紙箱紙盒動(dòng)靜態(tài)力學(xué)分析

1、1.包裝盒的靜態(tài)受力分析折疊紙盒的抗壓強(qiáng)度隨著挺度、環(huán)壓強(qiáng)度和厚度的增加而增大；結(jié)構(gòu)不同， 抗壓強(qiáng)度不同；而結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響作用表現(xiàn)為：抗壓強(qiáng)度與高度成反比關(guān)系，與 周邊長(zhǎng)成正比關(guān)系，與長(zhǎng)寬比近似成二次函數(shù)關(guān)系。將紙盒材紙的抗壓強(qiáng)度以及一系列參數(shù)作為已知量，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)擬合能夠得 到計(jì)算紙盒極限靜載荷的經(jīng)驗(yàn)公式。目前研究者已經(jīng)得出了很多這種經(jīng)驗(yàn)公式， 其中美國(guó)紙盒紙板研究開(kāi)發(fā)協(xié)會(huì)（BRDA ）提出一種折疊紙盒抗壓強(qiáng)度的經(jīng)驗(yàn)公 式：(1.1)式中：P折疊紙盒抗壓強(qiáng)度（N）;a常數(shù)；紙板的縱向挺度（mNm）;紙板的橫向挺度（mNm）t紙板厚度（mm）。由于BRDA公式僅考慮了紙板縱橫向挺度和厚度的影響

2、，其最大誤差達(dá)到了 21%，故可對(duì)其經(jīng)行優(yōu)化，找出較為精確地折疊紙盒抗壓強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型。鎖底式紙盒是各個(gè)體板以每?jī)蓚€(gè)相鄰體板的交線（即高度方向壓痕線）為軸, 順次旋轉(zhuǎn)一定角度而成型的。在載荷作用下。4個(gè)側(cè)板都是縱向承載。根據(jù)管式:可以看成常數(shù)，建(1.2)折疊紙盒的結(jié)構(gòu)及其受力狀態(tài)，可知紙板的環(huán)壓強(qiáng)度也是抗壓強(qiáng)度的影響因素； 由于側(cè)板是縱向承載，因而在公式中加入縱向環(huán)壓強(qiáng)度；根據(jù)BRDA式，加入紙盒結(jié)構(gòu)影響因子，并考慮到紙板的縱橫向挺度有一定關(guān)系, 立數(shù)學(xué)模型如下：P = a1PDxDyy?1ZetHft(g1Az+g2A+g3)式中：a1、b1、8、打、g1> g1> g1常數(shù);Z

3、紙盒周邊長(zhǎng)（mm ）；H紙盒高度（mm ）；A紙盒長(zhǎng)寬比；Pm紙板的縱向環(huán)壓強(qiáng)度（N/m ）。通過(guò)實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析，在考慮紙板性能和結(jié)構(gòu)參數(shù)的共同影響時(shí)，鎖底式折疊紙盒的抗壓強(qiáng)度計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式為：P二Q145P,恤1廠眥書(shū)叫一。切屮+0.64（ m通過(guò)比較，模型的擬合度很好，最大誤差僅為 3%。失效準(zhǔn)則在靜載情況下，若不考慮包裝件剛度對(duì)紙盒抗壓強(qiáng)度的影響，只要紙盒實(shí)際所承受的壓力Po<P,就不會(huì)有失效破損發(fā)生。2.包裝箱的靜態(tài)受力分析瓦楞紙箱的抗壓強(qiáng)度是指箱體破壞時(shí)的最大荷重，可用破壞時(shí)的變形量來(lái)表 示。實(shí)際測(cè)量時(shí)，是在空箱條件下單個(gè)測(cè)定的，它代表了最穩(wěn)定的強(qiáng)度。也可用 計(jì)算法評(píng)價(jià)瓦楞紙箱的

4、抗壓強(qiáng)度，計(jì)算法有堆碼計(jì)算和經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算法。所謂堆碼法是把紙箱進(jìn)行多層堆疊， 直至最底層紙箱壓潰時(shí)，記錄所堆疊的 層數(shù)和高度，然后用以下公式計(jì)算瓦楞紙箱的抗壓強(qiáng)度：（2.1）式中：P瓦楞紙箱的抗壓強(qiáng)度（N）;K安全系數(shù)；H 堆碼高度（mm）;H瓦楞紙箱單體高度（mm）;W瓦楞紙箱的單體重量（kg）。安全系數(shù)K是關(guān)于原紙質(zhì)量波動(dòng)系數(shù)，制造工藝低劣系數(shù)，由長(zhǎng)久保存、濕 度、堆放、運(yùn)輸、裝卸引起的強(qiáng)度下降系數(shù)的函數(shù)。堆碼計(jì)算法的因素很全面， 但要求實(shí)驗(yàn)及精確每項(xiàng)系數(shù)，這使堆碼法的使用受到一定程度的限制。瓦楞紙箱設(shè)計(jì)的主要依據(jù)是抗壓強(qiáng)度， 如果能根據(jù)事先已知的條件，計(jì)算出箱的抗壓強(qiáng)度，而不必一個(gè)個(gè)去測(cè)

5、定，那就非常方便了研究表明，瓦楞紙板的屈服應(yīng)力與原紙的比例極限有緊密的聯(lián)系，其值等于抗壓強(qiáng)度的2/3,紙箱平均失效壓力P、原紙抗壓強(qiáng)度Pu、極限應(yīng)力Per、紙板邊壓 強(qiáng)度Pp可以用如下方程表示：(2.2)(2.3)上=（曠皿PL "J kPu/其中：p =1式中：a瓦楞紙板的寬度；H瓦楞紙板的彎曲剛度系數(shù)；A瓦楞紙板的橫向剪力剛度系數(shù)將（2.3）代入（2.2）得：(2.4)需要找出m值來(lái)反映其對(duì)數(shù)增長(zhǎng)率。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以作出瓦楞紙箱尺寸與最大載荷的關(guān)系圖，如圖2.1所示,懇 一 T-o d b IK就 so- ssss燈-WIDTH OF FWNEL (INCHED)T丨LOAD DET

6、EREHPECTK3M of flutes IN HtsPFTT TO LOADBTparallelPEF?PFkDICL：LAR飛訐0V-應(yīng)II 切叭44c28在圖中找出三點(diǎn)，A (aa, Pa)、B (ab, Pb)、C (ac, Pc)其中A、C表示紙箱縱向屈曲曲線部分的極值,B在AC之間，且。則:(2.5)(2.6)通過(guò)此方法求得的m平均值為0.376。對(duì)于載荷垂直于瓦楞方向的情況，m平 均值為0.253?？梢苑謩e用1/3和1/4來(lái)近似表達(dá)，簡(jiǎn)化計(jì)算。瓦楞紙板橫向剪力剛度系數(shù)A可以用下式表達(dá)：(2.7)A = h(+)* * 式中：n瓦楞紙板在應(yīng)力條件下的半波數(shù)量，其取值需使. I.

7、的丄呂h2值最??；Di，D2分別為瓦楞紙板垂直、平行于加載方向彈性模量與慣性矩的剩積EI;卜、：一分別為垂直、平行于加載方向的剪切模量。(2.8)式中：P使瓦楞紙板表面產(chǎn)生0.001英寸位移所加載的剪力;.瓦楞紙板表面與剪力之間的夾角；W瓦楞紙板的寬度；L瓦楞紙板的長(zhǎng)度；c瓦楞厚度；d表面位移。通過(guò)式(2.6)和(2.7)可以得出H的表達(dá)式:Di或亠=eQj,_、 iu.e h r巧 h%ef2F 訂(2.9)(2.10)式中：El瓦楞紙板彈性模量與慣性矩的剩積，施:K為平行或垂直于瓦楞 方向的彈性模量與慣性矩的剩積，由P的方向決定；K瓦楞紙板彎曲剛度系數(shù)；'1減去垂直、平行卡紙纖維方

8、向泊松比剩積的值，等于1(0.328* 0.219) = 0.928；L紙板跨度。也可以通過(guò)如下公式可以確定 D1、二的取值：(2.11)n +化 n hUca_丄匸甘出匚 E式中：嶺認(rèn)一瓦楞原紙橫向彈性模量；一瓦楞原紙縱向彈性模量；-一一瓦楞芯紙成型前在瓦楞方向的彈性模量；.芯紙成型后纖維方向彈性模量；一寬度方向上每英寸的橫截面面積；c 楞咼。it3 Cc<)* 4Sa+na(c-t)a(2.12)(2.13)式中：S楞長(zhǎng)的一半；t瓦楞芯紙厚度;1當(dāng)K已知時(shí)，通過(guò)橢圓積分求得。通過(guò)以上公式求得m、H、A之后，可以通過(guò)下列公式表示i-m illhp訂訶何+m誦何+9訶曲司也可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)得

9、出Pp的表達(dá)式：Pp = Ppf（h-c）a|Ppcaatc式中：一一瓦楞芯紙成型前后的長(zhǎng)度比；-.面紙抗壓強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)值；:芯紙抗壓強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)值。將各已知量帶入式（2.14）和式（2.4）并引入瓦楞常數(shù)二二(2.14)(2.15)、瓦楞紙箱周邊(2.16)長(zhǎng)Z、紙箱常數(shù)J,可得瓦楞紙箱抗壓強(qiáng)度表達(dá)式：式中：P瓦楞紙箱抗壓強(qiáng)度，N ;血一瓦楞紙板原紙的綜合環(huán)壓強(qiáng)度，N/cm ；瓦楞常數(shù)；Z瓦楞紙箱周邊長(zhǎng)，cm；J 紙箱常數(shù)。其中瓦楞紙板原紙的綜合環(huán)壓強(qiáng)度計(jì)算公式如下：(2.17)n U十迢尬S _1.52式中：Rn面紙環(huán)壓強(qiáng)度測(cè)試值，N/0.152m；瓦楞芯紙環(huán)壓強(qiáng)度測(cè)試值，N/0.152m;Cn瓦

10、楞收縮率，即瓦楞芯紙?jiān)L(zhǎng)度與面紙長(zhǎng)度之比式（2.2）中E V：L廠-玉，其中一、分別代表紙箱長(zhǎng)寬外尺寸(2.18)(2.19)多瓦楞紙板的二_、J值計(jì)算公式如下：(n+1+H 氐)!：.(2a+I C>式中:?%閩式多瓦楞紙板的瓦楞常數(shù);戒2就單瓦楞紙板的瓦楞常數(shù);上5 多瓦楞紙板的紙箱常數(shù)； n瓦楞層數(shù)；瓦楞楞縮率；單瓦楞紙板的紙箱常數(shù)aXz和J的值如表2.1所示。楞型ABEABaXz8.365.006.1013.36J0.590.680.680.66表2.1 瓦楞常數(shù)與紙箱常數(shù)實(shí)踐證明，用凱里卡特公式計(jì)算所得的紙箱抗壓強(qiáng)度值總小于紙箱 的實(shí)際測(cè)量值，兩者之差大體在5%左右。為了減少這

11、一誤差，尋求出 一個(gè)更加合理的計(jì)算公式，可先分析瓦楞紙箱三個(gè)主要結(jié)構(gòu)因素與紙箱 抗壓強(qiáng)度之間的關(guān)系紙箱高度在25cm以下，高度對(duì)其抗壓強(qiáng)度影響較大；當(dāng)超過(guò)25cm 時(shí)，則幾乎沒(méi)有影響；紙箱縱橫比（即長(zhǎng)、寬比）對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響較大， 縱橫比與抗壓強(qiáng)度成二次函數(shù)關(guān)系；紙箱抗壓強(qiáng)度與其周長(zhǎng)近似成正比 例關(guān)系，即隨著紙箱周長(zhǎng)的增大，紙箱的抗壓強(qiáng)度也增大。凱里卡特公式采用的箱形系數(shù)J，反映了周長(zhǎng)的影響因素，但它作 為常數(shù)，不能反映高度和縱橫比的影響。假定所研究的紙箱高度大于25 cm，高度的影響可以忽略，則影響凱里卡特公式計(jì)算精度的另一主要因素便是縱橫比。沃福公式是以瓦楞紙板的變壓強(qiáng)度和厚度作為瓦楞紙板

12、的參數(shù)，以 箱體周邊長(zhǎng)、長(zhǎng)寬比和高度作為紙箱結(jié)構(gòu)的因素來(lái)計(jì)算瓦楞紙箱的抗壓 強(qiáng)度的。公式如下：L1772 PmvE 0 3228 RL-0.121+J)(2.20)式中：P紙箱抗壓強(qiáng)度，N ;Z 紙箱周長(zhǎng)，mm ；t 紙箱厚度，mm ；Pm瓦楞紙板的邊壓強(qiáng)度，N/m ；H o 紙箱的高度，mmRl 紙箱的長(zhǎng)寬比。沃福公式引人了一個(gè)因子i,0.3223A:.-0；r2i? - lj，這個(gè)因子近似地反映了縱橫比與抗壓強(qiáng)度的二次函數(shù)關(guān)系?？梢圆捎昧宋指９街卸问揭蜃拥那€形狀，并根據(jù)紙箱最大抗 壓強(qiáng)度來(lái)確定修正因子的常數(shù)項(xiàng)，達(dá)到修正凱里卡特公式的目的?？紤] 到凱里卡特公式總是比實(shí)測(cè)值小5%，可以在

13、修正因子中加入5%，化簡(jiǎn) 后的修正因子為：k 二 0.3228Rl 0!217R + 0,856（ 2.21）即可得到修正后的凱里卡特公式：一二lCL 一1梵 鳥(niǎo)加（2.22）實(shí)驗(yàn)證明，經(jīng)過(guò)修正后的凱里卡特公式絕對(duì)誤差的平均值為1.65%，比修正之前更加精確，而且適用于各種縱橫比。 失效準(zhǔn)則在靜載情況下，若不考慮包裝件剛度對(duì)紙箱抗壓強(qiáng)度的影響，只要紙紙實(shí)際所承受的壓力Po<P,就不會(huì)有失效破損發(fā)生。3.瓦楞紙箱力學(xué)模型的建立在瓦楞紙箱的準(zhǔn)靜態(tài)壓縮過(guò)程中，加載的速度很低，因此可以忽略阻尼力的影響。瓦楞紙箱的彈性恢復(fù)力具有較明顯的非線性，而對(duì)于非線性彈性力，只要選擇合適的一次項(xiàng)和三次項(xiàng)系數(shù)，

14、三次非線性函數(shù)可適合于現(xiàn)實(shí)中的大部分振動(dòng) 系統(tǒng)，對(duì)于瓦楞紙箱的非線性彈性力可用位移的三次多項(xiàng)式函數(shù)表示，記彈性力為Fk，一次項(xiàng)系數(shù)為k，三次項(xiàng)系數(shù)為r。F = kx + rx3對(duì)于多層堆碼瓦楞紙箱，底層的瓦楞紙箱受到了最大的靜壓力， 在運(yùn)輸中最 易受到損壞?？蓪⒌讓拥耐呃慵埾浜?jiǎn)化為一個(gè)三次非線性彈簧和一個(gè)線性阻尼 塊，位于上層的瓦楞紙箱包裝件簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量塊， 瓦楞紙箱自身的重量相對(duì)瓦 楞紙箱包裝件可以忽略不計(jì)，如圖1所示。底層瓦楞紙箱的內(nèi)裝產(chǎn)品應(yīng)該是不受 力的，為了研究方便，也為了研究最嚴(yán)酷的條件，不考慮底層瓦楞紙箱的內(nèi)裝產(chǎn)圖3.1瓦楞紙箱簡(jiǎn)化力學(xué)模型在靜止?fàn)顟B(tài)下，底層瓦楞紙箱受到來(lái)自上層瓦

15、楞紙箱的壓力而發(fā)生變形，假設(shè)瓦楞紙箱的形變量為x，則瓦楞紙箱所受的力F可表示為：(3.1)瓦楞紙箱振動(dòng)模型的建立瓦楞紙箱在運(yùn)輸過(guò)程中所受到垂直方向的振動(dòng)激勵(lì)主要來(lái)自于運(yùn)輸工具，屬于基礎(chǔ)位移激勵(lì)。設(shè)在某一時(shí)刻，瓦楞紙箱系統(tǒng)受到的激勵(lì)位移為X2，瓦楞紙箱包裝件的響應(yīng)位移為xi,如圖3.2所示。則上層包裝件除受到自身的重力外還受到 了慣性力Fi和下層紙箱對(duì)它的支持力F2, Fi同時(shí)也是振動(dòng)過(guò)程中下層瓦楞紙箱受 到的動(dòng)態(tài)載荷，如圖3所示。7777777777777777圖3.2瓦楞紙箱的振動(dòng)模型Mg圖3.3瓦楞紙箱包裝件 受力分析貝則：._ F二兀其中，慣性力耳-比扎，設(shè)系統(tǒng)靜止?fàn)顟B(tài)下，下層紙箱受到上

16、層瓦楞紙箱的壓力產(chǎn)生的變量為Xo,則支持力二- 1'-' -'. ' - <.-1二，即可得受力平衡方 程:(3.2)mSt + kx0 + tXq + c(x± xa) + k(xt x2) +-x2)3 = mg又由式（3.1）可知:“二 n二1忑，所以對(duì)方程（3.2）兩邊經(jīng)行化簡(jiǎn)可得 瓦楞紙箱的非線性振動(dòng)方程：(3.3)n£g + c(it ij) + k(xt 一 x2) + r(xt 一 x2)3 = 0式中：m包裝件質(zhì)量（kg）；xi包裝件響應(yīng)位移（m）：X2基礎(chǔ)激勵(lì)位移（m）；令簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)-：二二二二-，其中A2表示簡(jiǎn)諧

17、振動(dòng)的位移幅值，融表示 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率。將其帶入方程（3）得：mk + c（xt 一 g）A2 cos（wt） + k（xt 一 A二 sin（a>t） + r（xt 一 A; sinfot） P = 0 （3.4）為了簡(jiǎn)化計(jì)算和便于分析，對(duì)方程（3.4）進(jìn)行無(wú)量綱化：© rA： 孔，,，將之帶入方程（4）可得：'- :- i: .|- .i:-' 一（3.5）式中：一振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比；振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率；£振動(dòng)系統(tǒng)的非線性系數(shù)；振動(dòng)系統(tǒng)的頻率比；無(wú)量綱化的激勵(lì)位移；【一無(wú)量綱化的振動(dòng)時(shí)間。式（3.5）描述的是強(qiáng)迫振動(dòng)下的單自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng)，其

18、中一的大小表示非線性的強(qiáng)弱。非線性系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中的響應(yīng)情況依賴(lài)于對(duì)方程（3.5）的求解。然而，對(duì)于形如式（3.5）存在外部激勵(lì)的三次非線性微分方程，不能求 得其嚴(yán)格精確的解析解，故通過(guò)諧波平衡法求式（3.5）的近似穩(wěn)態(tài)周期解。令v - ；1'（3.6）將之帶入式（5）做如下化簡(jiǎn)v - Vv - S -二*力（3.7）在弱非線性（誇毬fl）條件下，對(duì)方程（3.7）中參數(shù)取不同值的情形進(jìn)行大 量數(shù)值積分，求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)并作傅立葉變換，結(jié)果表明，方程（3.7 ）具有穩(wěn)定的與激勵(lì)等周期的穩(wěn)態(tài)周期解，而且不論如何變化，響應(yīng)的基頻幅值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它頻率（次諧波和超諧波）處的幅值：并且由于阻尼的存在，此穩(wěn)態(tài)周期解與 激勵(lì)之間有一定的相位差。故可設(shè)方程（3.7）穩(wěn)態(tài)周期解的形式為： / - > ，將之帶入方程（3.7）并做等價(jià)變換得：->?Bsin（kT i + cos at + Bsin（kT）+ EBsin3） = lJBsin（XT -o）