三角形的三邊關(guān)系

1、一、三角形的有關(guān)概念1、定義：不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形注意三條線段必須不在一條直線上，首尾順次相接。abc2、有關(guān)概念及其表示方法如圖所示 線段AB，BC，CA是三角形的邊。點(diǎn)A,B,C是三角形的頂點(diǎn)。是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。即：組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱角，相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)。頂點(diǎn)是A,B,C的三角形，記作ABC。讀作“三角形ABC”。ABC的三邊，有時(shí)也用a,b,c來表示。如圖所示。三角形ABC的頂點(diǎn)C所對的邊AB可用c 表示,頂點(diǎn)B所對的邊AC可用b表示,頂點(diǎn)A所對的

2、邊BC可用a表示.。 三角形的分類我們知道，三角形按角可分為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，我們把銳角三角形、鈍角三角形統(tǒng)稱為斜三角形。 直角三角形兩個(gè)銳角互余。 斜三角形 2、按邊分類。三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形。在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。顯然，等邊三角形是特殊的等腰三角形。即底邊和腰相等的等腰三角形。按邊分類: 不等邊三角形 等腰三角形 三、三角形的三邊關(guān)系對任意一個(gè)ABC，如果把其中任意兩個(gè)頂點(diǎn)（例如B，C）看成定點(diǎn)，由“兩點(diǎn)的所有連線中

3、，線段最短“可得 AB+ACBC 同理有 AC+BCAB AB+BCAC 由式子我們可以知道三角形的任意兩邊之和大于第三邊.注釋：（1）三邊關(guān)系的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，三角形的三邊關(guān)系反應(yīng)了三角形邊得限制關(guān)系。（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形。當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍。（3）這里的“兩邊”指的是任意的兩邊，對于“兩邊之差”它可能是正數(shù)也可能是負(fù)數(shù)，一般取“差”的絕對值。（4）三角形的三邊關(guān)系是“兩點(diǎn)之間，線段最短”的具體應(yīng)用。已知

4、兩邊求第三邊的取值范圍，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可知：四、三角形中三角的關(guān)系1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于1800。2判定一個(gè)三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù)。3、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。3、任意一個(gè)三角形都具備六個(gè)元素，即三條邊和三個(gè)內(nèi)角。都具有三邊關(guān)系和三內(nèi)角之和為1800的性質(zhì)。4、三角形內(nèi)角和定理包含一個(gè)等式，它是我們列出有關(guān)角的方程的重要等量關(guān)系。例1.一個(gè)三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖2；再分別連接圖2中間小三角形的中點(diǎn)，得到圖3（若三角形中含有其它三角形則不記入）（1）圖2有_個(gè)三角形；圖3中有_個(gè)三角形（2）按上面方法繼續(xù)下去，

5、第20個(gè)圖有_個(gè)三角形；第n個(gè)圖中有_個(gè)三角形（用n的代數(shù)式表示結(jié)論）1如圖，老師讓同學(xué)們數(shù)一數(shù)圖中所標(biāo)字母構(gòu)成的三 角形個(gè)數(shù)時(shí)下面4個(gè)學(xué)生回答正確的是A 4個(gè) B 6個(gè) C 8個(gè) D 10個(gè)2、如圖點(diǎn)B、C、D、E共線，試問圖中A、B、C、D、E五點(diǎn)可確定多少個(gè)三角形?說明理由3、在直角ABC中，BAC90°，如下圖所示作BC邊上的高，圖中出現(xiàn)三個(gè)直角三角形（32×11）；又作ABD中AB邊上的高，這時(shí)圖中便出現(xiàn)五個(gè)不同的直角三角形（52×21）；按照同樣的方法作、當(dāng)作出時(shí)，圖中共有多少個(gè)不同的直角三角形?例21ABC的三邊a、b、c都是正整數(shù)且滿足abc若b4

6、，則這樣的三角形共（）個(gè)。A4 B6 C8 D102.各邊長均為整數(shù)的不等邊三角形的周長小于13，這樣的三角形有（）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)3三角形中有一邊比第二條邊長3cm，這條邊又比第三條邊短4cm，這個(gè)三角形的周長為28cm，求最短邊的長。1、 已知一個(gè)三角形的兩邊長分別是3cm和4cm，則第 三邊長x的取值范圍是 若x 是奇數(shù)，則x的值 是 。這樣的三角形有 個(gè)，若x是偶數(shù)，則x 的值是 。這樣的三角形又有 個(gè)。周長的取值范 圍是 2已知三角形三邊的長分別為：5、9、a2，則a的取值范圍 3五條線段的長分別為1，2，3，4，5，以其中任意三條線段為邊長可以_個(gè)三角形4在ABC中，

7、AB4a，BC14，AC3a則a的取值范圍是 ()Aa2 B2a14 C7a14 Da145已知：a、b、c是ABC三邊長，且M(abc)(abc)(abc)，那么 ()AM0 BM0 CM0D不能確定6下列各題中給出的三條線段不能組成三角形的是Aa1，a2，a3（a0）B三線段比為4610C3cm，8cm，10cm D3a，5a，2a1（a0）7、ABCD是一個(gè)四邊形木框，為了使它保持穩(wěn)定的形狀，需在AC或BD上釘上一根木條，現(xiàn)量得AB=80，BC=60，CD=40，AD=50，試問所需的木條長度至少要多長？8、有一天小明對同學(xué)說：“我的步子大，一步能走三米（即兩腳著地時(shí)的間距有三米”。有的

8、同學(xué)將信將疑，而小穎說：“小明，你在吹?！?。你覺得小穎的話有道理嗎？例3，已知a，b，c為ABC的三邊，化簡：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.1 .a、b、c是三角形的三邊長,試判斷代數(shù)式(a-b-c)(a-b+c)的值與0 的大小關(guān)系,并說明理由.2、 的三邊長，化簡例3.如圖,已知P是ABC內(nèi)部的一點(diǎn).(1)比較AB+AC與PB+PC的大小.(2) 比較PA+PB+PC與AB+BC+AC的大小.(3) 比較PA+PB+PC與 (AB+BC+AC)的大小.1、如圖有四個(gè)村莊A、B、C、D現(xiàn)在要建造一個(gè)水塔P請回答水塔P應(yīng)建在何位置，才能使它到4村的距離之和最小，說明最節(jié)約材料

9、的辦法和理由2、如圖，已知ABC中，ABAC，D在AC的延長線上求證：BDBCADAB3、如圖，ABC中，D是AB上一點(diǎn)求證：（1）ABBCCA2CD； （2）AB2CDACBC例 4、用一條長為18的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形。（1）如果腰長是底邊的2倍那么各邊的長是多少（2）能圍成有一邊長為4的等腰三角形嗎？為什么？1，如果一個(gè)等腰三角形的兩已知邊長分別為4cm和9cm，則此等腰三角形的周長為2等腰三角形的周長為14cm，腰長為xcm，則x的取值范圍是_若周長為26，AB=6 它的腰長_ _3、2.如圖,在ABC中,BC=BA,點(diǎn)D在AB上,且AC=CD=DB,則圖中的等腰三角形有()4、若等

10、腰三角形的腰長為6,則它的底邊長a的取值范圍是_;若等腰三角形的底邊長為4,則它的腰長b的取值范圍是_.5、等腰三角形的底邊BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，則腰長AC為 6、把一條長為18米的細(xì)繩圍成一個(gè)三角形,其中兩邊長分別為x米和4米.(1)求x的取值范圍;(2)若圍成的三角形是等腰三角形,求x的值.7.已知ABC的兩邊長分別為3和7,第三邊的長是關(guān)于x的方程x+a2=x+1的解,求a的取值范圍.8.在平面內(nèi),分別用3根、5根、6根火柴棒首尾依次相接,能搭成什么形狀的三角形呢?通過嘗試,列表如下.火柴棒數(shù)356示意圖形狀等邊三角形等腰三角形等邊三角形問:(1)4根火柴棒能搭成三角

11、形嗎?(2)8根、12根火柴棒分別能搭成幾種不同形狀的三角形?并畫出它們的示意圖.例5、ABC的三邊長a,b,c滿足關(guān)系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,則這個(gè)三角形一定是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.無法確定1.三角形的三邊長分別為a,b,c,它們滿足(a-b)2+|b-c|=0,則該三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形2.三角形按邊可分為()A.等腰三角形直角三角形銳角三角形B直角三角形不等邊三角形C.等腰三角形、不等邊三角形D.等腰三角形、等邊三角形3.下列說法:等邊三角形是等腰三角形;等腰三角形也可能是直角三角形;三角形按

12、邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形;三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.其中正確的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)例6.1、三角形三個(gè)內(nèi)角中, 最多有_個(gè)直角,最多有_個(gè)鈍角,最多有_個(gè)銳角,至少有_個(gè)銳角；2、如下幾個(gè)圖形是五角星和它的變形。圖 中是一個(gè)五角星，求A+B+C+D+E。圖中的點(diǎn)A向下移到BE上時(shí)（如圖）五個(gè)角的和（即CAD+B+C+D+E）有無變化？說明你的結(jié)論的正確性。把圖中的點(diǎn)C向上移動到BD上時(shí)（如圖），五個(gè)角的和（即CAD+B+ACE+D+E）有無變化？說明你的結(jié)論的正確性。 1、在ABC中1）若ABC=123，則ABC是

13、_三角形2）若A+B=C，則ABC是_三角形3）若A=B=C，則ABC是_三角形4） 若A=2B=3C，則ABC是_三角形5）若A=B=C，則ABC是_三角形6）在ABC中，若B=C=40º，則A=_ 7）在ABC中ABC=90ºC=43º，則A=_ .2、在ABC中AB30°C4B，則C3.定下列條件，不能判定三角形是直角三角形的是A.ABC=123 B.A+B=CC.A=B=C D.A=2B=3C4、如果三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2:3:4,則它是A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D鈍角或直角三角形5、在ABC中,若A+B=C,則此三角形為_三角形

14、;若A+B<C,則此三角形是_三角形.6、已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的差等于第三個(gè)內(nèi)角,則它是 A銳角三角形 B.鈍角三角形C直角三角形D等邊三角形7、設(shè),是某三角形的三個(gè)內(nèi)角,則+,+,+ 中 A.有兩個(gè)銳角一個(gè)鈍角 B.有兩個(gè)鈍角、一個(gè)銳角C.至少有兩個(gè)鈍角 D.三個(gè)都可能是銳角8、在等腰三角形中，頂角是500，則底角是_；若有一個(gè)角是70度，則另外兩個(gè)角是_四、三角形的三條重要線段1、三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線、中線和高線。2、三角形的角平分線：1）三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。（2）任意三角形都有三條角平分線，并

15、且它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。3、三角形的中線：（1）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線。（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。4、三角形的高線：（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點(diǎn)。例7AD是ABC的邊BC上的中線，若ABD的周長比ACD的周長大5，求AB與AC的差. AC=3cm,BA=4cm, 則ACD與BAD的周長相差多少？請說明理由 1、在ABC中,AB=AC,AD是中線,ABC的周長為34cm,ABD的周長為30cm, 求

16、AD的長、DCAB2、在ABC中,AB=AC, AC邊上的中線BD把ABC的周長分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長及底邊長。3、如圖1，在ABC中，點(diǎn)D、E、F、分別為BC、 AD、 CE的中點(diǎn)，且SABC16 ，則SDEF .4如圖，ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在三邊上，E是AC的中點(diǎn)，AD、BE、CF交于一點(diǎn)G，BD=2DC， SGEC=3，SGDC=4，則ABC的面積是 .5、探索：如圖，(1)-(3)中ABC的面積為a,(1)如圖1，延長ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連結(jié)DA。若ACD的面積為,則（2）如圖（2）延長ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC,AE=C

17、A,連結(jié)DE，若的面積為，則=_. (3)在圖（2）的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連結(jié)FD、FE得到DEF（如圖3），若陰影部分面積為,則=_.（用含a的代數(shù)式表示）應(yīng)用：去年在面積為10的ABC空地上栽種了某種花卉，今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把ABC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次有ABC擴(kuò)展成DEF,第二次由DEF擴(kuò)展成MGH（圖4），求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域（即陰影部分）面積共為多少平方米？6、如下圖過點(diǎn)D作直線平分三角形面積7一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四個(gè)良種進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊請你制訂出兩種以上的劃分方案例8（1）如圖所示，已知ABC中，ABC 、ACB的平分線相

18、交于點(diǎn)O，試說明BOC90°A。（2）如圖所示，在ABC中，BD 、CD分別是ABC 、ACB的外角平分線，試說明D90°A。（3）如圖3.BD為ABC的角平分線，CD為ABC外角ACE的平分線，且與BD交于點(diǎn)D試說明A2D。(4)：在問題（3）的條件下，當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，CD1、如圖，在ABC中，ABC、ACB的平分線交于點(diǎn)O。(1)若ABC=40，ACB=50°，則BOC=_(2)若ABC+ACB=lO0°，則BOC=_ 。(3)若A=70°，則BOC=_。(4)若BOC=140°，則A=_。(5)你能發(fā)現(xiàn)BOC與A之間有什么數(shù)量關(guān)

19、系嗎?請說明理由。2如圖，點(diǎn)C、D分別在射線OA、OB上，CE是的平分線，CE的反向延長線與的平分線交于點(diǎn)F（1）當(dāng)（圖6），試求 （2）當(dāng)C、D在射線OA、OB上任意移動時(shí)（不與點(diǎn)O重合）（圖7），的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變化，求出 3.AD是ABC中BAC的角平分線，MN垂直于AD分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，MN交BC的延長線于P，求證：AMN（ACBB）4、如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2，在圖1的條件下，DAB和BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：(1)在圖

20、1中，請直接寫出A、B、C、D之間的數(shù)量關(guān)系： ； （2）在圖2中，若D=400,B=360，試求P的度數(shù)； 5、（1）如圖，在ABC中，BD平分ABC，A=38°，C=72°,則ADB= .（2）如圖，ABC中，AD平分CAE，B=40°，DAE=80°,則ACD=_（3）如圖，ABC中，BD、CE分別平分ABC、ACB，BOC=130°，則A=_6、如圖，是的邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作/交于點(diǎn)，作/交于點(diǎn)，若，則是的角平分線嗎？（寫出證明過程）若，你能求出四邊形的周長嗎？例 9 。1、如圖，已知在RtABC中，ACB90°,CD是AB邊上的

21、高，AB13 cm,BC=12 cm,AC=5 cm,小明說利用面積關(guān)系就能求出CD的長.請你幫他求出CD的長.2、在ABC中已知ABC=66°ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)，求ABE、ACF和BHC的度數(shù).3、 如圖，ABC中，高AD與CE的長分別為2、4。求AB與BC長度的比是多少？若AB=5cm，求BC。 若AC邊上的高為3AB=5cm你能求出ABC的周長 嗎？4、在中，已知三條高AD、BF、CE相交于點(diǎn)O，求的度數(shù)。1、如圖，在ABC中：（1） 畫出C的平分線CD（2） 畫出BC邊上的中線AM（3） 畫出ACM的邊MC上的高

22、2、（1）如右圖，在中，為高的交點(diǎn)，若，則 （2）如右圖，在中，的兩條高交于點(diǎn)，則_；（3）銳角中，是兩條高，相交于點(diǎn)，是兩條角平分線，相交于點(diǎn)，如果，則_；BAC3、如圖，是等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，是邊上的高，試說明：。4、勤于思考的小聰，正在思考這樣的一個(gè)問題：三角形的三條高線、三條角平分線、三條中線都分別交于一點(diǎn)，哪種線的交點(diǎn)有時(shí)在三角形內(nèi)、有時(shí)在三角形外；哪種線的交點(diǎn)始終在三角形的內(nèi)部？你能解答小聰這個(gè)問題嗎？請你通過作圖來解答這個(gè)問題.(需指明什么樣的三角形)例10、已知在中，是的一條角平分線。如圖，于，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系（不用證明）；如圖，是上一點(diǎn)，與，這時(shí)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；如圖，是線段延長線上一點(diǎn)，與，這時(shí)與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不用證明）。1、. 已知三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，IHBC于H，試比較CIH和BID的大小.2、如圖 ，AD為的中線，BE為中線，（1），求的度數(shù)；（2