復(fù)變函數(shù)考試試題與答案各種總結(jié)

1、復(fù)變函數(shù)考試試題（一）一、 判斷題（20分）：1.若f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函數(shù)必在整個復(fù)平面為常數(shù). ( ) 3.若收斂，則與都收斂. ( ) 4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（常數(shù)）. ( ) 5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù). ( ) 6.若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點. ( ) 7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點. ( ) 8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則. ( ) 9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.( ) 10.若函數(shù)f(z)

2、在區(qū)域D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）二.填空題（20分）1、 _.（為自然數(shù)）2. _.3.函數(shù)的周期為_.4.設(shè)，則的孤立奇點有_.5.冪級數(shù)的收斂半徑為_.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是_.7.若，則_.8._，其中n為自然數(shù).9. 的孤立奇點為_ .10.若是的極點，則.三.計算題（40分）：1. 設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.2. 3. 設(shè)，其中，試求4. 求復(fù)數(shù)的實部與虛部.四. 證明題.(20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支, 并求出支割線上岸取正

3、值的那支在的值.復(fù)變函數(shù)考試試題（一）參考答案一 判斷題1×2 6×××10×二填空題1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函數(shù)； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三計算題.1. 解 因為 所以 .2. 解 因為 ,.所以.3. 解 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內(nèi), . 所以.4. 解 令, 則 . 故 , .四. 證明題.1. 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) 若, 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (

4、2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明的支點為. 于是割去線段的平面內(nèi)變點就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周, 故能分出兩個單值解析分支. 由于當(dāng)從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到 時, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割線上岸取正值, 于是可認為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故.復(fù)變函數(shù)考試試題（二）一. 判斷題.（20分）1. 若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù).( )2. cos z與sin z在復(fù)平面內(nèi)有界. ( )3. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù). ( )4. 有界整函數(shù)必為常數(shù).

5、 ( ) 5. 如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則一定不存在. ( )6. 若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.( )8. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( )9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析. ( )10. 存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使且. ( )二. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則2.設(shè)，則_.3. _.（為自然數(shù)） 4. 冪級數(shù)的收斂半徑為_ .5. 若z0是f(z)的m階零點且m>0，則z0是的_零點.6. 函數(shù)ez的周期為_. 7. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.8.

6、 設(shè)，則的孤立奇點有_.9. 函數(shù)的不解析點之集為_.10. .三. 計算題. (40分)1. 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2. 在復(fù)平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.3. 計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4. 求 .四. 證明題. (20分)1. 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.復(fù)變函數(shù)考試試題（二）參考答案一. 判斷題.1 × ×6×× ×10×.二

7、. 填空題1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 計算題1. 解 .2. 解 令. 則. 又因為在正實軸去正實值，所以. 所以.3. 單位圓的右半圓周為, . 所以.4. 解=0.四. 證明題.1. 證明 (必要性) 令,則. (為實常數(shù)). 令. 則. 即滿足, 且連續(xù), 故在內(nèi)解析.(充分性) 令, 則 , 因為與在內(nèi)解析, 所以, 且.比較等式兩邊得 . 從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2. 即要證“任一 次方程 有且只有 個根”. 證明 令, 取, 當(dāng)在上時, 有 . .由儒歇定理知在圓 內(nèi), 方程 與 有相同

8、個數(shù)的根. 而 在 內(nèi)有一個 重根 . 因此次方程在 內(nèi)有 個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（三）一. 判斷題. (20分).1. cos z與sin z的周期均為. ( )2. 若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件, 則f(z)在z0解析. ( )3. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 4. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( )5. 若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù). ( )6. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo). ( )7. 如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則. （ ）8. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，

9、則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù). ( )9. 若z0是的m階零點, 則z0是1/的m階極點. ( )10. 若是的可去奇點，則. ( )二. 填空題. (20分)1. 設(shè)，則f(z)的定義域為_.2. 函數(shù)ez的周期為_.3. 若，則_.4. _.5. _.（為自然數(shù)）6. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.7. 設(shè)，則f(z)的孤立奇點有_.8. 設(shè)，則.9. 若是的極點，則.10. .三. 計算題. (40分)1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2. 試求冪級數(shù)的收斂半徑.3. 算下列積分：，其中是. 4. 求在|z|<1內(nèi)根的個數(shù).四. 證明題. (20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)

10、解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當(dāng)時，證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)。復(fù)變函數(shù)考試試題（三）參考答案一. 判斷題1× × 6 10.二.填空題.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .三. 計算題.1. 解 .2. 解 . 所以收斂半徑為.3. 解 令 , 則 .故原式.4. 解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 內(nèi), 方程只有一個根.四. 證明題.1. 證明 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏

11、導(dǎo)數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) , 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題（四）一、 判斷題（24分）1. 若函數(shù)在解析，則在的某個領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo).（ ）2. 若函數(shù)在處解析，則在滿足Cauchy-Riemann條件.（ ）3. 如果是的可去奇點，則一定存在且等于零.（ ）4. 若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（ ）5. 若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有

12、任意階導(dǎo)數(shù).（ ）6. 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）7. 若是的階零點，則是的階極點.（ ）二、 填空題（20分）1. 若，則_.2. 設(shè)，則的定義域為_.3. 函數(shù)的周期為_.4. _.5. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.6. 若是的階零點且，則是的_零點.7. 若函數(shù)在整個復(fù)平面處處解析，則稱它是_.8. 函數(shù)的不解析點之集為_.9. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10. _.三、 計算題（30分）1、 求.2、 設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分：，.四、 證明題（20分）1、方程在

13、單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、 若是的階零點，則是的階極點.五、 計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤復(fù)變函數(shù)考試試題（四）參考答案一、判斷題：1. 2. 3. × 4. 5. 6. 7. 8. ×二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 三、計算題：1. 解：2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此4. 解： 由于，從而. 因此在內(nèi)有 5解：設(shè), 則. 6.解：設(shè)，則，故奇點為.四、證明題：1. 證明：設(shè)則在上， 即有.根據(jù)儒

14、歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2.證明：設(shè)，則 已知在區(qū)域內(nèi)解析，從而有將此代入上上述兩式得因此有 于是有. 即有 故在區(qū)域恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、計算題解：根據(jù)線性變換的保對稱點性知關(guān)于實軸的對稱點應(yīng)該變到關(guān)于圓周的對稱點，故可設(shè)復(fù)變函數(shù)考試試題（五）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（ ）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（ ）3、如果是的本性奇點，則一定不存在.（ ）4、

15、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)解析，并且，則是區(qū)域的單葉函數(shù).（ ）5、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ）6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的每一點均可導(dǎo)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ）7、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且，則在內(nèi)恒為常數(shù).（ ）1. 存在一個在零點解析的函數(shù)使且.（ ）2. 如果函數(shù)在上解析，且，則.（ ）3. 是一個有界函數(shù).（ ）二、填空題（20分）1、若，則_.2、設(shè)，則的定義域為_.3、函數(shù)的周期為_.4、若，則_.5、冪級數(shù)的收斂半徑為_.6、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.7、若是單位圓周，是自然數(shù)，則_.8、函數(shù)的不解析點之集為_.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10、若，則的孤立奇點有

16、_.三、計算題（30分）1、求2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內(nèi)連續(xù).1、 若是的階零點，則是的階極點.一、 計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.復(fù)變函數(shù)考試試題（五）參考答案一、判斷題：1. 2. × 3. 4. × 5. 6. 7. 8. × 9. 10.×二、填空題：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 5 10. 三、計算題：1. 解：由于在解析，

17、所以而因此.2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此 4.解： 由于，從而因此在內(nèi)有 5解：設(shè), 則. 6解：設(shè), 則 在內(nèi)只有一個一級極點因此 .四、證明：1. 證明：設(shè)則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7 2. 證明：因為，在內(nèi)連續(xù), 所以, 當(dāng)時有 從而有 即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù)3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、解：1.設(shè)，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域2.設(shè), 則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為

18、復(fù)變函數(shù)考試試題（六）一、判斷題（40分）：1、若函數(shù)在解析，則在的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo).（ ）2、如果是的本性奇點，則一定不存在.（ ）3、若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則與都在內(nèi)連續(xù).（ ）4、與在復(fù)平面內(nèi)有界.（ ）5、若是的階零點，則是的階極點.（ ）6、若在處滿足柯西-黎曼條件，則在解析.（ ）7、若存在且有限，則是函數(shù)的可去奇點.（ ）8、若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）9、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ）10、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）二、填空題（20分）：1、函數(shù)的周期為_.2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_.3、

19、設(shè)，則的定義域為_.4、的收斂半徑為_.5、=_.三、計算題（40分）：1、2、求3、4、設(shè) 求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.5、求，在內(nèi)根的個數(shù)復(fù)變函數(shù)考試試題（六）參考答案一、判斷題（40分）：1. 2. 3. 4. × 5. 6. × 7. 8. 9. 10. 二、填空題（20分）：1. 2. 3. 4. 5. 三、計算題（40分）1. 解：在上解析，由積分公式，有 2. 解：設(shè)，有3. 解： 4. 解：， 故，5. 解：令， 則，在內(nèi)均解析，且當(dāng)時由定理知根的個數(shù)與根的個數(shù)相同.故在內(nèi)僅有一個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（七）一、 判斷題。（正確者在括號內(nèi)打，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2分）1設(shè)復(fù)數(shù)及，若或，則稱與是相等的復(fù)數(shù)。（ ）2函數(shù)在復(fù)平面上處處可微。 （ ）3且。 （ ） 4設(shè)函數(shù)是有界區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域上連續(xù)，則存在，使得對任意的，有。 （ ）5若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。（ ）二、填空題。（每題2分）1 _。2設(shè)，且，當(dāng)時，_。3若已知，則其關(guān)于變量的表達式為_。4以_為支