淺談Sn的子群

1、淺談Sn的子群第五組數(shù)2班摘要：本文首先引進對稱群Sn的定義。并對其性質進行了討論。利用置換特點求出Sn的生成元系，最后對Sn的所有子群進行了討論。關鍵字： 對稱群Sn 子群如果X是由n個元素組成的有限集合，則通常把X的一個可逆變換叫做一個n階置換，稱Sx為n次對稱群，并把Sx記作Sn的子群為置換群。一、相關定理定理1 每一個有限群都同構于一個置換群。由于集合x的元素本身與我們所討論的問題無關，所以不妨記 X=1,2,3,n以下，總假定X就代表這個集合。設為X的任意置換。如果把1映射成k1，2變?yōu)閗2.則可以把這個置換記作= 1 2 3 n k1 k2 k3 kn其中第一行表示集合X的n個元素

2、，第二行表示元素表示映射后的所對應的象。由于集合X的元素的次序和映射無關，因此也可以把表示成= 2 1 3 n k1 k2 k3 kn 等，只要在 下倆行的元素上下對應就可以了。 觀察上式可以發(fā)現(xiàn)。如果固定第一行元素的次序，則第二行就是1，2，3.n的一個排列，且每一個置換都對應了一個這樣的排列。反之，每一個n階排列也可以按上式得到唯一一個n階置換。由于n個數(shù)共有n！個排列，所以n個元素的集合共有n！個n階置換。這樣就可以證明定理2。定理2 n次對稱群Sn的階為n！Cayley定理 設G是個n階群，則G同構與Sn的一個子群。二、相關知識&1 證明Sn中每個置換均可寫為某些對換的積。證

3、因Sn的每個置換均是某些循環(huán)置換的積，故只需證明循環(huán)置換(i1i2.ik)均是對換之積即可。又（1）：（i1）=（i1i2）(i1i2); (2): 對k1，（i1i2.ik）=(i1i2)(i1i3).（i1ik）所以結論成立。&2 證明Sn=<(12),(13),(1n)> 證：因i，j>1時，（ij）=(1i) (ij)（1i）所以由1可知。Sn=<(12),(13),(1n)>即Sn=<(12),(13),(1n)> =<(12)k1,(13)k2,(1n)kn-1,kiN0,i=1,2,n也就是說(12),(13),(1n)為S

4、n的生成元。&3 命題 在Sn中，k循環(huán)p生成的子群的 < p >= i, p, pk-1 .證 pk = i,而當i< k時，p i i ,故元素 i, p , ,p k-1 兩兩不同，而對其中任意一個元素之任意方冪 （p i ）j ,0ik-1.用k除ij可得 ij = qk + r ,0rk,即I , p , ,pk-1其中一個。所以命題成立。其中k循環(huán)p是指p為長度為r的輪換。P=(123r).&4 在對稱群S3中，令p1= 1 2 3 p2 = 1 2 3 p3= 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 2 1 p4= 1 2 3 p5 = 1 2

5、3 p6= 1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2那么S3 的乘法表是。p1p2p3p4p5p6p1p1p2p3p4p5p6p2p2p1p6p5p4p3p3p3p5p1p6p2p4p4p4p6p5p1p3p2p5p5p3p4p2p6p1p6p6p4p2p3p1p5所以S3的子群為：首先是p1和S3自己，其次是p1 , p2 . p1 ,p3 .p1 .p4 .因為p22=p1 , p32=p1 , p42=p1所以< p2 >= p1,p2 ，< p3 >= p1,p3 ，< p4 >= p1,p4 再次是 p1,p5,p6 ，因為p5*p6 = p

6、6*p5= p1,p52=p6 ,p62=p5 . 即 p1,p5,p6 = p1,p6,p62 = p1,p5,p52 .三、討論對稱群Sn的子群在對稱群Sn 中，有n!個元素。 且 p1= 1 2 3 n 1 2 3 n Sn的子群可表示為：首先是 p1 和Sn自己，設p為Sn的r階元，則 ord ( p ) = r .所以< p >= p1 , p , pr-1 為Sn的子群。又Sn= (12) , (13) , ,(1n) = (12)k1 ，(13)k2 , (1n)k n-1|kiN0,i=1,2,n-1所以綜上所述，對稱群Sn的所有子群為 p 1,Sn, < (

7、12),k1 (13)k2 , (1n)K n-1>（ kiN0,i=1,2,n-1）。 參考文獻：【1】 韓世安 林 磊 . 近世代數(shù).北京：科學出版社，2009【2】 徐常青 徐光輝 . 近世代數(shù).合肥：合肥工業(yè)大學出版社，2007【3】 劉木蘭 馮克勤 . 群 論.北京：國防工業(yè)出版社，1992【4】 牛鳳文 . 抽象代數(shù).武漢：武漢大學出版社，2008【5】 劉 恒 錢吉林 . 代數(shù)學詞典.武漢：華中師范大學出版社，1996English Abstract：This paper first introduces the definition of symmetry groups Sn， And discusses its properties . U