全等三角形培優(yōu)競賽講義全集

1、全等三角形培優(yōu)競賽講義（一）知識點 全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的判定方

2、法：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線拓展關(guān)鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的

3、基礎(chǔ)例題精講板塊一、截長補短【例1】 (年北京中考題)已知中，、分別平分和，、交于點，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【解析】 ，理由是：在上截取，連結(jié)，利用證得，利用證得，【例2】 如圖，點為正三角形的邊所在直線上的任意一點(點除外)，作，射線與外角的平分線交于點，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【解析】 猜測.過點作交于點，又，而，【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點為正方形的邊上任意一點，且與外角的平分線交于點，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【解析】 猜測.在上截取，【例3】 已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE.【解析】 延長CB至M，使得BM=DF，連接AM.AB=AD，ADCD，

4、ABBM，BM=DF ABMADFAFD=AMB，DAF=BAMABCDAFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAMAMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF.【例4】 以的、為邊向三角形外作等邊、，連結(jié)、相交于點求證：平分 【解析】 因為、是等邊三角形，所以，則，所以，則有，在上截取，連結(jié)，容易證得，進而由得；由可得，即平分【例5】 (北京市、天津市數(shù)學(xué)競賽試題)如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點、分別在、上，求的周長 【解析】 如圖所示，延長到使.在與中，因為，所以，故.因為，所以.又因為，所以. 在與中，所以，則，所以的周長為.【例6

5、】 五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°， 求證：AD平分CDE【解析】 延長DE至F，使得EF=BC，連接AC.ABC+AED=180°，AEF+AED=180° ABC=AEFAB=AE，BC=EF ABCAEF EF=BC，AC=AFBC+DE=CD CD=DE+EF=DFADCADF ADC=ADF即AD平分CDE.板塊二、全等與角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數(shù). 【解析】 如圖所示，延長至使，連接、.由知，而，則為等邊三角形.注意到，故.從而有，故.所以，.【另解】在上取點，使得，則由題意可知.在和中

6、，則，從而，進而有，.注意到，則：，故.【點評】由已知條件可以想到將折線“拉直”成，利用角平分線可以構(gòu)造全等三角形.同樣地，將拆分成兩段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要說明的是，無論采取哪種方法，都體現(xiàn)出關(guān)于角平分線“對稱”的思想. 上述方法我們分別稱之為“補短法”和“截長法”，它們是證明等量關(guān)系時優(yōu)先考 慮的方法.【例8】在等腰中，頂角，在邊上取點，使，求. 【解析】 以為邊向外作正，連接.在和中，則.由此可得，所以是等腰三角形.由于，則，從而，則.【另解1】以為邊在外作等邊三角形，連接.在和中，因此，從而，.在和中，故，從而，故，因此. 【另解2】如圖所示，以為邊向內(nèi)

7、部作等邊，連接、.在和中，故，而，進而有.則，故.【點評】上述三種解法均是向三邊作正三角形，然后再由三角形全等得到邊長、角度之間的關(guān)系.【例9】(“勤奮杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題) 如圖所示，在中，又在上，在上，且滿足，求. 【解析】 過作的平行線交于，連接交于.連接，易知、均為正三角形. 因為，所以，則，故.從而.進而有，.【另解】如圖所示，在上取點，使得，由、可知.而，故，.在中，故，從而，進而可得.而，所以為等邊三角形.在中，故，從而.我們已經(jīng)得到，故是的外心，從而.【點評】本題是一道平面幾何名題，加拿大滑鐵盧大學(xué)的幾何大師Ross Honsberger將其喻為“平面幾何中的一顆明珠”.本題的大

8、多數(shù)解法不是純幾何的，即使利用三角函數(shù)也不是那么容易.【例10】在四邊形中，已知，求的度數(shù).【解析】 如圖所示，延長至，使，由已知可得：，故.又因為，故，因此，.又因為，故，.而已知，所以為等邊三角形.于是，故，則，從而，所以.【例11】 (日本算術(shù)奧林匹克試題) 如圖所示，在四邊形中，求的度數(shù). 【解析】 仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)已知角的度數(shù)都是的倍數(shù)，這使我們想到構(gòu)造角，從而利用正三角形. 在四邊形外取一點，使且，連接、. 在和中，故.從而.在中，故，從而.而，故是正三角形，.在中，故.在和中，故，從而，則.【例12】 (河南省數(shù)學(xué)競賽試題) 在正內(nèi)取一點，使， 在外取一點，使，且，求. 【解析】

9、如圖所示，連接.因為，則，故.而，因此，故.【例13】 (北京市數(shù)學(xué)競賽試題) 如圖所示，在中，為內(nèi)一點，使得，求的度數(shù). 【解析】 在中，由可得，.如圖所示，作于點，延長交于點，連接，則有，所以.又因為，所以.而，因此，故.由于，則，故.全等三角形培優(yōu)競賽講義（二）【知識點精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形；兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點。互相重合的邊叫對應(yīng)邊，互相重合的角叫對應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，記作 “ABCABC其中，“”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上

10、。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；4. 尋找對應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對應(yīng)頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角；以對應(yīng)頂點為端點的邊是對應(yīng)邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應(yīng)頂點的字母都寫在對應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對應(yīng)元素尋找相等的角是對應(yīng)角，相等的邊是對應(yīng)邊；相等的角所對的邊是對應(yīng)邊，相等的邊所對的角是對應(yīng)邊；兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（3）通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過下列各種運動而形成的

11、。翻折如圖（1）DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖（2）DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點O旋轉(zhuǎn)180°得到的；平移 如圖（3）DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問題：（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應(yīng)相等；（2）不能證明兩個三角形全等的是，a: 三個角對應(yīng)相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖

12、形之間的基本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識?！痉诸惤馕觥咳热切沃R的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等 例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可證出ACDABE，而BF和FC分別位于DBF和EFC中，因此先證明ACDABE，再證明DBFECF，既可以得到BF=FC.證明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形對應(yīng)角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （

13、AAS） BF=FC （全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行例2：已知：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD分析：要證ABCD，需證CA，而要證CA，又需證ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.顯然證明ABFCDE條件已具備，故可先證兩個三角形全等，再證CA,進一步證明ABCD.證明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90° （垂直的定義）在ABF與CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形對應(yīng)角相等) ABCD （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（3）

14、證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖，在 ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE分析：()折半法：取CD中點F，連接BF，再證CEBCFB.這里注意利用BF是ACD中位線這個條件。證明：取CD中點F，連接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位線定理） ACB2 (兩直線平行內(nèi)錯角相等)又 AB=AC ACB3 （等邊對等角） 32在CEB與CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形對應(yīng)邊相等）即CD=2CE （）加倍法證明：延長CE到F，使EF=CE，連BF.

15、在AEC與BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等) BFAC (內(nèi)錯角相等兩直線平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的補角相等）在CFB與CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE說明：關(guān)于折半法有時不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點F，連BF(如圖)（B為AD中點是利用這個辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，ADC、

16、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過觀察，可以猜測：AO=BC，AOBC.證明：延長AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等） AODCOE （對頂角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考點撥：例1如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連結(jié)ED，并延長ED到點F，使DFDE，連結(jié)FC求證：FA分析：證明兩個角相等，常

17、證明這兩個角所在的兩個三角形全等，在已知圖形中A、F不在全等的兩個三角形中，但由已知可證得EFAC，因此把A通過同位角轉(zhuǎn)到BDE中的BED，只要證EBDFCD即可證明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA說明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對項角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯角等相等的關(guān)系。例2 如圖，已知 ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED 分析：把已知

18、條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和AEC全等的三角形，因此過D點作DFAC交BE于F點，證明AECFED即可。證明：過D點作DFAC交BE于F點 ABC為等邊三角形 BFD為等邊三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE中， AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形對應(yīng)邊相等）題型展示：例1 如圖，ABC中，C2B，12。求證：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，構(gòu)造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需證DEBE問題便可以解決證明：在AB上截取AEAC，連結(jié)DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DE

19、DC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長法（即在長線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AEAC是利用了角平分線是角的對稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補短法（即延長一條短線段等于長線段，再證明延長的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，實際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點考查的內(nèi)容【實戰(zhàn)模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（A）有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩

20、個三角形全等（B）有兩邊對應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個等腰三角形全等（C）有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（D）有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等2. 已知：如圖，CDAB于點D，BEAC于點E，BE、CD交于點O，且AO平分BAC求證：OBOC3. 如圖，已知C為線段AB上的一點，DACM和DCBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：DCEF是等邊三角形。4.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線求證：AD<(AB+AC) 5. 如圖，在等腰RtABC中，C90°，D是斜邊上AB上任一點，AECD于E，BFCD交CD的延長線于

21、F，CHAB于H點，交AE于G求證：BDCG【試題答案】1. D2.證明： AO平分ODB，CDAB于點D，BEAC于點E，BE、CE交于點O， ODOE，ODBOEC90°, BODCOE。 BODCOE（ASA）OBOC3. 分析 由ÐACM=ÐBCN=60°，知ÐECF=60°，欲證DCEF是等邊三角形，只要證明DCEF是等腰三角形。先證DCANDMCB，得Ð1=Ð2.再證DCFNDCEB，即可推得DCEF是等邊三角形的結(jié)論。證明：在DCAN和DMCB，AC=MC，CN=CB，ÐCAN=Ð

22、MCB=120°，DACNDMCB中， ÐFCB和DCEB中，ÐFCN=ÐECB=60°，Ð1=Ð2，CN=CB，DCFNDCEB，CF=CE，又ÐECF=60°， DCEF是等邊三角形.4. 分析： 關(guān)于線段不等的問題，一般利用在同一個三角形中三邊關(guān)系來討論，由于AB、AC、AD不在同一個三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個三角形中，也就是將線段相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來完成，注意AD是BC邊上的中線，延長AD至E，使DEAD，即可得到ACDEBD證明：延長AD到E，使DEAD，連結(jié)

23、BE在DACD與DEBD中 DACDDEBD（SAS） ACEB（全等三角形對應(yīng)邊相等）在DABE中，ABEBAE（三角形兩邊之和大于第三邊） ABAC2AD（等量代換） 說明：一般在有中點的條件時，考慮延長中線來構(gòu)造全等三角形。5.分析：由于BD與CG分別在兩個三角形中，欲證BD與CG相等，設(shè)法證CGEBDF。由于全等條件不充分，可先證AECCFB證明：在RtAEC與RtCFB中，ACCB，AECD于E，BFC交CD的延長線于FAECCFB90°又ACB90° CAE90°ACEBCF RtAECRtCFBCEBF在RtBFD與RtCEG中，F(xiàn)GEC90

24、6;，CEBF，由FBD90°FDB90°CDHECG， RtBFDRtCEG BDCG全等三角形培優(yōu)競賽講義（三）全等三角形的證明方法【知識點精讀】 1. 幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補的問題。 2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成

25、立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達到證明目的。 3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的?！痉诸惤馕觥?、證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此

26、類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。 例1. 已知：如圖1所示，中，。 求證：DEDF 分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中點，可考慮連結(jié)CD，易得，。從而不難發(fā)現(xiàn) 證明：連結(jié)CD 說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因為CD既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長ED到G，使DGDE，連結(jié)BG，證是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。 例2. 已知

27、：如圖2所示，ABCD，ADBC，AECF。 求證：EF 證明：連結(jié)AC 在和中， 在和中， 說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應(yīng)注意： （1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量； （2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。2、證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。 例3. 如圖3所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平分線，AH、

28、AK分別為A到BP、CQ的垂線。 求證：KHBC 分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延長AH交BC于N，則BABN，AHHN。同理，延長AK交BC于M，則CACM，AKKM。從而由三角形的中位線定理，知KHBC。 證明：延長AH交BC于N，延長AK交BC于M BH平分ABC 又BHAH BHBH 同理，CACM，AKKM 是的中位線 即KH/BC 說明：當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對稱）而成一個等腰三角形。 例4. 已知：如圖4所示，ABAC，。 求證：FDED 證明一：連結(jié)AD 在和中，

29、說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。 證明二：如圖5所示，延長ED到M，使DMED，連結(jié)FE，F(xiàn)M，BM 說明：證明兩直線垂直的方法如下： （1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證二。 （2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。 （3）證明二直線的夾角等于90°。3、證明一線段和的問題 （一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法） 例5. 已知：如圖6所示在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O。 求證：ACAECD 分析：在AC上截取AF

30、AE。易知，。由，知。，得： 證明：在AC上截取AFAE 又 即（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補短法） 例6. 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。 求證：EFBEDF 分析：此題若仿照例1，將會遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長CB至G，使BGDF。 證明：延長CB至G，使BGDF 在正方形ABCD中， 又 即GAEFAE 4、中考題： 如圖8所示，已知為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AEBD，連結(jié)CE、DE。 求證：ECED 證明：作DF/AC交BE于F 是正三角形 是

31、正三角形 又AEBD 即EFAC 題型展示： 證明幾何不等式： 例題：已知：如圖9所示，。 求證： 證明一：延長AC到E，使AEAB，連結(jié)DE 在和中， 證明二：如圖10所示，在AB上截取AFAC，連結(jié)DF 則易證 說明：在有角平分線條件時，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線?！緦崙?zhàn)模擬】 1. 已知：如圖11所示，中，D是AB上一點，DECD于D，交BC于E，且有。求證： 2. 已知：如圖12所示，在中，CD是C的平分線。 求證：BCACAD 3. 已知：如圖13所示，過的頂點A，在A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點。 求證：MPMQ 4. 中

32、，于D，求證：【試題答案】 1. 證明：取CD的中點F，連結(jié)AF 又 2. 分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時，我們經(jīng)常采用“截長補短”的手法。“截長”即將長的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補短”即將一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段。 證明：延長CA至E，使CECB，連結(jié)ED 在和中， 又 3. 證明：延長PM交CQ于R 又 是斜邊上的中線 4. 取BC中點E，連結(jié)AE 全等三角形培優(yōu)競賽講義（四）等腰三角形【知識點精讀】、等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊

33、相等； 定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。二、等腰三角

34、形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”。） 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 2. 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點。 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等

35、腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時需要作頂角的平分線，有時則需要作高或中線，這要視具體情況來定?！痉诸惤馕觥?例1. 如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點。分析：欲證M是BE的中點，已知DMBC，所以想到連結(jié)BD，證BDED。因為ABC是等邊三角形，DBEABC，而由CECD，又可證EACB，所以1E，從而問題得證。 證明：因為三角形ABC是等邊三

36、角形，D是AC的中點 所以1ABC 又因為CECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足為M 所以M是BE的中點 （等腰三角形三線合一定理）例2. 如圖，已知：中，D是BC上一點，且，求的度數(shù)。 分析：題中所要求的在中，但僅靠是無法求出來的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時圖形中三個等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來求。 解：因為，所以 因為，所以； 因為，所以（等邊對等角） 而 所以 所以 又因為 即 所以 即求得 說明：1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰

37、三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點在后邊的解題中將進一步體現(xiàn)。 2. 注意“等邊對等角”是對同一個三角形而言的。 3. 此題是利用方程思想解幾何計算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。 例3. 已知：如圖，中，于D。求證：。 分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與的關(guān)系。 證明：過點A作于E， 所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 因為 又，所以 所以（直角三角形兩銳角互余） 所以（同角的余角相等） 即 說明： 1. 作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的

38、高是一條常用的輔助線； 2. 對線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長補短”或“倍長中線”等輔助線的添加方法，對角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出的等角等。4、中考題型： 1.如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點F，則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個 分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個，故選擇C。 2.）已知：如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。 證明：因為，所以 又因為 所以 又D是BC的中點，所以 所以 所以，所以 說明：證法二：連結(jié)AD，通過 證明即可5、