新北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第1章教案

1、1 第一章 三角形的證明 本章總體設(shè)計(jì)介紹 本章是八年級(jí)上冊(cè)第七章平行線的證明的繼續(xù)，在平等線的證明一章中，我們 給出了 8 條基本事實(shí)，并從其中的幾條基本事實(shí)出發(fā)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論 . 運(yùn)用這 些基本事實(shí)和已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的定理，我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論 . 在這之前， 學(xué)生已經(jīng)對(duì)圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行了大量的探索， 探索的同時(shí)也經(jīng)歷 過(guò)一些簡(jiǎn)單的推理過(guò)程，已經(jīng)具備了一定的推理能力，樹(shù)立了初步的推理意識(shí)，從而為本章 進(jìn)一步嚴(yán)格證明三角形有關(guān)定理打下了基礎(chǔ) .本章所證明的命題都和等腰三角形、直角三角形 有關(guān)，主要包括： 1. 等腰三角形的性質(zhì)和判定定理； 2. 直角三角形的性質(zhì)

2、定理和判定定理； 3. 線段的垂直平分線性質(zhì)和判定定理； 4. 角平分線性質(zhì)定理和判定定理。 本章教學(xué)建議 對(duì)于已有命題的證明，教學(xué)過(guò)程中要注意引導(dǎo)學(xué)生回憶過(guò)去的探索、說(shuō)理過(guò)程，從中獲 取嚴(yán)格證明的思路；對(duì)于新增命題，教學(xué)過(guò)程中要重視學(xué)生的探索、證明過(guò)程，關(guān)注該命題 與其他已有命題之間的關(guān)系；對(duì)于整章的命題，注意關(guān)注將這些命題納入一個(gè)命題系統(tǒng)，關(guān) 注命題之間的關(guān)系，從而形成對(duì)相關(guān)圖形整體的認(rèn)識(shí)。 對(duì)于證明的方法，除了注重啟發(fā)和回憶，還應(yīng)注意關(guān)注證明方法的多樣性，力圖通過(guò)學(xué) 生的自主探索，獲得多樣的證明方法，并在比較中選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?證明過(guò)程中注意揭示蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化、歸納、類比

3、等。 作為初中階段幾何證明的最后階段，教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生掌握綜合法和分析法證明命題的 基本要求，掌握規(guī)范的證明表述過(guò)程，達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)證明表述的要求。2 1. 等腰三角形（一） 知識(shí)與技能目標(biāo) 理解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理；在證 明過(guò)程中，進(jìn)一步感受證明過(guò)程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結(jié)論，能夠借助數(shù) 學(xué)符號(hào)語(yǔ)言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理；熟悉證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě) 格式。 過(guò)程與方法目標(biāo) 經(jīng)歷 探索發(fā)現(xiàn)猜想證明 的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù) 和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力； 鼓勵(lì)學(xué)生在交流探索

4、中發(fā)現(xiàn)證明方法 的多樣性， 提高邏輯思維水平； 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯 證關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，以及獨(dú)立思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣 . 教學(xué)重點(diǎn) 探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法； 教學(xué)難點(diǎn) 明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確表達(dá)等。 課前準(zhǔn)備 學(xué)生課前準(zhǔn)備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實(shí)驗(yàn)用） ； 教師課前準(zhǔn)備：制作好的幾何畫(huà)板課件 . 教學(xué)過(guò)程 一、回顧舊知 導(dǎo)出公理 活動(dòng)內(nèi)容： 提請(qǐng)學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過(guò)的 8 條基本事實(shí)中的 5 條： 1. 兩直線被第三

5、條直線所截 ,如果同位角相等 ,那么這兩條直線平行； 2. 兩條平行線被第三條直線所截 ,同位角相等； 3. 兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ SAS）； 4. 兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ ASA ）； 5. 三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ SSS）； 在此基礎(chǔ)上回憶全等三角形的另一判別條件： 1.（推論）兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相 等的兩個(gè)三角形全等（ AAS ），并要求學(xué)生利用前面所提到的公理進(jìn)行證明； 2.回憶全等三角 形的性質(zhì)。3 活動(dòng)目的：經(jīng)過(guò)一個(gè)暑假，學(xué)生難免有所遺忘，因此，在第一課時(shí)，回顧有關(guān)內(nèi)容，既 是對(duì)前面學(xué)習(xí)內(nèi)容的一個(gè)簡(jiǎn)單梳理，也為后續(xù)有關(guān)證明做了知識(shí)準(zhǔn)備；證

6、明這個(gè)推論，可以 讓學(xué)生熟悉證明的基本要求和步驟，為后面的其他證明做好準(zhǔn)備。 活動(dòng)效果與注意事項(xiàng)：由于有了前面的鋪墊，學(xué)生一般都能得到該推論的證明思路，但 由于有了一個(gè)暑假的遺忘，可能部分學(xué)生的表述未必嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，教學(xué)中注意提請(qǐng)學(xué)生分析 條件和結(jié)論，畫(huà)出簡(jiǎn)圖，寫(xiě)出已知和求證，并規(guī)范地寫(xiě)出證明過(guò)程 具體證明如下： 已知：如圖，/ A= / D, / B= / E,BC=EF. 求證： ABC DEF. 證明：I/ A= / D,Z B= / E （已知）， 又/ A+ / B+ / C=180，/ D+/ E+/ F=180 (三角形內(nèi)角和等于 180， /“/ C=180 -(/ A+ / B

7、)， / F=180 -( / D+/ E)， / C= / F (等量代換) 又BC=EF （已知）， “ ABC DEF （ASA ）。 二、折紙活動(dòng)探索新知 活動(dòng)內(nèi)容：在提問(wèn)：等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再 次通過(guò)折紙活動(dòng)驗(yàn)證這些性質(zhì)嗎？并根據(jù)折紙過(guò)程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？的基礎(chǔ) 上，讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動(dòng)驗(yàn)證和證明過(guò)程。具體操作中，可以讓學(xué)生先獨(dú)自折紙 觀察、探索并寫(xiě)出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)不足。 活動(dòng)效果與注意事項(xiàng)：由于有了教師引導(dǎo)下學(xué)生的活動(dòng)，以及具體的折紙操作，學(xué)生一 般都能得到有關(guān)等腰三角形的性質(zhì)定理，當(dāng)然，可能部分學(xué)

8、生得到的定理并不全面，在學(xué)生 小組的交流中，通過(guò)同伴的互相補(bǔ)充，一般都可以得到所有性質(zhì)定理。當(dāng)然，在教學(xué)過(guò)程中， 教師應(yīng)注意小組的巡視，提醒學(xué)生思考多種證明思路，A B C D E F 4 思考不同的輔助線之間的關(guān)系從而得 到三線合一 三、明晰結(jié)論和證明過(guò)程 活動(dòng)內(nèi)容： 在學(xué)生小組合作的基礎(chǔ)上，教師通過(guò)分析、提問(wèn)，和學(xué)生一起完成以上兩個(gè) 個(gè)性質(zhì)定理的證明， 注意最好讓兩至三個(gè)學(xué)生板演證明 ,其余學(xué)生挑選其一證明 .其后，教師通 過(guò)課件匯總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，給學(xué)生明晰證明過(guò)程。 （1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等； （2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合 活動(dòng)目的 ：

9、和學(xué)生一起完成性質(zhì)定理的證明，可以讓學(xué)生自主經(jīng)歷命題的證明過(guò)程；明 晰證明過(guò)程，意圖給學(xué)生明晰一定的規(guī)范，起到一種引領(lǐng)作用；活動(dòng) 2，則是前面命題的直 接推論，力圖讓學(xué)生形成拓廣命題的意識(shí)，同時(shí)也是一個(gè)很好的鞏固練習(xí)。 四、隨堂練習(xí) 鞏固新知 活動(dòng)內(nèi)容：學(xué)生自主完成P4第2題：如圖（圖略），在 ABD中,C是BD上的一點(diǎn)，且 AC 丄 BD, AC=BC=CD , （1） 求證： ABD是等腰三角形； （2） 求/ BAD的度數(shù)。 活動(dòng)目的： 鞏固全等三角形判定公理的應(yīng)用，復(fù)習(xí)等腰三角形等邊對(duì)等角的用法。 五、課堂小結(jié) 活動(dòng)內(nèi)容： 讓學(xué)生暢談收獲，包括具體結(jié)論以及其中的思想方法等。 活動(dòng)目的：

10、 形成及時(shí)總結(jié)語(yǔ)反思的意識(shí)與習(xí)慣，提高學(xué)生能力。 活動(dòng)效果與注意事項(xiàng)： 教師注意對(duì)學(xué)生的感想進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)， 并在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上， 明晰部分收獲供學(xué)生共享，如： 1 、具體有關(guān)性質(zhì)定理； 2、 通過(guò)折紙活動(dòng)對(duì)獲得的定理給予了嚴(yán)格的證明， 為今后解決有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題提 供了豐富的理論依據(jù) 3、 體會(huì)了證明一個(gè)命題的嚴(yán)格的要求，體會(huì)了證明的必要性 六、布置作業(yè) P5習(xí)題1,2. 七、教學(xué)反思 5 本節(jié)關(guān)注學(xué)生已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的回顧過(guò)程，關(guān)注了 探索發(fā)現(xiàn)猜想證明的活動(dòng)過(guò) 程，關(guān)注了學(xué)生自主探究過(guò)程，學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性發(fā)揮較好，應(yīng)該說(shuō)取得了較好的教學(xué)效果。 當(dāng)然，在具體活動(dòng)中，如何在學(xué)生活動(dòng)與規(guī)范表達(dá)

11、之間形成一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠胶?，具體各部分時(shí) 間比例的分配可能還需要根據(jù)班級(jí)學(xué)生具體狀況進(jìn)行適度的調(diào)整 1. 等腰三角形（二） 知識(shí)與技能目標(biāo) 探索一一發(fā)現(xiàn)一一猜想一一證明等腰三角形中相等的線段，進(jìn)一步熟悉證明的基本步 驟和書(shū)寫(xiě)格式，體會(huì)證明的必要性； 過(guò)程與方法目標(biāo) 經(jīng)歷探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然 延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力； 在命題的變式中，發(fā)展學(xué)生提出問(wèn)題的能力，拓展命題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí) 能力和思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性； 在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質(zhì)：對(duì)稱性，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺(jué)； 情感態(tài)度與價(jià)值觀要求 鼓勵(lì)學(xué)

12、生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲. 體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性. 教學(xué)重點(diǎn)： 經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)一一猜想證明的過(guò)程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形 和等腰三角形的一些結(jié)論 教學(xué)過(guò)程 一、 提出問(wèn)題，引入新課 活動(dòng)內(nèi)容： 在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題： 在等腰三角形中作出一些線段 （如角平分線、中線、高等 ），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線 段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎 ? 活動(dòng)目的： 回顧性質(zhì)，既為后續(xù)研究判定提供了基礎(chǔ)；同時(shí)，直接提出新的問(wèn)題，過(guò)渡 自然，引入本課研究?jī)?nèi)容，而新的問(wèn)題是原有性質(zhì)的一個(gè)自然拓廣，有助于提高學(xué)生提出問(wèn) 題的能力。 二、 自主探究 活動(dòng)內(nèi)容

13、： 在等腰三角形中自主作出一些線段 （如角平分線、中線、高等 ），觀察其中有 哪些相等的線段，并嘗試給出證明。 活動(dòng)目的： 讓學(xué)生再次經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)猜想證明的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)證 明的必要性，并進(jìn)行證明，從中進(jìn)一步體會(huì)證明過(guò)程，感受證明方法的多樣性。6 活動(dòng)效果與注意事項(xiàng)：活動(dòng)中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，如可以漸次提出問(wèn)題: 你可能得到哪些相等的線段？ 你如何驗(yàn)證你的猜測(cè)？ 你能證明你的猜測(cè)嗎？試作圖，寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程； 還可以有哪些證明方法？ 通過(guò)學(xué)生的自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測(cè)、測(cè)量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究出: 等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等

14、腰三角形腰上的中線相等. 并對(duì)這些命題給予多樣的證明。 如對(duì)于等腰三角形兩底角的平分線相等，學(xué)生得到了下面的證明方法： 已知：如圖，在 ABC中，AB=AC BD。丘是厶ABC勺角平分線. 求證：BD=CE 證法 1 AB=AC / ABCM ACB等邊對(duì)等角). 1 1 vZ 仁2 / ABC / 2=2 M ABC / 1=Z 2. 在厶 BDCm CEB中, Z ACBM ABC BC=CB Z 1=Z 2. BDC CEB(ASA) BD=CE全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) 證法2:證明：v AB=AC Z ABCM ACB 又 vZ 3=Z 4. 在厶 ABM3 ACE中, Z 3=Z 4

15、，AB=ACZ A=Z A. “ ABDA ACE(ASA) “ BD=CE全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等). 在證明過(guò)程中，學(xué)生思路一般還較為清楚, 7 教學(xué)中教師應(yīng)注意對(duì)證明規(guī)范提出一定的要求, 借助課件展示部分證明過(guò)程；可能部分學(xué)生還有一些困難，注意對(duì)有困難的學(xué)生給予幫助和 指導(dǎo)。 三、經(jīng)典例題變式練習(xí) 活動(dòng)內(nèi)容：提請(qǐng)學(xué)生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線 段相等？并在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，研究課本議一議： 在課本圖1 4的等腰三角形ABC中， 1 1 如果/ ABD=3 / ABC,/ ACE牙/ ACB呢？由此，你能得到一個(gè)什么結(jié)論 ？ 11 11 (2) 如果AD=2

16、AC，AE=2 AB，那么BD二CE馬?如果AD= AC，AE= AB呢？由此你得到什么 2 2 3 3 結(jié)論？ 活動(dòng)目的：提高學(xué)生變式能力、問(wèn)題拓廣能力，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。 活動(dòng)注意事項(xiàng)與效果：教學(xué)中應(yīng)注意對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，因?yàn)閷W(xué)生先前這樣的經(jīng)驗(yàn)比較少， 可能學(xué)生一時(shí)不知如何研究問(wèn)題， 教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考： 把底角二等份的線段相等“如果 是三等份、四等份,結(jié)果如何呢 ？從而引出議一議。 由于課堂時(shí)間有限， 如果學(xué)生全部解決上述問(wèn)題，時(shí)間不夠，可以在引導(dǎo)學(xué)生提出上述 這些問(wèn)題的基礎(chǔ)上， 讓學(xué)生證明其中部分問(wèn)題， 而將其余問(wèn)題作為課外作業(yè)，延伸到課外； 當(dāng)然，也可以對(duì)不同的學(xué)生提出不同的要求，

17、 如普通學(xué)生僅僅證明其中部分問(wèn)題， 而要求部 分學(xué)優(yōu)生解決所有的問(wèn)題，甚至要求這部分學(xué)優(yōu)生思考還可以提出哪些類似問(wèn)題，你是如 何想到這些問(wèn)題的。 在學(xué)生解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)注意揭示蘊(yùn)含其中的思想方法。 下面是學(xué)生的課堂表現(xiàn)： 一 1 生在等腰三角形ABC中，如果/ ABD33 / ABC那么BD=CE這和證明等腰三角形兩底 但畢竟嚴(yán)格證明表述經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，因此, 因此，注意請(qǐng)學(xué)生板書(shū)其中部分證明過(guò)程, 8 角的角平分線相等類似“證明如下： AB=AC / ABC/ ACB等邊對(duì)等角). 1 1 又“/ ABD=3 /ABC, A/ ACE=3 /ACB, “/ ABD/ ACE 在厶 B

18、DCfy CEB中, vZ ABDM ACE BC=CB / ACBM ABC, BDCA CEB(ASA) BD=CE全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) 1 1 生如果在 ABC中 , AB=AC, Z ABD4 Z ABC Z ACEZ 4 Z ACB 那么 BD=CE也是成立 的.因?yàn)锳B=AC所以Z ABCZ ACB利用等量代換便可得到Z ABDZ ACE BDC與 CEB全 等的條件就能滿足，也就能得到 BD=CE由此我們可以發(fā)現(xiàn)： 1 1 在厶 ABC中 , AB=AC Z ABDZ ” Z ABC Z ACE= Z ACB 就一定有 BD=CE成立. 生也可以更直接地說(shuō)：在厶 ABC中,

19、AB=ACZ ABDZ ACE那么BD=CE 師這兩位同學(xué)都由特殊結(jié)論猜想出了一般結(jié)論. 請(qǐng)同學(xué)們把一般結(jié)論的證明過(guò)程完整 地書(shū)寫(xiě)出來(lái).(教師可巡視指導(dǎo))下面我們來(lái)討論第(2)問(wèn)，請(qǐng)小組代表發(fā)言. 11 11 生在厶ABC中, AB=AC 如果 AD=2 AC, AE= AB,那么 BD=CE 如果 AD= AC, AE= AB, 2 2 3 3 1 1 那么BD=CE由此我們得到了一個(gè)更一般的結(jié)論：在 ABC中, AB=AC AD=n AC, AE=n AB, 那么BD=CE證明如下： v AB=AC 1 1 又 v AD= AC, AE= AB, n n AD=AE 9 在厶 ADBm A

20、EC中, AB=ACZ A=Z A, AD=AE ADBA AEC(SAS) BD=CE全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等). 生一般結(jié)論也可更簡(jiǎn)潔地?cái)⑹鰹椋涸?ABC中，如果AB=AC AD=AE那么BD=CE 師這里的兩個(gè)問(wèn)題都是由特殊結(jié)論得出更一般的結(jié)論，這是我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的 一種思想方法，它會(huì)使我們得到意想不到的效果.例如通過(guò)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的研究，我們可以 發(fā)現(xiàn)等腰三角形中，相等的線段有無(wú)數(shù)組.這和等腰三角形是軸對(duì)稱圖形這個(gè)性質(zhì)是密不可 分的. 四、拓展延伸，探索等邊三角形性質(zhì)10 活動(dòng)內(nèi)容：提請(qǐng)學(xué)生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì): 等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)

21、內(nèi)角都等于 60 已知：如圖，4ABC 中，AB=BC=AC . 求證：/ A= / B= / C=60 證明：在厶ABC中，v AB=AC , “/ B= ZC（等邊對(duì)等角）. 同理：/ C= / A， /-Z A= / B= / C （等量代換）. 又 v/A+ Z B+ Z C= 180。（三角形內(nèi)角和定理），/Z A= Z B= Z C = 60 活動(dòng)效果：學(xué)生一般都能得到這些定理的證明，能規(guī)范地寫(xiě)出對(duì)于等邊三角形三個(gè)內(nèi) 角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60 的證明過(guò)程： 五、隨堂練習(xí)及時(shí)鞏固 活動(dòng)內(nèi)容：在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨(dú)立完成以下練習(xí) 1如圖，已知 ABC和厶B

22、DE都是等邊三角形. 求證:AE=CD 活動(dòng)意圖：在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟, 規(guī)范證明的書(shū)寫(xiě)格式。 六、 探討收獲課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們通過(guò)觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納 出一般結(jié)論， 七、 教學(xué)反思 本節(jié)課關(guān)注了問(wèn)題的變式與拓廣，實(shí)際上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程， 因而較好地提高了學(xué)生的研究能力、自主學(xué)習(xí)能力，但也應(yīng)注意根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行適度的 調(diào)整，因?yàn)閷W(xué)生先前這樣的經(jīng)驗(yàn)較少，因而對(duì)一些班級(jí)學(xué)生而言，完成全部這些教學(xué)任務(wù)， 可能時(shí)間偏緊，為此，教學(xué)中可以適當(dāng)減少一些內(nèi)容，將部分內(nèi)容延伸到課外，當(dāng)然，也可 以

23、設(shè)計(jì)為兩個(gè)課時(shí)，將研究過(guò)程進(jìn)一步展開(kāi)。C 11 1. 等腰三角形（三） 知識(shí)與技能目標(biāo) 1 “探索等腰三角形判定定理. 2. 理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明. 3. 了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。 4. 培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。 三、教學(xué)過(guò)程分析 本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)了以下六個(gè)環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)引入 -逆向思考，定理證明-鞏固練習(xí) -適時(shí)提問(wèn) 導(dǎo)出反證法-拓展延伸-課堂小結(jié)。 一、復(fù)習(xí)引入 活動(dòng)過(guò)程：通過(guò)問(wèn)題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路， 要求學(xué)生獨(dú)立思考 后再進(jìn)交流 問(wèn)題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么? 問(wèn)題2.我們是如何

24、證明上述定理的？ 問(wèn)題3.我們把性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過(guò)來(lái)還成立么？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等, 那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等？ 活動(dòng)意圖：設(shè)計(jì)是問(wèn)題串是為引出等腰三角形的判定定理埋下伏筆。 學(xué)生獨(dú)立思考是對(duì) 上節(jié)課內(nèi)容有效地檢測(cè)手段。 二、逆向思考，定理證明 活動(dòng)過(guò)程與效果： 教師：上面，我們改變問(wèn)題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問(wèn)題的一種常用方 法，除此之外，我們還可以反過(guò)來(lái)思考問(wèn)題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑.例如 等 邊對(duì)等角，反過(guò)來(lái)成立嗎？也就是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎 生如圖，在 ABC中，/ B=Z C,要想證明AB=AC只要構(gòu)造兩個(gè)全 等的三角形，使AB與AC

25、成為對(duì)應(yīng)邊就可以了. 師你是如何想到的？ 生由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作 BC的中線，或作A的平分 線，或作BC上的高，都可以把 ABC分成兩個(gè)全等的三角形. 師很好.同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然后分組討論. 生我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把厶ABC分成了兩個(gè)三角形，但無(wú)法用公理和 已證明的定理證明它們?nèi)?因?yàn)槲覀兊玫降臈l件是兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)兩邊及其一邊的對(duì)角分12 別相等，是不能夠判斷兩個(gè)三角形全等的“后兩種方法是可行的. 師那么就請(qǐng)同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過(guò)程書(shū)寫(xiě)出來(lái). （教師可讓兩個(gè)同學(xué) 在黑板上演示，并對(duì)推理證明過(guò)程講評(píng)） （證明略） 師我們用反過(guò)來(lái)思考問(wèn)

26、題，獲得并證明了一個(gè)非常重要的定理一一等腰三角形的 判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形. 這一定理可以簡(jiǎn)單敘述為：等角對(duì)等邊.我 們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對(duì)稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的對(duì)稱美. 三、鞏固練習(xí) 活動(dòng)過(guò)程與效果：將書(shū)中的隨堂練習(xí)提前到此，是為了及時(shí)鞏固判定定理。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn) 行分析。 已知：如圖，/ CAEABC勺外角，AD/ BC且/仁/2. 求證：AB=AC 證明：“ AD/ BC， 仁/ B（兩直線平行，同位角相等）， / 2=Z C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. 又/ 仁/ 2，AZ B=Z C. AB=AC等角對(duì)等邊）. 四、適時(shí)提問(wèn)導(dǎo)出反證法 活動(dòng)過(guò)程與效果： 我們類比歸

27、納獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，反過(guò)來(lái)思考問(wèn)題也獲得了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論.如果否定 命題的條件，是否也可獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論嗎 ？我們一起來(lái)想一想： 小明說(shuō)，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn) 為這個(gè)結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？ 有學(xué)生提出：我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的.因?yàn)槲耶?huà)了幾個(gè)三角形，觀察并測(cè)量發(fā)現(xiàn)，如 果兩個(gè)角不相等，它們所對(duì)的邊也不相等.但要像證明等角對(duì)等邊那樣卻很難證明，因 為它的條件和結(jié)論都是否定的.的確如此.像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有沒(méi)有 別的證明思路和方法呢？ A 我們來(lái)看一位同學(xué)的想法： 如圖，在 ABC中，已知/ BZ C,此時(shí)AB與Ac要么相

28、等， 要么不相等.13 假設(shè)AB=AC那么根據(jù)等邊對(duì)等角定理可得/ C=/B,但已知條件是 / BZ C. C=Z B與已知條件/ BZ C相矛盾，因此 A盼AC 你能理解他的推理過(guò)程嗎？ 再例如，我們要證明 ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有 兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)Z A=90，Z B=90，可得Z A+Z B=180，但 ABZ A+Z B+Z C=180 “Z A+Z B=180 與“Z A+Z B+Z C=180 相矛盾，因此 ABC中不可能有兩個(gè)直角. 引導(dǎo)學(xué)生思考：上一道面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢 ？引出反證法。 都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與

29、已知或公理或已證明過(guò)的定理相矛 盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法. 接著用反過(guò)來(lái)思考問(wèn)題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理等角對(duì)等 邊，最后結(jié)合實(shí)例了解了反證法的含義. 五、拓展延伸 活動(dòng)過(guò)程與效果：在一節(jié)課結(jié)束之際，為培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性、靈活性特安排了 2個(gè) 練習(xí)。一個(gè)是通過(guò)平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過(guò)線段的轉(zhuǎn)換求圖形的周長(zhǎng)。 另一個(gè)是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，考察學(xué)生多角度多維度思考問(wèn)題的能力。學(xué)生在獨(dú)立思考的基 礎(chǔ)上再小組交流。 MN/ BC,設(shè) AB=12 AC=18 求 AMN的周 2現(xiàn)有等腰三角形紙片，如果能從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，

30、將原紙片一次剪開(kāi)成兩塊等腰三角形 紙片,問(wèn)此時(shí)的等腰三角形的頂角的度數(shù)？ 六、課堂小結(jié) (1) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？ (2) 等腰三角形的判定方法有哪幾種？ (3) 結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系. (4) 舉例談?wù)動(dòng)梅醋C法說(shuō)理的基本思路 1. 等腰三角形（四） 長(zhǎng). 14 知識(shí)與技能目標(biāo) 理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有 30o 角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并 能利用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。 過(guò)程與方法目標(biāo) 經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽 象思維 經(jīng)歷實(shí)際操作，探索含有 30。角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明

31、過(guò)程，發(fā)展合情推理 能力和初步的演繹推理的能力； 在具體問(wèn)題的證明過(guò)程中，有意識(shí)地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學(xué)生的能 力。 情感與價(jià)值觀要求 積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心 教學(xué)重點(diǎn) 等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明 . 含 30角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明 . 教學(xué)難點(diǎn) 含 30角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明 . 引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問(wèn)題. 學(xué)具準(zhǔn)備： 兩個(gè)帶 30度角的三角板。 教學(xué)過(guò)程 一、提問(wèn)問(wèn)題，引入新課 活動(dòng)內(nèi)容 ：教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，直接提出問(wèn)題：等邊 三

32、角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個(gè)三角形是等腰三角形 呢？從而引入新課。 活動(dòng)目的 ：開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，引入新課，同時(shí)回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊。 活動(dòng)效果：在老師的引導(dǎo)下，一般學(xué)生都能得出等邊三角形的性質(zhì)；對(duì)于等邊三角形的 判別，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)多種情況，如直接從等邊三角形性質(zhì)出發(fā)，當(dāng)然也可能有學(xué)生考慮分 步進(jìn)行，現(xiàn)確定它是等腰三角形，再增補(bǔ)條件，確定它是等邊三角形。這是教師可以適時(shí)提 出問(wèn)題：如果已知一個(gè)三角形是等邊三角形的基礎(chǔ)上，如何確定它是等邊三角形呢？ 下面是實(shí)際教學(xué)中的部分師生活動(dòng)實(shí)況： 15 生等腰三角形已經(jīng)有兩邊分別相等，所以我認(rèn)為只要腰和底相等，等腰三角形就

33、成了 等邊三角形. 生等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且分別都等于 60.我認(rèn)為等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角 都等于60,等腰三角形就是等邊三角形了. （此時(shí)，部分同學(xué)同意此生的看法，部分同學(xué)不同意此生的看法，引起激烈地爭(zhēng)論“教師 可讓同學(xué)代表充分發(fā)表自己的看法.） 生我不同意這位同學(xué)的看法“因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形滿足這個(gè)條件都是等邊三角形“根 據(jù)等角對(duì)等邊，三個(gè)內(nèi)角都是60，所以它們所對(duì)的邊一定相等.但這一問(wèn)題中已知是等 腰三角形，滿足什么條件時(shí)便是等邊三角形，我覺(jué)得他給的條件太多，浪費(fèi)！ 師給三個(gè)角都是60，這個(gè)條件的確有點(diǎn)浪費(fèi)，那么給什么條件不浪費(fèi)呢？下面同學(xué)們 可在小組內(nèi)交流自己的看法. （2）你認(rèn)為

34、有一個(gè)角等于 60的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？把你的 證明思路與同伴交流. （教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時(shí)間） 二、自主探索 活動(dòng)內(nèi)容：學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報(bào)各自的結(jié)論， 教師適時(shí)要求學(xué)生給出相對(duì)規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出 下表： 性質(zhì) 判定的條件 等腰三角形 （含等邊三 角形） 等邊對(duì)等角 等角對(duì)等邊 三線合一 即等腰 三角形頂角平分線， 底邊上的中線、咼互 相重合 有一角是60 16 等邊三角形三個(gè)角 都相等，且每個(gè)角都 是60 三個(gè)角都相等的三 角形是等邊三角形 活動(dòng)目的：經(jīng)歷定理的探究過(guò)程，即明確有關(guān)定

35、理，同時(shí)提高學(xué)生的自主探究能力。 活動(dòng)注意事項(xiàng)與效果：由于有了第1環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生多能探究出： 頂角是60的等腰三角形是等邊三角形； 底角是60的等腰三角形是等邊三角形； 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； 三條邊都相等的三角形是等邊三角形。 對(duì)于前兩個(gè)定理的形式相近，教師可以進(jìn)一步提出要求：能否用更簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言描述這個(gè) 結(jié)論嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生得出：有一個(gè)角是 60的等腰三角形是等邊三角形。 在學(xué)生得出這些結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師注意引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)明道理，給出證明的思路，選擇部 分命題，給與嚴(yán)格的證明，由于有一個(gè)角是 60。的等腰三角形是等邊三角形的證明需要分 類討論，因此，可以以此問(wèn)題作為對(duì)學(xué)生證明的要求

36、，并與同伴交流證明思路“并要求學(xué)生 思考證明中的注意事項(xiàng)，從而點(diǎn)明其中的分類思想，提請(qǐng)學(xué)生注意：思考問(wèn)題要全面、周到. 三、實(shí)際操作提出問(wèn)題 活動(dòng)內(nèi)容：教師直接提出問(wèn)題：我們還學(xué)習(xí)過(guò)直角三角形，今天我們研究一個(gè)特殊的直 角三角形：含30角的直角三角形。拿出三角板，做一做： 用含30角的兩個(gè)三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形 ？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？ 在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你 能得到什么結(jié)論？說(shuō)說(shuō)你的理由. 活動(dòng)目的：讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三 角尺的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在直角三 角形中，如果一個(gè)銳角等于 30， 那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一 半. 活動(dòng)注

37、意事項(xiàng)與效果：學(xué)生一 般可以得出下面兩種圖形：其中第 1 1個(gè)圖形是等邊三角形， 對(duì)于該圖學(xué)生也可以得出 BD=2 AB，從而得出：在直角三角形中, 如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 17 注意，教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)明為什么所得到的三角形是等邊三角形。具 體的說(shuō)明過(guò)程可以如下： 方法1:因?yàn)?ABD也ACD，所以 AB=AC .又因?yàn)?RtAABD中，/ BAD=60，所以 / ABD=60，有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形. 方法 2 :圖 中，/ B=Z C=60， / BAC= / BAD+ / CAD=30 +30 =60， 所 以 / B=

38、/ C= / BAC=60，即 ABC是等邊三角形. 如果學(xué)生不能很快得出30度所對(duì)直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標(biāo)出各個(gè)字母，并 要求學(xué)生思考其中哪些線段直接存在倍數(shù)關(guān)系，并在將三角板分開(kāi)，思考從中可以得到什么 結(jié)論。然后在學(xué)生得到該結(jié)論的基礎(chǔ)上，再證明該定理。 定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 已知：如圖，在 RtAABC 中，/ C=90，/ BAC=30 . 1 求證：BC=2 AB . 分析：從三角尺的拼擺過(guò)程中得到啟發(fā)，延長(zhǎng) BC至D，使CD=BC，連接AD . 證明：在厶 ABC 中，/ ACB=90，/ BAC=30 / B=6

39、0 . 延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC，連接AD（如圖所示）. vZ ACB=90 / ACB=90 AC=AC，二 ABCADC(SAS). AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）. “ ABD是等邊三角形（有一個(gè)角是60的等腰三角形是 四、變式訓(xùn)練鞏固新知 活動(dòng)1:直接提請(qǐng)學(xué)生思考剛才命題的逆命題： 在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜 邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于 30。嗎?如果是，請(qǐng)你證明它. 在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明： 1 已知：如圖，在 RtAABC 中，Z C=90，BC=2 AB . 求證：Z BAC=30 證明：延長(zhǎng)BC至D，使 CD=BC，連接AD. vZ ACB=

40、90 ,/ ACD=90 .等邊三角形). BC=2 BD=1 AB . 18 又“ AC=AC . “ ACB ACD(SAS). AB=AD . 1 v CD=BC，二 BC=2 BD . 1 又 v BC=2 AB，二 AB=BD . AB=AD=BD , 即厶ABD是等邊三角形. / B=60 .在 RtAABC 中，/ BAC=30 . 注意事項(xiàng)：該命題的證明中輔助線較復(fù)雜，但恰有前面原命題探究活動(dòng)過(guò)程的鋪墊，可 以給學(xué)生一些啟示，因此，教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：從前面定理證明的輔助線的作 法中能否得到啟示？ 活動(dòng)2 :呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用所學(xué)的新定理解答例題 例題

41、等腰三角形的底角為15腰長(zhǎng)為 分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在 RtA ADC 中，AC=2a而/ DAC是厶ABC的一個(gè)外角， 而/DAC=X 15 =30，根據(jù)在直角三角形中， 30角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可求出 CD . 解: v/ ABC= /ACB=15 / DAC= / ABC+ / ACB=15 +15 =30 1 1 CD=2 AC=2 2a= a在直角三角形中， 于斜邊的一半）. 活動(dòng)目的：在例題求解中鞏固新知。 讓學(xué)生對(duì)課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識(shí)、結(jié)論，以及解決問(wèn)題的方法和蘊(yùn)含 其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。 六、布置作業(yè) 七、教學(xué)反思 本節(jié)課，難點(diǎn)在于探究

42、兩個(gè)定理：在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么 五、暢談收獲 課時(shí)小結(jié) 如果一個(gè)銳角等于30那么它所對(duì)的直角邊等 2a,求腰上的高CD的長(zhǎng). 19 這條直角邊所對(duì)的銳角等于30和直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由 i8 于設(shè)計(jì)了三角板操作的實(shí)踐活動(dòng)，有效地突破了難點(diǎn)，因而，課堂學(xué)生思維非常靈活，方法 多樣，取得較好的效果。 2“直角三角形(一) 知識(shí)與技能目標(biāo) (1) 掌握直角三角形的性質(zhì)定理(勾股定理)及判定定理的證明方法，并能應(yīng)用定理解 決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題。 (2) 結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命 題不一定成立. 過(guò)程

43、與方法目標(biāo) 進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展 抽象思維. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力. 教學(xué)重點(diǎn) 了解勾股定理及其逆定理的證明方法. 結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命 題不一定成立. 教學(xué)難點(diǎn) 勾股定理及其逆定理的證明方法. 教學(xué)過(guò)程 一、創(chuàng)設(shè)情境，弓I入新課 通過(guò)問(wèn)題1,讓學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。 問(wèn)題1 一個(gè)直角三角形房梁如圖所示，其中 BC丄AC, / BAC=30，AB=10 cm CBi丄AB，BiC丄ACi,垂足分別是Bi、Ci,那么BC的長(zhǎng)是

44、多少？ BiCi呢？ 解：在 Rt ABC 中，/ CAB=30，AB=i0 cm， i i BC = 2 AB = 2 X0= 5 cm. CBi 丄 AB，“/ B+Z BCBi = 90 又/ A+ Z B = 902 21 “/ BCBi =/A = 30 115 在 RtAACBi 中，BBi = 2 BC = 2 冷=2 cm = 2. 5 cm. i AB1 = AB = BBi= 10 2.5= 7.5(cm). “在 RtAC1AB1 中，/ A = 30 c 1 1 B1C1 = 2 AB 1 = 2 X7.5= 3.75(cm). 解決這個(gè)問(wèn)題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的

45、 30角的直角三角形的性質(zhì).由此提問(wèn): 一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢？從而引入勾股定理及其證明。 教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推導(dǎo)出的 定理，能夠證明勾股定理嗎？ 請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)課本P18,閱讀 讀一讀，了解一下利用教科書(shū)給出的公理和推導(dǎo)出的定理， 證明勾股定理的方法. 二、講述新課 閱讀完畢后，針對(duì)讀一讀中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請(qǐng) 有興趣的同學(xué)課后閱讀. (1) .勾股定理及其逆定理的證明. 已知：如圖，在 ABC 中，/ C= 90, BC = a， AC = b， AB = c. 求證：a2+b2 = c2. 證明：延長(zhǎng)

46、 CB至D，使BD= b,作/ EBD = Z A，并取BE= c,連接ED、AE(如圖)， 則厶 ABC BED . BDE = 90, ED = a(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等). “四邊形ACDE是直角梯形. 1 1 2 - S 梯形 ACDE = 2 (a+b)(a+b) = 2 (a+b). / ABE = 180 (/ ABC + Z EBD) = 180 90 = 90, AB = BE. 1 2 “ SA ABE = c2 T S 梯形 ACDE = SAABE+SSBC +SBED， “ (a+b) 2= c2 + ab + 2 ab, 即2 a2 + ab + b2

47、 = 2 c2 + ab, “ a2+b22 教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)論，并強(qiáng)調(diào)“具體如 下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 反過(guò)來(lái)，如果在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，我們?cè)枚攘康?方法得出 這個(gè)三角形是直角三角形的結(jié)論“你能證明此結(jié)論嗎？ 師生共同來(lái)完成. 已知：如圖：在厶ABC中，AB2+AC2= BC2 求證： ABC是直角三角形. 分析： 要從邊的關(guān)系， 推出/ A二90是不容易的， 如果 能借助于厶ABC與一個(gè)直角三角形全等，而得到/ A與對(duì)應(yīng)角 （構(gòu)造的三角形的直角）相等，可證. 證明：作 Rt A B，

48、使/ A= 90，A BAB，A C AC（如圖）， 則A B+ A 0.（勾股定理）. AB2 + AC2= BC2，A 養(yǎng) AB，A C BC2= B C :.BC = B C “ ABCA B （SSS） Z A = Z A = 90 （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）. 因此， ABC是直角三角形. 總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直 角三角形. （2）.互逆命題和互逆定理. 觀察上面兩個(gè)命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系 ？在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命 題嗎？ 通過(guò)觀察，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)： 上面兩個(gè)定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個(gè)定理

49、的結(jié)論，結(jié)論 是第二個(gè)定理的條件. 這樣的情況，在前面也曾遇到過(guò).例如 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 交換條件和結(jié)論， 就得到 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行又如 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30,那么它 所對(duì)的直角邊就等于斜邊的一半 交換此定理的條件和結(jié)論就可得在直角三角形中，如果 一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于 30。 3:議一議 觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進(jìn)行，最后在教師的引導(dǎo)下得出命題與逆命題 的區(qū)別與聯(lián)系。 B C 23 讓學(xué)生暢所欲言，體會(huì)逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清晰地分別出一個(gè)命題 的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€(gè)命題寫(xiě)出如果 , ；那么 , 的形式

50、，以及能夠?qū)懗鲆粋€(gè)命 題的逆命題。 活動(dòng)中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語(yǔ)言上不嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)，要先讓這個(gè)疑問(wèn)交 給學(xué)生來(lái)剖析，然后再總結(jié)?；顒?dòng)時(shí)可以先讓學(xué)生觀察下面三組命題： 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等 如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角 如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒 如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎 三角形中相等的邊所對(duì)的角相等 三角形中相等的角所對(duì)的邊相等 上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎 ?與同伴交流 不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個(gè)命題的條件是第一個(gè)命題的結(jié)論，第二個(gè)命題的結(jié)論是第一個(gè)命 題的條件 在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)

51、 命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題，相對(duì)于逆命題來(lái)說(shuō)，另一個(gè)就 為原命題 再來(lái)看 議一議 中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個(gè)命題為原命 題，另一個(gè)則為逆命題請(qǐng)同學(xué)們判斷每組原命題的真假逆命題呢 ? 在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題 在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題 在第三組中，原命題和逆命題都是真命題 由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題 4：想一想 要寫(xiě)出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)論變換成條件，條 件變換成結(jié)論，就得到了逆命題 請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)出命題 如果兩個(gè)有理數(shù)相等，那么它們的平方相等

52、的逆命題嗎 ?它們都是真命 題嗎？ 從而引導(dǎo)學(xué)生思考：原命題是真命題嗎 ?逆命題一定是真命題嗎 ? 并通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō) 如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?. 其中逆命題成為原命題 (即原定理 )的逆定理 能舉例說(shuō)出我們已學(xué)過(guò)的互逆定理 ? 如我們剛證過(guò)的勾股定理及其逆定理， 兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等 與內(nèi)錯(cuò)角相等， 兩直 線平行 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 和三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等 、等邊對(duì)等角 和等角對(duì) 等邊等 三、隨堂練習(xí) 說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假 ; (1) 四邊形是多邊形； (2) 兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補(bǔ)； (3) 如果 ab=

53、0,那么 a= 0, b = 0 分析 互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來(lái)應(yīng)不會(huì)有什么困難，尤其是對(duì)以 如 24 果那么形式給出的命題，寫(xiě)出其逆命題較為容易，但對(duì)于那些不是以這種形式給出 的命題,敘述其逆命題有一定困難可先分析命題的條件和結(jié)論,然后寫(xiě)出逆命題 解： (1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題 (2) 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行原命題與逆命題同為正 (3) 如果a= 0, 6 = 0,那么ab= 0.原命題是假命題，而逆命題是真命題. 四、課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命 題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道，原命題

54、成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方 法，進(jìn)一步發(fā)展了演繹推理能力. 五、課后作業(yè) 習(xí)題 1. 5第 1、2、 3、4題 六、教學(xué)反思 學(xué)生對(duì)于命題和逆命題中題設(shè)和結(jié)論分析和把握不是太準(zhǔn)， 部分學(xué)生尤其是在語(yǔ)言表述 方面仍然有些欠缺，作為教師要關(guān)注到學(xué)生的個(gè)體差異，對(duì)于學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)有困難的學(xué)生要 給予及時(shí)的幫助和指導(dǎo)。使每一個(gè)學(xué)生都能經(jīng)歷證明的過(guò)程，為他們提供充分地尋找證明思 路的時(shí)間、空間和方法，體會(huì)證明的必要性.另外學(xué)生對(duì)于命題成立的證明方法，鍛煉他們 的演繹推理能力離目標(biāo)還是有一定的差距。所以作為教師一定不能急躁，要本著以學(xué)生為本 的目的，注意學(xué)生個(gè)體差異，對(duì)學(xué)習(xí)證明有困難的學(xué)生給予幫

55、助和指導(dǎo) . 2直角三角形（二） 知識(shí)與技能目標(biāo)： 能夠證明直角三角形全等的 HL勺判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要性 利用HL定理解決實(shí)際問(wèn)題 過(guò)程與方法目標(biāo)： 進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)提問(wèn) 1. 判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？ 2. 已知一條邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形。想一想，怎么畫(huà)？同學(xué)們相互交流。 3. 有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一個(gè)角是直角呢？ 請(qǐng)證明你的結(jié)25 論。 我們?cè)鴱恼奂埖倪^(guò)程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運(yùn) 用公理，證明三角形全等，從而得出 等邊對(duì)等角

56、 。那么我們能否通過(guò)作等腰三角形底邊的 高來(lái)證明 等邊對(duì)等角 要求學(xué)生完成，一位學(xué)生的過(guò)程如下： 已知：在厶ABC中，AB=AC . 求證：/ B= / C . 證明：過(guò)A作AD丄BC,垂足為C, / ADB= / ADC=90 又“ AB=AC , AD=AD , “ ABD ACD . /B =Z C （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中,有學(xué)生對(duì)上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點(diǎn)在于在證明 ABD ACD時(shí)，用了兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)相等的兩個(gè)三角形全等 而我們?cè)谇懊?學(xué)習(xí)全等的時(shí)候知道,兩個(gè)三角形,如果有兩邊及其一邊的對(duì)角相等,這兩個(gè)三角形是不一 定全等的.可以畫(huà)圖說(shuō)明.（如圖所

57、示在 ABD和厶ABC中，AB=AB，/ B= / B, AC=AD , 但厶ABD與厶ABC不全等）.26 也有學(xué)生認(rèn)同上述的證明。 教師順?biāo)浦郏儐?wèn)能否證明：在兩個(gè)直角三角形中，直角所對(duì)的邊即斜邊和一條直角 邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.，從而引入新課。 二、引入新課 （1）. HL定理“由師生共析完成 已知：在 RtAABC 和 RtAA B中;/ C=Z C =90； AB=A B, BC=B C. 求證：RtA ABC 也 RtAA B C 證明：在RtAABC中，AC=AB 2 一 BC2（勾股定理）. 又“在 Rt A B C中,A C =AC=AB 2一 BC2 （勾股 定

58、理）. AB=AB，BC=BC，AC=AC . Rt ABC 也 RtAABC （SSS）. 教師用多媒體演示： 定理 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等. 這一定理可以簡(jiǎn)單地用 斜邊、直角邊或HL表示. 從而肯定了第一位同學(xué)通過(guò)作底邊的高證明兩個(gè)三角形 全等，從而得到 等邊對(duì)等角的證法是正確的. 練習(xí)：判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由： （1） 兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； （2） 斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； （3） 兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； （4） 一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等. 對(duì)于（1）、（2）、（3）

59、般可順利通過(guò)，這里教師將講解的重心放在了問(wèn)題（4）,學(xué)生感 覺(jué)是真命題，一時(shí)有無(wú)法直接利用已知的定理支持，教師引導(dǎo)學(xué)生證明. 已知：R ABC 和 RtAAB C，Z C=Z C=90 BC=BC，BD、BD分別是 AC、AC 邊上的中線且 BD BD（如圖）. 求證：Rt ABC也 Rt ABC. 證明：在 RtA BDC 和 RtA BDC中， BD=BD,BC=BC, Rt BDC也Rt B D C （HL 定理）. CD=CD.C D C B 27 又“ AC=2CD , A C =2C D ，二 AC=AC . “在 RtAABC 和 RtAA B C 中, BC=BC ，/ C=Z

60、 C =90； AC=AC , “ Rt ABC 也CORtAABC（SAS）. 通過(guò)上述師生共同活動(dòng)，學(xué)生板書(shū)推理過(guò)程之后可發(fā)動(dòng)學(xué)生去糾錯(cuò)，教師最后再總結(jié) 3:做一做 問(wèn)題 你能用三角尺平分一個(gè)已知角嗎？請(qǐng)同學(xué)們用手中的三角尺操作完成， 并在小組 內(nèi)交流，用自己的語(yǔ)言清楚表達(dá)自己的想法. （設(shè)計(jì)做一做的目的為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論在實(shí)際中的應(yīng)用， 教學(xué)中就要求學(xué)生能用 數(shù)學(xué)的語(yǔ)言清楚地表達(dá)自己的想法，并能按要求將推理證明過(guò)程寫(xiě)出來(lái)。 ） 4:議一議 如圖，已知/ ACB= / BDA=90，要使 ACB也BDA，還需要什么條件？把它們分別寫(xiě)出 來(lái). 這是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一，需要我們靈活