第2章 點(diǎn)、直線、平面投影(建筑)

1、第2章點(diǎn)、直線、平面的投影2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.1 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影2.2 點(diǎn)在三投影面體系中的投影2.3兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)2.4 直線的投影2.5直線對(duì)投影面的相對(duì)位置2.6屬于直線的點(diǎn)n2.7兩直線的相對(duì)位置n2.8直角投影定理n2.9平面的表示法n2.10平面的相對(duì)位置n2.11平面上的直線和點(diǎn)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11PbAP 過空間點(diǎn)過空間點(diǎn)A的投射線與投影面的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在在P面上的投影面上的投影B3B2B1 點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定

2、點(diǎn)的空間位置a2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11物體的單面投影圖影投方向結(jié)論：利用單面投影圖無法確定物體的空間形狀2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11HV兩個(gè)投影面互兩個(gè)投影面互相垂直相垂直2.1.2兩投影面體系的建立OXn投影面 正立投影面（簡稱V面） 水平投影面（簡稱H面）n投影軸 ox軸 V面與H面的交線（簡稱x軸）2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的正面投影XOVHAaaxa注意：注意： 空間點(diǎn)用大寫字母表空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。字母表示。n投影2- 1 2 3 4 5 6

3、 7 8 9 10 11VHXOVHAaa n點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律:（1 1）aaOXaaOX軸軸（2 2）aaaax x a aa ax xxa= =A Aaa（A A到到V V面的距離）面的距離）= =A Aa a （A A到到HH面的距離）面的距離）a aaXn投影面展開投影面展開省略不畫省略不畫繞繞X X軸向下旋軸向下旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)9090不動(dòng)不動(dòng)XO2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11n其他分角內(nèi)其他分角內(nèi)點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影H HX XV VO OO OX X分角點(diǎn)的正面投影OX的上方OX的上方OX的下方OX的下方點(diǎn)的水平投影OX的下方OX的上方OX的上方OX的下方 注意：

4、注意：位于各分角內(nèi)點(diǎn)的兩面投影其連線總是垂直位于各分角內(nèi)點(diǎn)的兩面投影其連線總是垂直O(jiān)X軸，且投影點(diǎn)到軸，且投影點(diǎn)到OX軸之間的距離分別反映空間點(diǎn)到對(duì)應(yīng)投影面的距離。軸之間的距離分別反映空間點(diǎn)到對(duì)應(yīng)投影面的距離。 2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11HWV2.2.1三面投影體系的建立三面投影體系的建立正立投影面正立投影面 - V V面面水平投影面水平投影面 - H H面面?zhèn)攘⑼队懊鎮(zhèn)攘⑼队懊?- W- W面面n投影軸投影軸ZOXOX軸軸 V V面與面與H H面的交線面的交線OZOZ軸軸 V V面與面與W W面的交線面的交線OYOY軸軸 H H面與面與W W面的交線面的交線Y三面投

5、影體系將空間分為八個(gè)分角三面投影體系將空間分為八個(gè)分角n投影面投影面OX2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.2.2點(diǎn)在第一分角內(nèi)的點(diǎn)在第一分角內(nèi)的三面投影三面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的正面投影a”點(diǎn)A的側(cè)面投影XZOVHWAaa”axaazayY2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11HWVXYZOVHWAaa”axaazay繞繞Z Z軸軸向右向右旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)9090繞繞X X軸向下旋軸向下旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)9090不動(dòng)不動(dòng)n投影面展開投影面展開ZaaayxaayzaXYH YWOa” 省略不畫省略不畫2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11XYZOVHWAaa”

6、a 2.2.3點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律（1）aaOX軸（2）a ax= aaz=y =Aa （A到V面的距離）xaazayYWZ aza”XYHayWOaa xayHa aaOZ軸a ayH=aaz=x=x =Aa （A到W面的距離）aax= aayw=z=Aa （A到H面的距離）2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11例：例：已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A的兩個(gè)投影的兩個(gè)投影a, aa, a, , 求第三投影求第三投影a”a”a”aaaxaz解法一解法一:通過作通過作45線使線使aaz=aax解法二解法二: :用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量取取aaz=aaxZOXYWYHaza”aaaxZOXYH

7、YW2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.2.4點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系A(chǔ) Aaaa”a”a aa ax xa ay ya az zV VH HW WO OX XY YZ ZX X aaaa aO Oa ax xa ay ya az zZ Za ay yY YH HY YW WH HW Wx xy yz zx xy yz zy y2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11例：求點(diǎn)求點(diǎn)A(40,20,30)的三面投影的三面投影X XO Oa ax xa az zZ ZY YH HY YW Wa ay yH Ha ay yW W404020203

8、0302020已知點(diǎn)已知點(diǎn)A :A : X X坐標(biāo)坐標(biāo)=40mm=40mm Y Y坐標(biāo)坐標(biāo)=20mm=20mm Z Z坐標(biāo)坐標(biāo)=30mm=30mmaaa aa a2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11空間點(diǎn)的重建法(a) 坐標(biāo)法(b) 逆投影線法2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11特殊位置的點(diǎn)OXb bc cC=cca ba aXOVHA=aB=b 2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.3 兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn) 兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：判斷方法：x 坐

9、標(biāo)大的在左坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前坐標(biāo)大的在前z 坐標(biāo)大的在上坐標(biāo)大的在上A點(diǎn)在點(diǎn)在B點(diǎn)之前、點(diǎn)之前、之右、之之右、之上baa a”b”bXYHYWZo2.3.1 兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11O比較比較A A、B B兩點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)兩點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)xxzzyyA A點(diǎn)在點(diǎn)在B B點(diǎn)之右點(diǎn)之右A A點(diǎn)在點(diǎn)在B B點(diǎn)之后點(diǎn)之后A A點(diǎn)在點(diǎn)在B B點(diǎn)之上點(diǎn)之上2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11( )a bA A、B B為水平投影面的重影點(diǎn)為水平投影面的重影點(diǎn)XYZOVHWAaa”a xaazayb”Bb (b)baa”b”ZXY

10、WOYH2.3.2 重影點(diǎn)重影點(diǎn)被擋住的投影加被擋住的投影加( ) 空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11d(c)cdCDa(b)abABaba(b)d(c)cdA A、B B為水平投影面的重影點(diǎn)為水平投影面的重影點(diǎn)C C、D D為正面投影面的重影點(diǎn)為正面投影面的重影點(diǎn)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11例：例： 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影的水平投影aaa”zOYWYHX2- 1 2

11、 3 4 5 6 7 8 9 10 11例：例： 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A在點(diǎn)在點(diǎn)B之前之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫米，求點(diǎn)毫米，求點(diǎn)A的投的投影。影。a a” a985b b” bOYWYHXz2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.42.4直線的投影直線的投影OO兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線的同名投影兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線的同名投影2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性2.5 2.5 直線對(duì)投影面的相對(duì)位置直線對(duì)投影面的相對(duì)位置 B

12、BA Aab直線垂直于投影面 投影重合為一點(diǎn) 積 聚 性直線平行于投影面 投影反映線段實(shí)長 ab=AB 直線傾斜于投影面 投影不反映線段實(shí)長ab=ABcosA AB Bab A AB Ba (b)M M(m)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 直線在三個(gè)投影面中的投影特性直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線投影面平行線 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）水平線（平行于面水平線（平行于面)側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面

13、）鉛垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置。其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11ABVWHXYZO2.5.12.5.1一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線ZXabaOYHYWabbbbabaa2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11一般位置直線的投影特性一般位置直

14、線的投影特性1.三面投影均不反映直線的實(shí)長（均小于實(shí)長）；2.直線與投影面之間的傾角在投影圖中均不反映實(shí)形。 事實(shí)上，只要空間直線的任意兩個(gè)投影都呈傾斜狀態(tài)，則該直線一定是一條一般位置直線。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11求解一般位置直線的實(shí)長及傾角求解一般位置直線的實(shí)長及傾角 根據(jù)一般位置直線的投影求解其實(shí)長及傾角是畫法幾何綜合習(xí)題中的經(jīng)常遇見的基本問題之一，也是工程實(shí)際中經(jīng)常需要解決的問題。而用直角三角形法直角三角形法求解實(shí)長及傾角最為簡便、快捷。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11XOababABababXOB0直角三角形法直角三角形法(求直線的實(shí)長及

15、對(duì)水平投影面的夾角)mmABABmAB0=abBB0=AB兩點(diǎn)的高度差mab2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11ABababXOXOabab直角三角形法直角三角形法（求直線的實(shí)長及對(duì)正立投影面的夾角）nnnA0BA0=abAA0=AB兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)差nABabAB2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11直角三角形法直角三角形法 直角三角形法的四要素：投影長、坐投影長、坐標(biāo)差、實(shí)長、傾角標(biāo)差、實(shí)長、傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。 解題時(shí)，直角三角形畫在任何位置都不影響解題結(jié)果，但用哪個(gè)長度來作直角邊不能搞錯(cuò)。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

16、0 11a|zA-zB| abABab|zA-zB|ABabb例題例題 已知線段已知線段AB的實(shí)長的實(shí)長、正面投影正面投影ab及點(diǎn)及點(diǎn)B的水平投影的水平投影b，求直，求直線線AB的水平投影。的水平投影。X該題有兩解該題有兩解2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.5.2投影面平行線V VW WH HY YX XZ Z側(cè)平線側(cè)平線水平線水平線正平線正平線2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11投影面平行線投影面平行線平行于一個(gè)投影面，同時(shí)傾斜于其它兩個(gè)投影面的直線平行于一個(gè)投影面，同時(shí)傾斜于其它兩個(gè)投影面的直線水平線平行于H面，同時(shí)傾斜于V、W面的直線正平線平行于V面

17、，同時(shí)傾斜于H、W面的直線側(cè)平線平行于W面，同時(shí)傾斜于H、V面的直線2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W水平線水平線實(shí)長實(shí)長 在其平行的那個(gè)投影面上的投影在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長反映實(shí)長, ,并反映直線與另兩投影面傾并反映直線與另兩投影面傾角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 另兩個(gè)投影面上的投影平行于相另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距離反應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之間的距映直線與它所平行的投影面之間的距離離投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW WZXYoA

18、BHABHab = AB= ABa b OX a b OYW2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11正平線正平線 在其平行的那個(gè)投影面上的投在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長影反映實(shí)長, ,并反映直線與另兩投影并反映直線與另兩投影面傾角的真實(shí)大小面傾角的真實(shí)大小 另兩個(gè)投影面上的投影平行于另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之離反映直線與它所平行的投影面之間的距離間的距離投影特性：投影特性：ABVABVa b = AB= ABabOX a b OZZV VH HabAaa BbbW W oXY X XZ

19、 ZbaaabbO OY YH HY YW W實(shí)長實(shí)長2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11側(cè)平線側(cè)平線V VH HAaBbW W aba bZoXY 在其平行的那個(gè)投影面上的投在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長影反映實(shí)長, ,并反映直線與另兩投影并反映直線與另兩投影面傾角的真實(shí)大小面傾角的真實(shí)大小 另兩個(gè)投影面上的投影平行于另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之離反映直線與它所平行的投影面之間的距離間的距離投影特性：投影特性：ABWABWa b = ABa b OZ abOYH bY YW W實(shí)長實(shí)

20、長Y YH HX XZ ZbaaabO O2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性可概括如下：1.直線在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)長，且反映對(duì)其他兩個(gè)投影面傾角的實(shí)形；2.該直線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長。 在直線的三面投影中，若有兩面投影垂直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態(tài)，則該直線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩投影面夾角的實(shí)形。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.5.2 投影面垂直線V VW WH HY YX XZ Z鉛垂線鉛垂線AB H正

21、垂線正垂線AC V側(cè)垂線側(cè)垂線AD WC CD DB BA Aa(b)a(b)aa(c)(c)a”a”(b”)(b”)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11投影面垂直線投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面，同時(shí)平行于其它兩個(gè)投影面的直線垂直于一個(gè)投影面，同時(shí)平行于其它兩個(gè)投影面的直線鉛垂線垂直于H面，同時(shí)平行于V、W面的直線正垂線垂直于V面，同時(shí)平行于H、W面的直線側(cè)垂線垂直于W面，同時(shí)平行于H、V面的直線2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11VWHXYZOAB鉛垂線鉛垂線Zb Xa ba(b)OYHYWab a(b)a ab水平投影積聚為一點(diǎn)；正面投影及側(cè)面投影平行于OZ

22、軸，且反映實(shí)長。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11VWHXYZOAB正垂線正垂線ZX(a)b baOYHYWabbababa正面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及側(cè)面投影平行于OY軸，且反映實(shí)長。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11VWXYZOABH側(cè)垂線側(cè)垂線baababYWZXa(b)baOYHab側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及正面投影平行于OX軸，且反映實(shí)長。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性可概括如下：1.直線在它所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)；2.該直線在其他兩個(gè)投影面上的

23、投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且都等于該直線的實(shí)長。 在直線的三面投影中，若有兩面投影平行于同一投影軸，則另一投影必積聚為一點(diǎn)；只要空間直線的三面投影中有一面投影積聚為一點(diǎn)，則該直線必垂直于積聚投影所在的投影面。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 點(diǎn)與直線的相對(duì)位置，可分為點(diǎn)與直線的相對(duì)位置，可分為點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線上和和點(diǎn)不在直點(diǎn)不在直線上線上兩種。兩種。 當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，由正投影的從屬性和定比性可知：當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，由正投影的從屬性和定比性可知：1.點(diǎn)在直線上，則該點(diǎn)的投影必落在該直線的同面投影上，點(diǎn)在直線上，則該點(diǎn)的投影必落在該直線的同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律；且符合

24、點(diǎn)的投影規(guī)律；2.點(diǎn)分線段成某一比例，則該點(diǎn)的各個(gè)投影也分該線段的點(diǎn)分線段成某一比例，則該點(diǎn)的各個(gè)投影也分該線段的同面投影成同一比例。同面投影成同一比例。2.6 屬于直線的點(diǎn)屬于直線的點(diǎn) 2.6.12.6.1屬于直線的點(diǎn)的投影性質(zhì)屬于直線的點(diǎn)的投影性質(zhì)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11bbaaANMBVHOX根據(jù)從屬性判斷點(diǎn)與直線的相對(duì)位置根據(jù)從屬性判斷點(diǎn)與直線的相對(duì)位置mmnnOXbabanmmnM點(diǎn)在點(diǎn)在AB直線上，直線上，N點(diǎn)不在點(diǎn)不在AB直線上直線上注意：對(duì)于側(cè)平線還需看側(cè)面投影注意：對(duì)于側(cè)平線還需看側(cè)面投影2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11根據(jù)定比

25、性求點(diǎn)根據(jù)定比性求點(diǎn) 例：已知側(cè)平線AB的兩面投影及從屬于AB的一點(diǎn)K的水平投影k，試在兩面投影體系中求出點(diǎn)K的正面投影k。XOabkabkbkka2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11cc 例題例題 已知線段已知線段ABAB的投影圖，試將的投影圖，試將ABAB分成分成2 21 1兩段，求分兩段，求分點(diǎn)點(diǎn)C C的投影的投影c c、c c 。abab2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 例題例題 已知線段已知線段ABAB的投影，試定出屬于線段的投影，試定出屬于線段ABAB的點(diǎn)的點(diǎn)C C的投影，使的投影，使BC BC 的實(shí)長等于已知長度的實(shí)長等于已知長度L L。cAB

26、zA-zBcabLababL2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.6.22.6.2直線的跡點(diǎn)直線的跡點(diǎn)直線與投影面的交點(diǎn)，稱為該直線的跡點(diǎn)直線與投影面的交點(diǎn)，稱為該直線的跡點(diǎn)nabb a m N(n )M(m)abb a nnm m直線與直線與H H面的交點(diǎn)稱為水平跡點(diǎn)，直線與面的交點(diǎn)稱為水平跡點(diǎn)，直線與V V面的交點(diǎn)稱為正面跡點(diǎn)面的交點(diǎn)稱為正面跡點(diǎn)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.7 兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置 兩直線平行兩直線平行 兩直線相交兩直線相交空間兩直線的相對(duì)位置分為：空間兩直線的相對(duì)位置分為： 平行、相交、交叉（異面）平行、相交、交叉

27、（異面） 兩直線交叉兩直線交叉2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11兩直線平行兩直線平行bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX X O OX X 1 1若空間兩直線相互平行，則它們的同面投影必然相互平行。反之，如果兩直若空間兩直線相互平行，則它們的同面投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個(gè)同面投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。線的各個(gè)同面投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。 2 2平行兩線段之比等于其投影之比。平行兩線段之比等于其投影之比。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11例判斷圖中兩條直線是否平行例判斷圖中兩條直

28、線是否平行 對(duì)于一般位置直線，只要有對(duì)于一般位置直線，只要有兩組同面投影互相平行，空間兩組同面投影互相平行，空間兩直線就平行兩直線就平行ABAB與與CDCD平行平行ABAB與與CDCD不平行不平行 對(duì)于特殊位置直線，只有兩對(duì)于特殊位置直線，只有兩組同面投影互相平行，空間直組同面投影互相平行，空間直線不一定平行線不一定平行a b c d b d c a dO O1.abcc a b d X XZ ZY YH HY YW WZ Zcbad d b a c 2.X XO OY YH HY YW W2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11兩直線相交兩直線相交 若空間兩直線相交，則其同面投影

29、必相交，且交點(diǎn)的投若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性影必符合空間一點(diǎn)的投影特性ac V VX XbH HDacdCAKd bO OBkk cabd b a c d X Xkk2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11cd d 例例 過過C C點(diǎn)作水平線點(diǎn)作水平線CDCD與與ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c X Xk k2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11兩直線交叉兩直線交叉兩直線相交嗎？兩直線相交嗎？不相交！不相交！交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律！交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律！cacabddbO OX XaccAaC

30、V VbH HddDBbX X凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)21投影特性投影特性 同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但 “ “交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。不符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。兩直線的空間位置。211(2)43 (4)33(4 )34 2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

31、例例 判斷直線判斷直線ABAB、CDCD的相對(duì)位置的相對(duì)位置。c abdabcd相交嗎？相交嗎？不相交！不相交！交點(diǎn)不符合空間一交點(diǎn)不符合空間一點(diǎn)的投影特性點(diǎn)的投影特性判斷方法判斷方法 應(yīng)用定比原理應(yīng)用定比原理 利用側(cè)面投影利用側(cè)面投影X X2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 例例 應(yīng)用側(cè)面投影判斷兩直線是否相交應(yīng)用側(cè)面投影判斷兩直線是否相交dacboYWYHz交叉兩直線交叉兩直線bacadcbdx2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 例例 應(yīng)用定比定理判斷兩直線是否相交應(yīng)用定比定理判斷兩直線是否相交11dc 11交叉兩直線交叉兩直線abcdcdxab2- 1

32、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 例題例題99 判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性3(4)34121(2)abcdcdab2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一般情況下，要使一個(gè)角不變形的投射到某一投影面上，必須使此角的兩邊都平行于該投影面。但是對(duì)于直角，只要有一邊平行于某一投影面，則此直角在該投影面上的投影仍舊是直角。直角的這一特性稱為直角投影定理。acbACB2.8 直角投影定理直角投影定理2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11cOXbacbaABAB垂直于垂直于ACAC，且，且ABAB平行于平行于H H面面, ,則有則有 ABAB

33、 AaAa；所以；所以AB AB 平面平面ACca,ACca,則則ab ab 平面平面ACca ,ACca ,故故ab ab acac直角投影定理的證明2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11ABAB垂直于垂直于MN,MN,且且ABAB平行于平行于H H面面, ,則有則有ab ab mn mn 交叉垂直的兩直線的投影2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11例求A點(diǎn)到正平線CD的距離。bXOcdaadcbmm所求距離2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11例 過點(diǎn)A作線段CD的垂線AB，并使AB平行于V面。bbacdcda2- 1 2 3 4 5 6 7 8

34、9 10 11例 已知點(diǎn)C到直線AB的距離為30mm，試補(bǔ)全C點(diǎn)的水平投影。30mm2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11f例 過點(diǎn)E作線段AB、CD的公垂線EF。fee2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11例 試完成等腰三角形ABC的兩面投影，已知AC為斜邊，頂點(diǎn)B在EC直線上。cceeaaABAB兩點(diǎn)兩點(diǎn)Z Z坐標(biāo)差坐標(biāo)差bbcABAB實(shí)長實(shí)長BCBC實(shí)長實(shí)長2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.9 平面的表示法平面的表示法不在同一直線不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)上的三個(gè)點(diǎn)直線及線外一直線及線外一點(diǎn)點(diǎn)abca b c dd 兩平行直線兩平行直線abc

35、a b c 兩相交直線兩相交直線平面圖形平面圖形c abca b caba b c baca b c X XX XX XX XX X2.9.12.9.1平面的幾何元素表示法平面的幾何元素表示法2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11PPVPHPVPHQVQHQHQVQ2.9.12.9.1平面的跡線表示法平面的跡線表示法2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.10平面對(duì)投影面的相對(duì)位置平面對(duì)投影面的相對(duì)位置平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面

36、垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面， 垂直于另兩個(gè)投影面垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面正垂面( ( V)V) 鉛垂面鉛垂面( H)( H) 側(cè)垂面?zhèn)却姑? W)( W) 正平面正平面(V)(V) 水平面水平面(H)(H) 側(cè)平面?zhèn)绕矫?W)(W)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11一般位置平面一般位置平面三個(gè)投影都為類似形。三個(gè)投影都為類似形。投影特性投影特性a b c a c b abcZ ZX XO OY YH HY YW W平面與三個(gè)投影面都傾斜。平面與三個(gè)投影面都傾斜

37、。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11側(cè)垂面?zhèn)却姑嫱队懊娴拇怪泵嫱队懊娴拇怪泵鎂 VW WH HY YX XZ Z正垂面正垂面鉛垂面鉛垂面2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11c c 鉛垂面鉛垂面abca b b a 積聚性積聚性鉛垂面鉛垂面投影特性投影特性在它垂直的投影面上的投影積聚成直線在它垂直的投影面上的投影積聚成直線即：水平投影積聚成直線。即：水平投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形Z ZX XO OY

38、 YH HY YW W類似性類似性類似性類似性2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11PHPPH鉛垂面的跡線表示鉛垂面的跡線表示ABCacbabab bab cccPHabab bab ccc2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11c c 正垂面正垂面abca b b a 積聚性積聚性正垂面正垂面 投影特性投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線在它垂直的投影面上的投影積聚成直線即：即：正面投影積聚成直線。正面投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影為類

39、似形。另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形。Z Z類似性類似性X XO OY YH HY YW W類似性類似性2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11QQVQV正垂面的跡線表示正垂面的跡線表示AcCabB2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11c c 側(cè)垂面?zhèn)却姑鎍bca b b a 積聚性積聚性側(cè)垂面?zhèn)却姑?投影特性投影特性在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。即即側(cè)面投影積聚成直線。側(cè)面投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影

40、為類似形。另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形。Z Z類似性類似性類似性類似性X XO OY YH HY YW W2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11側(cè)垂面的跡線表示側(cè)垂面的跡線表示VWSwSZXOYSwYCabABc2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11X XY YZ ZH HV VW W側(cè)平面?zhèn)绕矫嬲矫嬲矫嫠矫嫠矫嫱队懊娴钠叫忻嫱队懊娴钠叫忻?- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11積聚性積聚性積聚性積聚性實(shí)形性實(shí)形性水平面水平面投影特性投影特性它在水平投影面上的投影反映實(shí)形它在水平投影面上的投影反映實(shí)形另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸

41、平行的直線另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11積聚性積聚性積聚性積聚性實(shí)形性實(shí)形性正正平面平面投影特性投影特性它在正面投影面上的投影反映實(shí)形它在正面投影面上的投影反映實(shí)形另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11積聚性積聚性積聚性積聚性側(cè)側(cè)平面平面投影特性：投影特性：

42、它在側(cè)面投影面上的投影反映實(shí)形它在側(cè)面投影面上的投影反映實(shí)形另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W實(shí)形性實(shí)形性2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11a c b c a abcb 例：例：正垂面正垂面ABCABC與與H H面的夾角為面的夾角為4545，已知其水平投影及頂點(diǎn)，已知其水平投影及頂點(diǎn)B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及側(cè)面投影。的正面投影及側(cè)面投影。此題有幾解？此題有幾解？45Z ZX XO OY YH HY

43、YW W2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11a c 30 abcb 例：例：已知等腰三角形已知等腰三角形ABCABC的底邊的底邊BCBC為正垂線為正垂線,A,A在在BCBC的右上方的右上方, ,過過A A點(diǎn)的高與點(diǎn)的高與BCBC等長等長, ,三角形與三角形與H H面的夾角為面的夾角為3030，試補(bǔ)全三角形，試補(bǔ)全三角形ABCABC。此題有幾解？此題有幾解？X XO OBCBC實(shí)長實(shí)長2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11平面上的直線平面上的直線 直線在平面上的幾何條件是：直線在平面上的幾何條件是：通過平面上的兩點(diǎn)；通過平面上的兩點(diǎn)；通過通過平面上的一點(diǎn)且平行于平面

44、上的一條直線。平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn) 點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。 在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，實(shí)質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，實(shí)質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問題：的問題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點(diǎn)和直線判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影；完成多邊形的投影。的投影；完成多邊形的投影。 例題例題1 1 例題例題2 2 例題例題3 3

45、2.11平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線和點(diǎn)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：平面上取任意直線平面上取任意直線若一直線過平面上的兩點(diǎn)，若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。則此直線必在該平面內(nèi)。若一直線過平面上的一點(diǎn)且若一直線過平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。，則此直線在該平面內(nèi)。A AB BM MQ QM MN NP P2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點(diǎn)；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點(diǎn)，且平行于屬于

46、該平面的一已知直線。EDFddeeff 取屬于平面的直線2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11取屬于平面的點(diǎn) 取屬于平面的點(diǎn)，要取自屬于該平面的已知直線取屬于平面的點(diǎn)，要取自屬于該平面的已知直線EDddee2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn)先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例：已知例：已知K K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABCABC上，求上，求K K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。 面上取點(diǎn)的方法面上取點(diǎn)的方法d d通過在面內(nèi)作輔助線求解通

47、過在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取線首先面上取線kabca b c X Xk 利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解baca k b c X Xk2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11ddee例題例題 已知 ABC給定一平面，試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面。2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11例題例題已知點(diǎn)E在 ABC上,試求點(diǎn)E的正面投影 。ee2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1取屬于投影面垂直面的點(diǎn)和直線取屬于投影面垂直面的點(diǎn)和直線 2 2過一般位置直線總可作投影面的垂直面過一般位置直線總可作投影面的垂直面 (1) (1) 幾何元素表示法幾何

48、元素表示法 (2) (2) 跡線表示法跡線表示法 3 3過特殊位置直線作平面過特殊位置直線作平面 (1) (1) 過正垂線作平面過正垂線作平面 (2) (2) 過正平線作平面過正平線作平面 2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11bb取屬于投影面垂直面的點(diǎn)和直線aaeffe2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11abbaSbaabAB過一般位置直線總可作投影面的垂直面過一般位置直線過一般位置直線AB作鉛垂面作鉛垂面PH過一般位置直線過一般位置直線AB作作正垂面正垂面SVPPHSVAB2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11mn(n)(m)過一般位置直線作投影面的垂直面過一般位置直線作投影面的垂直面(幾何元素表示法)2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11過一般位置直線作投影面的垂直面過一般位置直線作投影面的垂直面(跡線表示法)baSVQWPH2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11過正垂線作平面過正垂線作平面 ( (跡線表示法跡線表示法) )PVS