與三角形中線正切相關(guān)的結(jié)論及應(yīng)用

1、與三角形中線、正切相關(guān)的結(jié)論及應(yīng)用命題1 中, 是邊上的中線，則.命題2 中, 是邊上的中線，則.命題1，有效的實(shí)現(xiàn)向量與數(shù)量的統(tǒng)一，溝通了數(shù)量積與三角形三邊之間的關(guān)系；而命題2是“平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四邊平方和”這一結(jié)論的三角形的形式，也就是中線長(zhǎng)定理（也稱阿波羅尼奧斯定理）命題3 矩形，.ABCDO即：矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到矩形兩對(duì)角線的端點(diǎn)的距離的平方和相等.命題3，可有效的解決圖形中有“垂直關(guān)系”的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是中線長(zhǎng)定理在矩形中的進(jìn)一步的推論.【2017·南通一模·14】在平面直角坐標(biāo)系中，已知為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn),且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi) .解析：設(shè)

2、以為頂點(diǎn)的矩形是則，所以.【2016·江蘇·13】如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)， ，則 的值是 . 【答案】【解法一】：（基底法）設(shè)，則，代入， 得：，即這是一個(gè)含三個(gè)未知量的方程組，用其中一個(gè)量表示另外兩個(gè)量得：所以.【點(diǎn)評(píng)】解法一的難點(diǎn)在于得到一三元方程組后，不會(huì)處理.【解法二】：（利用三角形中線的代數(shù)形式）因?yàn)?，所以，故考點(diǎn)：向量數(shù)量積 【名師點(diǎn)睛】研究向量數(shù)量積，一般有兩個(gè)思路，一是建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實(shí)質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解和化簡(jiǎn). 對(duì)于涉及中線向量問(wèn)題，利用向量加法與減法的平行四邊形法則，可以得到

3、一個(gè)很實(shí)用的結(jié)論：（其中點(diǎn)是邊的中點(diǎn)），我們不妨稱之為“三角形中線的代數(shù)形式”.證明如下： 由三角形中線的向量形式得：， 又，兩式平方相減，整理立得：.7.（2018·江蘇·13）在中，角所對(duì)的邊分別為，的平分線交與點(diǎn)D，且，則的最小值為 解法一:(由等面積法探究間關(guān)系) ，即 ，即所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立）所以的最小值為9解法二：(由三角形內(nèi)角平分線定理、向量法探究間關(guān)系) 由三角形內(nèi)角平分線定理得：所以，兩邊取模得：化簡(jiǎn)得：，即（下略）.解法三：(利用建系、三點(diǎn)共線法探究間關(guān)系) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，作為軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則，三點(diǎn)共線 化簡(jiǎn)得（下略）.在中，已知AB

4、邊上的中線CM，且成等差數(shù)列，則的長(zhǎng)為 【答案】解析：在中，根據(jù)中線長(zhǎng)公式，得 由成等差數(shù)列，得，從而 ，解得，（2019·南通四模）在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)，S為ABC的面積若不等式kS3b23c2a2恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為 答案：解析：在中，根據(jù)中線長(zhǎng)公式，所以，則實(shí)數(shù)k的最大值為 解析二: 余弦定理方向，(下略).（2019·南師預(yù)測(cè)卷）在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c若ABC為銳角三角形，且滿足a2b2bc，則的取值范圍是 簡(jiǎn)析：由正弦定理a2b2bc可化為，即，所以，又ABC為銳角三角形，故，所以另一方面.點(diǎn)評(píng)：公式作為二級(jí)

5、結(jié)論須記?。ê?jiǎn)稱“正弦的平方差公式”）1. 在銳角中，若，依次成等差數(shù)列，則的值為 【答案】1【解析】依題意，因?yàn)?，所?，所以；2. 在ABC中，已知sinA13sinBsinC，cosA13cosBcosC，則tanAtanBtanC的值為 【答案】196【解析】依題意cosAsinA13cosBcosC13sinBsinC，即cosAsinA13cos，即cosAsinA13cosA，所以tanA，又易得tanAtanBtanC，而tanAtanBtanCtanAtanBtanC，所以tanAtanBtanCtanA3.（2016·江蘇14）在銳角三角形中，則的最小值是 【答案

6、】8【解析】由，可得（*），由三角形為銳角三角形，則，在（*）式兩側(cè)同時(shí)除以可得，又(#)，則，由可得，21·cn·jy·com令，由為銳角可得，由(#)得，解得，由則，因此最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)，解得（或互換），此時(shí)均為銳角4. ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，則cosAcosBcosC 解析：由及正弦定理得: 代入解得，所以，故. 5.設(shè)，且，若，則 .簡(jiǎn)析：，又由立得：.5.在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，則 = .解析：兩邊同時(shí)除以tanAtanB得切化弦得，即，即根據(jù)正余弦定理得，化簡(jiǎn)得.解析二：注意到已知是關(guān)于的對(duì)稱式，令得，即切化弦得，即根據(jù)正余弦定理得，化簡(jiǎn)得.6.（2019·南通·五月聯(lián)考）在銳角中，是邊上的中線，且，則的最小值是_.簡(jiǎn)析：看到“切”，想到“化斜為直”，作邊上的高，易得，以為主元，化簡(jiǎn)得.簡(jiǎn)析二：看到“中線”，想到“三角形的中線長(zhǎng)定理”.在中，根據(jù)中線長(zhǎng)公式，所以，即，即，由余弦定理得：，即，由正弦定理得：，易得（下略）.（2019·無(wú)錫·期末）在銳角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，則的最小值為答案：考點(diǎn)：正弦定理，三角函數(shù)，基本不等式。解析：（作高線，化斜為直