不等式的性質

1、“不等式的性質”教學設計一、教材分析（一） 本節(jié)課在教材中的地位和作用：本節(jié)課是人教版數(shù)學必修5第三章第一節(jié)不等關系與不等式第二課時的內容它是在數(shù)（式）及其運算的系統(tǒng)中，在掌握等式的基本性質的基礎上，類比等式的基本性質，通過考察“運算中的不變性”而獲得不等式的基本性質的過程，由此要系統(tǒng)地建立求解或證明不等式的理論依據(jù)，因此本課時是本章乃至高中數(shù)學的重要基礎性內容之一.生活中的數(shù)量關系不外乎兩種：相等關系與不等關系，通過這堂課的學習，學生將對數(shù)量關系的基本性質有一個完整的認識，形成一個知識體系（二） 教學目標：1. 經(jīng)歷探索不等式的基本性質的過程，理解不等式的基本性質.2. 在不等式基本性質的探

2、索過程中，滲透類比思想方法,培養(yǎng)合情推理能力.3.在應用不等式的基本性質證明簡單問題的過程中,培養(yǎng)思維的邏輯性和嚴謹性,進而培養(yǎng)學生的邏輯能力.（三） 教學重點與難點：教學重點：探索不等式的基本性質.教學難點：基本性質的研究內容(運算中的不變性)和方法(類比等式的基本性質)的概括.（四） 教學導圖：二、學情分析：學生的認知基礎有：第一，會比較數(shù)的大小；第二，理解等式性質并知道等式性質是解方程的依據(jù)；第三、具備“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學結論”的體會，有一定的抽象概括能力和數(shù)學建模能力和合情推理歸納能力三、教法：引導探究法教法分析：本節(jié)課的教學設計意在讓學生通過與舊知識等式的基本性質

3、的類比中，通過自主探索與合作交流獲得新知.所以,在教學過程中,要特別注意安排學生經(jīng)歷猜想驗證歸納的完整的數(shù)學思維過程，讓學生在獨立思考的基礎上進行交流活動,并注重合情推理能力的培養(yǎng).學法：自主探究、合作交流四、教學過程1.復習引入師：生活中的數(shù)量關系不外乎兩種：相等關系與不等關系，不等關系在我們現(xiàn)實生活中普遍存在著通過上一節(jié)課的學習，我們知道在數(shù)學中通常用不等式來表示不等關系那么討論不等關系、求解或證明不等式需要什么依據(jù)？這就是今天我們所要研究的內容不等式的基本性質【設計意圖】：向學生指出研究不等式基本性質的重要性與必要性，點明本節(jié)課要研究的內容師：初中里我們借助于數(shù)軸，學習過實數(shù)大小的比較，

4、在數(shù)軸上實數(shù)大小是如何規(guī)定的？生：如果在數(shù)軸上兩個不同的點A與B分別對應不同的實數(shù)那么右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大師：也就是說我們是從數(shù)軸上直觀感知的，借助于數(shù)軸去比較數(shù)的大小,是一種對數(shù)大小關系比較的感性認識師：從實數(shù)運算角度來講，我們依據(jù)實數(shù)運算的結果，兩實數(shù)大小的關系有以下定義：如果是正數(shù)，那么；如果等于零，那么；如果是負數(shù)，那么，反過來也對師：同學們，你能否用數(shù)學符號語言來表示這一定義？生：師：這一定義有什么作用？生：從定義可知，要比較兩實數(shù)的大小，可以考察這兩個實數(shù)的差師：很好，通過差值的符號去判斷兩實數(shù)的大小，這是一種區(qū)別于從數(shù)軸上直觀感知，嚴密的判斷兩數(shù)大小的方法師：

5、在幾何中當我們給出一個公理或定義后，往往要研究“性質與判定”，同樣有了這個定義后，我們有必要去研究不等式的基本性質，以使我們更好的去求解或證明不等式提問：（1）（2）若生：成立師：為什么？生：用作差的方法去證明（學生講解，教師板書）師：板書不等式基本性質1與2性質1：；（對稱性）性質2：，；，（傳遞性）【設計意圖】：向學生強調：這一定義是一種證明、求解不等式的基本方法，是得到不等式基本性質的依據(jù)師：不等式還有另外的性質嗎？初中里我們學習過等式與方程，等式的基本性質是什么？解方程的依據(jù)是什么？我們是怎樣解方程的？解一元一次方程師：第一步做什么？生：移項師：移項的依據(jù)是什么？生：等式的兩邊加上同一

6、個數(shù)-1，所得的結果仍是等式師：第二步做什么？生：等式兩邊同除以2師：依據(jù)是什么？生：等式的兩邊同除以2，所得的結果仍是等式（教師補充說明除以2發(fā)即乘以）師：同學們剛才所講的兩點依據(jù)就是等式的兩條基本性質，等式的基本性質是解方程的依據(jù)（教師展示幻燈片）等式基本性質1：如果，那么；等式基本性質2：如果，那么；（）.師：類比等式的基本性質，初中里我們所講的不等式的基本性質又是怎樣的？生：；（1），；，（2），；，師：你是怎樣得出這些結論的？生：（1）、（2）兩個式子初中講過師：你還記得初中我們是如何給出這兩個結論的？生：好象是用法碼，通過天平秤出來的師：也就是通過直觀感知得出此結論，那你今天能否給

7、出嚴密的證明？生：用兩數(shù)大小判定的定義（作差比較法證）（學生在黑板上展示證明結果）師：很好（并板書性質）師：等式與平等式的這四條基本性質涉及了什么內容？揭示了什么規(guī)律？一是在等式（不等式）兩邊進行加、減、乘、除運算,二是在這個運算過程中，雖然在變化，但左右兩邊所對應的結果，要么相等、要么左邊恒大于右邊、要么左邊恒小于右邊，它強調的是在運算過程中保持“=”號不變的特性.【設計意圖】：通過回顧再現(xiàn)舊知識，引導學生探究不等式基本性質與等式的性質進行類比2.探索新知（環(huán)節(jié)一）探索不等式的性質.師：在不等式兩邊加、減、乘、除不同的數(shù)，是否也具有保持不等號不變的特性？或不等號一定改變的特性？生：，（4），

8、；（5）師：（5）式中的大于0或小于0能否省略？生：不能（通過舉反例）師：你是如何得出這一結論的？生：通過在不等式兩邊加乘具體數(shù)字歸納出來的師：如何驗證你的結論？生：作差比較法生：還可以利用結論2去證師：板書不等式的基本性質師：實數(shù)的運算還包括乘方、開方運算，那么在不等式兩邊進行乘方、開方運算，是否也具有保持不等號不變的特性？生：師：你怎樣得到的？生：老師以前講過的，可以用作差比較法證生：結論3可以推廣到的所有整數(shù)當，為偶數(shù)時，當，為奇數(shù)時，師：你是怎樣得出此結論？生：利用不等式性質師：若規(guī)定，當時，不論是奇數(shù)或偶數(shù)都有生：利用性質3還可以得出：師：為什么？生：師：很好，能否推出？生：不能（反

9、例）師：當時，的大小關系如何？生：（1）；（2）；（3）師：（1）、（2）能否合并？生：師：能否用文字語言敘述？生：同號兩數(shù)，倒數(shù)相反師：很好，此結論對于我們以后研究兩數(shù)倒數(shù)大小關系有很重要的作用【設計意圖】：以“運算中的不變性”思想作指導，讓學生在不等式運算（加、減、乘、除、乘方、開方）中，讓學生通過類比、猜想、驗證、說理等活動，經(jīng)歷一個完整的數(shù)學探索過程，在師生的一起歸納概括下，得到不等式的基本性質3-基本性質8：性質3：性質4：，性質5：，；，性質6：，性質7：性質8：師：與等式的基本性質相比，在利用不等式性質解決有關不等式問題時，特別要注意什么問題？生：符號問題師：不等式的基本性質是求解或證明不等式的依據(jù)（環(huán)節(jié)二）應用新知例題：已知：，求證：生1：用不等式性質證明生2：用作差比較法證明生3：數(shù)形結合的