2019年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷試題及詳細(xì)解析(Word版,精校版)

1、絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要 求的。1,已知集合 A=1,0,1,2, B=xx2 E1,則 ApB =A.-1,0,仆B.0,1C.1-1,1D. 0,1,22,若 z(1 +i) =2i ,則 z=A.-1-iB.-1+iC.1 -iD. 1+i3.西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學(xué)生共有 90位，閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有 80位，閱讀過西

2、游記且閱讀過紅樓夢 的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A. 0.5B, 0.6C. 0.7D, 0.84. (1+2x2) (1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為A. 12B. 16C. 20D. 245 .已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)為和為15,且a5=3a3+4a1，則a3=A. 16B. 8C, 4D, 2x6 .已知曲線y=ae +xlnx在點(diǎn)(1, ae)處的切線萬程為 y=2x+b,則A. a=e, b = -1B. a= e, b=1C.a=e'，b=1 D. a = e" , b = -17,函數(shù)y =3 在-6,

3、6】的圖象大致為2x 28.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心， ECD為正三角形，平面 ECD，平面ABCD , M是線段ED的中點(diǎn)，則A.BM=EN,且直線BM、EN是相交直線B.BM4N,且直線EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM、EN是異面直線D.BM4N,且直線EN是異面直線9.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的為0.01,則輸出S的值等于大2-2421B. 2 一 522210.雙曲線C： - -=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸進(jìn)線上,42O為坐標(biāo)原點(diǎn),S = t x上二皆& d 是若PO = PF ,則4 PFO的面積為/ 粕UH j _ CTC)3.2B 2c. 2V2

4、D. 3J211.設(shè)f(x )是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0產(chǎn))單調(diào)遞減，則B. f (log31) > f (423 ) > f ( 2。).132、A. f (log3_) > f(22)>f(2。)422f (2-2)> f (啕31)3、C. f（2下） f(2<)> f (log31 )12.設(shè)函數(shù)f （x戶sinjix 5(0 >0),已知f（x ）在h2n】有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論:f （X詐（0,2 n ）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)f （X昨（0,2 n ）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)TTf （x近（0,上）單調(diào)遞增10切的取值范圍是里，

5、29）5 10其中所有正確結(jié)論的編號是A. B. C.D.、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13.已知 a, b 為單位向量，且 a b=0,若 c =2a J5b ,則 cos <a，cxS1014.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a0, a? =3a1，則-S5x2 y215.設(shè)F1, F2為橢圓。一 +匚=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限36 20.若MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為16.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD - A1B1C1D1挖去四棱錐 OEFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E, F, G,

6、H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB = BC = 6cm , AA1 = 4cm , 3D 打印所用原料密度為 0.9 g/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 .、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17. ( 12分)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成 A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每組小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算

7、出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù) 據(jù)分別得到如下直方圖:記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于55',根據(jù)直方圖得到 P (C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a, b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).A C 一 .18. (12分) ABC的內(nèi)角 A、B、C的對邊分別為 a、b、c,已知asin= bsin A .2(1)求B; (2)若 ABC為銳角三角形，且 c=1,求4ABC面積的取值范圍.19. （12 分）圖1是由矩形 ADEB、Rt祥BC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形， 其中AB

8、=1 , BE=BF=2, / FBC=60° ,將其沿AB, BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG ,如圖2.(1)證明：圖2中的A, C, G, D四點(diǎn)共面，且平面 ABC，平面BCGE ；(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.20. （12 分）已知函數(shù) f （x） =2x3 - ax2 b .(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間0,1的最小值為_1且最大值為1?若存在，求出a,b的所有值;若不存在，說明理由. x21 .21. 已知曲線C: y= , D為直線y二±上的動(dòng)點(diǎn)，過 D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A, B.(1)證明：

9、直線AB過定點(diǎn):(2)若以E(0, 5)為圓心的圓與直線 AB相切，且切點(diǎn)為線段 AB的中點(diǎn)，求四邊形 ADBE的面積.2(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22. 選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0) , B(V2,-), C(立業(yè))，D(2,n),弧AB, BC , CD所在圓44的圓心分別是(1,0), (1,夕，(1,n),曲線Mi是弧AB ,曲線M2是弧BC，曲線M3是弧CD .(1)分別寫出Mi, M2, M3的極坐標(biāo)方程；(2)曲線M由Mi , M2 , M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|O

10、P |= J3,求P的極坐標(biāo).23. 選彳4-5：不等式選講(10分)設(shè) x, y, z w R ,且 x + y + z =1.(1)求(x -1)2 +( y +1)2 + (z+1)2 的最小值；2221(2)若(x2) +(y1) +(za)之一成立，證明：a<3或 a 之 T.32019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)詳細(xì)答案21. B =x|x <1 =x| 1 <x <1,所以 Ac B =1,0,1.故選 A.2. z(1+i)=2i ,z=-2L=2i(1i) =i(1i)=1+i.故選 d.1 i (1 i)(1 -i)3.90一80+60 =

11、0.7,故選 C.1004.由題意可知含x3的項(xiàng)為1C31x3+2x2C413，x=12x3,所以系數(shù)為12.故選A.5.設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng) a1，公比q,由已知得，aq4 =3a1q2+4a1，23因?yàn)閍 A0且q >0,則可解得q = 2 ,又因?yàn)閍1(1+q+q +q)=15,即可解得a1 =1,則a3=a1q2 =4.故選 C.x.x16 .令 f (x) =ae +x ln x,則 f (x) =ae +ln x +1 , f (1) = ae + 1 = 2,得 a = = e . ef(1)=ae=2+b,可得 b =-1.故選 D.2x32( t)32x37 . y =

12、f (x) = - ,f (-x) = = - = 一 f (x) , f (x)為前函數(shù)，排除選項(xiàng) C.xx x x x.x x. x xx x x x.222222又f(4)=2 43-4L4222 4324=8,根據(jù)圖像進(jìn)行判斷，可知選項(xiàng)B符合題意.8 .因?yàn)橹本€8M，EN都是平面EED內(nèi)的直線，且不平行，即直線8M，E那是相交直線，設(shè)正方形48CD的 邊長為2a，則由題意可得：DE = 2£DM = O.D1V = 2M口 ,根據(jù)余弦定理可得：BM2 = D屏 + DM2 - 2DB - DMcqslBDE = 9/ 一 4Mdeo“BDE,EN2 =DE2 + DM2-2D

13、E DMss£BDE = 6*-4也/cosdDE,所以8Mr即，故選 b.9 .第一次循環(huán)：£二1湛二一； 2一 1 1第二次循環(huán)：£=1+=4= 一;222第三次循環(huán):-11.1 1S= l+- + -J = ">2 2123第四次循環(huán):第七次循環(huán):此時(shí)循環(huán)結(jié)束，可得 一 ：一一"一.故選C.2 232$ 2sx2 y2-，2八10 .由雙曲線的方程了 一萬=?？傻靡粭l漸近線方程為y/x；在"中|POHPF1過點(diǎn)P做PH 垂直 OF 因?yàn)?tanZPOF= 2得到.313 - 3，2POS PFO = . 6 =-2 ;所以

14、2 24 ；故選a.11.依據(jù)題意函數(shù)為偶函數(shù)且函數(shù)在（0，+專單調(diào)遞減，則函數(shù)在（-oO，0）上單調(diào)遞增；因?yàn)?f (log3-)二 f ( -log34) = f(log3 4)4；又因?yàn)?<2 3 <1 <臉4 ._3,1所以 f(2 2) f(2 3)"logs);故選C.12.根據(jù)題意，畫出草圖，由圖可知冗x1 一 二 5 二由題意可得，5JTx2 一 二 6二52 二X2,故對;X1,解得一 24 二所以245 31令©X + =一得29二.1 12M2n <,解得 一 <5 53 二2910522nwk,X2 )x =10 >

15、;0,，圖像中y軸右側(cè)第一個(gè)最值點(diǎn)為最大值點(diǎn)，故f（x）在（0,2冗）有2個(gè)或3個(gè)極小值點(diǎn)，故 錯(cuò);11二102531 冗M(jìn)eo * + <10 549 二<100"22 力，213 . . c =(2a-J5b )=4a +5b -4J5a b = 9,2W22a - , 5b = 2a21 3b = 2 , cos a,c14 .設(shè)該等差數(shù)列的公差為d , a2 =3a ,ai+d =3詡，故 d =2a1(a1 #0,d #0),10 a a10S10 _2_ 2 2a 9d _ 2 10dS5 - 5 a1 a5- 2a14d - 5d222x y .15.已知橢

16、圓c：+'=1可知，a=6, c = 4,由M為C上一點(diǎn)且在第一象限， 故等腰三角形AMF1F2 36 20中 MF1 =F1F2 =8,MF2 =2a-MF1 =4,sin . FF2M-82 -22 坐一 8 一 422x y yM =MF2SinNFF2M =d15,代入 C: 一十'=1 可得 xM =3.故 M 的坐標(biāo)為(3,V15). 36 20.一一一 12 一 一一 1 一 一 一 316. S 邊開吐=4><6-4x-x2x3=12 cm2, V =6父6父 4父12M3 = 132 cm3.23m = V =0.9 132 =118.8 g .1

17、7 .解：(1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15,故 a=0.35.b=1 -0.05-0.15 七.70=0.10 .(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2X0.15+3 0.20+4 0.30+5 0.20+6 0.10+7 0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3X0.05+4 0.10+5 0.15+6 0.35+7 0.20+8 0.15=6.00.A C18 .解：(1)由題設(shè)及正弦定理得 sinAsin=sinBsinA2一 AC因?yàn)?sinA=0,所以 sin=sinB.2A C由 A + B+C =180 ,可得 sin2B BBB= cos,故

18、 cos = 2sin - cos.2222一 . B 一 B 1因?yàn)?cos 0 0 ,故 sin =一,因此 B=60 °.22 2(2)由題設(shè)及(1)知AABC的面積SAabc = a .4由正弦定理得a = csin AsinCsin 120 -C 、3sin C2tanC1+21由于 ABC 為銳角二角形，故 0 vA<90 , 0 <C<90 ,由(1)知 A+C=120 ,所以 30 <C<90 ,故一<a<2 2從而藍(lán)：二SA ABC三因此，AABC面積的取值范圍是19.解：(1)由已知得ADUBE, CG"BE,所

19、以AD.CG,故AD, CG確定一個(gè)平面，從而 A, C, G, D四點(diǎn)共面.由已知得 AB_LBE, AB_LBC,故AB_L平面 BCGE.又因?yàn)锳B仁平面ABC,所以平面ABC _L平面BCGE.(2)作EH_LBC,垂足為H.因?yàn)镋H仁平面BCGE,平面BCGE _L平面ABC,所以EH _L平面ABC.由已知，菱形BCGE的邊長為2, / EBC=60° ,可求得BH=1, EH = J3 .以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H iyz,則A ( -1, 1,0), C (1, 0, 0) , G (2, 0, 73),CG= (1, 0

20、,而)，AC= (2, T, 0).設(shè)平面ACGD的法向量為n = (x, v, z),則CG n =0, 一AC n = 0,即 x,3z =0,I 2x - y = 0.又平面BCGE的法向量可取為 m= (0, 1,0)所以 cos n, m =n m , 3|n|m | = T所以可取n= (3, 6, -J3).因此二面角B -CG力的大小為30°.20.解：(1) f (x) =6x22ax =2x(3x a).令 f'(x) =0,得 x=0 或 x = a.3若 a>0，則當(dāng) x (-OO , 0)U 1 廿 I 時(shí)，f '(x)> 0;當(dāng)

21、 x W f 0,芻 I時(shí)，f '(x) < 0.故 f (x)在3. 3(-«0)i， 單調(diào)遞增，在ba i單調(diào)遞減；(3 ,3若a=0, f(x)在(，收)單調(diào)遞增；. a a V . 一. fa '.若 a<0,則當(dāng) xw l-oo,a U(0,"用，f (x)> 0；當(dāng) xw a,0 :時(shí)，f (x)< 0.故 f (x)在 I 3 J13 Jf-«,a 1(0, y)單調(diào)遞增，在'-,0 i單調(diào)遞減. 33(2)滿足題設(shè)條件的a, b存在. 當(dāng)aw。時(shí)，由(1)知，f(x)在0, 1單調(diào)遞增，所以f(x)在

22、區(qū)間0, I的最小值為f(0)=b, 最大值為f(1)=2a+b.此時(shí)a, b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng) b = 1 , 2 a + b = 1,即a=0, b=1.(ii)當(dāng)a>3時(shí)，由(1)知，f(x)在0, 1單調(diào)遞減，所以f (x)在區(qū)間0, 1的最大值為f(0)=b,最小值為f (1) = 2a+b.此時(shí)a, b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2 a + b = 1, b=1,即a=4, b=1.a(iii)當(dāng)0<a<3時(shí)，由(1)知,f (x)在0, 1的最小值為f I33a一 十 b ,最大彳1為b或2 - a + b .273若 一± + b = -1 , b=1,則

23、 a =33/2 ,與 0<a<3 矛盾. 273綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=0, b = 1或a=4, b=1時(shí)，f (x)在0, 1的最小值為-1,最大值為1.解:(1)設(shè) D 't,- L ,22A(xi, yi ),則 Xi =2y1.廣X,所以切線DA的斜率為X1,故9= X1.整理得 2 tx1 -2 y1+1=0.設(shè) B(x2,y2),同理可得 2tx2-2 y2+1=0.故直線AB的方程為2tx-2y +1=0.所以直線AB過定點(diǎn)(0,1).21(2)由(1)得直線AB的萬程為y=tx+1.2y = tx 1f22由,可得 x -2tx-1 =0.x2于是 x1+x2

24、=2t,x1x2= T,y,+y2 =t(x1+x2)+1 =2t2+1 ,|AB|= 1 t2x1 -x2=1 "t2 尺(x1 +x2 f -4x1x2 = 2(t2 +1 ).若a-+b = 1 , 2a + b = 1,則 a=373或a = 3V3或 a=0,與 0<a<3矛盾. 272設(shè)di,d2分別為點(diǎn)D, E到直線AB的距離，則di =7F工1, d2=.t2 1因此，四邊形 ADBE的面積 S=1|AB|(d1 +d2 ) = (t2 +3)Jt2 +1 .設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M lt2+l12由于 EM _L AB ,而EM =(t,t22), AB與向量(1, t)平行，所以 t+(t22)t = 0.解得 t=0 或 t ”1.當(dāng) t=0時(shí)，S=3;當(dāng)1=±1 時(shí)，S=4j2.因此，四邊形ADBE的