第十六屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題A（初中組）(可編輯)

1、第十六屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題A（初中組） “華杯賽”官方網站/0>. 第十 六屆華羅庚金杯少年數學邀請賽 決賽試題 A初中組總分第十 六 屆華 羅庚金 杯少 年數 學邀請 賽 決 賽試 題 A (初中組) (時間: 2011 年 4 月 16 日 10:00 11:30) 一、 填空題 (每小題 10 分, 共 80 分) 1?1.2201. 計算: 13?1 ?3 ?1 ?1622. 算式:兔兔年吉祥 如意兔兔 兔兔兔 兔 中的漢字代表 0 9 的數字, 相同的漢字代表相同的數字, 不同的漢字代表不吉 祥 如 意同的數字, 所代表的四位數是3. 將12 個小 球放 入編 號

2、為1 至 4 的四 個盒 子中, 每 個盒 子中 的小 球 數不 小于 盒子編號數, 那么 共有種不同的放法. 4. 有一列數, 第一個數是 10, 第 二個 數是 20, 從第 三 個數 開始, 每個 數 都是 前面所有數的平均數, 那么第 2011 個數是x P3x6x32x6x95. 設 是有理數, , 則P 的最小值為6. 將自然數 122 分別填在下面的 “”內(每個“”只能填一個數), 在形成的 11 個分數中, 分數值為整數的最多能有個 7. 下面兩 串 單項式各有 2011 個單項式: 2 4 5 7 8 3nn 1 3 2 6028 6029 6031 6032xy ,x y

3、 ,x y , ,x y , ,x y ,x y 2 3 7 8 12 13 5m ?2 5m ?3 10052 10053 10057 10058x y ,x y ,x y , ?x y , ?,x y ,x y其中n,m 為非負整數, 則這兩串 單項式中共有對同類項8. 將能被 3 整除、被 5 除余 2 、被 11 除余 4 的所有這種正整數依照從小到大的a ,a ,a ,a , aa 2011 n順序排成一列, 記為如 果 , 則 等于1 2 3 4 nn ?1“ 華杯賽 ” 組委會辦公室 咨詢 :4006500888 - 1 - 學校_ 姓名_ 參賽證號密 封 線 內 請 勿 答 題

4、 “華杯賽”官方網站/. 第十六 屆華羅庚金杯少年數學邀請賽 決賽試題 A 初中組二、解答下 列各題 ( 每題 10 分, 共 40 分, 要求寫出 簡要過程 ) 9. 將 9 個各不相同的正整數填在 3 ×3 表格的格子中, 一個格子填一個數, 使得每個 2×2 子表格中四個數的和都恰好等于 100. 求這 9 個正整數總和的最小值圖 1 圖 210. 右圖中, 平行四邊形ABCD 的 面積等于1, FBF是BC 上一點, AC 與DF 交于E, 已知 , 3FC則三角形CEF 的面積是多少?11. 設 為非 零 自然數, , 且滿足m,n,p m ?np8 8 8 mn

5、p方 程: mnp. 問 p 的最大值等于多少?3 3 3 2712. 如圖, 如果將梯形 ABCD 分割成 一個 AB平行四邊形ABCE 和一個 三角形AED, 2 2AB 38 米, BC 26 米, CD72 米, 3 3DCAD20 米, 那么 四邊形ABCE , 三角形EAED , 梯形ABCD 的面積分別是多少平方米? 三、解答下 列各題 ( 每小題 15 分, 共 30 分, 要求寫出詳細 過程) 13在邊長為 1 厘米的正方形ABCD 中, 分別以A, B, C, D為圓心, 1 厘米為半徑畫圓弧, 交點E, F, G, H, 如圖所示. 求中間陰影六邊形BEFDGH 的面積1

6、 14m14. 已知x?m, 是否 存在 整數 使得x為完 全平 方數 ? 如果 存在, 求4x x出整數m ;若不存在, 請說明理由“ 華杯賽 ” 組委會辦公室 咨詢 :4006500888 - 2 - “華杯賽”官方網站/. 第十六屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題 A 參考答案( 初中組) 第十六 屆華 羅庚金杯少年數學邀請賽 決賽試題 A 參考答案 ( 初中 組) 一、 填空題 每 小題 10 分, 共 80 分 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 24答案 8547 10 15 21 10 402 13 919二、解答下 列各題 每題 10 分 ,共 40 分, 要求寫 出簡要 過

7、程 9. 答案 :121 解: (圖 1 與圖 2 供考生答題用)如圖 2,1 9 2 A B C SA+B+C+D+E+F+G+H+I 4S4A+B+C+D+E+F+G+H+I 6 84 5 D E F A+B+D+E+B+C+E+F+D+E+G+H+E+F3 7 4 G H I +H+I+圖 1 圖 2 2A+B+C+D+F+G+H+I+A+C+G+I 400+2A+B+C+D+F+G+H+I+A+C+G+I 由于 A,B,C,D,F,G,H,I 為各不相同的正整數, 有:A+B+C+D+F+G+H+I 1+2+3+ +836 ,A+C+G+I 1+2+3+410 所以,4S 400+2

8、×36+10482 ,即 S 120.5 因為 S 為整數,有 S 121 . 另一方面,可以如圖 1 填數使得 S121 . 綜上所述,表格中所填 9 個正整數總和的最小值為 121 . 110. 答案 40解答 設 平 行 四 邊 形 兩 條 對 角 線 交 點 為 O , 連 接 OF ,Sx Sy, S z ,Sw?CEF CDE DOE ?EOF由左圖和三角形面積公式:1yzS,CDO41xyS,CDF8“ 華杯賽 ” 組委會辦公室 咨詢 :4006500888“華杯賽”官方網站/. 第十六屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題 A 參考答案( 初中組) 1xwS?COF16再

9、次應用三角形面積公式, x w EF(* y z DE將 用 x 表達, y,z,w1 1 1yx ,wx ,zx , 8 16 8代入* 式,并整理,可得: 1xx 116, x1140xx881答:三角形 CEF 的面積是4011. 答案:4 解:由原方程,我們有8 8 8 83(3- (3- ( 3- ( 3- 1p m n p8所以, (3- 1, p4p若 p4 ,則 8 8 8 8 8133333,mn4m n p m n上式只有 mn4 時成立。 所以,p 的最大值是 4。 212. 答案:ABCE 的 面積 是 618 平方 米 32三角形 ADE 的面積是 266 平 方米

10、A B31梯形的 ABCD 面積是 885 平方米 380解:因為 AEBC 米 , DC3F E“ 華杯賽 ” 組委會辦公室 咨詢 :4006500888“華杯賽”官方網站/. 第十六屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題 A 參考答案( 初中組) 100DECD-CE 米, 32 2100 80 1002所以 + -20 2EF(*)3 3364EF 米 ,因此 AF16 米3116 2平行四邊形 ABCE 的面積是 ?16618 平方米 3 3116 1 2三角形 ADE 的面積是72- 266 平方米163 2 31梯形的 ABCD 面積是 885 平方米 。 3(*)成立的原因如下,因為 2 2 2?AEAFEF,2 2 2ADAFDF ,2 2?DE ?DFEF?2 2?DF? 2?DFEFEF所以 2 2 2 2?DEAEAD? 2 ?DFEF? 2 ?EF? 2 ?EFDFEF2 ?EFDE 三、解答下 列各題 每小題 15 分, 共 30 分, 要求寫 出詳細 過程 113. 答 : 平方厘米2解 :如圖,連接 AF, AE, 則 都是頂角為30 ,兩腰為 1 厘米?ADF, ?AFE ?AEB的等腰三角形.其面積相等1自點 F