微分幾何第四習題答案梅向明

1、§1曲面的概念1.求正螺面= u ,u , bv 的坐標曲線.解 u-曲線為=u ,u ,bv =0,0，bvu ,0，為曲線的直母線；v-曲線為=,bv 為圓柱螺線證明雙曲拋物面a（u+v）, b（u-v）,2uv的坐標曲線就是它的直母線。證 u-曲線為= a（u+）, b（u-）,2u= a, b,0+ ua,b,2表示過點 a, b,0以a,b,2為方向向量的直線; v-曲線為=a（+v）, b（-v）,2v=a, b,0+va,-b,2表示過點(a, b,0)以a,-b,2為方向向量的直線。3求球面=上任意點的切平面和法線方程。解 = ，=任意點的切平面方程為即 xcosco

2、s + ycossin + zsin - a = 0 ；法線方程為 。4求橢圓柱面在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面 。解 橢圓柱面的參數方程為x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程為：，即x bcos + y asin a b = 0此方程與t無關，對于的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而的每一數值對應一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面 。5證明曲面的切平面和三個坐標平面所構成的四面體的體積是常數。 證，。切平面方程為：。與三坐標軸的交點分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面體的

3、體積為：是常數。§ 曲面的第一基本形式1. 求雙曲拋物面a（u+v）, b（u-v）,2uv的第一基本形式. 解 , I = 2。求正螺面= u ,u , bv 的第一基本形式，并證明坐標曲線互相垂直。解，I =，坐標曲線互相垂直。在第一基本形式為I =的曲面上，求方程為u = v的曲線的弧長。解 由條件,沿曲線u = v有du=dv ，將其代入得=，ds = coshvdv , 在曲線u = v上，從到的弧長為。4設曲面的第一基本形式為I = ，求它上面兩條曲線u + v = 0 ,uv = 0的交角。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內蘊量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲

4、面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u + v = 0與u v = 0的交點為u = 0, v = 0,交點處的第一類基本量為，。曲線u + v = 0的方向為du = -dv , u v = 0的方向為u=v , 設兩曲線的夾角為，則有cos= 。5求曲面z = axy上坐標曲線x = x ,y =的交角.解 曲面的向量表示為=x,y,axy, 坐標曲線x = x的向量表示為= x,y,axy ，其切向量=0，1，ax；坐標曲線y =的向量表示為=x , ,ax，其切向量=1，0，a，設兩曲線x = x與y =的夾角為，則有cos = 6.

5、 求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解 對于u-曲線dv = 0,設其正交軌線的方向為u:v ,則有Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,將dv =0代入并消去du得u-曲線的正交軌線的微分方程為Eu + Fv = 0 .同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為Fu + Gv = 0 .7. 在曲面上一點,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R，確定兩個切方向（du ：dv）和（u ：v），證明這兩個方向垂直的充要條件是ER-2FQ + GP=0.證明因為du,dv不同時為零，假定dv0，則所給二次方程可寫成為P+ 2Q+ R=0 ,設其二根, 則=，

6、+=又根據二方向垂直的條件知E + F(+)+ G = 0 將代入則得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 證明曲面的坐標曲線的二等分角線的微分方程為E=G.證用分別用、d表示沿u曲線，v曲線及其二等分角線的微分符號，即沿u曲線u，v，沿v曲線u，v沿二等分角軌線方向為du:dv ,根據題設條件,又交角公式得，即。uvV=1u=-avu=avo展開并化簡得E(EG-)=G(EG-),而EG->0，消去EG-得坐標曲線的二等分角線的微分方程為E=G.9設曲面的第一基本形式為I = ，求曲面上三條曲線u = v, v =1相交所成的三角形的面積。解 三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。

7、曲線圍城的三角形的面積是S= =2=2= 。10求球面=的面積。解 = ，=E =,F= 0 , G = = .球面的面積為：S = . 11.證明螺面=ucosv,usinv,u+v和旋轉曲面=tcos,tsin,(t>1, 0<<2)之間可建立等距映射 =arctgu + v , t= .分析 根據等距對應的充分條件,要證以上兩曲面可建立等距映射 = arctgu + v , t=,可在一個曲面譬如在旋轉曲面上作一參數變換使兩曲面在對應點有相同的參數,然后證明在新的參數下,兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為I=2+2 dudv+(+1), 旋轉曲面的

8、第一基本形式為I= ,在旋轉曲面上作一參數變換 =arctgu + v , t = , 則其第一基本形式為:=2+2 dudv+(+1)= I .所以螺面和旋轉曲面之間可建立等距映射 =arctgu + v , t = .§3曲面的第二基本形式1. 計算懸鏈面=coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解 =sinhucosv,sinhusinv,1,=-coshusinv,coshucosv,0=coshucosv,coshusinv,0,=-sinhusinv,sinhucosv,0,=-coshucosv,-coshusinv,0,= coshu,

9、=0,=coshu.所以I = coshu+ coshu .=,L=, M=0, N=1 . 所以II = -+ 。2. 計算拋物面在原點的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示為, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , I=, II=.3. 證明對于正螺面=u,u,bv,-<u,v<處處有EN-2FM+GL=0。解 ，=0,0,0,=-uucosv,cosv,0,=-ucosv,-usinv,0,， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出拋物面在(0,0)點沿方向(

10、dx:dy)的法曲率.解 ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率. 5. 已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0<d<1),求與(S)交線的曲率與法曲率.解 設平面與(S) 的交線為(C), 則(C)的半徑為,即(C)的曲率為,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于,所以(C)的法曲率為=1 .6. 利用法曲率公式,證明在球面上對于任何曲紋坐標第一、第二類基本量成比例。證明 因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(u,v)，沿任意方向du:dv或-，所以，即

11、第一、第二類基本量成比例。7求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。證明對于正螺面=u,u,bv，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0， L=0, N=0 .所以u族曲線和v族曲線都是漸近線。而u族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。8. 求曲面的漸近線.解 曲面的向量表示為,.漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數. 另一族為2ydx=-xdy, 即.9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上

12、是漸近線.方法二：任取曲線，它的主法線曲面為，在曲線上，t = 0 , ,曲面的單位法向量，即，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數, y=常數構成共軛網.證 曲面的向量表示為 =x,y, f(x)+g(y),x=常數,y=常數是兩族坐標曲線。,.因為,所以坐標曲線構成共軛網，即曲線族 x=常數, y=常數構成共軛網。11.確定螺旋面=u,u,bv上的曲率線.解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L=0, M= , N=0,曲率線的微分方程為:,即,積分得兩族曲率線方程:. 12.求雙曲面z=

13、axy上的曲率線.解 N=0 . 由=0得,積分得兩族曲率線為.13.求曲面上的曲率線的方程.解 M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是: . 14.給出曲面上一曲率線L,設 L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因 L是曲率線,所以沿L有,又沿L 有=常數,求微商得,所以,即-·=0,則有=0,或·=0 .若=0, 則L是平面曲線；若·=0 ，L又是曲面的漸近線，則沿L ，=0 ，這時d=，為常向量，而當L是漸近線時，=，所以為常向量，L是一平面曲線.證法二：若 ，則因 ，所以 ，所以d，由伏雷內公式知d（）

14、而L是曲率線，所以沿L有d，所以有=0,從而曲線為平面曲線；若不垂直于， 則有=常數,求微商得因為L是曲率線，所以沿L有，所以，所以，即-·=0 ，若=0，則問題得證；否則·=0 ，則因，有，（-） ，矛盾。15如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。 證 曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結論知正確。 16求正螺面的主曲率。解 設正螺面的向量表示為=u,u,bv.解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L= 0, M = , N = 0,代入主曲率公式（EG-）-

15、（LG-2FM+EN）+ LN-= 0 得=。 所以主曲率為 。17確定拋物面z=a()在（0，0）點的主曲率.解 曲面方程即， 。在（0，0）點,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a , = 2 a .18. 證明在曲面上的給定點處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數.證 曲面上的給定點處兩主曲率分別為 、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為， ，即為常數。19.證明若曲面兩族漸近線交于定角,則主曲率之比為常數.證 由 得 ,即漸進方向為,=-.又-+=2 為常數,所以為為常數,即為常數.20. 求

16、證 正螺面的平均曲率為零.證 由第3題或第16題可知.21. 求雙曲面z=axy在點x=y=0的平均曲率和高斯曲率.證 在點x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=, K =-.22.證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點.證法一： 由H=0有=0或=-0 .若=0,則沿任意方向,=0 ,即對于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,對應的點為平點.若=-0,則K=<0 ,即LN-M<0,對應的點為雙曲點.證法二：取曲率網為坐標網，則F = M = 0 ,因為極小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G &g

17、t; 0 ,所以LN < 0 。若=0，則L = M = N = 0 ，曲面上的點是平點，若< 0,則曲面上的點是雙曲點。23. 證明如果曲面的平均曲率為零,則漸近線構成正交網.證法一： 如果曲面的平均曲率為零, 由上題曲面上的點都是雙曲點或平點.若為平點,則任意方向為漸近方向,任一曲線為漸近曲線,必存在正交的漸近曲線網.若為雙曲點, 則曲面上存在漸近曲線網.由19題, 漸近方向滿足=1,即=/4,=- /4, 兩漸近線的夾角為,即漸近曲線網構成正交網. 證法二：漸近線方程為所以，所以 ，所以= ，所以漸近網為正交網。 證法三： ，所以高斯曲率 ，所以0 ，所以曲面上的點是平點或雙

18、曲點。所以曲面上存在兩族漸近線。取曲面上的兩族漸近線為坐標網，則L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的點是平點，若 ，則 ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以漸近網為正交網。24. 在xoz 平面上去圓周y = 0,并令其繞軸旋轉的圓環(huán)面,參數方程為 =(b+acos)cos , (b+acos)sin , asin,求圓環(huán)面上的橢圓點、雙曲點、拋物點。 解 E =, F= 0 , G=, L = a, M = 0, N = cos(b+acos), LN -=a cos(b+acos) , 由于b > a > 0 , b+acos > 0,所以LN - 的符號與cos的符號一致,當0<和 <<2時, LN ->0 ,曲面上的點為橢圓點，即圓環(huán)面外側的點為橢圓點；當-<<，曲面上的點為雙曲點, 即圓環(huán)面內側的點為雙曲點；當=或 時，LN -=0，為拋物點，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點為拋物點。25若曲面的第一基本形式表示為的形式