第四章 靜態(tài)場(chǎng)解

1、第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 4.1 邊值問(wèn)題的分類4.2 唯一性定理4.3 鏡像法4.4 分離變量法4.5 復(fù)變函數(shù)法4.6 格林函數(shù)法4.7 有限差分法 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系 靜態(tài)場(chǎng)特性靜態(tài)場(chǎng)特性靜態(tài)場(chǎng)基本概念靜態(tài)場(chǎng)基本概念 靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)是指電磁場(chǎng)中的源量和場(chǎng)量都不隨時(shí)間發(fā)生變化的場(chǎng)。是指電磁場(chǎng)中的源量和場(chǎng)量都不隨時(shí)間發(fā)生變化的場(chǎng)。 靜態(tài)場(chǎng)包括靜態(tài)場(chǎng)包括靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)及及恒定磁場(chǎng)恒定磁場(chǎng)，它們是時(shí)變電磁，它們是時(shí)變電磁場(chǎng)的特例。場(chǎng)的特例。 靜電場(chǎng)是指由靜止的且其電荷量不

2、隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)是指由靜止的且其電荷量不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。電場(chǎng)。 恒定電場(chǎng)是指導(dǎo)電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場(chǎng)。恒定電場(chǎng)是指導(dǎo)電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場(chǎng)。 恒定磁場(chǎng)是指由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，亦稱為靜恒定磁場(chǎng)是指由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，亦稱為靜磁場(chǎng)。磁場(chǎng)。 0,0,0VDBttt第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系ccddd0ddd0d0lSlVSVSSHlJSElDSVBSJScc000VHJEDBJ靜態(tài)場(chǎng)的麥克斯韋方程組靜態(tài)場(chǎng)的麥克斯韋方程組 靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)的最本質(zhì)區(qū)別靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)的最本質(zhì)區(qū)別：靜態(tài)場(chǎng)中的電場(chǎng)和：靜態(tài)場(chǎng)

3、中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是彼此獨(dú)立存在的。磁場(chǎng)是彼此獨(dú)立存在的。第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系靜電場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程靜電場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 EVDE ()V 2V20靜電場(chǎng)基本方程d0ddlVSVElDSV0VEDDE靜電場(chǎng)是有散(有源)無(wú)旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)。泊松方程拉普拉斯方程0無(wú)源區(qū)域無(wú)源區(qū)域 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系恒定電場(chǎng)的拉普拉斯方程恒定電場(chǎng)的拉普拉斯方程E c0JE()0 20恒定電場(chǎng)基本方程恒定電場(chǎng)基本方程cd0d0lSElJS00EJcJE導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電

4、場(chǎng)具有無(wú)散、無(wú)旋場(chǎng)的特征，導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)具有無(wú)散、無(wú)旋場(chǎng)的特征，是保守場(chǎng)是保守場(chǎng)拉普拉斯方程拉普拉斯方程第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系恒定磁場(chǎng)的矢量泊松方程恒定磁場(chǎng)的矢量泊松方程BAcBHJ cAJ2c()AAAJ 0A 洛侖茲規(guī)范洛侖茲規(guī)范 矢量泊松方程矢量泊松方程 2cAJ cddd0lSSHlJSBSc0HJBBH恒定磁場(chǎng)基本方程恒定磁場(chǎng)基本方程 恒定磁場(chǎng)是無(wú)散有旋場(chǎng)。恒定磁場(chǎng)是無(wú)散有旋場(chǎng)。第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系20A矢量拉普拉斯方矢量拉普拉斯方程程 mH 0H注意：注意： 標(biāo)量磁位只有在無(wú)源區(qū)才能應(yīng)用，而

5、矢量磁位則無(wú)此限制。標(biāo)量磁位只有在無(wú)源區(qū)才能應(yīng)用，而矢量磁位則無(wú)此限制。 2m0c0J 222xxyyzzAJAJAJ 2cAJ 分解分解在沒(méi)有電流分布的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)也成了無(wú)旋場(chǎng)，具有在沒(méi)有電流分布的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)也成了無(wú)旋場(chǎng)，具有位場(chǎng)位場(chǎng)的性質(zhì)，引入的性質(zhì)，引入標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位 來(lái)表示磁場(chǎng)強(qiáng)度。即來(lái)表示磁場(chǎng)強(qiáng)度。即mH m標(biāo)量拉普拉斯方程標(biāo)量拉普拉斯方程 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系22222222xyz22222211()rr rrrz22222222111()(sin)sinsinRRRRRR 拉普拉斯算子拉普拉斯算子直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐

6、標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系靜態(tài)場(chǎng)的重要原理和定理靜態(tài)場(chǎng)的重要原理和定理對(duì)偶原理對(duì)偶原理(1)概念：如果描述兩種物概念：如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并具同的數(shù)學(xué)形式，并具有對(duì)應(yīng)的邊界條件，有對(duì)應(yīng)的邊界條件，那么它們解的數(shù)學(xué)形那么它們解的數(shù)學(xué)形式也將是相同的，這式也將是相同的，這就是就是對(duì)偶原理對(duì)偶原理，亦稱，亦稱為為二重性原理二重性原理。具有。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)方程稱為方程稱為對(duì)偶方程對(duì)偶方程，在對(duì)偶方程中，處于在對(duì)偶方程中，處于同等地位的量稱為同等地位的量稱為對(duì)對(duì)偶量偶量。靜電場(chǎng)

7、靜電場(chǎng)(無(wú)源區(qū)域無(wú)源區(qū)域) 恒定電場(chǎng)恒定電場(chǎng)(電源外區(qū)域電源外區(qū)域) 0E0EE E 0Dc0JDEJE20 20 dSqDScdSIJS(2)靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng) 對(duì)偶方程對(duì)偶方程 對(duì)偶量對(duì)偶量第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系(3)靜電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)靜電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng) 對(duì)偶方程對(duì)偶方程對(duì)偶量對(duì)偶量(4)有源情況下的對(duì)偶關(guān)系有源情況下的對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶關(guān)系存在對(duì)偶關(guān)系存在不像上述兩種情況那樣一目了然不像上述兩種情況那樣一目了然(5)應(yīng)用應(yīng)用電偶極子和磁偶極子輻射的對(duì)偶關(guān)系，電偶極子和磁偶極子輻射的對(duì)偶關(guān)系，某些波導(dǎo)中橫電波某些波導(dǎo)中橫電波(TE波波)和橫磁波

8、和橫磁波(TM波波)間的對(duì)偶關(guān)系間的對(duì)偶關(guān)系 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)(無(wú)源區(qū)域無(wú)源區(qū)域) 恒定磁場(chǎng)恒定磁場(chǎng)(無(wú)源區(qū)域無(wú)源區(qū)域) 0E0H0D0BDEBH202m0dSqDSdmSqBS第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.1 邊值問(wèn)題的分類邊值問(wèn)題的分類 邊值問(wèn)題是指存在邊界面的電磁問(wèn)題邊值問(wèn)題是指存在邊界面的電磁問(wèn)題 根據(jù)給定邊界條件對(duì)邊值問(wèn)題分類：根據(jù)給定邊界條件對(duì)邊值問(wèn)題分類： 第一類邊值問(wèn)題：第一類邊值問(wèn)題：已知電位函數(shù)在全部邊界面上的分布值。已知電位函數(shù)在全部邊界面上的分布值。 第二類邊值問(wèn)題：第二類邊值問(wèn)題：已知函數(shù)在已知函數(shù)在全部全部邊界面上的法向?qū)?shù)。邊界面

9、上的法向?qū)?shù)。SfSfn22Sfn 第三類邊值問(wèn)題（混合邊值問(wèn)題）：第三類邊值問(wèn)題（混合邊值問(wèn)題）：已知一部分邊界面上的函已知一部分邊界面上的函數(shù)值，和另一部分邊界面上函數(shù)的法向?qū)?shù)。數(shù)值，和另一部分邊界面上函數(shù)的法向?qū)?shù)。11Sf12SSS第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.2 唯唯 一一 性性 定定 理理()SSdSdSn 4.2.1 格林公式格林公式 VSFdVF dS 令令2()F 散度定理散度定理F 2()VVFdVdV 則則2()VSdVdSn 格林第一恒等式格林第一恒等式若將第一恒等式中的若將第一恒等式中的與與互換，則互換，則2()VSdVdSn2

10、2()VSdVdSnn 格林第二恒等式格林第二恒等式第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.2.2 唯一性定理唯一性定理 內(nèi)容：在場(chǎng)域內(nèi)容：在場(chǎng)域V的各邊界面的各邊界面S上給定電位上給定電位 或或 的值，則的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V內(nèi)的解唯一。內(nèi)的解唯一。/ n說(shuō)明：若對(duì)同一面積，同時(shí)給定說(shuō)明：若對(duì)同一面積，同時(shí)給定 和和 的值，則不存在唯一解。的值，則不存在唯一解。n意義：意義： 指出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有唯一解的條件指出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有唯一解的條件 為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題求解方法提供了理論依據(jù)，為結(jié)果正確性提為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題求

11、解方法提供了理論依據(jù)，為結(jié)果正確性提 供了判據(jù)供了判據(jù) 唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理論依據(jù)唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理論依據(jù)第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系設(shè)在區(qū)域設(shè)在區(qū)域V內(nèi)，內(nèi)，1和和2滿足泊松方程，即滿足泊松方程，即 21( ) r 在在V的邊界的邊界S上，上，1和和2滿足同樣的邊界條件，滿足同樣的邊界條件， 即即 1|( )Sf r證明：證明：22( ) r 2|( )Sf r令令 =1-2，則在，則在V內(nèi)，內(nèi)，2=0，在邊界面，在邊界面S上，上，|S=0。在格林。在格林第一恒等式中，令第一恒等式中，令=，則，

12、則 SVdSndV)(220VSdVdSn120第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.3 鏡鏡 像像 法法 u 概念：概念：在一定條件下，可以用一個(gè)或多個(gè)位于待求場(chǎng)域邊在一定條件下，可以用一個(gè)或多個(gè)位于待求場(chǎng)域邊界以外虛設(shè)的等效電荷來(lái)代替導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的作用，界以外虛設(shè)的等效電荷來(lái)代替導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，則根據(jù)惟一性定理，空且保持原有邊界上邊界條件不變，則根據(jù)惟一性定理，空間電場(chǎng)可由原來(lái)的電荷和所有等效電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加得間電場(chǎng)可由原來(lái)的電荷和所有等效電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加得到。這些等效電荷稱為到。這些等效電荷稱為鏡像電荷鏡像電

13、荷，這種求解方法稱為，這種求解方法稱為鏡像鏡像法法。 u 理論依據(jù)：理論依據(jù)：惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系u 目的：目的：把原問(wèn)題中把原問(wèn)題中包含典型邊界包含典型邊界的場(chǎng)的計(jì)算問(wèn)題化為的場(chǎng)的計(jì)算問(wèn)題化為無(wú)限無(wú)限大均勻媒質(zhì)空間大均勻媒質(zhì)空間中的問(wèn)題求解中的問(wèn)題求解,達(dá)到達(dá)到簡(jiǎn)化求解簡(jiǎn)化求解的目的的目的.u 基本思路：基本思路：在在求解域外求解域外的適當(dāng)位置，放置的適當(dāng)位置，放置虛擬電荷虛擬電荷等效替代等效替代分界面上導(dǎo)體的感應(yīng)面電荷或媒質(zhì)的極化面電荷的作用，取消分界面上導(dǎo)體的感應(yīng)面電荷或媒質(zhì)的極化面電

14、荷的作用，取消分界面的存在。分界面的存在。u 應(yīng)注意的問(wèn)題：應(yīng)注意的問(wèn)題：鏡像電荷位于待求場(chǎng)域邊界之外。鏡像電荷位于待求場(chǎng)域邊界之外。將有邊界的不均勻空間處理為無(wú)限大均勻空間，該均勻?qū)⒂羞吔绲牟痪鶆蚩臻g處理為無(wú)限大均勻空間，該均勻空間中媒質(zhì)特性與待求場(chǎng)域中一致。空間中媒質(zhì)特性與待求場(chǎng)域中一致。實(shí)際電荷實(shí)際電荷( (或電流或電流) )和鏡像電荷和鏡像電荷( (或電流或電流) )共同作用保持原共同作用保持原邊界處的邊界條件不變。電位函數(shù)仍然滿足原方程（拉邊界處的邊界條件不變。電位函數(shù)仍然滿足原方程（拉氏方程或泊松方程）。電位分布仍滿足原邊界條件氏方程或泊松方程）。電位分布仍滿足原邊界條件 第四章

15、靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系 待求場(chǎng)域：上半空間待求場(chǎng)域：上半空間 邊界：邊界： 無(wú)限大導(dǎo)體平面無(wú)限大導(dǎo)體平面 邊界條件：邊界條件：點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 q導(dǎo)體平面導(dǎo)體平面0zddqqpxo1r2r導(dǎo)體平面導(dǎo)體平面在空間的電位為點(diǎn)電荷在空間的電位為點(diǎn)電荷q 和鏡像電荷和鏡像電荷 -q 所所產(chǎn)生的電位疊加，即產(chǎn)生的電位疊加，即012114qrr12rr電位滿足邊界條件電位滿足邊界條件導(dǎo)體平面邊界上：導(dǎo)體平面邊界上：04.3.1 平面鏡像法平面鏡像法 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系E 3/23

16、/222222204()()xqxxExyz dxyz d3/23/222222204()()yqyyExyz dxyz d3/23/222222204()()zqz dz dExyz dxyz d1/21/22222220114()()qxyzdxyzd上半空間的電場(chǎng)強(qiáng)度：上半空間的電場(chǎng)強(qiáng)度：電位：電位：第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷 導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷總量導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷總量 導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷的作用力導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷的作用力0222 3/22()SnzqdDExyd 222 3/2d dd d2()SS

17、qx yqdx yqxyd 22016zqFad 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像u 將無(wú)限長(zhǎng)的線電荷看作無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷的集合。根據(jù)點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接將無(wú)限長(zhǎng)的線電荷看作無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷的集合。根據(jù)點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線電荷對(duì)應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線電荷對(duì)應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)體表面的線電荷，其電荷密度為體表面的線電荷，其電荷密度為u 待求場(chǎng)域待求場(chǎng)域 中的電位中的電位u 上半空間的電場(chǎng)上半空間的電場(chǎng)l(0)y 201ln2lrr120 10 222l

18、lrrEaarr第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系3. 點(diǎn)電荷對(duì)半無(wú)限大接地導(dǎo)體角域的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)半無(wú)限大接地導(dǎo)體角域的鏡像由兩個(gè)半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當(dāng)其夾角由兩個(gè)半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當(dāng)其夾角 為為整數(shù)時(shí)，該角域中的點(diǎn)電荷將有個(gè)鏡像電荷，該角域中的場(chǎng)可以用整數(shù)時(shí)，該角域中的點(diǎn)電荷將有個(gè)鏡像電荷，該角域中的場(chǎng)可以用鏡像法求解鏡像法求解u當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)：時(shí)：u該角域外有該角域外有3個(gè)鏡像電荷個(gè)鏡像電荷q1、 q2和和q3 ，位置如圖所示。其中，位置如圖所示。其中 ,nn123,qqqqqq第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工

19、學(xué)院物理系u 當(dāng)當(dāng)n=3時(shí)：時(shí)：u 角域夾角為角域夾角為/n，n為整數(shù)時(shí)，有為整數(shù)時(shí)，有(2n1)個(gè)鏡像電荷，它們與水平邊界的夾角個(gè)鏡像電荷，它們與水平邊界的夾角分別為分別為 u n不為整數(shù)時(shí)，鏡像電荷將有無(wú)數(shù)個(gè)，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為不為整數(shù)時(shí)，鏡像電荷將有無(wú)數(shù)個(gè)，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為鈍角時(shí)，鏡像法亦不適用。鈍角時(shí)，鏡像法亦不適用。角域外有角域外有5個(gè)鏡像電荷，大小個(gè)鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負(fù)交替地分布在同一荷都正、負(fù)交替地分布在同一個(gè)圓周上，該圓的圓心位于角個(gè)圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點(diǎn)，半徑為點(diǎn)電荷到頂域的頂點(diǎn)，

20、半徑為點(diǎn)電荷到頂點(diǎn)的距離。點(diǎn)的距離。 (2),1,2,(1)(2)mmnn及3q3qqqqqq第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.3.2 球面鏡像法球面鏡像法 u 設(shè)一點(diǎn)電荷設(shè)一點(diǎn)電荷q位于半徑為位于半徑為a 的的接地導(dǎo)體球接地導(dǎo)體球附近，與球心的距附近，與球心的距離為離為d，如圖所示。待求場(chǎng)域?yàn)?，如圖所示。待求場(chǎng)域?yàn)閞 a區(qū)域，邊界條件為導(dǎo)體區(qū)域，邊界條件為導(dǎo)體球面上電位為零。球面上電位為零。adqadqq 設(shè)想在待求場(chǎng)域之外有一鏡像電荷設(shè)想在待求場(chǎng)域之外有一鏡像電荷q，位置如圖所示。，位置如圖所示。根據(jù)鏡像法原理，根據(jù)鏡像法原理， q 和和 q在球面上的電位

21、為零。在球面上的電位為零。第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球周圍的電場(chǎng)aa第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系0121()04cqqrr21rqqrqabqda qabqda aqqd2abd22 1/22224 1/2014(2cos)(2cos)qardrdd rdraaadqqc1r2rb在球面上任取一點(diǎn)c，則MN( ,)r空間任意點(diǎn) 的電位：( ,)r第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系導(dǎo)體球不接地：aqqd2abdaqqqda a第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理

22、工學(xué)院物理系u導(dǎo)體球不接地導(dǎo)體球不接地：根據(jù)電荷守恒定律，導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷代：根據(jù)電荷守恒定律，導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷代數(shù)和應(yīng)為零，就必須在原有的鏡像電荷之外再附加另一鏡數(shù)和應(yīng)為零，就必須在原有的鏡像電荷之外再附加另一鏡像電荷像電荷 q=q 22 1/22224 1/2014(2cos)(2cos)qaardrdd rdraadr0044qqad球外任一點(diǎn)電位：球外任一點(diǎn)電位： 球面上任一點(diǎn)電位：球面上任一點(diǎn)電位：為了保證球面為等位面的為了保證球面為等位面的條件，鏡像電荷條件，鏡像電荷q應(yīng)位于應(yīng)位于球心處球心處 。第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.3.3 圓柱面鏡像

23、法圓柱面鏡像法 (a) 導(dǎo)體平面與線電荷；導(dǎo)體平面與線電荷；(b) 等位線等位線n 線密度為線密度為l 的無(wú)限長(zhǎng)線電荷平行置于接地?zé)o限大導(dǎo)體平面前，的無(wú)限長(zhǎng)線電荷平行置于接地?zé)o限大導(dǎo)體平面前，二者相距二者相距d, 如圖如圖 4-5(a)所示，求電位及等位面方程。所示，求電位及等位面方程。 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系解：解： rrnl0012同理得鏡像電荷同理得鏡像電荷-l的電位：的電位： rrnl0012任一點(diǎn)任一點(diǎn)(x, y)的總電位：的總電位： rrnl12022220)()(14),(ydxydxnyxl用直角坐標(biāo)表示為用直角坐標(biāo)表示為 第四章 靜

24、態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系等位線方程為等位線方程為 22222)()(mydxydx2222221211mmdydmmx這個(gè)方程表示一簇圓，圓心在這個(gè)方程表示一簇圓，圓心在(x0, y0)，半徑是，半徑是R0。其中：。其中： 0,11,12022020ydmmxmmdR每一個(gè)給定的每一個(gè)給定的m(m0)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)等位圓，此圓的電位為值，對(duì)應(yīng)一個(gè)等位圓，此圓的電位為 nml120第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.3.3 平面介質(zhì)鏡像法平面介質(zhì)鏡像法 12q11qqRRpdd設(shè)想用鏡像電設(shè)想用鏡像電荷代替界面上荷代替界面上極化電荷的作極

25、化電荷的作用，并使鏡像用，并使鏡像電荷和點(diǎn)電荷電荷和點(diǎn)電荷共同作用，滿共同作用，滿足界面上的邊足界面上的邊界條件。界條件。當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)1所在區(qū)域時(shí)，在邊界之外設(shè)一鏡像電荷所在區(qū)域時(shí)，在邊界之外設(shè)一鏡像電荷 q11144qqRR12244RRqqDaaRR介質(zhì)介質(zhì)1中任一點(diǎn)的電位和電位移矢量分別為：中任一點(diǎn)的電位和電位移矢量分別為：第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系22qqpR 當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)2所在區(qū)域時(shí)，所在區(qū)域時(shí)，設(shè)一鏡像電荷設(shè)一鏡像電荷q位于區(qū)域位于區(qū)域1中，且中，且位置與位置與 q 重合，同時(shí)將整個(gè)空間視重合，同時(shí)將整個(gè)

26、空間視為均勻介質(zhì)為均勻介質(zhì)2。于是區(qū)域。于是區(qū)域2中任一點(diǎn)中任一點(diǎn)的電位和電位移矢量分別為：的電位和電位移矢量分別為：224qqR224RqqDaR在分界面在分界面(R = R= R)上，應(yīng)滿足電位和電位移矢量法向分量相上，應(yīng)滿足電位和電位移矢量法向分量相等的邊界條件：等的邊界條件：1212nnDD12qqqqqqqq1212qqq 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系電介質(zhì)中的電場(chǎng)分布：電介質(zhì)中的電場(chǎng)分布：12111212qq 1212qq qqqqq22第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.4 分分 離離 變變 量量 法法 理論基礎(chǔ)

27、理論基礎(chǔ) 惟一性定理惟一性定理 分離變量法的分離變量法的主要步驟主要步驟 根據(jù)給定的邊界形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，正確寫(xiě)出根據(jù)給定的邊界形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，正確寫(xiě)出該坐標(biāo)系下拉普拉斯的表達(dá)式，及給定的邊界條件。該坐標(biāo)系下拉普拉斯的表達(dá)式，及給定的邊界條件。 經(jīng)變量分離將偏微分方程化簡(jiǎn)為常微分方程，并給出經(jīng)變量分離將偏微分方程化簡(jiǎn)為常微分方程，并給出常微分方程的通解，其中含有待定常數(shù)。常微分方程的通解，其中含有待定常數(shù)。 利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數(shù)，獲得利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數(shù)，獲得滿足邊界條件的特解。滿足邊界條件的特解。第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物

28、理系陜西理工學(xué)院物理系4.4.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程分離變量法直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程分離變量法u本征方程的求解本征方程的求解(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)22220 xy( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1 d ( )0( )d( ) dX xY yX xxY yy本征函數(shù)本征函數(shù)2221d( )( )dxX xkX xx2221d( )( )dyY ykY yy220 xykk0 xykk01020( )XxA xA01020( )YyB yB110201020( , )()()x yA xAB yB本征方程本征方

29、程本征值本征值第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系212121( , )(cossin)(coshsinh)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，設(shè)時(shí)，設(shè)20 xk(1,2,)xmkkmjj12( )eemmk xk xmmmXxAA12( )eemmk yk ymmmYyBB或222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )dmY yk Y yy220 xykk由ymkjk本征方程為：則：1212( )cossin( )coshsinhmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y第四章 靜 態(tài) 場(chǎng)

30、的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系312121( , )(coshsinh)(cossin)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y12( )eemmk xk xmmmXxAAjj12( )eemmk yk ymmmYyBB1212( )coshsinh( )cossinmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y(3)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，設(shè)時(shí)，設(shè)20 xk j(1,2,)xmkkm220 xykk由ymkk222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )dmY yk Y yy 本征方程為：或則：第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西

31、理工學(xué)院物理系u應(yīng)用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的應(yīng)用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的通解通 , )()()cossincoshsinhcoshsinhcossinmmmmmmmmmmmmmmmmmmx yA xAB yBAk xAk xBk yBk yAk xAk xBk yBk yn 三種解的特點(diǎn)：三種解的特點(diǎn)： 第一種解中，第一種解中，X(x)和和Y(y)為常數(shù)或線性函數(shù)，說(shuō)明它們?yōu)槌?shù)或線性函數(shù)，說(shuō)明它們最多只有一個(gè)零點(diǎn)；最多只有一個(gè)零點(diǎn)； 第二種解中，第二種解中， X(x)為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)，為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)，

32、Y(y)為雙為雙曲函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)；曲函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)； 第三種解中，第三種解中， X(x)為雙曲函數(shù)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，而為雙曲函數(shù)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，而Y(y)為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)。為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)。第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系解解: 選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿足選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程二維拉普拉斯方程 邊界條件：邊界條件： 例例1：一接地金屬槽如圖所示，其側(cè)壁和底壁電位均為零，頂一接地金屬槽如圖所示，其側(cè)壁和底壁電位均為零，頂蓋與側(cè)壁絕緣，其電位為蓋與側(cè)壁絕緣，其電位為U0，求槽內(nèi)電位分布。，求槽內(nèi)電位分布。22220(

33、1)xy0000(2)00(3)000(4)0(5)xybxaybyxaUybxa第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系設(shè)設(shè) ，代入式，代入式(1) 中得中得:( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1d( )0( )d( )dX xY yX xxY yy2221d( )( )dxX xkX xx 2221d( )( )dyY ykY yy 220 xykk( )sinmmX xAk xsin0mk a(1,2, )mmkma根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件(2)與與(3)可知，函數(shù)可知，函數(shù)X(x)沿沿x方向有方向有兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)零點(diǎn)，因因此此X(x)應(yīng)

34、為應(yīng)為三角函數(shù)三角函數(shù)形式，又因?yàn)樾问?，又因?yàn)閄(0) =0，所以，所以X(x)應(yīng)選取應(yīng)選取正正弦弦函數(shù)，即函數(shù)，即由邊界條件(3)得：第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的Y(y)函數(shù)為雙曲函數(shù)，且函數(shù)為雙曲函數(shù)，且Y(0)=0，于是，于是Y(y)的形式為的形式為( )sh()mmY yBya此時(shí)，電位可表示為此時(shí)，電位可表示為由邊界條件由邊界條件(5)知知 其中：其中：1( , )sin()sh()mmmmx yCxyaa011sin()sh()sin()mmmmmmmUCxbCxaaash()mmmCCba 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物

35、理系陜西理工學(xué)院物理系0/2 m=nsin()sin()0mnaamnxx dxaa01sin()mmmUCxa0001sin()dsin()sin()daammnmnUxxCxxxaaa2001sin()sin()dsin ()d2aanmnmaCmnnCxx xCx xaaa0002sind(1,3,5,)aaUnUx xnan對(duì)上式兩邊同乘以 ，再對(duì)x從0到a進(jìn)行積分，即sin()nxa第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系04(1,3,5,)nUCnn 04(1,3,5,)sinh()nUCnnnba01,3,4( ,)sin()sinh()sinh()mUm

36、mx yxymaamba滿足邊界條件的特解為：第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系直角坐標(biāo)系中三維拉普拉斯方程分離變量法直角坐標(biāo)系中三維拉普拉斯方程分離變量法2222220 xyz( , , )( ) ( ) ( )x y zX xY y Z z2222221 d1 d1 d0dddXYZXxYyZz根據(jù)本征值的不同取值，可以得到類似于二維情況的解的形式。2221d( )( )dxX xkX xx 2221d( )( )dyY ykY yy 2221d( )( )dzZ zkZ zz 2220 xyzkkk第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物

37、理系u 為了在給定邊界條件下，選取適當(dāng)?shù)耐ń夂瘮?shù)形式，下表給出了一些為了在給定邊界條件下，選取適當(dāng)?shù)耐ń夂瘮?shù)形式，下表給出了一些 的典型組合。表中的典型組合。表中 和和 是由邊界條件確定的實(shí)數(shù)。是由邊界條件確定的實(shí)數(shù)。( , , )x y zmknk第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系解解: 選直角坐標(biāo)系，電位函選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿足三維拉普拉斯方程及數(shù)滿足三維拉普拉斯方程及邊界條件邊界條件2222220 xyz例例2: 求圖示長(zhǎng)方形體積內(nèi)的電位函數(shù)。求圖示長(zhǎng)方形體積內(nèi)的電位函數(shù)。0000,000,0000,000,0000,00,0 xybzcxaybzcyx

38、azcybxazczxaybVzcxayb由邊界條件可以判斷，特征函數(shù)可表示為：( )sinmmX xAk x( )sinnnY yBk y( )sinhmnmnZ zCkz第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系( , , )0a y zsin0mk a 1,2,3,mmkma( , , )0 x b zsin0nk b 1,2,3,nnknb由邊界條件可得：11( , , )sin()sin()sinh()mnmnmnnmx y zDk xk ykz電位函數(shù)可表示為：2220 xyzkkk由本征值關(guān)系可得：22 1/2()() mnmnkab2211( , , )s

39、in()sin()sinh ()()mnnmmnmnx y zDxyzabab則：第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系最后，由最后一個(gè)邊界條件得：22 1/2011sin()sin()sinh()() mnnmmnmnVDxycabab上式兩端同乘以 ，并對(duì)x, y積分，利用三角函數(shù)正交性可得：sin()sin()stxyab0222 1/2161,3,5,;1,3,5, sinh()() mnVDmnmnmncab于是所求的電位函數(shù)為：0222 1/ 21,3,5,1,3,5,22 1/ 216( , ) sinh()() sin()sin()sinh()() n

40、mVx y zmnmncabmnmnxyzabab第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.4.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法電位微分方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開(kāi)式為電位微分方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開(kāi)式為 01122222zrrrrr令其解為令其解為 )()()(),(zZrRzr0dddd1dddd22222zZZrrRrrRr代入上式求得代入上式求得上式中第二項(xiàng)僅為變量上式中第二項(xiàng)僅為變量 的函數(shù)，而第一項(xiàng)及第三項(xiàng)與的函數(shù)，而第一項(xiàng)及第三項(xiàng)與 無(wú)關(guān)，因無(wú)關(guān)，因此將上式對(duì)此將上式對(duì) 求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)對(duì)求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)對(duì) 的導(dǎo)數(shù)為零，可見(jiàn)第二項(xiàng)應(yīng)為的導(dǎo)

41、數(shù)為零，可見(jiàn)第二項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)，令常數(shù)，令 222dd1k第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系0dd222k即即式中式中 k 為分離常數(shù)，它可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。通常變量為分離常數(shù)，它可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。通常變量 的變化范圍的變化范圍為為 ，那么此時(shí)場(chǎng)量隨，那么此時(shí)場(chǎng)量隨 的變化一定是以的變化一定是以 2 為周期的周期函為周期的周期函數(shù)。因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù)數(shù)。因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù) k 一定是整數(shù)，以保一定是整數(shù)，以保證函數(shù)的周期為證函數(shù)的周期為2 。令。令 ，m 為整數(shù)，則上式的解為為整數(shù)，則上式的解為20mkmBmAcossin)(式中式中

42、A, B 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 考慮到考慮到 ，以及變量，以及變量 的方程式，則前述方程可表示的方程式，則前述方程可表示為為mk0dd1dddd12222zZZrmrRrrRr0dddd1dddd22222zZZrrRrrRr代入上式求得代入上式求得第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系上式左邊第一項(xiàng)僅為變量上式左邊第一項(xiàng)僅為變量 r 的函數(shù)，第二項(xiàng)僅為變量的函數(shù)，第二項(xiàng)僅為變量 z 的函數(shù)，因的函數(shù)，因此按照前述理由，它們應(yīng)分別等于常數(shù)，令此按照前述理由，它們應(yīng)分別等于常數(shù)，令 222dd1zkzZZ0dd222ZkzZz即即式中分離常數(shù)式中分離常數(shù) kz 可為

43、實(shí)數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)，雙曲函數(shù)或可為實(shí)數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)，雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。當(dāng)指數(shù)函數(shù)。當(dāng) kz 為實(shí)數(shù)時(shí)，可令為實(shí)數(shù)時(shí)，可令 zkDzkCzZzzcossin)(式中式中C, D 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 將變量將變量 z 方程代入前式，得方程代入前式，得 0)(dddd222222RmrkrRrrRrz第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系若令若令 ，則上式變?yōu)?，則上式變?yōu)?222xrkz0)(dddd2222RmxxRxxRx上式為標(biāo)準(zhǔn)的柱貝塞爾方程，其解為柱貝塞爾函數(shù)，即上式為標(biāo)準(zhǔn)的柱貝塞爾方程，其解為柱貝塞爾函數(shù)，即 )(N)(J)(rkF

44、rkErRzmzm 至此，我們分別求出了至此，我們分別求出了R(r) ,() , Z(z) 的解，而電位微分方程的解，而電位微分方程的通解應(yīng)為三者乘積，或取其線性組合。的通解應(yīng)為三者乘積，或取其線性組合。 式中式中E, F 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為為 m 階第一類柱貝塞爾函數(shù)，階第一類柱貝塞爾函數(shù)， 為為m階第二類柱貝塞爾函數(shù)。根據(jù)第二類柱貝塞爾函數(shù)的特性知，階第二類柱貝塞爾函數(shù)。根據(jù)第二類柱貝塞爾函數(shù)的特性知，當(dāng)當(dāng)r = 0 時(shí)，時(shí)， 。因此，當(dāng)場(chǎng)存在的區(qū)域包括。因此，當(dāng)場(chǎng)存在的區(qū)域包括 r = 0 時(shí)，此時(shí)，此時(shí)只能取第一類柱貝塞爾函數(shù)作為方程的解。時(shí)只能取第一類柱貝塞爾函數(shù)作為方程的解

45、。 )(Jrkzm)(Nrkzm)(Nrkzm第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系 若所討論的靜電場(chǎng)與變量若所討論的靜電場(chǎng)與變量 z 無(wú)關(guān)，則分離常數(shù)無(wú)關(guān)，則分離常數(shù) 。那么。那么電位微分方程變?yōu)殡娢晃⒎址匠套優(yōu)?zk0dddd2222RmrRrrRr此方程的解為指數(shù)函數(shù)，即此方程的解為指數(shù)函數(shù)，即 mmFrErrR)( 若所討論的靜電場(chǎng)又與變量若所討論的靜電場(chǎng)又與變量 無(wú)關(guān)，則無(wú)關(guān)，則 m = 0。那么，電位微。那么，電位微分方程的解為分方程的解為 00ln)(BrArR考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下

46、列一般形式 110)cossin( )cossin(ln),(mmmmmmmmmDmCrmBmArrAr第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.4.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 2222211()0rr rrrz( , , )( )( ) ( )rzR rZ z 22222dd1 d1 d()0ddddrRZrrR rrZz2221 ddn 2221 ddzZkZz2221 dd()()0ddzRnrkrRrrr該方程的解常用的有四種情況該方程的解常用的有四種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有三種情況該方程的解有三種情況

47、第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系( )coshsinhmmmmZ zCk zDk zu 的解：00( )AB ( )cossinnnAnBn 20n (1) 當(dāng)時(shí)，20n (2) 當(dāng)時(shí)，( )(2) 由于 ，限定了n必須為正整數(shù)。00( )Z zC zD( )cossinmmmmZ zCk zDk z ，20zk jzmkkmk(2) 當(dāng)時(shí)，設(shè) 為任意非零實(shí)數(shù)。20zk zmkkmk(3) 當(dāng) 時(shí)，設(shè)，為任意非零實(shí)數(shù)。20zk 時(shí)，(1) 當(dāng)2221 ddn u 的解的解:2221 ddzZkZz第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系2

48、221 dd()()0ddzRnrkrR rrru 的解22222dd()0ddzRRrrk rn Rrr0000( )()()zzR rA Jk rB Nk r20n (1)當(dāng)時(shí)，方程化簡(jiǎn)為零階貝塞爾方程，其解的形式為( )nnnnR rA rB r20zk (2)當(dāng)時(shí)，方程化簡(jiǎn)為歐拉方程，其解的形式為( )lnR rArB( )()()nnznnzR rA Jk rB Nk r220znk(3)當(dāng)時(shí)，方程的解為220,0znk(4) 當(dāng)時(shí)，方程的解為n階貝塞爾方程階貝塞爾方程第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系例例 3 若在電場(chǎng)強(qiáng)度為E0的均勻靜電場(chǎng)中放入一個(gè)半

49、徑為a的電介質(zhì)圓柱，柱的軸線與電場(chǎng)互相垂直，介質(zhì)柱的介電常數(shù)為，柱外為真空，如圖 4-11 所示，求柱內(nèi)、外的電場(chǎng)。 圖圖 4-11 均勻場(chǎng)中介質(zhì)柱均勻場(chǎng)中介質(zhì)柱 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系 解：設(shè)柱內(nèi)電位為解：設(shè)柱內(nèi)電位為1，柱外電位為，柱外電位為2，1和和2與與z無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 取取坐標(biāo)原點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，邊界條件如下：坐標(biāo)原點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，邊界條件如下： r, 2=-E0rcos r=0, 1=0 r=a, 1=2 r=a, rr201第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系于是，柱內(nèi)、柱外電位的通解為 111( , )(coss

50、in)(cossin)nnnnnnnnrrAnBnrCnDn 考慮本題的外加電場(chǎng)、極化面電荷均關(guān)于x軸對(duì)稱，柱內(nèi)、柱外電位解只有余弦項(xiàng)，即 0nnnnDBDB(1)n 結(jié)合邊界條件1和2可得 nArrnnn11cos),(nrCrErnnn102coscos),(211( , )(cossin)(cossin)nnnnnnnnrrAnBnrCnDn第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系由邊界條件由邊界條件和和， 可得可得 011coscoscosnnnnnnA anE anC an 012,1rEA 1100011coscoscosnnnnnnnA anEnC an

51、21011rrCE a0nA 0 (2)nCn第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系其中，其中，r=/0，是介質(zhì)圓柱的相對(duì)介電常數(shù)。于是柱內(nèi)、外的電，是介質(zhì)圓柱的相對(duì)介電常數(shù)。于是柱內(nèi)、外的電位為位為 cos111cos1222201rrarErrr00112)sincos(12EeeeEErxrrsin111cos1110220222EraeEraeErrrrr第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系例例4：在一均勻電場(chǎng)中，放置一無(wú)限長(zhǎng)的圓柱導(dǎo)體，圓柱的軸線在一均勻電場(chǎng)中，放置一無(wú)限長(zhǎng)的圓柱導(dǎo)體，圓柱的軸線與電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直，如圖所示，求放

52、入圓柱導(dǎo)體后的電與電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直，如圖所示，求放入圓柱導(dǎo)體后的電場(chǎng)分布。場(chǎng)分布。解：解：按題意應(yīng)選用圓柱坐標(biāo)系。導(dǎo)體為等按題意應(yīng)選用圓柱坐標(biāo)系。導(dǎo)體為等位體，導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)，因而位體，導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)，因而0(0)Era( )cosnAn ( )nnnnR rC rD r1( , )cos()nnnnnnrAnC rD r20n ( )根據(jù)題意可確定，的形式為220,0zkn( )R r當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的形式為( , )r于是，電位的形式為：第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系放置圓柱導(dǎo)體之后，使均勻場(chǎng)發(fā)生畸變，但遠(yuǎn)離導(dǎo)體的地方，電場(chǎng)仍然保持均勻狀態(tài)。0

53、xEE a由 得相應(yīng)的電位函數(shù)為：E 00( , )|cosrrE xE r 10( , )()cosDrE rr 未放置圓柱導(dǎo)體前，空間電場(chǎng)為均勻場(chǎng)1n 110ACE 比較上兩式可知，當(dāng)時(shí)，2n 0nA 當(dāng)時(shí)，于是：1( , )cos()nnnnnnrAnC rD r已知：第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系202(1)cosraEErr 202(1)sinaEErrmax02EEE 根據(jù) ，得到,0,rara及可見(jiàn)，在處，電場(chǎng)強(qiáng)度最大。20( , )()cos(,02)arE rarr 故圓柱體外部空間的電位為10( , )()cos0DaE aa 10Daa2

54、1Da 邊界條件為圓柱導(dǎo)體表面為等位面，取該等位面電位為零，即于是第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系4.4.3 球坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法 222222111()(sin)0sinsinrrrrrr( , , )( )( )( )rR r 2222sinddsindd1 d()(sin)0dddddRrRrr2221 d0dm 21 dd()(1)ddRrn nRrr1dd(sin)(1)0sinddn n 該方程只討論電位與方位角無(wú)關(guān)的情況該方程只討論電位與方位角無(wú)關(guān)的情況該方程的解有兩種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有

55、兩種情況第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系0,20m ( )A 20n 100( )R rAB r20n (1)( )nnnnR rA rB r20n (1)時(shí)，(2)時(shí)，的情況不存在。當(dāng)電位與方位角無(wú)關(guān)時(shí)，即：2221 ddm u 的解的解u 的解的解21 dd()(1)ddRrn nR rr第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系勒讓德方程 1dd(sin)(1)0sinddn n 1dd(sin)(1)0sinddn n u 的解的解它的解具有冪級(jí)數(shù)形式，且在它的解具有冪級(jí)數(shù)形式，且在-1x0)的格林函數(shù)，就是求位于上半空間的格林函數(shù)

56、，就是求位于上半空間r處的單位處的單位點(diǎn)電荷，以點(diǎn)電荷，以z=0 平面為電位零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任意一點(diǎn)平面為電位零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任意一點(diǎn)r處的電處的電位。這個(gè)電位可以用平面鏡像法求得，因而，上半空間的格林函位。這個(gè)電位可以用平面鏡像法求得，因而，上半空間的格林函數(shù)為數(shù)為 222 1/22()()() Rxxyyzz第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系二維半空間二維半空間(y0)的格林函數(shù)的格林函數(shù)211( , )12RG r rnR 式中：式中： 22 1/21()() Rxxyy22 1/22()() Rxxyy第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西

57、理工學(xué)院物理系 3. 球內(nèi)、球內(nèi)、 外空間的格林函數(shù)外空間的格林函數(shù)21141) ,(RraRrrG可以由球面鏡像法，求出球心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為可以由球面鏡像法，求出球心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為a的球外空間的球外空間的格林函數(shù)為的格林函數(shù)為 221/21(2cos )Rrrrr221/22(2cos )Rrrrr2arrcoscos cos sinsincos()21141) ,(RraRrrG球內(nèi)空間的球內(nèi)空間的Green函數(shù)：函數(shù)： 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系 在求解在求解Green函數(shù)時(shí)，求函數(shù)時(shí)，求Green函數(shù)本身不是很容易的，只函數(shù)本身不是很容易的，

58、只有當(dāng)區(qū)域具有簡(jiǎn)單幾何形狀時(shí)才能得出解析的解，否則只能有當(dāng)區(qū)域具有簡(jiǎn)單幾何形狀時(shí)才能得出解析的解，否則只能給出數(shù)值解給出數(shù)值解.注意：注意： 4.6.3 格林函數(shù)的應(yīng)用格林函數(shù)的應(yīng)用 例例 7 已知一個(gè)半徑為已知一個(gè)半徑為a的圓柱形區(qū)域內(nèi)體電荷密度為零，界面的圓柱形區(qū)域內(nèi)體電荷密度為零，界面上的電位為上的電位為 )(),(a用格林函數(shù)法求圓柱內(nèi)部的電位用格林函數(shù)法求圓柱內(nèi)部的電位(r, )。 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系解：如圖，使用鏡像法及格林函解：如圖，使用鏡像法及格林函數(shù)的性質(zhì)，可以得出，半徑為數(shù)的性質(zhì)，可以得出，半徑為a的的圓柱內(nèi)部靜電問(wèn)題的格林函數(shù)

59、為圓柱內(nèi)部靜電問(wèn)題的格林函數(shù)為 211( , )12R rG r rnRa 221/21(2cos )Rrrrr221/22(2cos )Rrrrr2,arr11( , )( )( )( , )( )VSG r rrr G r r dVrdSn 由由第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系( , )( )SG r rrdSn 可得可得又又)(),(a2222( , )2cos()SG r rarnarar dSd2222201( )22cos()ardarar 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系 例例8 如果如果例例7的圓柱面上的電位為的圓

60、柱面上的電位為(a, )=U0cos，求柱內(nèi)的，求柱內(nèi)的電位。電位。2022220) cos(2cos2)(darraraUr首先證明恒等式首先證明恒等式 ) 1(cos21)cos21/()1 (122knkkkknn*解：解： 第四章 靜 態(tài) 場(chǎng) 的 解 陜西理工學(xué)院物理系陜西理工學(xué)院物理系11111cos()222nnjnjnnnknkee11111()()222jnjnnnkeke11122121jjjjkekekeke11cossin1cossin221cossin21cossinkjkkjkkjkkjk2212 cos2121 2 coskkkk221121 2 coskkk第四章