微專題-圓錐曲線中的最值問題(解析版)解答

1、專題 30圓錐曲線中的最值問題【考情分析】與圓錐曲線有關的最值和范圍問題，因其考查的知識容量大、分析能力要求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個熱點。江蘇高考試題結構平穩(wěn)，題量均勻每份試卷解析幾何基本上是1 道小題和 1 道大題，平均分值 19 分，實際情況與理論權重基本吻合；涉及知識點廣雖然解析幾何的題量不多，分值僅占總分的 13%，但涉及到的知識點分布較廣，覆蓋面較大；注重與其他內容的交匯。圓錐曲線中的最值問題，范圍問題都是考查學生綜合能力的載體俗話說：他山之石可以攻玉在研究這幾年外省新課程卷解析幾何試題時，就很有啟發(fā)性比如 2010 年安徽卷理科 19 題，該題入題口寬，既可用傳統(tǒng)的聯(lián)

2、立直線與曲線，從方程的角度解決，也可利用點在曲線上的本質，用整體運算、對稱運算的方法求解再比如 2011 年上海卷理科 23 題，主要涉及到中學最常見的幾個軌跡，通過定義點到線段的距離這一新概念設置了三個問題，特別是第三問，呈現(xiàn)給學生三個選擇，學生可根據(jù)自已的實際情況選擇答題，當然不同層次的問題，評分也不一樣，體現(xiàn)讓不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展【備考策略】與圓錐曲線有關的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（ 1）結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系；（ 2）不等式（組）求解法：利用題意結合圖形（如點在曲線內等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（

3、3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（ 4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應用，往往需要創(chuàng)造條件，并進行巧妙的構思；【激活思維】1已知雙曲線x 2y 21( a>0, b>0) 的右焦點為 F，若過點 F 且傾斜角為 60°的直線與雙曲a 2b22,)線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是2 P 是雙曲線x2y22222上9161 的右支上一點， M、N分別是圓 ( x 5) y 4和 ( x 5) y 1的點，則 |PM| |PN| 的最大值為 73拋物線 y

4、=-x 2 上的點到直線4x+3y-8=0 距離的最小值是434已知拋物線y2=4, 過點(4,0)的直線與拋物線相交于1122)兩點，則y12+22xPA(x,y ),B(x,yy的最小值是32.5已知點 M(-2， 0) ， N(2,0)，動點 P滿足條件 | PM |PN| 22 . 記動點 P 的軌跡為 W.（）求的方程；WWOOA OB（）若A B是是坐標原點，求的最小值 .，上的不同兩點，解：（）依題意，點P的軌跡是以 M， N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： x2y2 （ x 0）221（）當直線 AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為 x x0，此時 A（ x0，x022），

5、 B（x0，x022）， OAOB 2當直線 AB的斜率存在時，設直線AB的方程為 ykx b，代入雙曲線方程x 2y2222221 中，得： (1 k) x 2kbx b 2 0依題意可知方程A( x, y), B( x , y ) ，則1 有兩個不相等的正數(shù)根，設11224k 2b24(1k 2 ) ( b22) 0x1 x22kb0解得| |1，1k 2kx1x2b22k201又 OA OB x1x2 y1y2 x1 x2（ kx1 b）（ kx2 b）（22 2k 2 2 241 k ）x1x2 kb（ x1x2） b 2k 21k 21綜上可知 OA OB 的最小值為 2【典型示例】

6、求拋物線 yx2 上的點到直線4x3y 80 距離的最小值 ?2分析一：設拋物線上任一點坐標為P( x0 ,-x0 ) ，P 到直線的距離 d( x0 )= | 4x028 | = 3( x0由點到直線的距離公式得3 x02 時， d(4 ,5當 x0 =x0 ) 取得最大值332分析二：設拋物線上點P( x0 ,-x0) 到直線 4x+3y-8=0 距離最小，則過 P 且與拋物線相切的直線與4x+3y-8=0平行，故 y ' ( x0 )=-2x0 =-4 , x0 = 2 , P( 2 ,- 4 ),3339| 423 （4） 8|此時 d=394， .5=3分析三：設直線方程為4

7、x+3y+C=0則當 l與拋物線相切時l 與 4x+3y-8=0 間的距離為所求最小，由 yx2 c=- 4 , 此時得 4x-3x 2+C=0， =16+12C=0,4x3 yC03| 8 （4）|d=53432 ) 2204335，3【分類解析】x2y2P 是橢圓上任一點，求： （ 1）例 1: 已知橢圓1 ， A（ 4， 0）， B（ 2， 2）是橢圓內的兩點，259求5|PA| PB |的最小值；（ 2）求 | PA | | PB |的最小值和最大值4分析：（1） A 為橢圓的右焦點。作 PQ右準線于點 Q，| PA|4則由橢圓的第二定義e，|PQ |55 |PA| |PB| |PQ|

8、 |PB|，4顯然點 P 應是過 B 向右準線作垂線與橢圓的交點，最小值 為17 。4（ 2）由橢圓的第一定義，設C 為橢圓的左焦點，則 | PA | 2a | PC | | PA |PB| PA | 2a | PC | 10 (| PB |PC |)，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，當P 運動到與B、 C 成一條直線時，便可取得最大和最小值。當 P到 P"位置時， |PB | PC | |BC |，|PA | PB |有最大值，最大值為 10|BC | 102 10 ；當P到P'位置時，|PB|PC|B，C|PA|PB|有最小值，最小值為10|BC| 102 10.（數(shù)形結

9、合思想、橢圓定義、最值問題的結合）變式 :yA點 A（ 3，2）為定點，點F 是拋物線 y2=4x 的焦點，點 P在拋物線y2=4 上移動，若|PA|+|PF|x取得最小值，求點P 的坐標。dP解：拋物線y2=4x 的準線方程為x=- 1，設 P 到準線的距離為 d，則 |PA|+|PF| =| PA|+ d。要使 |PA|+|PF| 取得最小值，由圖3 可知過A 點的直線與準線垂直時，|PA|+|PF|取得最小值，把2y=OFX=1x代入 y2=4x，得 P（1， 2）。例 2: 已知橢圓的中心在O,右焦點為 F，右準線為 L，若在 L 上存在點 M，使線段 OM的垂直平分線經(jīng)過點 F，求橢

10、圓的離心率e 的取值范圍 ?解：如果注意到形助數(shù)的特點，借助平面幾何知識的最值構建使問題簡單化，由于線段OM的垂直平分線經(jīng)過點 F，則 MFOF c, 利用平面幾何折線段大于或等于直線段（中心到準線之間的距離），則有 2 c a2e 2 ，c2橢圓的離心率 e 的取值范圍橢圓的離心率e 的取值范圍為2,12變式 1:x2y21,( a0, b0)已知雙曲線的左、右焦點分別為12b2F、F ，點 P在雙曲線的右支上，a212e 的最大值 ?且 | PF|=4| PF|, 求此雙曲線的離心率解：雙曲線的離心率 e 的最大值為 53變式 2:已知橢圓方程為x 2y 21，（ 0ab ）的左、右焦點分

11、別為12P 在為橢圓a 2b2F、F，點上的任意一點，且 | PF1|=4|PF2|,求此橢圓的離心率e 的最小值 ?解：橢圓的離心率 e 的最小值為 352+( y-2)2上移動， Q點在橢圓x2y21上移動 , 試求 |PQ|的最大值。例 3: 已知 P 點在圓 x=19解：故先讓 Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心 O1 時 |PQ|最大，因此要求 | PQ|的最大值，11222只要求 | OQ| 的最大值 . 設 Q( x， y) ，則 | OQ| = x+( y-4)因 Q在橢圓上 , 則 x2=9(1- y2)2將代入得 | 1 | 2=9(1-y2)+(y-4) 28y127O

12、Q2因為 Q在橢圓上移動，所以-1 y1，故當y13 3時，12OQ max此時 PQ max 3 31【點晴 】 1. 與圓有關的最值問題往往與圓心有關；2. 函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。變式1:設 P是橢圓x2a2+ y 2 = 1 (a > 1 )短軸的一個端點,Q為橢圓上的一個動點,求|PQ|的最大值.解法1:依題意可設P(0, 1 ),Q(x , y),則|PQ| =x2( y1)2.又因為Q在橢圓上,所以x2= a2(1y2) .|PQ |2=a2(1y2) +y2 2y+

13、 1= (1a 2 )y 2 2y+ 1 +a2= (1a2 )( y12 ) 2112+1+a2 .y | 1,a > 1,1aa因為 |若 a 2 ,則1 1,當y =1時, |PQ|取最大值a2a 2 1;1a21a2a21若 1<a < 2,則當 y = 1時 , |PQ|取最大值 2 .解法 2:設 P(0, 1 ),Q (a cos,sin),則|PQ |2=a2cos2+(sin1)2= (1a 2 )sin 2 2 sin+ a2 + 1= (1a2 )(sin1121+a2+ 1.a 2 )1a2注意到 |sin| 1,a > 1.以下的討論與解法1相

14、同.變式 2: 已知OFQ的面積為 26， OFFQm（1）設6m 46 ，求OFQ正切值的取值范圍；（2）設以 為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點（如圖），| OF | c, m (62|OQ|OQ41)c當取得最小值時，求此雙曲線的方程。解析：（ 1）設 OFQ=| OF | | FQ | cos()mtan461 |OF | | FQ |sin26m26m 464tan1（ 2）設所求的雙曲線方程為x2y21( a 0, b 0), Q (x1, y1 ), 則 FQ ( x1c, y1 )a2b2 SOFQ1 |OF | | y | 2 6 ， y14 621c又 OFFQm ， OFFQ

15、(c,0)( x1c, y1 ) ( x1c)c (61 c24x16 c,|OQ|x12y12963c212.4c28當且僅當 c=4 時， | OQ | 最小，此時Q的坐標是 (6,6) 或 (6,6)661a24221.a2b2b2，所求方程為xya221612412b【精要歸納】圓錐曲線的最值問題，常用以下方法解決：（1）當題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結合法解；（2）范圍實質為一個不等式關系，如何構建這種不等關系？例 2 中可以利用方程和垂直平分線性質構建。 利用題設和平面幾何知識的最值構建不等式往往使問題簡單化， 回味本題的探究過程，認識解析幾何中“形助數(shù)

16、”簡化運算的途徑。（3）. 函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。（ 4）利用代數(shù)基本不等式，結合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性?！菊n后訓練】1已知 P 是橢圓 x2y21在第一象限內的點， A（ 2， 0），B（ 0， 1）， O 為原點，求四邊形4OAPB的面積的最大值22給定點 A(-2,2) ，已知 B 是橢圓 x2y21 上的動點， F 是右焦點，當 AB5BF 取得25163最小值時，則 B點的坐標為。 (53 ,2)23拋物線 y2=2x 上到直線 x-y +3=0 距離最短的點的坐標為

17、_ (1 ，1）4如圖，已知 A、 B是橢圓 x2y221的兩個頂點，169C、 D是橢圓上兩點，且分別在AB兩側，則四邊形ABCD面積的最大值是 _ 12 25 如圖所示，設點 F1 ， F2x2y21的兩個焦點，過F2 的直線與橢圓相交于A、B 兩點，是23求 F1 AB 的面積的最大值，并求出此時直線的方程。解：S F1ABS F1F2 A S F1F2B，設A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )，則SF11BF2 | y1y2 | y1y2 |( c1)A |F12設直線AB的方程為xk1 y 代入橢圓方程得(2k 23) y24ky40y1y24k3, y1 y22k 2

18、42k23421)43即 | y1y2 |3(k2k2312k21k 21令 tk 211，S FAB43， 2t1（ t 1）利用均值不等式不能區(qū)取“”12t1tt利用 f (t)1（ t1）的單調性易得在t1時取最小值2ttS F AB 在 t1即 k0 時取最大值為 43 ，此時直線 AB 的方程為 x 1136 P 、Q、M、N 四點都在橢圓x 2y 21上， F 為橢圓在 y 軸正半軸上的焦點。 已知 PF 與 FQ 共2線， MF 與 FN 共線，且 PF · MF0 。求四邊形 PMQN的面積的最小值和最大值。分析：顯然，我們只要把面積表示為一個變量的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值即可。解：如圖，由條件知MN和 PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F（ 0，1），且 PQ MN，直線 PQ、MN中至少有一條存在斜率，不妨設PQ的斜率為 k，又 PQ過點 F（0， 1），故 PQ方程為 y kx 1。代入橢圓方程得2k 2x22 kx10設 P、 Q兩點的坐標分別為x1 ， y1， x2 ， y2，則：22 ，x22x1k2kk22k22k 2k 28