初二上冊數(shù)學(xué)二次根式補充例題

1、二次根式補充例題知識點一：二次根式的概念【知識要點】 1.二次根式的定義： 形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數(shù)，只有當是一個非負數(shù)時，才有意義 2. 3. 公式與的區(qū)別與聯(lián)系.（1） 表示求一個數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實數(shù)（2）表示一個數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負數(shù)（3）和的運算結(jié)果都是非負的【典型例題】類型一：考查二次根式的概念（求自變量取值范圍）1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A B C D2、二次根式有意義時的的取值范圍是 。3、已知： ，則= 。類型二：考查二次根式的性質(zhì)（非負性、化簡）4、代數(shù)式的最大值是 。 5、實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡。6、把的根號

2、外的因式移到根號內(nèi)得 ；的平方根是 。7、化簡： ； 。8、若y=+2009，則x+y= 9、若x、y都是實數(shù)，且y=，求xy的值。10、 當取什么值時，代數(shù)式取值最小，并求出這個最小值。11、若，求的值。12、若1995-a+=a，求a-19952的值13、 若-3x2時，試化簡x-2+。類型三：二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分14、已知a是整數(shù)部分，b是 的小數(shù)部分，求的值。15、若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則 。16、若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求的值.知識點二：二次根式的性質(zhì)【知識要點】 1. 非負性：是一個非負數(shù) 注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運算中經(jīng)常用到2. 注意：此性質(zhì)

3、既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負數(shù)或非負代數(shù)式寫成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正數(shù) （2）能開得盡方的因式移到根號外時，必須用它的算術(shù)平方根代替 （3）可移到根號內(nèi)的因式，必須是非負因式，如果因式的值是負的，應(yīng)把負號留在根號外4. 公式與的區(qū)別與聯(lián)系 （1）表示求一個數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實數(shù) （2）表示一個數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負數(shù) （3）和的運算結(jié)果都是非負的【典型例題】 類型一：二次根式的雙重非負性【例1】若則 舉一反三：1、若，則的值為 。2、已知為實數(shù)，且，則的值為（ ）A3B 3C1D 13、已知直角三角形兩邊x、y的

4、長滿足x240，則第三邊長為.4、若與互為相反數(shù)，則。類型二：二次根式的性質(zhì)2（公式的運用）【例2】 化簡：的結(jié)果為（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4舉一反三：1、 化簡：2、 已知直角三角形的兩直角邊分別為和，則斜邊長為 類型三：二次根式的性質(zhì)3（公式的應(yīng)用）【例3】已知,則化簡的結(jié)果是A、 B、C、D、 舉一反三：1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、已知a<0，那么2a可化簡為（ ） Aa Ba C3a D3a3、若，則等于（ ）A. B. C. D. 4、若a30，則化簡的結(jié)果是（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 2a7 (D) 72a5、化簡得（ ）

5、（A）2（B）（C）2（D）6、當al且a0時，化簡 7、已知，化簡求值：【例4】如果表示a，b兩個實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡ab+ 的結(jié)果等于（ ） A2b B2b C2a D2a舉一反三：實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：【例5】化簡的結(jié)果是2x-5，則x的取值范圍是（ ）（A）x為任意實數(shù) （B）x4 （C） x1 （D）x1舉一反三：若代數(shù)式的值是常數(shù)，則的取值范圍是（ ）或【例6】如果，那么a的取值范圍是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 舉一反三：1、如果成立，那么實數(shù)a的取值范圍是（ ） 2、若，則的取值范圍是（ ）（A） （B）

6、（C） （D）【例7】化簡二次根式的結(jié)果是（A） (B) (C) (D)1、把二次根式化簡，正確的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 2、把根號外的因式移到根號內(nèi)：當0時， ； 。知識點三：最簡二次根式和同類二次根式【知識要點】1、最簡二次根式：（1）最簡二次根式的定義：被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號2、同類二次根式（可合并根式）： 幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個根式。【典型例題】 【例8】在根式1) ，最簡二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1)

7、4)舉一反三：1、中的最簡二次根式是 。2、下列根式中，不是最簡二次根式的是（ ）ABCD3、下列根式不是最簡二次根式的是()A.B.C.D. 4、下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？ (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5、把下列各式化為最簡二次根式： (1) (2) (3)【例9】下列根式中能與是合并的是( )A. B. C.2 D. 舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（ ） A、 B、 C、 D、2、在二次根式：； ； ；中，能與合并的二次根式是 。3、如果最簡二次根式與能夠合并為一個二次根式, 則a=_.知識點四：二次根式計算分母有理化【知識要點】

8、 1分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下： 單項二次根式：利用來確定，如：，與等分別互為有理化因式。兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如與，分別互為有理化因式。3分母有理化的方法與步驟： 先將分子、分母化成最簡二次根式； 將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式。【典型例題】 【例10】 把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例11】把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例1

9、2】把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）舉一反三：1、已知，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）知識點五：二次根式計算二次根式的乘除【知識要點】 1積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。 =·（a0，b0）2二次根式的乘法法則：兩個因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個因式積的算術(shù)平方根。 ·（a0，b0） 3商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根=（a0，b>0）4二次根式的除法法則：兩個數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術(shù)平方根。=（a0，b&g

10、t;0）注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結(jié)果化成最簡二次根式【典型例題】 【例13】化簡(1) (2) (3) (4)() (5) ×【例14】計算（1）   （2）       （3）   （4） （5）       （6）   （7）      &

11、#160;   （8）【例15】化簡： (1) (2) (3) (4) 【例16】計算：(1) (2) (3) （4）【例17】能使等式成立的的x的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、無解知識點六：二次根式計算二次根式的加減【知識要點】 需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。注意：對于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù)【典型例題】 【例20】計算（1）； （2）；（3）； （4）【例21】 （1）

12、 （2）（3） （4）（5） （6）知識點七：二次根式計算二次根式的混合計算與求值【知識要點】 1、確定運算順序；2、靈活運用運算定律； 3、正確使用乘法公式；4、大多數(shù)分母有理化要及時；5、在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化；【典型習(xí)題】 1、 2、 (2+43)3、 ·（-4）÷ 4、5、） 6、 7、 8、【例22】 1已知：，求的值2已知，求的值。3已知：，求的值4求的值5已知、是實數(shù)，且，求的值知識點八：根式比較大小【知識要點】 1、根式變形法 當時，如果，則；如果，則。2、平方法 當時，如果，則；如果，則。3、分母有理化法 通過分母有理化，利用分子的大小來比較。4、分子有理化法 通過分子有