn)題中的基本題型， 但具有復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、 解法靈活等特點(diǎn)，本文將通過(guò)例題 (這些例題涵蓋了 2019 年高考卷中的數(shù)列求和大題 )簡(jiǎn)單介紹數(shù)列求和的七種基本方法 .1 運(yùn)用公式法很多數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Sn 的求法，就是套等差、等比數(shù)列Sn 的公式，因此以下常用公式應(yīng)當(dāng)熟記：還要記住一些正整數(shù)的冪和公式：例 1已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn32nn 2 ，求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Tn .解由 Sn32nn 2 ,可得 an332n , an0n16 ，所以：(1)當(dāng) n16時(shí)

2、,T= S32nn 2 .nn(2)當(dāng) n17 時(shí)，所以Tn32nn2(n1,2,L,16)n232n512(n17, 且 n N )例 2求 Sn1 n 2 (n 1) 3 (n 2)n 1.解設(shè) akk(n1 k )k( n1)k 2 ，本題即求數(shù)列 ak 的前 n 項(xiàng)和 .高考題 1(2019 年高考浙江卷文科第19 題 (部分 )求數(shù)列2n 1 的前 n 項(xiàng)和 Sn .答案： Snn2.高考題 2(2019 年高考四川卷理科第19 題 (部分 )求數(shù)列2n4 的前 n 項(xiàng)和 Sn .答案： Snn23n .高考題 3(2019 年高考福建卷文科第17 題 )在等比數(shù)列 an 中， a2

3、3,a581 .(1)求 an ；(2)設(shè) bnlog 3 an ，求數(shù)列 b 的前 n項(xiàng)和 Sn .n答案： (1) an3n 1 ； (2) Snn2n .2高考題 4(2019 年高考重慶卷文科第16 題 )已知 an是首項(xiàng)為1，公差為 2 的等差數(shù)列，Sn 表示 an 的前 n 項(xiàng)和 .1文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.(1)求 an 及 Sn ；(2) 設(shè) bn 是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比q 滿足 q2(a41)q S40，求 bn的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和 Tn .答案： (1) an 2n1, Snn2 ； (2) bn22n1 ,Tn2 (4

4、n 1) .32 倒序相加法事實(shí)上，等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Sn 的公式推導(dǎo)方法就是倒序相加法 .例 3求正整數(shù) m 與 n(mn) 之間的分母為3 的所有既約分?jǐn)?shù)的和S .解顯然，這些既約分?jǐn)?shù)為：有S (m 1 ) (m2 ) (m4)(n4 ) (n2) ( n1)333333也有S (n1) (n2) ( n4)( m4) (m2) (m1)333333所以2S(mn)2(nm)2(n 2m2 ), Sn2m2例 4設(shè) f ( x)4x，求和 f1f2f3L20014x20022002f.2200220022001解可先證得f ( x)f (1x)1，由此結(jié)論用倒序相加法可求得答案為.23

5、 裂項(xiàng)相消法例 5若 an 是各項(xiàng)均不為111n0 的等差數(shù)列，求證：a2 a3an an 1.a1a2a1an 1證明設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d ：若 d0 ，要證結(jié)論顯然成立；若d0 ，得例 8111L12(nN 且 n 2) .證明 222n2123證明1111122 232n 2高考題 5 (2019年高考全國(guó)大綱卷理科第18 題 )等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為 S ，已知na1 10 ， a2 為整數(shù)，且 SnS4 .(1)求 an 的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn1，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn .an an 12文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支

6、持.答案： (1)an 13 3n ； (2) Snn.10(103n)高考題 6(2019年高考廣東卷文科第19 題 )設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn ，且 Sn 滿足 Sn2n2n 3 Sn3 n2n 0, n N.(1)求 a1 的值；(2)求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n ，有1111a1(a1 1)a2 (a21)an (an1).3答 案 ： (1) a12 ； (2) an2n； (3)當(dāng)n 1時(shí) ， 可 得 欲 證 成 立 . 當(dāng) n2 時(shí) ，111111，再用裂項(xiàng)相消法可得欲an (an1) 2n(2 n1)(2 n 1)(2 n1)22n12

7、n 1證.高考題 7(2019 年高考山東卷理科第19 題 )已知等差數(shù)列 an 的公差為 2，前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且 S1 ， S2 ， S4 成等比數(shù)列 .(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)令 bn = (1) n 14n, 求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn .an an 12n2為奇數(shù)2n1n答案： (1) an 2n1， Tn.2n為偶數(shù)2n1n4 分組求和法例 9 求 Sn1 11111L1112241Ln 1.242解 設(shè) an11L12114n 1 ，得 ann 1 .222所以本題即求數(shù)列21的前 n 項(xiàng)和：n 123文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編

8、輯 .歡迎下載支持.an 12例 10 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 S 滿足 Sn，又 b( 1) n S ，求數(shù)列 bn n2nn的前 n 項(xiàng)和 Tn .an2解 在 Sn11可求得 a11 .2中，令 n還可得相減，得所以 an 是首項(xiàng)為 1 公差為 2 的等差數(shù)列，得an 12所以Snn2 ,bn ( 1)n n22當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，總之， Tn(1) n n(n1).2高考題 8(2019 年高考北京卷文科第15題 )已知an 是等差數(shù)列，滿足a1 3 ，a4 12 ，數(shù)列b滿足 b1 4， b420 ，且ba是等比數(shù)列 .nnn(1) 求數(shù)列 an 和 bn 的通

9、項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 .答案： (1)an =3n, bn =3n 2n 1 ； (2)3n( n 1) 2n1 .2高考題 9(2019 年高考山東卷文科第19 題 )在等差數(shù)列 an 中，已知公差d2 a2是，a1 與 a4 的等比中項(xiàng) .(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bnan (n1) ，記 Tnb1b2 b3b4 ( 1)n bn ，求 Tn .2(n1)2n為奇數(shù)a2n ，2答案： (1)Tn.n1)n(nn為偶數(shù)2高考題 10(2019 年高考浙江卷理科第19 題 (部分 )求數(shù)列 2n1的前 n 項(xiàng)和n(n1)4文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理

10、.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.Sn .答案： 2n1nn2.15 錯(cuò)位相減法高考題 11(2019年高考江西卷理科第 17題)已知首項(xiàng)都是1 的兩個(gè)數(shù)列an , bn (bn0, nN*) 滿足 anbn1an1bn2bn 1bn0 .(1)令 cnan，求數(shù)列cn 的通項(xiàng)公式；bn(2)若 bn3n1，求數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn .解(1) cn2n 1 .(2)得 anbn cn(2n1) 3n1.先寫出 Sn 的表達(dá)式：S11 3315 327 33(2n1) 3n 1n把此式兩邊都乘以公比3，得3S 1313 325 33(2n 3) 3n 1(2n 1) 3nn -，

11、得2Sn1 2312 322 332 3n 1(2n 1) 3n2Sn(2 302 312 322 332 3n 1)(2n1) 3n1由等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式，得2Sn3n1 (2n 1) 3n1 (2n 2) 3n2因?yàn)榇私獯鸫_實(shí)步驟多，且有三步容易出錯(cuò)：(1) 等式右邊前n 項(xiàng)的符號(hào)都是“ +”，但最后一項(xiàng)是“” ； (2)當(dāng)?shù)仁接疫叺那皀 項(xiàng)不組成等比數(shù)列時(shí)，須把第一項(xiàng)作微調(diào)，變成等比數(shù)列 (即等式 )，這增加了難度； (3) 等式中最后一步的變形(即合并 )有難度 .但這種方法 (即錯(cuò)位相減法 )又是基本方法且程序法，所以備受命題專家的青睞，在高考試卷中頻頻出現(xiàn)就不足為怪了.考生在

12、復(fù)習(xí)備考中，應(yīng)徹底弄清、完全掌握，爭(zhēng)取拿到滿分.這里筆者再給出一個(gè)小技巧檢驗(yàn)：算得了 Sn 的表達(dá)式后，一定要抽出萬(wàn)忙的時(shí)間檢驗(yàn)一下S1, S2是否正確，若它們均正確，一般來(lái)說(shuō)就可以確定算對(duì)了，否則就算錯(cuò)了，需要檢查(重點(diǎn)是檢查容易出錯(cuò)的三點(diǎn))或重算 .對(duì)于本題，已經(jīng)算出了Sn(n1) 3n1，所以 S1 1, S210 .而由通項(xiàng)公式可知S1 1 1 1,S2S13 3110 ，所以求出的答案正確 .5文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.高考題 12(2019 年高考課標(biāo)全國(guó)卷I 文科第 17 題 )已知 an 是遞增的等差數(shù)列， a2 , a4是方程 x25

13、x6 0的根.(1) 求 an 的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 .2n答案： (1) an1 n1.2n 42(2)用錯(cuò)位相減法可求得答案為2n 1 .高 考 題13(2019年 高考安徽卷文科第18 題 ) 數(shù) 列 an 滿 足a1 1, nan 1(n1)ann(n1),nN*.(1)證明：數(shù)列an是等差數(shù)列；n(2)設(shè) bn3nan，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn .答案： (1)略 .(2)由 (1)可 求 得 ann2， 所 以 bn 3nn ， 再 用 錯(cuò) 位 相 減 法 可 求 得( 2n 1)3n 13Sn4.高考題 14(2019 年高考四川卷文科第 19 題

14、 )設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d ，點(diǎn) (an , bn ) 在函數(shù) f ( x) 2x 的圖象上 (nN *).(1) 證明：數(shù)列 bn 為等比數(shù)列；(2)若 a111 ，函數(shù) f ( x) 的圖象在點(diǎn) (a2 , b2 ) 處的切線在 x 軸上的截距為 2，求數(shù)ln 2列 anbn2 的前 n 項(xiàng)和 Sn .答案： (1)略 .(2) 可 求 得 ann, bn 2n ， 所 以 anbn2n 4n ， 再 用 錯(cuò) 位 相 減 法 可 求 得(3n 1) 4n 14Sn.96文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.高考題 15 (2019 年高考四川卷理科第1

15、9 題 )設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d ，點(diǎn) (an , bn ) 在函數(shù) f ( x)2x 的圖象上 (n N *).(1)若 a12 ，點(diǎn) (a8, 4b7 ) 在函數(shù) f (x) 的圖象上，求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn ；(2)若 a11，函數(shù) f (x) 的圖象在點(diǎn) ( a2, b2 ) 處的切線在 x 軸上的截距為 21，求數(shù)ln 2an的前 n 項(xiàng)和 Tn .列bn答案： (1) Sn =n23n .(2)可求得 an n,bn 2n ，所以 ann ，再用錯(cuò)位相減法可求得答案為Tn2n 2.bn2n2n6 待定系數(shù)法例 11數(shù)列 ( 2n1)3n 的前 n 項(xiàng)和 S.n解

16、 設(shè)等差數(shù)列 am 的公差為 d ，等比數(shù)列 bm 的公比為 q(q1)，得先用錯(cuò)位相減法求數(shù)列 ambm 的前 n 項(xiàng)和 Sn ：所以有下面的結(jié)論成立：若 am, bm 分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列(其公比 q1)，且 a1, b1 均是與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù)，則數(shù)列 ambm 的前 n 項(xiàng)和 Sn(anb)q nb，其中 a,b 是與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù) .由此結(jié)論就可以用待定系數(shù)法快速求解本題：可設(shè)(anbnba,bSn(其中是常數(shù) ).) 3可得 S13, S23 2730，所以3(ab)b 3a39(2ab)b， 解 得b， 所 以303Sn (n 1) 3n 13 .例 12求和 Sn1 2n

17、 +2 2n 1 +3 2n 2 + L +(n 1) 22 + n 2 .解得 Sn1 1012n1+2 1+3 1+L +n 1.2n2222用待定系數(shù)法可求出該等式的右邊為4n2，所以 Snn 22n4 .2n12七、求導(dǎo)法、積分法7文檔來(lái)源為 :從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯 .歡迎下載支持.例 13 (1) 求證： 1xx2x3xnxn1 1( x1) ；x1(2)求證： 1 2x3x2nxn 1( x1)n1 xn 1( x1) ；( x 1)2(3)求數(shù)列(2n1) 3n的前 n 項(xiàng)和 Sn (此即例 6).解(1)當(dāng)x 0 時(shí)，顯然成立 .當(dāng) x0 時(shí)，由等比數(shù)列的前n

18、項(xiàng)和公式知，欲證結(jié)論也成立 .(2)視 (1) 的結(jié)論為兩個(gè)函數(shù)相等，兩邊求導(dǎo)后即得欲證成立.(3) (2 n1) 3n =6( n 3n 1 )3n .由 (2)的結(jié)論中令 x3，得數(shù)列n3n 1的前 n 項(xiàng)和為 (2n 1)3n1 ；又?jǐn)?shù)列3n的4前 n 項(xiàng)和為 3n13.所以數(shù)列(2n1)3n的前 n 項(xiàng)和為2高考題16(2008 年高考江蘇卷第23 題 )請(qǐng)先閱讀：在等式 cos 2x2 cos2 x1( xR )的 兩 邊對(duì)x求 導(dǎo) ， 得 (cos 2x)( 2cos2 x1).由求導(dǎo)法則，得(sin 2x)24 cos x(sin x) ，化簡(jiǎn)后得等式sin 2x2 sin x cosx .(1)利用上題的想法 (或其他方法 )，試由等式 (1 x) nCn0C n1 xC n2 x2C nn x n ( xR ，整數(shù) n2)x)