利用導(dǎo)數(shù)求曲線地切線和公切線

1、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和公切線一 求切線方程【例1】.已知曲線f(x)=x 3-2x 2+1.(1) 求在點(diǎn) p (1,0 )處的切線 5 的方程：求過點(diǎn)Q (2,1 )與已知曲線f(x)相切的直線12的方程.提醒：注意是在某個(gè)點(diǎn)處還是過某個(gè)點(diǎn)！二有關(guān)切線的條數(shù)【例2】.(2014 ?北京)已知函數(shù)f (x) =2x 3 - 3x .(I)求f (x)在區(qū)間-2, 1上的最大值；(U)若過點(diǎn)P (1 , t)存在3條直線與曲線y=f (x)相切，求t的取值范圍;(川)問過占 A (- 1,2 ), B( 2 ,10 ), C(0 , 2 )分別存在幾條直線與曲 線y=f (x)相切？(只需寫出結(jié)

2、論)或x=令 f' () =0 得，x=【解答】解：(1)由 f (x) =2x 3 - 3x 得 f ' x) =6x 2 -，f (-2) = - 10 , f (-(1) = - 1 ,f(x)在區(qū)間-2 , 1上的最大值為 :.(U)設(shè)過點(diǎn)P (1, t)的直線與曲線y=f (x)相切于點(diǎn)則 yo=23XI-3 O-3,o,且切線斜率為k=62 O切線方程為y - yo=6 - yo= (6-3)( 1 - xo),即 4+t+3=0，設(shè) g (則“過點(diǎn)P (1 , t)存在3條直線與曲線y=f (x)相切”3 個(gè)不同的零點(diǎn)”.T g ' X) =12x 2 -

3、 12x=12x(x - 1)(xo, yo),x) =4x 3 - 6x 2 +t+3 ,等價(jià)于“ g (x) 有'g (0) =t+3 是g (x)的極大值，g (1 ) =t+1是g (x)的極小值.g (0)>0 且 g (1 )v0,即3vtv 1 ,當(dāng)過點(diǎn)過點(diǎn)P (1，t)存在3條直線與曲線y=f (x)相切時(shí)，t的取值范圍是(3 , 1).(川)過點(diǎn)A ( 1 , 2)存在3條直線與曲線y=f (x)相切;過點(diǎn)B (2 , 10 )存在2條直線與曲線y=f (x)相切;過點(diǎn)C (0 , 2)存在1條直線與曲線y=f (x)相切.【例3】已知函數(shù)f (x) =lnax

4、 (a工0 , a R),呂G)二竺.z(I)當(dāng)a=3時(shí)，解關(guān)于x的不等式：1+e f (x)+g (x)>0；(U)若f (x) >g (x) (x >1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(川)當(dāng)a=1時(shí)，記h (x) =f (x) g (x)，過點(diǎn)(1, 1 )是否存在函 數(shù)y=h (x)圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由.【解答】解：(I )當(dāng)a=3時(shí)，原不等式可化為：1+e ln3x +1+3K-I->03k>0(n)viiy . 令上*等價(jià)于，解得X ”丄，故解集為對(duì)x >1恒成立，所以可得h (x)在區(qū)間1 , + %)上單調(diào)遞減, 故

5、h (x )在x=1處取到最大值，故lna >h (1) =0，可得a=1 ,故a的取值范圍為：1 , + %)x0-l(川)假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)切點(diǎn) T (xo， 丁 ),Ko2盤訂 一1_耳口_(X n -1 J Z切線方程：y+仁 6-1)，將點(diǎn)T坐標(biāo)代入得：lnxg+1 ?、吋力5即1 衍1=0,°切川設(shè)g(x)二血十色呂-1,則# &)沁晉切x XXx >0 , :g (x)在區(qū)間(0 , 1 ),( 2 , + X)上是增函數(shù)，在區(qū)間(1 , 2) 上是減函數(shù)，故 g (x)極大=g (1) =1 > 0，故 g (x)極，小=g (2) =l

6、n2+ 當(dāng) > 0 ,4又 g (丄)=li丄+12 - 6 -仁-ln4 - 3 V 0 ,由g (x)在其定義域上的單調(diào)性知：g (x) =0僅在(丁，1)內(nèi)有且僅有一根, 方程有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條.【作業(yè)1】.(2017 ?莆田一模)已知函數(shù)f (x) =2x 3 - 3x+1 , g (x) =kx+1-Inx .(1)設(shè)函數(shù)h(i) =g(K)?x<l當(dāng)kV0時(shí)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);兩條互相垂直的直線與函數(shù)f (x) =ax+bcosx+csinx的圖象都相切，則a+遼心/比的取值范圍是.粹= a+fttosxcsin x = a+c2 cosf

7、jr + >) = a+cos(x+)令耳+爐=C 則叫十學(xué)=即巧十卩二g. /Xx) = e? + cos由題總，存在xrXj e /?使得廣(孔)廠(兀)三一1，SPtfl+cosffJta + cosJs'l,即關(guān)fp的二次方程，4似)詢+燉$£口 +迢cvs+l = 0(*)<j實(shí)根所W A = (cosq + cegF-4g胡8$蠱一420n(cos-cos0$ 24所閔cos優(yōu)一co迪|M2, 乂|co昭co迢卜2, fff叫co昭-co昭| = 2所以cos妍=1心冷角=一1此時(shí)方稅廣)變?yōu)?？ =o=>a=o則a 2b . 3c 2b3c ,

8、：b2+c2=1 , 設(shè)b sin ,a cos ,/ . 2b 3c .5 sin( ),故a+妙心c -眄苗,【例5.已知函數(shù)f (x) =lnx - a (x - 1 ) , g (x) =e x，其中e為自然對(duì)數(shù) 的底數(shù).(I)設(shè)工(0,十 8),求函數(shù) t (x )在m , m+1(m > 0) 上i的最小值；(n)過原點(diǎn)分別作曲線y=f (x)與y=g (x)的切線l1, l2，已知兩切線的斜 率互為倒數(shù)，求證：a=0或1.cc【解答(I)解：t(£二匚 疋(6 +8), F (工)二”巳 異Kf令 t' (x) > 0 得 x > 1，令 t&

9、#39; (x )v 0 得 x V 1 ,所以，函數(shù)t (x )在(0 , 1)上是減函數(shù)，在(1 , + X)上是增函數(shù)，T1L當(dāng)m >1 時(shí)，t (x)在m , m+1 (m >0)上是增函數(shù)，.£)11屮二土(10)二"ID當(dāng)0 V m V 1時(shí)，函數(shù)t (x )在m , 1上是減函數(shù)，在1 , m+1上是增函數(shù)，-t (X) min =t ( 1 ) =e .l11e，-切線11的方程為1y=ke,設(shè)li與曲線y=f (x)的切點(diǎn)為(xi, yi),1 1 丫1W (土 1 1(U)設(shè)12的方程為y=k 2X,切點(diǎn)為(X2, y2),則二, °

10、;X2=1 , y2=e /-k2=e .由題意知，切線li的斜率11旳二l-Wa=e又 yi=lnx i - a (xi - 1)，消去 y i,a后整理得“宀士吉,1 1a=一芷I e令，則：Y PV _ Z5 (x)在(0 , i )上單調(diào)遞減，在(i , + %)上單調(diào)遞增，若 xi ( 0 , i ),T珀(右)二-2+亡-4)，皿二-E 1)而1 1，在(-,De單調(diào)遞)減-1 ”Jd-X1 eee若 xi ( i , + ),vm (x)在(i , + x)上單調(diào)遞增，且 m (e) =0 ,'xi=e，-1 a=-=oe綜上，a=0或日2 1« 7ee【作業(yè)2

11、】.(20i7 ?黃山二模)已知函數(shù)f (x) = (ax2+x - i) ex+f (0)(i )討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(2) 若 g (x) =e -xf (x) +lnx , h (x) =e x，過 O (0 , 0)分別作曲線 y=g(x)與y=h (x)的切線li, 12，且li與12關(guān)于x軸對(duì)稱，求證:e+2四. 求公切線的方程2 2【例6】.(2018?安陽一模)已知函數(shù)f+ , g (x) =3eInx，其C X中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(I)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性.【解答】解：(I)由門' IeJ2 e巾33一已(x)- e2 "2Iex,得令 f&

12、#39; () =0，得且 x 卻 時(shí)，f ' ( ) V 0 ；當(dāng) K>-'f (x )在(單調(diào)遞增;時(shí)，f' x)>0.，0)上單調(diào)遞減，在(0,辛上單調(diào)遞減，在十8)上x/ZV4(U)假設(shè)曲線y=f (x)y=g (x)存在公共點(diǎn)且在公共點(diǎn)處有公切線，且(U)試判斷曲線y=f (x)與y=g (x)是否存在公共點(diǎn)并且在公共點(diǎn)處有公 切線.若存在，求出公切線I的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.切點(diǎn)橫坐標(biāo)為xo >0，Selnxn ，其中(2 )式即記 h (x) =4x 3 3e2x e3，x ( 0，+ x)，貝y h' (x) =3 (2x

13、+e )(2x 得h (x )在(0,專)上單調(diào)遞減，在 又 h (0) = - e3, h(g 二-zJ，h (e) =0 , 故方程h (xo) =0在(0, + x)上有唯一實(shí)數(shù)根xo=e，經(jīng)驗(yàn)證也滿足(1 )式.于是，f (xo) =g (xo) =3e , f' Xo) =g' (xo) =3 ,曲線y=g (x )與y=g (x )的公切線I的方程為y - 3e=3 (x - e), 即 y=3x .【作業(yè)3】.已知函數(shù)f (x) =lnx , g (x) =2 - (x >o)(1 )試判斷當(dāng)f (x)與g (x)的大小關(guān)系；(2) 試判斷曲線y=f (x)

14、和y=g (x)是否存在公切線，若存在，求出公切 線方程，若不存在，說明理由；(3) 試比較(1+1 X2)(1+2 X3)( 1+2012 X2013 )與 e4°21 的大小， 并寫出判斷過程.五. 與公切線有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題【例 7 】.已知函數(shù) f (x) =blnx , g (x) =ax 2 - x (a R).(I)若曲線f (x)與g (x)在公共點(diǎn)A (1, o)處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a、 b的值；(U)當(dāng)b=1時(shí)，若曲線f (x)與g (x)在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求證： 點(diǎn)P唯一；(川)若a >o , b=1 ,且曲線f (x)與g (x)總存在公切

15、線，求正實(shí)數(shù) a的 最小值.【解答】解：(I) f' x) = , g' (x) =2ax - 1 .曲線f (x)與g (x)在公共點(diǎn)A (1 , 0)處有相同的切線，二呂二m，解得a=b=1.|(b=2a-l(U)設(shè) P (xo, yo)，則由題設(shè)有 Inx o=ax o2 -xo，又在點(diǎn)P有共同的切線，二f x。) =g x。)，二2且,呦 cH口i i'a=；，代入得 Inx o=xo，設(shè) h (x) =lnx -+丄x，貝U h， x)二丄+(x >o)，貝U h， x)> o，22x 2h (x)在(0 ， + %)上單調(diào)遞增，所以h (x) =

16、o最多只有1個(gè)實(shí)根,從而，結(jié)合(1)可知，滿足題設(shè)的點(diǎn)P只能是P (1，o).(川)當(dāng) a>o，b=1 時(shí)，f (x) =lnx ，f' x)=，f (x)在點(diǎn)(t，Int )處的切線方程為 y - Int=十(x - t)，即 y=*x+lnx - 1 . 與 y=ax 2 - x，聯(lián)立得 ax2 -(1 + ) x - Int+1=0 .曲線f (x )與g (x )總存在公切線, 關(guān)于t (t >o)的方程 = (1片)?+4a (Int - 1) =o，即(1沖)'=4a (1 - Int ) (*)總有解.若t > e,則1 - Int v o，而(

17、1片)> 0,顯然(*)不成立，所以0 v tv e，從而，方程(*)可化為4a=t2 (1 -Int.)令 H (t) = _(0 v t v e)，則 H 't2 (1 -Int)當(dāng) 0 v t v 1 時(shí)，h' (t )v 0 ；當(dāng) 1 v t v e 時(shí)，h' (t )> 0 , 即h (t )在(0 , 1)上單調(diào)遞減，在(1, e) 上單調(diào)遞增. (t )在(0 , e)上的最小值為h (1) =4 ,要使方程(*)有解，只須4a >4，即a >1 .正實(shí)數(shù)a的最小值為1 .【例8】.(2017?韶關(guān)模擬)已知函數(shù)f (x) =aex

18、 (a工0), g (x) =x 2(I)若曲線ci : y=f (x)與曲線C2: y=g (x)存在公切線，求a最大值.(U)當(dāng) a=1 時(shí)，F(xiàn) (x) =f (x) - bg (x) - cx - 1，且 F (2) =0 ,若 F (x) 在(0 , 2 )內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【解答】解：(I)設(shè)公切線I與d切于點(diǎn)(X1, a )與C2切于點(diǎn)(X2，二)， f' () =ae x，g ' x) =2x，由知X2工0，代入:=2X2，即 X2=2x-2，由知 a=八，設(shè) g (x) =，g ' X)=二丫， e 1ee令 g ' x) =0，得

19、X=2 ;當(dāng) x v 2 時(shí) g ' x )> 0，g (X)遞增.當(dāng) x > 2 時(shí)，g ' X )v 0，g (x)遞減.4d'X=2 時(shí)，g (X) max =g (2)=，.amax=* .ee(H) F (x) =f (x) - bg (x) - cx - 1=e x - bx 2 - cx - 1，VF (2) =0=F(0)，又 F (x)在(0，2)內(nèi)有零點(diǎn),F (x )在(0，2)至少有兩個(gè)極值點(diǎn)，即F' X) =ex - 2bx - c在(0, 2)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).F X) =ex - 2b , F (2) =e2- 4b -

20、2c - 1=0 , c= "；1-' 當(dāng) b w丄時(shí)，在(0, 2) 上, ex>e0=1 >2b , F X)> 0 ,F &)在(0, 2)上單調(diào)增，F(xiàn)' X)沒有兩個(gè)零點(diǎn). 當(dāng) b時(shí)，在(0，2)上，護(hù)< e2<2bF x )< 0，F(xiàn) X)在(0，2)上單調(diào)減，F(xiàn)' X)沒有兩個(gè)零點(diǎn)；N丨2 當(dāng)V b V 一時(shí)，令 F x) =0 ,得 X=ln2b ，22因當(dāng) x >ln2b 時(shí)，F(xiàn) X)>0，x V ln2b 時(shí)，F(xiàn) X)V 0，F(xiàn)' X)在(0，In2bff)遞減，(ln2b，2)

21、遞增,所以 x=ln2b 時(shí)，：F'X)最小=F ' I(h2b ) =4b - 2bln2b -£+12 !設(shè) G ( b) =F ' 102b )2 e+1¥=4b - 2bln2bG' b)得2b=e，即b=學(xué)，當(dāng)b當(dāng)b=，G (b)最大=G () =e+122令 G ' b ) =2 - 2ln2b=0 ，b )V 0，G (b) =f ' l(h2b )V 0 恒成立, 因F' X) =eX - 2bX - c在(0, 2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，r 20)二 1-口，一嚴(yán)T >01諂G二劭2b52b<0,

22、V宀b-亠笄解得：丄V b V，綜上所述，b的取值范圍(一丄，).【作業(yè) 4】.已知函數(shù) f ( x ) =a ( X ) - blnx ( a , b R), g ( x ) =x 2.(1 )若a=1 ,曲線y=f ( x)在點(diǎn)(1 , f (1)處的切線與y軸垂直，求b 的值；(2)若b=2，試探究函數(shù)f ( x )與g ( x)在其公共點(diǎn)處是否有公切線，若存在，研究a的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.六. 公切線的條數(shù)問題【例9】.已知函數(shù)f (x) =lnx , g (x) =ex.(1 )確定方程f (x)=蘭些實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；i-l(x) , y=g (x)公切線的條數(shù)，并證明你的結(jié)論

23、.，即lnx -仁分別作出y=lnx - 1和y=L的函數(shù)圖象，由圖象可知：y=lnx - 1和y=r的【解答】解：(1 )由題意得lnx= 十(2)我們把與兩條曲線都相切的直線叫作這兩條曲線的公切線，試確定曲線y=fX-lX-1函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程f (x)= 卑有兩個(gè)實(shí)根；s-1(2)解：曲線y=f (x) ，y=g (x )公切線的條數(shù)是2，證明如下：設(shè)公切線與f (x) =lnx ，g (x) =ex的切點(diǎn)分別為(m，lnm )，(n，en)，化簡(jiǎn)得有兩個(gè)實(shí)根,，()m_lm劑，ITIF IE當(dāng) m=1 時(shí)，(m 1)當(dāng)m工1時(shí)，(m - 1)1 e 二巴 LI)由(1)可知，方程

24、lnm= 二曲線y=f (x) ，y=g (x )公切線的條數(shù)是2 條.【作業(yè) 5】.已知函數(shù) f (x) =x 2+2 (1 - a) x - 4a , g (x)=丄-(a+1 ) 2,則f (x )和g (x)圖象的公切線條數(shù)的可能值是 .【作業(yè) 1 解答】解：(1) f' x) = (2x+1 )(x - 1) 2=0 , x=-或 1 ,x=-丄是h (x )的零點(diǎn)；巾x) =k -7，k v0 , g ' x)<0 , g (x )在1 , + %)上單調(diào)遞減，g (x)的最大值為g (1)=k+1 .k v- 1, g (1 )v 0 , g (x )在1

25、, + %)上無零點(diǎn)；k= - 1 , g (1) =0 , g (x )在1 , + %)上有 1 個(gè)零點(diǎn)；-1 v k v 0 , g (1 )> 0, g (e1 - k) =ke 1 - k+k v 0 , g (x)在1 , + %)上有1個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，k v- 1時(shí)，h (x)有1個(gè)零點(diǎn)；-1 <k v0時(shí)，h (x)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)切點(diǎn)(t, f (t), f ' x) =6x 2 - 6x，切線斜率 f ' () =6t 2 - 6t ,切線方程為 y - f (t) = (6t2- 6t ) (x - t),切線過 P (a,- 4 ),.

26、-4 - f (t) = (6t2 - 6t)( a - t),4t3- 3t2- 6t2a+6ta - 5=0 由題意，方程有3個(gè)不同的解.令 H (t) =4t 3 - 3t2- 6t2a+6ta - 5，則 H (t) =12t 2 - 6t - 12at+6a=0. t=-或a.a=丄時(shí)，H ' t0>0 , H (t )在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，H (t)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)， 方程不可能有兩個(gè)解，不滿足題意；a寺時(shí)，在(-巾，斗)，(a, + %) 上, H ' t O>0，函數(shù)單調(diào)遞增，在(丄,極小值為a)上，H ' 0< 0，函數(shù)單調(diào)遞減，H (

27、t)的極大值為H(a);，+ %)上，H ' t0>0，函數(shù)單調(diào)遞增，在(*"丄時(shí)，在("a)，丄)上，H ' t0< 0，函數(shù)單調(diào)遞減，H (t)的極大值為H (a)，極小值為 (丄)；要使方程有三個(gè)不同解，則HH (a)< 0，即(2a - 7)(a+1 )(2a25a+5 )> 0， a >或 a < 1 .【作業(yè)2解答】解：由已知得f (x) =ax 2+ (2a+1 ) xe x，f (0) =0，所以 f (x) = (ax2+x 1) ex.(1) f (x) =ax 2+ (2a+1 ) xe x=x (a

28、x+2a+1 ) ex. 若 a > 0，當(dāng)或 x > 0 時(shí)，f (x) > 0 ；當(dāng)時(shí)，f (x) <aa0，所以f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間為("，-2丄)，()，+*)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-2-j. 若 a=0，f (x) = (x 1) ex，f (x) =xe x，當(dāng) x >0 時(shí)，f (x) >0 ；當(dāng) x< 0 時(shí)，f (x )< 0，所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+ %)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-X， 0). 若 三MrCO，當(dāng)工或 x <0 時(shí)，f (x) <0丄時(shí)，f (x)zaa> 0，所以f (

29、 x )的單調(diào)遞增區(qū)間為4 -A丄)；單調(diào)遞減區(qū)間為a(6, 0),(-戈丄，心).a 若二-一工 /，-. I,故f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-g,+ X).Hu 若八丄，當(dāng)- 一或 X > 0 時(shí)，f ( X )V 0 ；當(dāng)-時(shí)，f ( X )> 0 ,所以f ( X )的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2- - 0);單調(diào)遞減區(qū)間為 a(七比-2),(0.+8).a當(dāng)a>0時(shí)，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-I. I. ;單調(diào)遞減區(qū)間a為(-2-丄，0).fl當(dāng)a=0時(shí)，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0 , + g);單調(diào)遞減區(qū)間為(-g, 0)., 當(dāng) 卓W0時(shí)，f ( x )的單調(diào)遞增

30、區(qū)間為(0, -2-1-)；單調(diào)遞減區(qū)間為 (七比0人(-戈丄，心).a當(dāng)二-時(shí)，f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-g,+ g);當(dāng)*_時(shí)，f (x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-2-丄 0);單調(diào)遞減區(qū)間為2'),2aa(0, + g);(2) 證明：g (x) =e -xf (x) +1 nx= e -x (ax2+x 1 ) ex+Inx=ax 2+x 1+lnx ,設(shè)l2的方程為y=k 2X ,切點(diǎn)為(X2 , y2)，則,所以X2 = 1 ,y2=e , k2=e .由題意知ki= k2= e ,所以li的方程為y= - ex，設(shè)li與y=g (x)的切點(diǎn)為(xi, yi),又二曰+-1 +

31、 1 口IT二-UX i , 即 區(qū)41門玄專二0, 令亠一,u (x)是單調(diào)遞增函數(shù),在定義域上，u' (x )> 0，所以(0 , + X)上,'一一',所以c+1令t2+ (e+1) t4(守鋁，-(甘1)刁 <e+22e?【作業(yè)3解答】解：(1 )證明：設(shè)F (x)=f (X)- g (x)，則 F' x)3_2由 F' (x) =0 ,得 x=3，當(dāng) 0 v x v 3 時(shí),F' (x )v 0,當(dāng)x >3時(shí)F' (x)>0，可得F (x)在區(qū)間(0 , 3 )單調(diào)遞減，在區(qū)間(3, +%)單調(diào)遞增, 所

32、以F (x)取得最小值為F (3) =ln3 1 >0 ,F (x) > 0，即 f (x) > g (x);(2)假設(shè)曲線f (x)與g (x)有公切線，切點(diǎn)分別為P (X。, Inx0)和Q (xi, 1,3f x)=-I,g ' () f因?yàn)樗苑謩e以P (X0,3Inx 0)和Q (xi, 2 )為切線的切線方程為y=+lnx 01, y=只1If 13xd'百2 工1In sL1-八LI 1 -,K1令即 2lnx 1 +”1令 h (x) =2lnx 1+ 'K1(3+ln3 ) =0 .(3+1 n3 )所以由h ' X)=丄-丄

33、=0，得xi=3 .心顯然，當(dāng) 0 v xiv 3 時(shí)，h' (x )v 0,當(dāng) xi> 3 時(shí)，h' (x )> 0 ,所以 h (x ) min =ln3 1 > 0 ,所以方程2lnx 1 +旦(3+ln3 ) =0無解,故二者沒有公切線.所以曲線y=f (x )和y=g (x)不存在公切線;(3) ( 1+1 X2 ) (1+2 X3) ? 1(+2012 X2013 )> e4021理由：由(1)可得lnx >2 (x>0),可令 x=1+ n (n+1 )，可得 ln (1+n (n+1 ) )> 2 1+n (n+1)n(

34、rd-15A1(n|n+l)，=2 3則 ln (1+1X2) +ln (1+2 X3) + +ln (1+2012 X2013 )> 2 X20121111 .122+320123 (1 )=4024 3+32013>4021 .即有(1+1X2)(1+2 X3)( 1+2012 X2013 ) >e4021【作業(yè)4解答】解：(I)： f (x) =xblnx ,x() =1+ P 一， 由于曲線y=f (x)在點(diǎn)(1，f (1)處的切線垂直于y軸,故該切線斜率為0，即f'1) =0 ,即1+1 b=0 ,b=2 ;(2)假設(shè)f (x) , g (x)的圖象在其公共點(diǎn)(xo, yo)處存在公切線,由 f (x)=a (x 丄)2lnx，得 fax "-2 ic+a2Xg由 f' (o) =g ' xo)，得=2x o，