函數(shù)專題復習1導數(shù)與零點

1、函數(shù)專題 2-導數(shù)及應用、函數(shù)零點、常見題型歸納一、基礎知識、基本 f (x0 + Dx) - f (x0 )Dx1導數(shù)的概念：f(x)在點 x0 處的導數(shù)記作 y¢m®0（1）幾種常用函數(shù)的導數(shù)公式如下： (Cf (x)¢ = Cf ¢(x)C=0（C 為常數(shù)）； (xm)=mxm-1(mQ)；(ex)= ex；(lnx)= 1 ；（熟記）x(cosx) =； (ax) =， (logax) = (sinx) =cosx ；（2）兩個函數(shù)四則運算的導數(shù)(u+v)=u+v；(uv)= u¢v + uv¢ ；(u )¢ =(v

2、 ¹ 0) 。v2導數(shù)的幾何物理意義：kf/(x )表示過曲線 y=f(x)上的點 P(x ,f(x )的切線的斜率（瞬000時變化率）。Vs/(t) 表示瞬時速度。a=v/(t) 表示利用導數(shù)求曲線 yf（x）的切線常見的題型有度。（1） 過已知點 P（x0,y0)求切線：先點 P 是否在曲線上若點 P 在曲線上，則曲線的斜率 k=,然后直接用點斜式寫出切線方程為 （2）已知切線斜率 k0,求切線的關(guān)鍵仍然是求出切點，具體做法是 3導數(shù)的應用：（1）利用導數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：已知 y = f (x)分析 y = f (x) 的定義域；求導數(shù) y¢ = f ¢(x)

3、解不等式 f ¢(x) > 0 （或列表），在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間解不等式 f ¢(x) < 0 ，在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間（如果恒有 f ¢(x) = 0, f(x)為常數(shù)）（2）求可導函數(shù)極值的步驟：求導數(shù) f ¢(x) ；求方程 f ¢(x) = 0 的根（注意要舍去 ）；檢驗 f ¢(x) 在方程 f ¢(x) = 0 根的左右的符號，如果 這個根處取得極大值；如果正，那么函數(shù) y=f(x)在這個根處取得極小值；最好列表求解（極大值一定大于極小值嗎？注意：導數(shù)的條件下，極值點的導數(shù)值一定為 0，反之導數(shù)

4、為 0 的點一定是極值點嗎？）（3）求可導函數(shù)最大值與最小值的步驟：求 y=f(x)在a,b內(nèi)的極值；將 y=f(x)在各極值點的極值與 f（a）、f（b）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個是最小值。最好列表。4（1）零點性定理：如果函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間a, b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 f (a) f (b) < 0 ，那么函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間(a, b) 內(nèi)有零點。即c Î (a, b) ，使得f (c) = 0 ，這個c 也就是方程的根，也是函數(shù)零點。零點個數(shù)常借助函數(shù)單調(diào)性。（2）.二分法及步驟：對于在區(qū)間a ， b 上連續(xù)不斷

5、，且滿足 f (a) · f (b) < 0 的函數(shù)y =f (x) ，通過不斷地把函數(shù) f (x) 的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼1叫做二分法 了解 f (x) = xa ， g(x) = a x ，近零點， 進而得到零點近似值的h(x) = log a x ，當a > 1 時，三個函數(shù)增長速度的快慢（借助圖像）。二、課堂練習與典型例題1.若函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間a,b上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（）A若 f (a) f (b) > 0 ，不實數(shù)c Î (a, b) 使得 f (c) = 0 ；B若 f (

6、a) f (b) < 0 ，一個實數(shù)c Î (a, b) 使得 f (c) = 0 ；且只C若 f (a) f (b) > 0 ，有可能實數(shù)c Î (a, b) 使得 f (c) = 0 ；D若 f (a) f (b) < 0 ，有可能不實數(shù)c Î (a, b) 使得 f (c) = 0 ；2設函數(shù) f= 2x + 1 -1(x < 0), 則 f (x) （ ）xA有最大值B有最小值C是增函數(shù)D是減函數(shù)3已知二次函數(shù) f (x) 的圖象如圖 1 所示 , 則其導函數(shù) f ' (x)的圖象大致形狀是（）4.函數(shù) f(x)= x2x

7、6 的零點個數(shù)是。零點在區(qū)間上（端點填最接近整數(shù)）5曲線 y = 1 x3 + 4 上在點 P(2,4)處的切線方程是336已知a ³ 0 ，函數(shù)f (x) = (x2 - 2ax + 1)e x1.當a = 0 時，求曲線f (x) 在點x = 1處的切線方程； 2）求函數(shù)f (x) 的單調(diào)區(qū)間；3）設 f (x) 在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍；2三、課后練習1設 P 為曲線 C： y = x2 + 2x + 3 上的點，且曲線 C 在點 P 處切線é0 pù傾斜角的取值范圍為ê ， ú ，則點 P 橫坐標的取值范圍為（）&

8、#235;4 ûA é-1，- 1 ùD é 1 ，1ùB -1，0C 0，1êë2已知2 úûêë 2 úû+ ex ，則下列正確的是（）A f ¢(x) = 1+ e xB f ¢(1) >f ¢(2)C f (1) >D f ¢(1) = 1+ ef (2)3函數(shù) y =在下面的哪個區(qū)間上是增函數(shù)（）æ p , 3p öæ 3p , 5p öB. (p ,2p )(2p

9、 ,3p )ç 2÷ç÷A.C.D.è2øè22ø4若 y = ax 與 y = - b 在(0,+¥)上都是減函數(shù)，對函數(shù) y = ax3 + bx 單調(diào)性描述正確的是x在(- ¥,+¥)上是增函數(shù)在(0,+¥)上是增函數(shù)A.B.C. 在(- ¥,+¥)上是減函數(shù)D. 在(- ¥,0)上是增函數(shù)，在(0,+¥)上是減函數(shù)5. 拋物線 y=x2 到直線 xy2=0 之間的最短距離為（）D 82B 7 2A 2C2 2876過原點作曲線

10、yex 的切線，則切點的坐標為，切線的斜率為 7直線 y = 1 x + b 是曲線 y = ln x ( x > 0) 的一條切線，則實數(shù) b28 f (x) = x 2 ， g(x) = 2 x ， h(x) = log x ，當 x Î (4,+¥) 時，三個函數(shù)增長速度比2較,增長最快的函數(shù)是,函數(shù) y = f (x) - g(x) 在 R 上零點個數(shù)是 2 + bx + a 2 在x = 1時有極值 10，則實數(shù)a =； b = 9函數(shù)f (- c)2 在 x=2 處有極大值，求 c 的值10已知函數(shù) f (11.若實數(shù)a > 0, f (x) = -

11、2ax3 - ax 2 + 12ax + 1, g(x) = 2ax 2 + 3當 a = 1,時,令h(x) = f (x) - g(x),求函數(shù)h(x)的極值（1）（2） 若在區(qū)間(0,+¥) 上至少圍一點 x0 ，使得 f (x0 ) > g(x0 ) 成立，求實數(shù) a 的取值范3專題 5：課堂練習：CBCABD，7.1，(2,3),8.4x-y-4=0,x-y+2=0 或 4x-y-4=09解：設容器的x，容器的體積為 V，1 分則 V=（90-2x）（=4x3-276x248-2x）x,(0<V<24)5 分V=12 x2-552xx7 分由 V=12 x

12、2-552x=0 得x1=10，x2=36 x<10 時，V>0,10<x<36 時，V<0,x>36 時，V>0,所以,當 x=10,V 有極大值 V(10)=196010 分又 V(0)=0,V(24)=0,11 分所以當 x=10,V 有最大值 V(10)=196010(1) a = 0 ,切線為 4ex-y-2e=0（2） f ¢(x) = (x 2 - (2a - 2)x +a<1,增區(qū)間(-¥,-1), (1- 2a,+¥),減區(qū)間(-1,1- 2a > 1,增區(qū)間(-¥,1- 2a),(

13、-1,+，；a=1 在 R 上增（2） 由（2）得：單調(diào)減時只須滿足1 < 1 - 2a Þ a < 0單調(diào)增時， a > 1,在(-1,+¥)增, 滿足，a=1 在 R 上增，也滿足所以 a 的范圍是 a < 0或a ³ 1課后練習：ADBCB，6.(1,e),e;7.ln2-1;8. g(x) = 2 x ,3;9.-16;10.a=4,b=-11¢+-¢=3xf33=)+2-3=()( x = 1或x = -1；11 解： ()令當 x < -1時, f ¢(x) < 0 ， 當-1 <

14、 x < 1時, f ¢(x) > 0 ，當 x > 1時， f ¢(x) < 0 。所 以 , 函 數(shù) 在 x = -1 處 取 得 極 小 值 , 在 x = 1 取 得 極 大 值 , 故x1 = -1, x2 = 1, f (-1) = 0, f (1) = 4 。所以,點A、B 的坐標為 A(-1,0), B(1,4) 。（） 設 p(m, n) ， Q(x, y) ，PA · PB = (-1 - m,-n)· (1，y - nk= - 1 ，所以 = - 1。 又 PQ 的 中 點 在 y = 2(x - 4)上 ，

15、 所 以PQx - m22y + m =æ x + nö- 4÷ ，消去 m, n 得(x - 8)+ (y + 2) = 9 。222ç212.c=6è2ø13東莞 09 摸底考試第 19 題，看4(2008 天津文)設函數(shù) f (x) = x4 + ax3 + 2x2 + b(x Î R) ，其中 a，b Î R （）當 a = - 10 時，討論函數(shù) f (x) 的單調(diào)性；3（）若函數(shù) f (x) 僅在 x = 0 處有極值，求 a 的取值范圍；（）若對于任意的 a Î-2，2 ，不等式 f (x)

16、 1在-1，1 上恒成立，求b 的取值范圍29本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力滿分 14 分（）解： f ¢(x當 a =-時，4x3 + 3ax2 + 4x = x(4x2 + 3ax + 4) y103x(4x2 -10x + 4) = 2x(2x -1)(x - 2) 1xfO-2-1121令 f (x) = 0 ，¢x1 = 0 ， x2 = 2 ， x3 = 2 -1f ¢(x) ， f (x) 的變化情況如下表：當 x 變化時，æ 0 1 öæ 1

17、ö所以 f (x) 在ç ， ÷ ， (2，+ ) 內(nèi)是增函數(shù)，在(-，0) ， ç ，2 ÷ 內(nèi)是減函數(shù)è2 øè 2ø（）解： f) = x(4x2 + 3ax + 4) ，顯然 x = 0 不是方程4x2 + 3ax + 4 = 0 的根為使 f (x) 僅在 x = 0 處有極值，必須4x2 + 3ax + 4 0 恒成立，即有D = 9a2 - 64 0 解此不等式，得- 8 a 8 這時， f (0) = b 是唯一極值33é- 8 8 ù因此滿足條件的 a 的取值范圍是&

18、#234;， ú ë3 3 û（）解：由條件 a Î-2，2 可知D = 9a2 - 64 < 0 ，從而4x2 + 3ax + 4 > 0 恒成立當 x < 0 時， f ¢(x) < 0 ；當 x > 0 時， f ¢(x) > 0 f (x) 在-1，1 上的最大值是f (1) 與 f (-1) 兩者中的較大者因此函數(shù)為使對任意的 a Î-2，2 ，不等式 f (x) 1在-1，1 上恒成立，當且僅當ìb -2 - a，ì f (1) 1，í f (-1

19、) 1即íîb -2 + aî在 a Î-2，2 上恒成立所以b -4 ，因此滿足條件的b 的取值范圍是(-，- 4f ( x) 、g ( x) 是 R 上的可導函數(shù)，f ¢( x) 、g¢( x) 分別為 f ( x) 、g ( x)(2008 廣州一模文)設f ¢( x) g ( x) + f ( x) g¢( x) < 0 ，則當 a < x < b 時，有（C）的導函數(shù)，且f ( x) g (b) > f (b) g ( x)B f ( x) g (a) > f (a) g (

20、 x)A5x(-，0)0æ 0 1 öç ， ÷è2 ø12æ 1öç ，2 ÷è 2ø2(2，+ )f ¢(x)-0+0-0+f (x)極小值極大值極小值f ( x) g ( x) > f (b) g (b)f ( x) g ( x) > f (a) g (a)CD22設函數(shù) f (x) = a 2x -5x+b, g (x) = ax +x+6 （a>0，a1），若 g(x)<1 與 f(x)<g(x)對于任意實數(shù) x 恒成立，則實

21、數(shù) b 的取值范圍是（）Cb15Ab>12Bb<12Db>159點 P 在曲線 y=x3x+ 2 上移動，設點 P 處切線的傾斜角為a ，則a 的范圍是3f (x) 表示- x + 3 ， 3 x + 1 ， x 2 - 4x + 3中的較大者，則 f (x)對于任意 x Î R ，函數(shù)22的最小值是 4x2 - 7已知函數(shù) f (x) =, x Î0,1 。2 - x（1）求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間和值域；（2）設a ³ 1，函數(shù) g(x) = x3 - 3a 2 x - 2a, x Î0,1 ，若對任意 x Î0,1 ，總

22、1x0 Î0,1 ，使得 g(x0 ) = f (x1 ) 成立，求 a 的取值范圍。- 7 = - (2x - 1)(2x - 7) ，令解：（1）對函數(shù) f (x) 求導： f ' (2 - x)(2 - x)2f ' (x) = 0 ，得 x = 1 或x = 7 。當 x Î (0, ) 時，11f (x) 是減函數(shù)；當 x Î ( ,1) 時， f (x) 是增函2222數(shù)。當 x Î0,1 時， f (x) 的值域為-4，-3。（2） g ' (x) = 3(x 2 - a 2 ) ， a ³ 1當 x &#

23、206; (0,1)時, g ' (x) < 3(1 - a 2 ) £ 0 。當 x Î (0,1)時，g（x）為減函數(shù)，從而當 x Î0,1 時，有 g(x) Îg(1), g(0) 。又g(1) = 1 - 2a - 3a 2 , g(0) = -2a ，即當 x Î0,1 時有 g(x) Î1 - 2a - 3a 2 ,-2a。任給x1 Î0,1, f (x1 ) Î-4,-3 ，x0 Î0,1 使得 g(x0 ) = f (x1 ) ，則ì1 - 2a - 3a 2 &#

24、163; -4321 - 2a - 3a 2 ,-2a É -4,-3 ，即íÞ 1 £ a £- 2a ³ -3î(江西)已知函數(shù) y = xf ¢(x) 的圖象如右圖所示(其中 f '(x) 是函數(shù) f (x) 的導函數(shù))，下面四個圖象中 y =yf (x) 的圖象大致是(C ）y2yy42142x2x1O1O-2 -12-2 -1121x-1 O-2-21xO-22-1-2A11. (全國卷)已知 a-2BDC-2ax ） e xx 20 ，函數(shù) f(x) =（(1) 當 X 為何值時，f(x)取得最

25、小值？證明你的結(jié)論；（2）設 f(x)在 -1，1上是單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍.6解：（I）對函數(shù) f (x) 求導數(shù)得 f ¢(x) = (- 2a)ex令 f ¢(x) = 0, 得 x2 +2(1 a ) x 2 a ex =0 從而 x2 +2(1 a ) x 2 a =0x = a -1-a2 +1, x = a -1+a2 +112當 x 變化時， f (x) 、 f '(x) 的變化如下表 f (x) 在 x = x1 處取得極大值，在 x = x2 處取得極小值。當a 0 時， x1 <1, x2 ³ 0, f (x) 在(x1

26、, x2 )上為減函數(shù)，在(x2 ,+¥) 上為增函數(shù)而當 x < 0 時 f (x) = x(x - 2a)ex > 0 ，當x=0 時， f (x) = 0所以當 x = a -1 +a 2 + 1 時， f (x) 取得最小值（II）當 a 0 時， f (x) 在-1,1上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是 x2 ³ 134即a -1 +a 2 + 1 ³ 1 ，a ³34于是 f (x) 在-1，1上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是 a ³3即a 的取值范圍是 , +¥)4已知函數(shù) f(x)lnx，g(x) 1 ax2bx，a0.2（

27、）若b2，且 h(x)f(x)g(x)單調(diào)遞減區(qū)間，求 a 的取值范圍；（）設函數(shù) f(x)的圖象 C1 與函數(shù) g(x)圖象 C2 交于點 P、Q，過線段 PQ 的中點作 x 軸的垂線分別交 C1，C2 于點 M、N，證明 C1 在點M 處的切線與 C2 在點 N 處的切線不平行.解：（I） b = 2時, h(2 - 2x ，2ax 2 + 2x -1¢則 h (.x單調(diào)遞減區(qū)間，所以 h¢(x) <0 有解.因為函數(shù) h(x)又因為 x>0 時，則 ax2+2x1>0 有 x>0 的解.當 a>0 時，y=ax2+2x1 為開口向上的拋物

28、線，ax2+2x1>0 總有 x>0 的解；當 a<0 時，y=ax2+2x1 為開口向下的拋物線，而 ax2+2x1>0 總有 x>0 的解； 則=4+4a>0,且方程 ax2+2x1=0 至少有一正根.此時，1<a<0.綜上所述，a 的取值范圍為（1，0）（0，+）.（II）證法一 設點 P、Q 的坐標分別是（x1, y1），（x2, y2），0<x1<x2.2 ,則點 M、N 的橫坐標為2= 12C1 在點 M 處的切線斜率為 k1,27x(-¥, x1)x1(x1 , x2 )x2(x2 ,+¥)f

29、62;(x)+00+f (x)遞增極大值遞減極小值遞增= a(x1 + x2 ) + b.C 在點 N 處的切線斜率為 k = ax + b |22222假設 C1 在點M 處的切線與 C2 在點 N 處的切線平行，則 k1=k2.2= a(x1 + x2 ) + b ，則即x1 + x222(x - x )aaa=(x - x) + b(x - x ) =(x + bx ) - (x + bx )21222221212211x + x22212= y2 - y1 = ln x2 - ln x1.2( x2 - 1)x2 , 則ln t = 2(t -1) , t > 1. x2x1所以ln=x1設t =.1 + x2x12(t -1)1 + tx1(t - 1)214¢令 r(t) = ln t -, t > 1. 則 r (t) =-=.1 + tt(t + 1)2t(t + 1)2因為t > 1時， r¢(t) >