高等數(shù)學(xué)教案ch10曲線積分與曲面積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分教學(xué)目的：1. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2. 掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。3. 熟練掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。4. 了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會(huì)用高斯公式計(jì)算曲面積分。5. 知道散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。6 會(huì)用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。 教學(xué)重點(diǎn):1、 兩類曲線積分的計(jì)算方法；2、 格林公式及其應(yīng)用；3、 兩類曲面積分的計(jì)算方法；4、 高斯公式、斯托克斯公式；5、 兩類曲線積分與兩類曲

2、面積分的應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn)：1、 兩類曲線積分的關(guān)系及兩類曲面積分的關(guān)系；2、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算；3、 應(yīng)用格林公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分；4、 應(yīng)用高斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分；5、 應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。1 / 43§10.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上, 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x, y)處的線密度為m(x, y). 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 把曲線分成n小段, Ds1, Ds2, × × ×, Dsn(Dsi也表示弧長(zhǎng))

3、; 任取(xi , hi)ÎDsi, 得第i小段質(zhì)量的近似值m(xi , hi)Dsi; 整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為; 令l=maxDs1, Ds2, × × ×, Dsn®0, 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到. 定義 設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, 函數(shù)f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一點(diǎn)列M1, M2, × × ×, Mn-1把L分在n個(gè)小段. 設(shè)第i個(gè)小段的長(zhǎng)度為Dsi, 又(xi, hi)為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn), 作乘積f(xi, hi)Dsi, (i=1

4、, 2,× × ×, n ), 并作和, 如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值l®0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 設(shè)函數(shù)f(x, y)定義在可求長(zhǎng)度的曲線L上, 并且有界. 將L任意分成n個(gè)弧段: Ds1, Ds2, × × ×, Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧長(zhǎng); 在每一弧段Dsi上任取一點(diǎn)(xi, hi), 作和; 令l=maxDs1, Ds2, × × ×

5、, Dsn, 如果當(dāng)l®0時(shí), 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即 . 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當(dāng)f(x, y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí), 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是存在的. 以后我們總假定f(x, y)在L上是連續(xù)的. 根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的推廣: . 如果L(或G)是分段光滑的, 則規(guī)定函數(shù)在L(或G)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線

6、弧L1及L2, 則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果L是閉曲線, 那么函數(shù)f(x, y)在閉曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記作 . 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì): 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù), 則 ; 性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2, 則 ; 性質(zhì)3設(shè)在L上f(x, y)£g(x, y), 則 . 特別地, 有 二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法 根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義, 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x, y), 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為 . 另一方面, 若曲線L的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (a£t£b),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 .

7、 定理 設(shè)f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), L的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (a£t£b), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j¢2(t)+y¢2(t)¹0, 則曲線積分存在, 且 (a<b). 證明（略） 應(yīng)注意的問題: 定積分的下限a一定要小于上限b. 討論: (1)若曲線L的方程為y=y(x)(a£x£b), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(a£x£b), . (2)若曲線L的方程為x=j(y)(c£y£d)

8、, 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=j(y), y=y(c£y£d), . (3)若曲G的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a£t£b), 則=? 提示: . 例1 計(jì)算, 其中L是拋物線y=x2上點(diǎn)O(0, 0)與點(diǎn)B(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0£x£1), 因此 . 例2 計(jì)算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度為m=1). 解 取坐標(biāo)系如圖所示, 則. 曲線L的參數(shù)方程為 x=Rcosq, y=Rsinq (-a£q<a). 于是 =R

9、3(a-sina cosa). 例3 計(jì)算曲線積分, 其中G為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2p的一段弧. 解 在曲線G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小結(jié): 用曲線積分解決問題的步驟: (1)建立曲線積分; (2)寫出曲線的參數(shù)方程 ( 或直角坐標(biāo)方程) , 確定參數(shù)的變化范圍; (3)將曲線積分化為定積分; (4)計(jì)算定積分. §10. 2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 變力沿曲線所作的功: 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(x, y)=

10、P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B, 試求變力F(x, y)所作的功. 用曲線L上的點(diǎn)A=A0, A1, A2, × × ×, An-1, An=B把L分成n個(gè)小弧段, 設(shè)Ak=(xk , yk), 有向線段的長(zhǎng)度為Dsk, 它與x軸的夾角為tk , 則 (k=0, 1, 2, × × ×, n-1). 顯然, 變力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似為 ;于是, 變力F(x, y)所作的功 , 從而 . 這里t=t(x, y), cost, sint是曲線L在點(diǎn)(x, y)處的與曲線方向一

11、致的單位切向量. 把L分成n個(gè)小弧段: L1, L2, × × ×, Ln; 變力在Li上所作的功近似為: F(xi, hi)×Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi ; 變力在L上所作的功近似為: ; 變力在L上所作的功的精確值: , 其中l(wèi)是各小弧段長(zhǎng)度的最大值. 提示: 用Dsi=Dxi,Dyi表示從Li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量. 用Dsi表示Dsi的模. 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x, y)在有向光滑曲線L上有界. 把L分成n個(gè)有向小弧段L1, L2, × × ×, Ln; 小弧段L

12、i的起點(diǎn)為(xi-1, yi-1), 終點(diǎn)為(xi, yi), Dxi=xi-xi-1, Dyi=yi-yi-1; (xi, h)為L(zhǎng)i上任意一點(diǎn), l為各小弧段長(zhǎng)度的最大值. 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即, 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即. 設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線, cost, sint是與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y)、Q(x, y)在L上有定義. 如果下列二式右端的積分存在, 我們就定義 , , 前者稱為函數(shù)P(x, y)在有向曲

13、線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 后者稱為函數(shù)Q(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分. 定義的推廣: 設(shè)G為空間內(nèi)一條光滑有向曲線, cosa, cosb, cosg是曲線在點(diǎn)(x, y, z)處的與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定義. 我們定義(假如各式右端的積分存在) , , . , , .對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的簡(jiǎn)寫形式: ; . 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì): (1) 如果把L分成L1和L2, 則 . (2) 設(shè)L是有向曲線弧, -L是與L方向相反的有向曲線弧, 則 . 兩類曲線積分之

14、間的關(guān)系: 設(shè)costi, sinti為與Dsi同向的單位向量, 我們注意到Dxi, Dyi=Dsi, 所以Dxi=costi×Dsi, Dyi=sinti×Dsi, , . 即 , 或 . 其中A=P, Q, t=cost, sint為有向曲線弧L上點(diǎn)(x, y)處單位切向量, dr=tds=dx, dy. 類似地有 , 或 . 其中A=P, Q, R, T=cosa, cosb, cosg為有向曲線弧G上點(diǎn)(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds =dx, dy, dz , A t為向量A在向量t上的投影. 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算: 定理: 設(shè)P(x, y)、

15、Q(x, y)是定義在光滑有向曲線L: x=j(t), y=y(t), 上的連續(xù)函數(shù), 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由a變到b時(shí), 點(diǎn)M(x, y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B, 則 , . 討論: =？提示: . 定理: 若P(x, y)是定義在光滑有向曲線 L: x=j(t), y=y(t)(a£t£b)上的連續(xù)函數(shù), L的方向與t的增加方向一致, 則 . 簡(jiǎn)要證明: 不妨設(shè)a£b. 對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為j¢(t), y¢(t), 所以,從而 . 應(yīng)注意的問題: 下限a對(duì)應(yīng)于L的起點(diǎn), 上限b 對(duì)應(yīng)于L的終點(diǎn), a不一定小于b . 討論

16、: 若空間曲線G由參數(shù)方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)給出, 那么曲線積分 =？如何計(jì)算? 提示: , 其中a對(duì)應(yīng)于G的起點(diǎn), b對(duì)應(yīng)于G的終點(diǎn). 例題: 例1.計(jì)算, 其中L為拋物線y2=x上從點(diǎn)A(1, -1)到點(diǎn)B(1, 1)的一段弧. 解法一: 以x為參數(shù). L分為AO和OB兩部分: AO的方程為, x從1變到0; OB 的方程為, x從0變到1. 因此 . 第二種方法: 以y為積分變量. L的方程為x=y2, y從-1變到1. 因此 . 例2. 計(jì)算. (1)L為按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 ; (2)從點(diǎn)A(a, 0)沿x軸到點(diǎn)B(-a, 0)的直

17、線段. 解 (1)L 的參數(shù)方程為x=a cosq, y=a sinq, q從0變到p. 因此 . (2)L的方程為y=0, x從a變到-a. 因此 . 例3 計(jì)算. (1)拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (2)拋物線x=y2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (3)從O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折線OAB . 解 (1)L: y=x2, x從0變到1. 所以 . (2)L: x=y2, y從0變到1. 所以 . (3)OA: y=0, x從0變到1; AB: x=1, y從0變到1. =0+1=1. 例4. 計(jì)算, 其中G

18、是從點(diǎn)A(3, 2, 1)到點(diǎn)B(0, 0, 0)的直線段. 解: 直線AB的參數(shù)方程為 x=3t, y=2t, x=t, t從1變到0. 所以所以 . 例5. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在M(x, y)處受到力F的作用, F的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比, F的方向恒指向原點(diǎn). 此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a, 0)沿橢圓按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn)B(0, b), 求力F所作的功W. 例5. 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下從點(diǎn)A(a, 0)沿橢圓按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn)B(0, b), F的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比, 方向恒指向原點(diǎn). 求力F所作的功W. 解: 橢圓的參數(shù)方程為x=acost, y=bsint , t從0變到. , ,

19、 其中k>0是比例常數(shù). 于是 . . 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 由定義, 得 , 其中F=P, Q, T=cost, sint為有向曲線弧L上點(diǎn)(x, y)處單位切向量, dr=Tds=dx, dy. 類似地有 . 其中F=P, Q, R, T=cosa, cosb, cosg為有向曲線弧G上點(diǎn)(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds =dx, dy, dz . §10.3 格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域: 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域. 對(duì)平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定

20、L的正向如下: 當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí), D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊. 區(qū)域D的邊界曲線的方向: 定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 其中L是D的取正向的邊界曲線. 簡(jiǎn)要證明: 僅就D即是X型的又是Y型的區(qū)域情形進(jìn)行證明. 設(shè)D=(x, y)|j1(x)£y£j2(x), a£x£b. 因?yàn)檫B續(xù), 所以由二重積分的計(jì)算法有 . 另一方面, 由對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有 . 因此 . 設(shè)D=(x, y)|y1(y)£x£y2(y), c

21、63;y£d. 類似地可證 . 由于D即是X型的又是Y型的, 所以以上兩式同時(shí)成立, 兩式合并即得 . 應(yīng)注意的問題: 對(duì)復(fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向. 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L(zhǎng), 取P=-y, Q=x, 則由格林公式得 , 或. 例1. 橢圓x=a cosq , y=b sinq 所圍成圖形的面積A. 分析: 只要, 就有. 解: 設(shè)D是由橢圓x=acosq , y=bsinq 所圍成的區(qū)域. 令, , 則. 于是由格林公式, =pab. 例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線, 證明 . 證: 令P=2xy, Q=

22、x2, 則. 因此, 由格林公式有. (為什么二重積分前有“±”號(hào)？ ) 例3. 計(jì)算, 其中D是以O(shè)(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域. 分析: 要使, 只需P=0, . 解: 令P=0, , 則. 因此, 由格林公式有 . 例4 計(jì)算, 其中L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向. 解: 令, . 則當(dāng)x2+y2¹0時(shí), 有. 記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈. 當(dāng)(0, 0)ÏD時(shí), 由格林公式得; 當(dāng)(0, 0)ÎD時(shí), 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r 2(r>0). 由L及l(fā)

23、圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D 1, 應(yīng)用格林公式得, 其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針方向. 于是 =2p. 解 記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈. 當(dāng)(0, 0)ÏD時(shí), 由格林公式得 . 當(dāng)(0, 0)ÎD時(shí), 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r2(r>0). 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D1, 應(yīng)用格林公式得, 即, 其中l(wèi)的方向取順時(shí)針方向. 于是 =2p.分析: 這里, , 當(dāng)x2+y2¹0時(shí), 有. 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 曲線積分與路徑無關(guān): 設(shè)G是一個(gè)開區(qū)域, P(x, y)、Q(x, y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B

24、以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L 1、L 2, 等式 恒成立, 就說曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), 否則說與路徑有關(guān). 設(shè)曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), L 1和L 2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線, 則有 , 因?yàn)?Û ÛÛ, 所以有以下結(jié)論: 曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分等于零. 定理2 設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立. 充分性易證: 若, 則, 由格林公式, 對(duì)任意閉曲線L,

25、有. 必要性: 假設(shè)存在一點(diǎn)M0ÎG, 使, 不妨設(shè)h>0, 則由的連續(xù)性, 存在M0的一個(gè)d 鄰域U(M0, d), 使在此鄰域內(nèi)有. 于是沿鄰域U(M0, d)邊界l 的閉曲線積分 , 這與閉曲線積分為零相矛盾, 因此在G內(nèi). 應(yīng)注意的問題: 定理要求, 區(qū)域G是單連通區(qū)域, 且函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果這兩個(gè)條件之一不能滿足, 那么定理的結(jié)論不能保證成立. 破壞函數(shù)P、Q及、連續(xù)性的點(diǎn)稱為奇點(diǎn). 例5 計(jì)算, 其中L為拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因?yàn)樵谡麄€(gè)xOy面內(nèi)都成立, 所以在整個(gè)xOy面內(nèi)

26、, 積分與路徑無關(guān). . 討論: 設(shè)L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線, L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向, 問是否一定成立？提示: 這里和在點(diǎn)(0, 0)不連續(xù). 因?yàn)楫?dāng)x2+y2¹0時(shí), , 所以如果(0, 0)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi), 則結(jié)論成立, 而當(dāng)(0, 0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí), 結(jié)論未必成立. 三、二元函數(shù)的全微分求積 曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), 表明曲線積分的值只與起點(diǎn)從點(diǎn)(x0, y0)與終點(diǎn)(x, y)有關(guān). 如果與路徑無關(guān), 則把它記為 即 . 若起點(diǎn)(x0, y0)為G內(nèi)的一定點(diǎn), 終點(diǎn)(x, y)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn), 則 u(x, y)為G內(nèi)的的函數(shù). 二元函數(shù)

27、u(x, y)的全微分為du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu), 但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分. 那么在什么條件下表達(dá)式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x, y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？ 定理3 設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x, y)的全微分的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立. 簡(jiǎn)要證明: 必要性: 假設(shè)存在某一函數(shù)u(

28、x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 則有 , . 因?yàn)椤⑦B續(xù), 所以, 即. 充分性: 因?yàn)樵贕內(nèi), 所以積分在G內(nèi)與路徑無關(guān). 在G內(nèi)從點(diǎn)(x0, y0)到點(diǎn)(x, y)的曲線積分可表示為 考慮函數(shù)u(x, y). 因?yàn)?u(x, y) , 所以 . 類似地有, 從而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函數(shù)的全微分. 求原函數(shù)的公式: , , . 例6 驗(yàn)證:在右半平面(x>0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出一個(gè)這樣的函數(shù). 解: 這里, . 因?yàn)镻、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 ,

29、所以在右半平面內(nèi), 是某個(gè)函數(shù)的全微分. 取積分路線為從A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折線, 則所求函數(shù)為 . 問: 為什么(x0, y0)不取(0, 0)? 例6 驗(yàn)證: 在整個(gè)xOy面內(nèi), xy2dx+x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出一個(gè)這樣的函數(shù). 解 這里P=xy2, Q=x2y. 因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 所以在整個(gè)xOy面內(nèi), xy2dx+x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分. 取積分路線為從O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折線, 則所求函數(shù)為 . 思考與練習(xí): 1.在單連通區(qū)域G內(nèi), 如果P(x, y)和Q(x,

30、 y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, 那么(1)在G內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G內(nèi)的閉曲線積分是否為零? (3) 在G內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? 2.在區(qū)域G內(nèi)除M0點(diǎn)外, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域, 那么(1)在G 1內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G 1內(nèi)的閉曲線積分是否為零?(3) 在G 1內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? 3. 在單連通區(qū)域G內(nèi), 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,

31、 但非常簡(jiǎn)單, 那么(1)如何計(jì)算G內(nèi)的閉曲線積分? (2)如何計(jì)算G內(nèi)的非閉曲線積分? (3)計(jì)算, 其中L為逆時(shí)針方向的上半圓周(x-a)2+y2=a 2, y³0, §10. 4 對(duì)面積的曲面積分 一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題: 設(shè)S為面密度非均勻的物質(zhì)曲面, 其面密度為r(x, y, z), 求其質(zhì)量: 把曲面分成n個(gè)小塊: DS1, DS2 , × × ×, DSn (DSi也代表曲面的面積); 求質(zhì)量的近似值: (xi, hi, zi )是DSi上任意一點(diǎn)); 取極限求精確值: (l為各小塊曲面直徑的最大值)

32、. 定義 設(shè)曲面S是光滑的, 函數(shù)f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小塊: DS1, DS2 , × × ×, DSn (DSi也代表曲面的面積), 在DSi上任取一點(diǎn)(xi, hi, zi ), 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l®0時(shí), 極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面S上對(duì)面積的曲面積分或第一類曲面積分, 記作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 對(duì)面積的曲面積分的存在性: 我們指出當(dāng)f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時(shí)對(duì)面積的曲面積分是存在的. 今后總假定f(x, y, z)在

33、S上連續(xù). 根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)r(x, y, z)的光滑曲面S的質(zhì)量M可表示為r(x, y, z)在S上對(duì)面積的曲面積分: 如果S是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在S上對(duì)面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對(duì)面積的曲面積分之和. 例如設(shè)S可分成兩片光滑曲面S1及S2(記作S=S1+S2)就規(guī)定 . 對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì): (1)設(shè)c 1、c 2為常數(shù), 則 ; (2)若曲面S可分成兩片光滑曲面S1及S2, 則 ; (3)設(shè)在曲面S上f(x, y, z)£g(x, y, z), 則 ; (4), 其中A為曲面S的面積. 二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算 面密度為f(x, y, z)的

34、物質(zhì)曲面的質(zhì)量為 . 另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈 , 那么 曲面的面積元素為,質(zhì)量元素為. 根據(jù)元素法, 曲面的質(zhì)量為 . 因此. 化曲面積分為二重積分: 設(shè)曲面S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy, 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù), 則 . 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對(duì)面積的曲面積分為 . 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域,

35、則函數(shù)f(x, y, z)在S上對(duì)面積的曲面積分為 . 例1 計(jì)算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0<h<a)截出的頂部. 解 S的方程為, Dxy : x2+y2£a2-h2. 因?yàn)?, , , 所以 . 提示: . 例2 計(jì)算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面. 解 整個(gè)邊界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次記為S1、S2、S3及S4, 于是 . 提示: S4: z=1-x-y, . §10. 5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

36、有向曲面: 通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的. 例如由方程z=z(x, y) 表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè). 設(shè)n=(cosa, cosb, cosg)為曲面上的法向量, 在曲面的上側(cè)cosg>0, 在曲面的下側(cè)cosg<0. 閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分. 類似地, 如果曲面的方程為y=y(z, x),則曲面分為左側(cè)與右側(cè), 在曲面的右側(cè)cosb>0, 在曲面的左側(cè)cosb<0. 如果曲面的方程為x=x(y, z), 則曲面分為前側(cè)與后側(cè), 在曲面的前側(cè)cos a>0, 在曲面的后側(cè)cosa<0. 設(shè)S是有向曲面. 在S上取一小塊曲面DS, 把DS投影到xOy面上得一投

37、影區(qū)域, 這投影區(qū)域的面積記為(Ds)xy.假定DS上各點(diǎn)處的法向量與z軸的夾角g的余弦cosg有相同的符號(hào)(即cosg都是正的或都是負(fù)的). 我們規(guī)定DS在xOy面上的投影(DS)xy為 , 其中cosgº0也就是(Ds)xy=0的情形. 類似地可以定義DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 流向曲面一側(cè)的流量: 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)由v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)給出, S是速度場(chǎng)中的一片有向曲面, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上連續(xù)

38、, 求在單位時(shí)間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量, 即流量F. 如果流體流過平面上面積為A的一個(gè)閉區(qū)域, 且流體在這閉區(qū)域上各點(diǎn)處的流速為(常向量)v, 又設(shè)n為該平面的單位法向量, 那么在單位時(shí)間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一個(gè)底面積為A、斜高為|v|的斜柱體. 當(dāng)(v,n)時(shí), 這斜柱體的體積為 A|v|cosq=A v×n. 當(dāng)(v,n)時(shí), 顯然流體通過閉區(qū)域A的流向n所指一側(cè)的流量F為零, 而Av×n=0, 故F=Av×n; 當(dāng)(v,n)時(shí), Av×n<0, 這時(shí)我們?nèi)园袮v×n稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量, 它表示流體通過閉

39、區(qū)域A實(shí)際上流向-n所指一側(cè), 且流向-n所指一側(cè)的流量為-Av×n. 因此, 不論(v,n)為何值, 流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量均為Av×n . 把曲面S分成n小塊: DS1, DS2, × × ×, DSn(DSi同時(shí)也代表第i小塊曲面的面積). 在S是光滑的和v是連續(xù)的前提下, 只要DSi的直徑很小, 我們就可以用DSi上任一點(diǎn)(xi, hi, zi )處的流速 vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k代替DSi上其它各點(diǎn)處的流速, 以該點(diǎn)

40、(xi, hi, zi )處曲面S的單位法向量 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k代替DSi上其它各點(diǎn)處的單位法向量. 從而得到通過DSi流向指定側(cè)的流量的近似值為 vi×niDS i (i=1, 2, × × × ,n) 于是, 通過S流向指定側(cè)的流量 , 但 cosai×DSi»(DSi)yz , cosbi×DSi»(DSi)zx , cosgi×DSi»(DSi)xy ,因此上式可以寫成 ; 令l®0取上述和的極限, 就得到流量F的精確值. 這樣的極限還會(huì)在

41、其它問題中遇到. 抽去它們的具體意義, 就得出下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念. 提示: 把DSi看成是一小塊平面, 其法線向量為ni, 則通過DSi流向指定側(cè)的流量近似地等于一個(gè)斜柱體的體積. 此斜柱體的斜高為|vi|, 高為|vi|cos(vi,ni)=vi×ni, 體積為vi×niDSi .因?yàn)?ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k, vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k, vi×niDSi=P(xi, hi, zi)cosai+Q(xi, hi, zi

42、)cosbi+R(xi, hi, zi)cosgiDSi , 而 cosai×DSi»(DSi)yz , cosbi×DSi»(DSi)zx , cosgi×DSi»(DSi)xy ,所以 vi×niDSi»P(xi, hi, zi)(DSi)yz+Q(xi, hi, zi)(DSi)zx+R(xi, hi, zi)(DSi)xy . 對(duì)于S上的一個(gè)小塊s, 顯然在Dt時(shí)間內(nèi)流過s的是一個(gè)彎曲的柱體. 它的體積近似于以s為底, 而高為 (|V|Dt)cos(V,n)=V×n Dt的柱體的體積: V

43、5;nDtDS, 這里n=(cosa, cosb, cosg)是s上的單位法向量, DS表示s的面積. 所以單位時(shí)間內(nèi)流向s 指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于 V×nDS»(P(x, y, z)cosa+Q(x, y, z)cosb +R(x, y, z)cosg )DS . 如果把曲面S分成n小塊si(i=1, 2, · · · , n), 單位時(shí)間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于 m. 按對(duì)面積的曲面積分的定義, . 舍去流體這個(gè)具體的物理內(nèi)容, 我們就抽象出如下對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念. 定義 設(shè)S為光滑的有向曲面, 函數(shù)R(x, y, z)在S上

44、有界. 把S任意分成n塊小曲面DSi(DSi同時(shí)也代表第i小塊曲面的面積). 在xOy面上的投影為(DSi)xy, (xi, hi, zi )是DSi上任意取定的一點(diǎn). 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l®0時(shí), 總存在, 則稱此極限為函數(shù)R(x, y, z)在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)x、y的曲面積分:, 記作,即 . 類似地有 . . 其中R(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 定義 設(shè)S是空間內(nèi)一個(gè)光滑的曲面, n=(cosa , cosb , cosg)是其上的單位法向量, V(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)是確在

45、S上的向量場(chǎng). 如果下列各式右端的積分存在, 我們定義 , , . 并稱為P在曲面S上對(duì)坐標(biāo)y、z的曲面積分, 為Q在曲面S上對(duì)坐標(biāo)z、x的曲面積分, 為R在曲面S上對(duì)坐標(biāo)y、z的曲面積分. 其中P、Q、R叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 以上三個(gè)曲面積分也稱為第二類曲面積分. 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的存在性: 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的簡(jiǎn)記形式: 在應(yīng)用上出現(xiàn)較多的是 . 流向S指定側(cè)的流量F可表示為 F. 一個(gè)規(guī)定: 如果是分片光滑的有向曲面, 我們規(guī)定函數(shù)在S上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分之和. 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì): 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分具有與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分類似的一些性質(zhì)

46、. 例如(1)如果把S分成S 1和S2, 則 . (2)設(shè)S是有向曲面, -S表示與S取相反側(cè)的有向曲面, 則 . 這是因?yàn)槿绻鹡=(cosa , cosb , cosg)是S的單位法向量, 則-S上的單位法向量是 -n =(- cosa , -cosb , -cosg). 二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法 將曲面積分化為二重積分: 設(shè)積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù), 則有, 其中當(dāng)S取上側(cè)時(shí), 積分前取“+”; 當(dāng)S取下側(cè)時(shí), 積分前取“-”. 這是因?yàn)?/p>

47、, 按對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義, 有 =. 當(dāng)S取上側(cè)時(shí), cos g>0, 所以(DSi)xy =(Dsi)xy.又因(xi, hi, zi)是S上的一點(diǎn), 故zi=z(xi, hi). 從而有 . 令l®0取上式兩端的極限, 就得到 . 同理當(dāng)S取下側(cè)時(shí), 有 . 因?yàn)楫?dāng)S取上側(cè)時(shí), cosg>0, (DSi)xy=(Dsi)xy. 當(dāng)(xi, hi, zi)ÎS時(shí), zi=z(xi, hi). 從而有 . 同理當(dāng)S取下側(cè)時(shí), 有 . 這是因?yàn)閚=(cosa, cosb , cosg), , , . 類似地, 如果S由x=x(y, z)給出, 則有 . 如果S

48、由y=y(z, x)給出, 則有 . 應(yīng)注意的問題: 應(yīng)注意符號(hào)的確定. 例1. 計(jì)算曲面積分 , 其中S是長(zhǎng)方體W的整個(gè)表面的外側(cè), W=(x, y, z) |0£x£a, 0£y£b, 0£z£c ). 解: 把W的上下面分別記為S1和S2; 前后面分別記為S3和S4; 左右面分別記為S5和S6. S1: z=c (0£x£a, 0£y£b)的上側(cè); S2: z=0 (0£x£a, 0£y£b)的下側(cè); S3: x=a (0£y£b

49、, 0£z£c)的前側(cè); S4: x=0 (0£y£b, 0£z£c)的后側(cè); S5: y=0 (0£x£a, 0£z£c)的左側(cè). S6: y=b (0£x£a, 0£z£c)的右側(cè); 除S3、S4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影為零, 因此 =a2bc . 類似地可得 , . 于是所求曲面積分為(a+b+c)abc. 例2 計(jì)算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=1外側(cè)在x³0, y³0的部分. 解 把有向曲面S分成以下兩部分: : (x³0, y³0)的上側(cè), : (x³0, y³0)的下側(cè). S1和S2在xOy面上的投影區(qū)域都是Dxy : x2+y2£1(x³0, y³0). 于是 . 三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在