第三章流體動力學基礎.

1、第三章流體動力學基礎流體的運動特性可用流速、加速度等物理量來表征，這些物理量通稱為流體的運動要素。流體動力學的 基本任務就是研究流體的運動要素隨時間和空間的變化規(guī)律，并建立它們之間的關系式。流體運動與其它物質運動一樣，都要遵循物質運動的普遍規(guī)律，如質量守恒定律，能量守恒定律、動量 定理等。將這些普遍規(guī)律應用于流體運動這類物理現(xiàn)象，即可得到描述流體運動規(guī)律的三個基本方程：連續(xù) 性方程、能量方程（伯努利方程）和動量方程，并舉例說明它們在工程中的應用。3.1研究流體運動的兩種方法研究流體運動的方法有拉格朗日法和歐拉法兩種。3.1.1拉格朗日法拉格朗日法以流體質點為研究對象， 追蹤觀測某一流體質點的運

2、動軌跡， 并探討其運動要素隨時間變化 的規(guī)律。將所有流體質點的運動匯總起來，即可得到整個流體運動的規(guī)律。例如在t時刻，某一流體質點的位置可表示為x =x a，b，c，ty =y（a，b，c， t 卜（3-1）z =z（a，b，c，t L式中：a，b，c為初始時刻t0時該流體質點的坐標。拉格朗日法通常用t= to時刻流體質點的空間坐標（a，b， c）來標識和區(qū)分不同的流體質點。顯然，不同的流體質點有不同的（a，b，c）值，故將（a， b，c，t）稱為拉格朗日變量。式（3-1）對時間t求偏導數，即可得任意流體質點的速度山 一 m - Ux （a， b， c， t）a比= = Uy（a, b，c,

3、t（3-2）ctCZyUzt Uz a，b，c，t加速度Ux；：2xZt.：tax a,ay：UyT：2y.：t二ay a,az:Uz；：t?z.:t二 az a,b, c, t)b, c, t”b, c, t )(3-3)拉格朗日法與理論力學中研究質點系運動的方法相同，其物理概念明確，但數學處理復雜。所以，在流 體力學中，一般不采用拉格朗日法，而采用較為簡便的歐拉法。3.1.2歐拉法與拉格朗日法不同，歐拉法著眼于流場中的固定空間或空間上的固定點，研究空間每一點上流體的運 動要素隨時間的變化規(guī)律。被運動流體連續(xù)充滿的空間稱為流場。需要指岀的是，所謂空間每一點上流體的 運動要素是指占據這些位置的

4、各個流體質點的運動要素。例如，空間本身不可能具有速度，歐拉法的速度指 的是占據空間某個點的流體質點的速度。在流場中任取固定空間，同一時刻，該空間各點流體的速度有可能不同，即速度u是空間坐標（x, y,z）的函數；而對某一固定的空間點，不同時刻被不同的流體質點占據，速度也有可能不同，即速度u又是時間t的函數。綜合起來，速度是空間坐標和時間的函數，即u = u x, y, z, tUx=Ux(x,y,z,t)(3-4)(3-5)(3-6)Uy=Uy(x,y,z,t)同理Uz=Uz(x,y,z,tp = p x, y, z, tP(x, y, z, t)式中x, y, z, t稱為歐拉變量。同樣，歐

5、拉法中某空間點的加速度是指某時刻占據該空間點的流體質點的加速度。而求質點的加速度就要追蹤觀察該質點沿程速度變化，此時速度U = u x, y, z, t中的坐標x, y, z就不能視為常數，而 是時間t的函數，即X =x t , y =y t , z =z t則速度可表示成u二u X t , y t , z t , 11因此，歐拉法中質點的加速度應按復合函數求導法則導岀ducucu dxcudycudza =(3-7)dtctex dtdydtczdt.u；u；u；uUxUyUz-.t:x:y:z其分量形式azdUx-dt -；:tdUyUy一 dtdUz.：UzayaxUx.:u.：Uzdt

6、.:t；:u7；Uy由式（3-7）可見，歐拉法中質點加速度由兩部分組成：第一部分UzUz；:u.Uz.z(3-8)表示空間某一固定點上流體質點:t4#:u:uUxUy :x:y圖3-1管路出流的速度對時間的變化率，稱為時變加速度或當地加速度，它是由流場的非恒定性引起的；第二部分 Uz丄表示由于流體質點空間位置變化而引起的速度變化率，稱為位變加速度或遷移加 :z速度，它是由流場的不均勻性引起的。例如，圖3-1所示的管路裝置，點a、b 分別位于等徑管和漸縮管的軸心線上。若水 箱有來水補充，水位 H保持不變，則點a, b處質點的速度均不隨時間變化，時變加速 度、Ux =0，點a處質點的速度隨流動保持

7、不變，位變加速度Ux匹=0，而點b:x處質點的速度隨流動將增大，位變加速度Ux x 0，故點a處質點的加速度ax = 0，點b處質點的加速度 ex.:t有a點的位變加速度Ux =， b點的位變加速度Ux宀，故點a處質點的加速度ax = x ；:x；:x;:t點b處質點的加速度CUx丄xaxUx -盤dx若水箱無來水補充，水位 H逐漸下降，則點a, b處質點的速度均隨時間減小，時變加速度dz = uzdt ”可得跡線微分方程(3-10)魚二魚二空二dtUx Uy Uz式中時間t是自變量，x, y, z是t的因變量。2.流線流線是指某一時刻流場中的一條空間曲線，曲線上所有流體質點的速度矢量都與這條

8、曲線相切，如圖3-2所示。在流場中可繪出一系列同一瞬時的流線，稱為流線簇，畫岀的流線簇圖稱為流譜。設流線上某點M （x，y，z）處的速度為u，其在x，y，坐標軸的分速度分別為Ux、Uy、Uz，ds為流線在M點的微元線u與ds共線，則U圖3-2流線dxdydz=0UxUyUz段矢量，ds= dxi + dyj+ dzk。根據流線定義,9#展開上式，可得流線微分方程dxUxdyuydzUz(3-11)#式中Ux，Uy，Uz是空間坐標和時間t的函數。因流線是對某一時刻而言，所以微分方程中的時間t是參變量,在積分求流線方程時應作為常數。根據流線定義，可得岀流線的特性：（1）在一般情況下不能相交，否則位

9、于交點的流體質點，在同一時刻就有與兩條流線相切的兩個速度 矢量，這是不可能的。同樣道理，流線不能是折線，而是光滑的曲線或直線。流線只在一些特殊點相交，如 速度為零的點（圖3-3中的A點）通常稱為駐點；速度無窮大的點（圖 3-4中的0點）通常稱為奇點；以及 流線相切點（圖3-3中的B點）。AB#3-4奇點（源、匯）圖3-3駐點和相切點圖（2）不可壓縮流體中，流線的疏密程度反映了該時刻流場中各點的速度大小，流線越密，流速越大,#流線越稀，流速越小。（3）恒定流動中，流線的形狀不隨時間而改變，流線與跡線重合；非恒定流動中，一般情況下，流線 的形狀隨時間而變化，流線與跡線不重合。例3-2已知二維非恒定

10、流場的速度分布為：ux =x t，uy = -y t。試求：（1）t= 0和t = 2時，過點M （- 1，- 1）的流線方程；（2） t= 0時，過點M （ 1，- 1）的跡線方程。解：（1）由式（3-11），得流線微分方程dx _ dyx t 一 -y t式中t為常數，可直接積分得簡化為In x t = -1 n y -t iTnCx t y - t =C當 t= 0，x=- 1，y=- 1 時,C= 1。_則t= 0時，過點M （ 1，- 1）的流線方程為xy = 1當 t= 2，x=- 1，y=- 1 時,C=- 3。_則t = 2時，過點M （ 1，- 1）的流線方程為由此可見，對非

11、恒定流動，流線的形狀隨時間變化。（2）由式（3-10），得跡線微分方程dx dydt x t _y t式中x、y是t的函數。將上式化為空-x-t=O dt 業(yè)+ L.dty -t = 0解得tx = C1e_ t _1=C2e-t +t -1當 t= 0, x=- 1 , y=- 1 時，Ci= 0, C2 = 0。貝U t= 0 時，過點 M ( 1, 1)的跡線方程為X = -t - 1、y = t1消去時間t,得x y - -2由此可見，t = 0時，過點M ( 1, 1)的跡線是直線，流線卻為雙曲線，兩者不重合。若將該題改為二維恒定流動，其速度分布為ux二x，uy - -y，則可得過點

12、 m( 1，-1)的流線方程和跡線方程相同，說明恒定流動流線和跡線重合。3.2.4流面、流管、過流斷面1.流面在流場中任取一條不是流線的曲線，過該曲線上每一點作流線，由這些流線組成的曲面稱為流面，如圖3-5所示。由于流面由流線組成，而流線不能相交，所以，流面就好像是固體邊界一樣，流體質點只能順著流面運動，不能穿越流面。圖3-5流面圖3-6流管112.流管在流場中任取一條不與流線重合的封閉曲線，過封閉曲線上各點作流線，所構成的管狀表面稱為流管， 如圖3-6所示。由于流線不能相交，所以流體不能穿過流管流進流岀。對于恒定流動而言，流管的形狀不隨 時間變化，流體在流管內的流動，就像在真實管道內流動一樣

13、。流管內部的全部流體稱為流束。斷面積無限小的流束，稱為元流。由于元流的斷面積無限小，斷面上各 點的運動要素如流速、 壓強等可認為是相等的。 斷面積為有限大小的流束， 稱為總流。總流由無數元流組成, 其過流斷面上各點的運動要素一般情況下不相同。3.過流斷面過流斷面可以是平面或曲面，流線互相平行在流束上取所有各點都與流線正交的橫斷面稱為過流斷面。#3-7所示時，過流斷面是平面；流線相互不平行時，過流斷面是曲面，如圖12#圖3-8斷面平均流速圖3-7過流斷面3.2.5流量、斷面平均流速1.流量單位時間通過某一過流斷面的流體量稱為流量。流量可以用體積流量Q（ m3/s）、質量流量 Qm（ kg/s）和

14、重量流量Qg（ N/s）表示。涉及不可壓縮流體時，通常使用體積流量；涉及到可壓縮流體時，則使用質量 流量或重量流量較方便。對元流來說，過流斷面面積dA上各點的速度均為 u，且方向與過流斷面垂直，所以單位時間通過的體積流量 dQ為dQ = udA總流的流量q等于通過過流斷面的所有元流流量之和，則總流的體積流量對于均質不可壓縮流體，密度為常數，則Q = Q， Qg 二gQ（3-12）2.斷面平均流速總流過流斷面上各點的流速 u般是不相等的，例如流體在管道內流動， 靠近管壁處流速較小， 管軸處流速大，如圖3-8所示。為了便于計算，設想過流斷面上各點的速度都相等，大小均為斷面平均流速v。以斷面平均流速

15、v計算所得的流量與實際流量相同，即Q udA 二 vAAq或V（ 3-13）A3.2.6均勻流與非均勻流流場中所有流線是平行直線的流動，稱為均勻流，否則稱為非均勻流。例如，流體在等直徑長直管道中流體在斷面沿程收縮或擴大的管道中的流動或在斷面形狀、大小沿程不變的長直渠道中的流動均屬均勻流; 流動或在彎曲管道中流動，以及在斷面形狀、大小沿程變化的渠道中的流動均屬非均勻流。在均勻流中，過流斷面是平面，位于同一流線上的各質點的流速的大小和方向相同，并且均勻流過流斷 面上的動壓強分布服從流體靜力學規(guī)律。按非均勻程度的不同又將非均勻流動分為漸變流和急變流，如圖3-9所示。凡流線間夾角很小接近于平行直線的流

16、動稱為漸變流，否則稱為急變流。顯然，漸變流是一種近似的均勻流。因此，均勻流的性質對漸 變流同樣適用。主要有：（1）漸變流的流線近于平行直線，過流斷面近于平面；（2）漸變流過流斷面上的動壓強分布與靜止流體壓強分布規(guī)律相同，即z 二 C。ABII10A漸變流B急變流圖3-9漸變流和急變流由定義可知，漸變流與急變流沒有明確的界定標準，流動是否按漸變流處理，以所得結果能否滿足工程 要求的精度而定。3.2.7有壓流、無壓流、射流邊界全部為固體（如為液體則沒有自由表面）的流體運動，稱為有壓流。邊界部分為固體，部分為大氣, 具有自由表面的液體運動，稱為無壓流。流體從孔口、管嘴或縫隙中連續(xù)射岀一股具有一定尺寸

17、的流束，射 到足夠大的空間去繼續(xù)擴散的流動稱為射流。例如，給水管道中的流動為有壓流；河渠中的水流運動以及排水管道中的流動是無壓流；經孔口或管嘴 射入大氣的水流運動為射流。.3連續(xù)性方程連續(xù)性方程是流體運動學的基本方程，是質量守恒定律在流體力學中的應用。下面根據質量守恒原理,推導三維流動連續(xù)性微分方程，并建立總流的連續(xù)性方程。3.3.1連續(xù)性微分方程圖3-10連續(xù)性微分方程在流場中任取微元直角六面體ABCDEFGH作為控制體，其邊長為dx、dy、dz,分別平行于x、y、z軸。設流體在該六面體形心O?（ x、y、z）處的密度為p，速度u= Uxi+ uyj + Uzk。根據泰勒級數展開，并略去二階

18、以上的無窮小量，可得 x軸方向的速度和密度變化，如圖3-10所示。在x軸方向，單位時間流進與流岀控制體的流體質量差mx血孚呼dyd“円十列 Pux)dxlx ；x 2dydz 二些 dxdydz :x14#同理，在y、z軸方向，單位時間流進與流岀控制體的流體質量差. 負 PUy)：mydxdydz丄 dxdydz:z込)+化)+ 込dxdydzdxcycz單位時間流進與流岀控制體總的質量差mxmymz =由于流體連續(xù)地充滿整個控制體，而控制體的體積又固定不變，所以，流進與流岀控制體的總的質量差只可能引起控制體內流體密度發(fā)生變化。由密度變化引起單位時間控制體內流體的質量變化為-:tdxdydz

19、- dxdydz =cP珂#根據質量守恒定律，單位時間流進與流岀控制體的總的質量差，必等于單位時間控制體內流體的質量變化。即6( PUx )亠( PUy )亠訊 Pu r- r-I cXcyz:zcPdxdydz dxdydz 竝化簡得J：Ux： U ? ；?Uz c十十十=0:t :xjy:z(3-14)此式即為可壓縮流體的連續(xù)性微分方程。由方程的推導過程可以看岀：連續(xù)性方程實質上是質量守恒定律在流體力學中的應用，因此，任何不滿足連續(xù)性方程的流動是不可能存在的；在推導過程中不涉及流體的 受力情況，故連續(xù)性方程對理想流體和粘性流體均適用。幾種特殊情形下的連續(xù)性微分方程 對恒定流，=0，式（3-

20、14）可簡化為aUxUy u 0.x:y：z 對不可壓縮均質流體，p為常數，式（3-14）可簡化為(3-15)-：Ux ：Uy ：Uz:x:y :z=0(3-16)此式適用于三維恒定與非恒定流動。對二維不可壓縮流體，不論流動是否恒定，上式可簡化為-0(3-17)#柱坐標系下，三維可壓縮流體的連續(xù)性微分方程為(3-18)6P 異（Pu）異嚴閔）異（PUz）+ Pu.t r rz r式中：Ur為速度的徑向分速；U為周向分速；Uz為軸向分速對不可壓縮均質流體，式（3-18 ）可簡化為（3-19）12柱坐標系下的連續(xù)性微分方程可由直角坐標系下的連續(xù)性微分方程經坐標變換得到，也可通過在流場中建立控制體的

21、方法導岀，限于篇幅，本書不再詳述。3.3.2總流的連續(xù)性方程不可壓縮流體總流的連續(xù)性方程，可由連續(xù)性微分方程式（3-16）導出。如圖3-11，以過流斷面1-1 ,根據高斯定理，上式的體積積分可用曲面積分來表示，即圖3-11總流連續(xù)性方程f if if V x :y :zz dV 二 undA 二 0 -：zA(3-20)2-2及側壁面圍成的固定空間為控制體V，對其空間積分可得16#(3-21)(3-22)式中A為體積V的封閉表面，un是u在微元面積dA外法線方向的投影。因側表面上un = 0，故式（3-20）可簡化為-U1dAi 亠 I U2dA2 0上式第一項取負號是因為速度U1的方向與dA

22、1的外法線方向相反。由此可得A1A2wA =v2A2式（3-21）稱為總流的連續(xù)性方程。 對不可壓縮均質流體， 不論是恒定還是非恒定流動，上式均可適用對非恒定流動，它表示同一時刻通過管道任意斷面的流量相等，而對恒定流動，它還表示流量的大小不隨時 間變化。如圖3-12 （a）、（b）所示，對于有分流或匯流的情況，根據質量守恒定律，總流連續(xù)性方程可表示為Qi = Q2 + Q3Q223QiQ2Q3(a)(b)圖3-12分流和匯流例3-3如圖3-12 ( b)所示，輸水管道經三通管匯流，已知流量33Q1 =1.5m /s，Q3 = 2.6m /s，過流斷面面積A2 = 0.2m2，試求斷面平均流速

23、v2解：流入和流岀三通管的流量相等，即則斷面平均流速Q2v2 :A 2Q3 - Q1A22.6 -1.50.2= 5.5m/s3.4元流的伯努利方程17#3.4.1理想流體元流的伯努利方程為了推導方便，將理想流體運動微分方程式(2-)寫成# duxdtdUyy p=dT1duzz ? ：:zdt該方程為非線性偏微分方程，只有特定條件下才能求得其解。這些特定條件為: 恒定流動，有u = u x，y, z，p X，y，z因此dp 二-dx 4 dy 土 dzex dy czdx、dy、dz分別乘理想流體運動微分方 沿流線積分，設流線上的微元線段矢量ds= dxi + dyj + dzk，將程的三個

24、分式，然后將三個分式相加得(fxdx + fydy + fzdz)1 土 dx+土 dy + = dz P (xcyczP.:z叫x %dtdtdZ (3-23)dt對于恒定流動，流線與跡線重合，所以沿流線下列關系式成立,dx不一比，虬udtdzdt 質量力有勢，并以 W（x，y，z）表示質量力的勢函數，則:W:x，:y所以fxdx fydy fzdz 二 Wexdx:W ,一 dy y：WdzW；z根據以上積分條件，式（3-23 ）可簡化為1dWdp =uxdux UydUy uzduzdW -丄dp -d-0(3-24) 不可壓縮均質流體，p=常數。上式可寫為=0積分得W-衛(wèi)2-u Cr

25、2(3-25)若流動在重力場中，作用在流體上的質量力只有重力，所選z軸鉛垂向上，則質量力的勢函數W = gz，代入式（3-25），整理得2g 2g(3-26)對同一流線上的任意兩點1、2,有2Ul g 2g2p2u2(3-27)=z22-82g式（3-25）為理想流體運動微分方程沿流線的伯努利積分，式（3-26）、（ 3-27）為重力場中理想流體沿流線的伯努利積分式，稱為伯努利方程。由于元流的過流斷面面積無限小，所以沿流線的伯努利方程也適用于元流。推導方程引入的限定條件， 就是理想流體元流（流線）伯努利方程的應用條件，歸納起來有：理想流體；恒定流動；質量力只有重力； 沿元流（流線）積分；不可壓

26、縮流體。3.4.2理想流體元流伯努利方程的意義在理想流體元流的伯努利方程中：Z表示單位重量流體對某一基準面具有的位置勢能，又稱位置高度或位置水頭，單位為m ；丘表示單位重量流體具有的壓強勢能，又稱測壓管高度或壓強水頭，單位為m；8Hp =Z *表示單位重量流體具有的總勢能，又稱測壓管水頭，單位為 m；p 巾2U 表示單位重量流體具有的動能，又稱流速高度或速度水頭，單位為m ；2gP u2 一、亠、亠H =Z表示單位重量流體具有的機械能，又稱總水頭，單位為m。pg 2g因此，伯努利方程式（3-26）、（3-27）的物理意義為：當理想不可壓縮流體在重力場中作恒定流動時， 沿同一元流（沿同一流線）單

27、位重量流體的位置勢能、壓強勢能和動能在流動過程中可以相互轉化，但它們 的總和保持不變，即單位重量流體的機械能守恒，故伯努利方程又稱為能量方程。伯努利方程式（3-26）、（3-27）的幾何意義為：當理想不可壓縮流體在重力場中作恒定流動時，沿同一 元流（沿同一流線）流體的位置水頭、壓強水頭和速度水頭在流動過程中可以互相轉化，但各斷面的總水頭 保持不變，即總水頭線是與基準面相平行的水平線，如圖3-13所示。3.4.3理想流體元流伯努利方程的應用畢托管是一種測量點流速的儀器，是理想流體元流伯努利方程在工程中的典型應用。直接測量流場某點的速度大小是比較困難的，但該點的壓強卻可以通過測壓計容易地測岀。通過

28、測量點壓強，再應用伯努利方程間接得岀點速度的大小，這就是畢托管的測速原理。如圖3-14所示，現(xiàn)欲測定均勻管流過流斷面上 A點的流速u，可在A點所在斷面設置測壓管，測岀該點的壓強p，稱為靜壓。另在 A點同一流線下游取相距很近的0點，在該點放置一根兩端開口的L型細管，使一端管口正對來流方向，另一端垂直向上，此管稱為測速管。來流在 0點由于受測速管的阻滯，速度為零，動能全部轉化為壓能，測 速管中液面升高 丄。0點稱為駐點，該點的壓強稱為總壓或全壓。pg以A0所在流線為基準，忽略水頭損失，對A、0兩點應用理想流體元流伯努利方程20#2 *p u = P 02g22g g g則A點的流速為(3-28)考

29、慮到粘性的存在以及畢托管置入流場后對流動的干擾等因素的影響，引入修正系數c,則(3-29)式中c是修正系數，數值接近于 1，由實驗測定。根據上述原理，將測速管和測壓管組合成測量點流速的儀器，稱為畢托管，其剖面如圖3-15所示。兩端開口的管1為測速管，用來測量總壓。側壁設有幾個均勻分布小孔的管2為測壓管，用來測量靜壓。將管1、2分另U與壓差計的兩端連接，即可測得總壓和靜壓的差值，從而求岀測點的流速。22圖3-14點流速測量圖3-15畢托管剖面圖3.4.4實際流體元流的伯努利方程實際流體都具有粘性，在流動過程中會產生流動阻力，克服阻力做功，流體的一部分機械能將不可逆地 轉化為熱能耗散，因此，實際流

30、體的機械能沿程減小，總水頭線沿程下降。根據能量守恒原理，實際流體元 流的伯努利方程為2+ u1 =z +22g2P2 . U2;?g2ghw(3-30)#式中：hw為實際流體元流單位重量流體從1-1過流斷面流到2-2過流斷面的機械能損失，稱為元流的水頭 損失，m。3.5總流的伯努利方程上一節(jié)最后已得到實際流體元流的伯努利方程，但實際工程中，研究的是流體在整個流場中的運動，其 中很大一部分是關于流體在管道和渠道內的流動。所以，從工程應用的角度，有必要將實際流體元流的伯努 利方程進行擴展，建立實際流體總流的伯努利方程。3.5.1總流的伯努利方程圖3-16總流伯努利方程圖3-16所示為實際流體恒定總

31、流，過流斷面1-1、2-2為漸變流斷面，面積為A1、A?。在總流中任取元dA1 z1、p1、u1； dA2、z2、p2、u2。流，其過流斷面的微元面積、位置高度、壓強及流速分別為將實際流體元流伯努利方程式（3-30）兩邊同乘重量流量 PgdQ = PgudA = Pgu2dA，得單位時間通過元流兩過流斷面的能量方程Z12 、+ _Pl+UlPg 2g 丿:gu2A1 =hw PgdA )23#對上式積分，可得單位時間通過總流兩過流斷面的能量方程A12：:gu1dA I 虹：、gu1dA1 二a1 2gA2:：gu2dA22U2+A? 2g：、gu2dA2 亠 I hw gdQzQ2#(3-31

32、)下面分別確定上式中三種類型的積分(1)( z +A 2 =1.0，則上式簡化為列1-1、2-2斷面連續(xù)性方程代入前式，得則通過文丘里管的流量Q = VAZi2V22g22gdi11 二d p2表示。由于氣流的密度同外部大氣的密度具有相同的數量級，不能簡單地將上式等號兩邊的絕對壓強值減去同一大小的大氣壓強值，而是必須考慮外部大氣壓在不同高度的差值。設高程z1處的大氣壓強為pa1,高程z2處的大氣壓強為pa2, pa1 pa2。假設大氣壓強沿高程按靜壓強分 布，則Pa2 = Pa1 -ag Z2 乙氣流在過流斷面1-1、2-2處的絕對壓強P1abs 二 P1Pa1P2abs 二 P2Pa2 二 P|Pa 訂9 Z Z1將 p1abs、p2abs代入式（3-38），得- g Z2 V 二 P2?+Pw2(3-39)33#式（3-39）是以相對壓強表示的不可壓縮氣體的伯努利方程。式中各項的意義類似于總流伯努利方程式（3-32）中的對應項。在專業(yè)中，習慣上稱P1、P2為靜壓,為動壓,2#為位壓。3-39)中的當氣流的密度和外界大氣的密度