Maple理論力學(xué)

1、1. 如圖1所示一質(zhì)量為m、半徑為r的圓柱鐵桶， 在半徑為R的圓弧上作無滑動的滾動。求圓柱鐵桶在平衡位置附近作微小振動的固有頻率。 解：建模系統(tǒng)受主動力：mg,F1,F2。圓桶運(yùn)動為定軸轉(zhuǎn)動。 Maple程序> resart: #清零> JO1:=1/2*m*r2: #圓桶的轉(zhuǎn)動慣量> vO1:=(R-r)*Dtheta: #圓桶中心O1 線的速度vo1> omega:=(R-r)*Dtheta/r: #作純滾動角速度> T:=1/2*m*vO12+1/2*JO1*omega2: #系統(tǒng)的動能> V:=m*g*(R-r)*(1-cos(theta): #系統(tǒng)

2、的勢能> V:=subs(cos(theta)=1-1/2*theta2,V): #微動時，勢能> theta:=A*sin(omega0*t+beta): #的變化規(guī)律> Dtheta:=diff(theta,t): #的導(dǎo)數(shù)> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系統(tǒng)的最大動能> Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系統(tǒng)的最大勢能> eq:=Tmax=Vmax: #機(jī)械能守恒> solve(eq,omega0); #解方程答：圓桶在平衡位置附近作微小振動的固有頻率為2. 如

3、圖2所示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，作水平方向的自由振動，求小車的固有頻率。 解：建模系統(tǒng)受回復(fù)力：Kx。小車作自由振動。 Maple程序> restart: #清零> x:=A*sin(omega0*t+beta): #小車運(yùn)動的變化規(guī)律> Dx:=diff(x,t): #x的導(dǎo)數(shù)> T:=1/2*m*(Dx)2: #系統(tǒng)的動能> V:=1/2*K*x2: #系統(tǒng)的勢能> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系統(tǒng)的最大動能> Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系統(tǒng)的最大勢能> eq

4、1:=Tmax=Vmax: #機(jī)械能守恒> solve(eq1,omega0); #解方程 答：小車在作往復(fù)運(yùn)動的固有頻率為。3. 一個質(zhì)量為m的物體在一根抗彎剛度為EJ長為l的簡支梁上作自由振動。若此物體在梁未變形的位置無初速度釋放，求系統(tǒng)自由振動的頻率。 解：建模系統(tǒng)受力：mg,F。物體作直線運(yùn)動。 Maple程序> restart: #清零> eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g- # k*(deltast+x): > eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移項(xiàng)> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代換 del

5、tast=m*g/k,eq):> eq:=expand(eq/m): #展開> eq:=subs(k=m*omega02,eq); #代換> X:=A*sin(omega0*t+beta): #系統(tǒng)的通解> k:=m*g/deltast: #梁的剛度系數(shù)> omega0:=sqrt(k/m): #固有頻率> omega0:=subs(deltast=(mgl3)/(48*E*J),omega0); #代換答：系統(tǒng)自由振動的頻率為。4. 如圖中4所示單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在，質(zhì)量塊質(zhì)量為m，當(dāng)質(zhì)量塊下拉彈簧處于平衡位置時，靜變形為40mm。求此彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的振動

6、規(guī)律。 解：建模系統(tǒng)受力：mg,回復(fù)力kx。物體作上下的自由振動運(yùn)動。 Maple程序> restart: #清零> eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k* #(deltast+x):> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移項(xiàng)> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代換deltast=m*g/k,eq):> eq:=expand(eq/m): #展開> eq:=subs(k=m*omega02,eq): #代換> X:=A*sin(omega0*t+beta): #系統(tǒng)通解> k:=m*g/d

7、eltast: #彈簧剛度系數(shù)> omega0:=sqrt(k/m): #固有頻率> x0:=-deltast: #初位移> v0:=0: #初速度> A:=sqrt(x02+v02/omega02): #振幅> beta:=-Pi/2: #初相角> deltast:=0.04:g:=9.8: #已知條件> omega0:=eval(omega0): #已知條件> A:=eval(A): #振幅數(shù)值> X:=evalf(X,4); #系統(tǒng)振動規(guī)律答：此彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的振動規(guī)律x=-0.04cos(15.65t)。5. 龍門起重機(jī)設(shè)計(jì)中，為避免

8、在連續(xù)啟動制動過程中引起的振動，要求每一次由于啟動過程中或制動過程中引起的振動的衰減時間不得過長。有如下規(guī)定：起重質(zhì)量不大于50噸的龍門起重機(jī)，在縱向水平振動時，振幅衰減到最大振幅的5%所需的時間應(yīng)在2530秒的范圍2 /cm。水平方向剛度K=2000kg/cm.有實(shí)測得到對數(shù)減幅=0.10.試計(jì)算衰減時間，問是否符合要求。 解：建模系統(tǒng)受力：mg,Fd。物體作上下的自由振動運(yùn)動。 Maple程序> restart: #清零 > Td:=(1/f*delta)*Lambda): #衰減時間> Lambda:=ln(A1/Aj+1): #對數(shù)縮減> Lambda:=sub

9、s(A1 #代換/Aj+1=y,Lambda):> f:=(1/(2*Pi)*sqrt(K/m): #固有頻率> K:=2000:m:=27.9: #已知條件delta:=0.10:y:=100/5:> f:=evalf(f,4); #固有頻率數(shù)值> Td:=evalf(Td,4); #衰減時間答：所求的時間為22.24s在所求區(qū)間內(nèi)滿足要求，所以是符合要求的。6. 某精密設(shè)備用橡膠隔振器隔振，如圖6所示。已知系統(tǒng)的固有頻率為3.8Hz。橡膠隔振器的相對阻尼系數(shù)=0.125。如地面振動的垂直分量是正弦振動，振幅為0.002mm,最大振動速度為0.1256m/s。試求設(shè)備

10、的振幅。 解：建模設(shè)備受力：mg,Fe。設(shè)備作曲線運(yùn)動。 Maple程序> restart: #清零>B:=a*sqrt(1+(2*zeta*lambda)2) #振幅/9(1-lambda2)2+(2*lambda*zeta)2):> omega:=v/a: #地面振動頻率> p:=2*Pi*f: #系統(tǒng)振動頻率> lambda:=omega/p: #頻率比> v:=0.1256:a:=0.002: #已知條件f:=3.8:zeta:=0.125:> B:=evalf(B,4); #垂直振幅數(shù)值答：此設(shè)備的振幅為1.342mm.7. 一汽車在波形路面

11、上行駛，其模型可以簡化為如圖7所示的圖形。路面的波形可以用函數(shù)表示，其中振幅,波長。汽車的質(zhì)量，彈簧的剛度系數(shù)為。忽略阻尼，求汽車以15m/s勻速前進(jìn)時，車體的垂直振幅？ 解：建模汽車受主動力：mg,Fe。汽車作曲線運(yùn)動。 Maple程序> restart: #清零> x:=y*t: #汽車勻速行駛位移> y1:=d*sin(2*Pi*x/l): #路面波形方程> y1:=subs(v=(omaga*l)/(2*Pi),y1): #代換> omega:=(2*Pi*v)/l: #位移激振頻率> omega0:=sqrt(k/m): #系統(tǒng)的固有頻率>

12、s:=omega/omega0: #頻率比> etal:=sqrt(1/(1-s2)2): #位移傳遞率> b:=etal*d: #車體垂直振幅> k:=300000:m:=2500:l:=8: #已知條件> d:=0.050:v:=15: #已知條件> b:=evalf(b,4); #振幅數(shù)值答：車體的垂直振幅為31.84cm。8. 一個均質(zhì)的細(xì)桿質(zhì)量為m,長為l,如圖所示，兩個剛度系數(shù)皆為k的彈簧對稱的作用在輕質(zhì)細(xì)桿上。試求該系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：建模已平衡位置為原點(diǎn)，只考慮沿鉛垂方向的位移，分別以彈簧的兩個支點(diǎn)的位移X1，X2為系統(tǒng)的兩個坐標(biāo)。 細(xì)桿

13、受力mg,Fe1和 Fe2。細(xì)桿作平面運(yùn)動。 Maple程序> restart: #清零> JC:=m*l2/12: #均值細(xì)桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量> F1:=k*x1: #彈簧恢復(fù)力Fe1> F2:=k*x2: #彈簧恢復(fù)力Fe2 > xC:=(x1+x2)/2: #細(xì)桿質(zhì)心的坐標(biāo)> phi:=(x1-x2)/d: #細(xì)桿繞質(zhì)心的微小轉(zhuǎn)動> DDxC:=(DDx1+DDx2)/2: #細(xì)桿質(zhì)心加速度> DDphi:=(DDx1-DDx2)/d: #細(xì)桿繞質(zhì)心微小角加速度> eq1:=m*DDxC=-F1-F2: #細(xì)桿的平面運(yùn)動微分方程一&g

14、t; eq2:=JC*DDphi=-F1 #細(xì)桿的平面運(yùn)動微分方程二*d/2+F2*d/2:> eq1:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0: #移項(xiàng)> eq2:=lhs(eq2)-rhs(eq2)=0: #移項(xiàng)> eq1:=expand(2*eq1/m): #展開> eq2:=expand(d*eq2/JC): #展開> eq1:=subs(k=m*b/2,eq1): #代換> eq2:=subs(k=c*(m*l2)/(6*d2),eq2): #代換> x1:=A*sin(omega*t+theta): #設(shè)解> x2:=B*sin(om

15、ega*t+theta): #設(shè)解> DDx1:=diff(x1,t$2): # X1對t的二階導(dǎo)> DDx2:=diff(x2,t$2): # X2對t的二階導(dǎo)> eq3:=simplify(eq1/sin(omega*t+theta): #化簡> eq4:=simplify(eq2/sin(omega*t+theta): #化簡> eq3:=subs(B=A*nu,eq3): #代換> eq4:=subs(B=A*nu,eq4): #代換> eq3:=expand(eq3/A): #展開> eq4:=expand(eq4/A): #展開>

16、; b:=2*k/m: #方程系數(shù)> c:=(6*k*d2)/(m*l2): #方程系數(shù)> solve(eq3,eq4,nu,omega2); #解方程答：系統(tǒng)的固有頻率，對稱主振型和反對稱主振型。9. 已知：，求如圖10擺的運(yùn)動方程。 解：建模小球作平面運(yùn)動自由度f=1取廣義坐標(biāo) Maple程序> restart: #清零> xrho:=l: #初始狀態(tài)> xphi:=l*phi: #角度為時的位移> xrho:=subs(l=l(t),xrho): #代換> xphi:=subs(phi=phi(t),xphi): #代換> vrho:=di

17、ff(xrho,t): #關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)> vphi:=diff(xphi,t): #關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)> V:=vector(vrho,vphi): #表示為矢量> vA:=sqrt(vrho2+vphi2): #任意點(diǎn)A速度大小> T:=1/2*m*vA2： #A點(diǎn)動能 > T:=subs(diff(phi(t),t)=Dphi, #代換phi(t)=phi,T): > T:=collect(T,Dphi): #整理> TDphi:=diff(T,Dphi): #的導(dǎo)數(shù)對T求導(dǎo)> Tphi:=diff(T,Dphi)： #的導(dǎo)數(shù)對T求導(dǎo)> TDphi:=subs(l=l0-v