第五章控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法概要

1、第五章 控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法例5-1已知某單位負(fù)反饋開環(huán)頻率特性如圖5 1所示，試:(1) 寫出開環(huán)傳遞函數(shù)；(2) 確定31, 32及33數(shù)值;(3) 求出閉環(huán)系統(tǒng)Z和3n值(a)Ks(Ts 1)解：由圖5 1 (b)可寫出開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)二-s(s + 1)2可知，當(dāng)-2時一G(2)- -135°。1由圖5 1 (a )知，此時、2二丄=2,故t=0.5T又-KT = _10,故 k = 40,即1 = 40。. G(s) = 402s(0.5s + 1)又=co3 時，G(j 33) =1, 解出：33=8.94。33 33 / 32祇G(s)408.942"

2、(s)：1 +G(s)0.5s2 +s+40 s2 +2江0.111匯 894s + 8.94s2其中 3n=8.94, Z0.111。例5-2已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)二102丄 ss(s 1)(,4試分析其穩(wěn)Z=0的二階振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)而成定性。解：該系統(tǒng)由放大環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和A( )二恥2 +11一使】212丿|10當(dāng)=0 時，A(0 ) > ;隨3增加A( 3)減??；當(dāng)3 2時，幅值又增加；當(dāng)03=2時A(2)；之后 3x, A(x) 0o：(0) 90°, (2 J 153°, (2 ) = -333°, (：) = -360&

3、#176;其頻率特性如圖5- 2所示，在L( 3 )>0區(qū)間內(nèi)，有一次負(fù)穿越，P"，故Z=0-2(-1)=2,系統(tǒng)不穩(wěn)定。例5-3已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)二Ki(s 2)(s 5)(s -1)試畫出系統(tǒng)的極坐標(biāo)頻率特性曲線并確定系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。解:G(s八(s 2)(s 5)(s1)Ki112 5(s 1)(s 1)(s-1)25K(Tis 1)(T2s 1)(T3S-1)Kiii式中，K,Ti=0.5s,T20.2 s, T3 = is。1025G(j s)K(1js)(1jT2 s)( -1j3 w)K(1 - jTis)(1 - 卩2 3)(-1 -

4、jT3 3) (1 Ti2 w2)(1 T22 w2)(1 T32 w2)K(T1T2一T1T3 T2T3)2 -1 j(TiTT3T1T2T32)K222 222(1T1 ) (1 T1 ) ( 1 T3 -)PC)2KKT1T2 -TiT3 -T2T3)-1222222(1T1- ) ( 1T1 ) ( 1 T3 -)Q( )0K (T,T2 _T3TL，)(1Ti22)(i Ti2 .2)(i - T32 2)K1 t,2 2 ,1 t22 2 v1 t32 2() - -arctanTi - arctanT _180° arctanT3當(dāng) T1T2 -T1T3 -丁2丁32

5、=1 時,即當(dāng)，二.TiT2_T1T3 _ET3時,P( ) = 0當(dāng)T,T2 -T3T,T2T3 2 =0時,即當(dāng)-害2時,Q( w)=0。本例 T, 75,T2=02T3-1,T,T2-T1T3-T2T3=0.6,所以w在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不存在P(w)=O。當(dāng)=:T3 _T _T2 = 3時,q(j3)= 0, P(73) = -0.375K, T1T2T3A(.、3) =0.375K, ( . 3) = -180°當(dāng)=0 時，P(0) =K,Q(0) =0, A(0) = K, (0) =-180°當(dāng)門二二時，P(：) =0,Q(：J =0,A(：) =0, (：) &#

6、187;27O0。圖5-3 例5-3圖系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性如圖5-3所示。作出其鏡像（圖中虛線），從圖中可以看出，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，G（j 3）及其鏡像應(yīng)逆時針包圍（-1, j0）點(diǎn)一圈，即（-1, j0）點(diǎn)應(yīng)落在負(fù)實(shí)軸（-K，-0.375K）段。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定條件：K>1和0.375K<1,即1<K<2.8,也即10<K1<28（K1=10K）。例5-4已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖 5-4所示，圖中p為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的極圖5-4 例5- 4圖解：(a)由圖(a)得 v3, p=0。當(dāng).0時，“0)=-、. 90° = 一270°當(dāng)時

7、， (：)=( n-m) 900 工90°。得 n-m =1。設(shè) Gk(s)=K( is 1)( . 2S 13s作出 尸0+時極坐標(biāo)特性在無窮遠(yuǎn)處的一段軌跡(如圖(a)中虛線所示)，可知頻率特性在3：0fx時，不包圍(-1, j0)點(diǎn)，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(b)由圖(b)可知，=0, p =1(0) =-1800, (：) =00 =-(n-m) 900故n-m=0。設(shè)Gk(s) = K(Gs *1)(嘶+1)，作出)鏡像，可知 Gk(j 3)及其鏡像當(dāng)(Ts-1)(T2S+1):時順時針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，所以Z=N+ p =1+1=2,即閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為2

8、,系統(tǒng)不穩(wěn)定(c)(1s 1)( 2s 1)(T1S 1)(T2S-1)(T3S-1)()=arctan jarctan 2 - arctanj -1800 arctanT3當(dāng)，0時，(0)= -3600;當(dāng)，時，(：)=-900從圖(c)可以看出，當(dāng)時，Gk(j )逆時針包圍(-1, j0)點(diǎn)一圈, 即N / =1=- p /2，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例5-5已知某反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)500(0.0167s+1)s(0.05s - 1)(0.0025s 1)(0.001s 1)試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性，并確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性、幅值裕度、相角裕 度以及時域指標(biāo)(、ts

9、。解：v1，L(3)低頻漸近線斜率為-20dB/dec； K=500，20lgK=54(dB)。通過(3=1,L=54dB)點(diǎn) 或通過(w=500,L=0dB)點(diǎn)作-20dB/dec斜率的低頻漸近線。按時間常數(shù)大小，從小到大依次 標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率：0.05二20,對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)特性，L( 3)斜率變化率為-20dB/dec；0.0167二60,對應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)特性,L）斜率變化率為+20dB/dec；-'34 0 0對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)特性,0.002 51-'41 0 0,0寸應(yīng)慣性環(huán)節(jié)特性,0.0 0 1L）斜率變化率為-20dB/dec；L（ 3）斜率變化率為-20dB/dec。從而

10、繪出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性（漸近線）,如圖5-5所示圖5-5 例5-5圖相頻特性：()-90° - arctan0.05arctan0.0167 -arctan0.0025 -arctan0.001 繪出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性，如圖5-5所示。從Bode圖可看出，c -167.1rad /s, ( c-135.10/ =44.90°g = 590rad / s, L( g) = T4.3dB,Lg = 14.3dB所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。時域指標(biāo)由近似公式求: % = |0.16+0.4 1 1x100% =32.7%-(in y丿r 1廣12+1.5-1 1 + 2.5-1%.

11、sinJ(in Y)Jts0.058(s)例5-6系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-6所示，用奈式判據(jù)確定t的穩(wěn)界值圖5- 6例5-6圖解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)頻率特性為G(s)二10( s 1)s(s -10)(s 1)s(0.1s -1)(s 1) ,T=0.1ss仃s -1)G(j )(-1 jT )t +TQ()二,A( )=()=-90° arctan ;：arctan90° arctan ;：(180°arctanT，)-1=-2700 arctan arctanT當(dāng) =0時，P(0) =T,Q(0) = ：,A(0) = ：, :(0) =-270°當(dāng)

12、-:時，P(：) =0,Q(：) =0,A(：)二 0, CO = -900;Q =0,P ,A:=-180。1當(dāng)怕=時，1 叮國2 =0,VtT圖5-7所示為G(j co): 3從0-x的幅相頻率特性，并繪制其鏡像。因G(s)有一個開環(huán)極點(diǎn)在右半s平面，即右半s平面的極點(diǎn)數(shù)p =1。為使閉環(huán)穩(wěn)定，G(j 3)特性及其鏡像需逆時 針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，為此，G(j 3)與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)-T應(yīng)在負(fù)實(shí)軸-1點(diǎn)左側(cè)，即-T <-1,也即T >1。T =1時，G(j 3)剛好穿過 (-1, jO)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定：T <1時，G(j 3)曲線順時針包圍(-1, jO)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定

13、。例5-7設(shè)某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)二K12 s(s s 1 0)0若要求系統(tǒng)的幅值裕度為20db，問開環(huán)增益K7解：(1)解析計算法從開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)求得給定系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性圖5-7 例5-6圖G(j )與開環(huán)相頻特性應(yīng)取何值?G( j )分別為G(j )K1(100 _，2)2 ，240WG(j 0 = -90 - arctg2100 co設(shè)- -g 時，一 G(jg) - -180°。將- - g 代入得0wg0G (j g _90 arctan _180100 %解出=10r a ds將- .g =10代入得G(j g)K11 00K1；22210. (

14、100 -10 ) 10根據(jù)以對數(shù)形式表示的系統(tǒng)幅值裕度的定義，得Lg =2 0log1=2 0 log 100g|G(j"g)K1根據(jù)幅值裕度應(yīng)為20db的要求，解得K1=10又因為G(s)=K1/1002s(0.01s0.01s 1)K2s(0.01s0.01s 1)所以K = Kl =0.11 0 0(2) Bode 圖法根據(jù)時間常數(shù)T=0.1s，確定振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率n = 1/T = 10rad / s在轉(zhuǎn)折頻率n處，系統(tǒng)開環(huán)相角.G(j.n) =-90° -90° =-180°,dB 201og i G（丿）|圖5-8 例5- 7圖 可見對給定系統(tǒng)來說，有-又根據(jù)20log AC n20log1/2 ,求得轉(zhuǎn)折頻率 行處當(dāng)二-0.05時振蕩環(huán)節(jié)的漸近對數(shù)幅 頻特性的修正值為20dB,在此基礎(chǔ)上，再加上對幅值