2017專(zhuān)題4：圓與相似

1、專(zhuān)題：圓與相似(1)1. 如圖，AB是O O的直徑，弦 CD± AB于H.點(diǎn)G在O O上，過(guò)點(diǎn) G作直線EF,交CD延長(zhǎng) 線于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.連接AG交CD于 K,且KE= GE(1 )判斷直線EF與O O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；AH 3(2 )若 AC/ EF, FB= 1,求O O 的半徑.2.如圖，PB為O O的切線,B為切點(diǎn)，直線PO交O于點(diǎn)E, F,過(guò)點(diǎn)B作PO的垂線BA垂足為點(diǎn)D,交O O于點(diǎn)A,延長(zhǎng)AO與O O交于點(diǎn)C,連接BC, AF.(1)(2)(3)求證：直線PA為O O的切線；試探究線段EF, OD OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；1若BC= 6

2、, tan / F= ,求cos / ACB的值和線段 PE的長(zhǎng). 23.如圖所示,AB是O O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過(guò) C作CD丄AB于點(diǎn)D, CD交AE于點(diǎn)F ,過(guò)C作CG/ AE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) 接OC交AE于點(diǎn)Ho(1) 求證：GCL OC(2) 求證：AF=CF(3) 若/ EAB=30 , CF=2,求 GA的長(zhǎng).G.4.如圖，在 ABC AB=AC以AB為直徑的O O分別交 AC BC于點(diǎn)D E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)1線上，且/ CBF=丄/ CAB2(1)求證：直線BF是O O的切線;(2)若 AB=5 sin / CBF=求BC和BF的長(zhǎng).EAC 55. 如圖，

3、O 0的弦AB=8直徑 CD!AB于M OM : MD =3 : 2, E是劣弧CB上一點(diǎn)，連結(jié) CE并延長(zhǎng)交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求：(1 )O 0的半徑；(2)求CE- CF的值.6. 如圖，已知在厶 ABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，/ PAC=/ PBA O O是厶ABC的外接圓，AD是 O O的直徑，且交 BP于點(diǎn)E.(1) 求證：PA是O O的切線；(2) 過(guò)點(diǎn)C作CF丄AD,垂足為點(diǎn) F,延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G 若AG?AB=12求 AC的長(zhǎng)；(3) 在滿足(2)的條件下，若 AF: FD=1: 2, GF=1,求O O的半徑及sin / ACE的值.7. 如圖，在 ABC中，/ C=90

4、°, AC=3 BC=4.0為BC邊上一點(diǎn)， 以0為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E, 連接DE(1 )當(dāng)BD=3時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)；(2)過(guò)點(diǎn)E作半圓O的切線，當(dāng)切線與AC邊相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為F.求 證： FAE是等腰三角形.8. 如圖，在 ABC中，/ C=90°,Z ABC勺平分線交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作 BE的垂線交AB于點(diǎn)F,O O是 BEF的外接圓.(1) 求證：AC是 O C的切線；(2) 過(guò)點(diǎn)E作EH丄AB 垂足為H,求證：CD=HF(3) 若 CD=1, EH=3 求 BF及AF長(zhǎng).點(diǎn)，MDf O膠于N點(diǎn).(1) 求證：PM=PN(2

5、)若BD=4, PA= AO 過(guò)點(diǎn)B乍BC/ M交O O于C點(diǎn)，求BC勺長(zhǎng).BC10. 如圖是一個(gè)量角器和一個(gè)含 30°角的直角三角板放置在一起的示意圖，其中點(diǎn)B在半圓O的直徑DE的延長(zhǎng)線上，AB切半圓O于點(diǎn)F,且BC=OE(1) 求證：DE/ CF;(2) 當(dāng)OE=2寸，若以O(shè), B, F為頂點(diǎn)的三角形與 ABCf似， 求OB的長(zhǎng)；(3) 若OE=2移動(dòng)三角板ABC且使AB邊始終與半圓O相切，直 角頂點(diǎn)B在直徑DE的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，求出點(diǎn) B移動(dòng)的最大距離.11. 如圖，AB AC分別是O O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEL AB分別交O O于E,交ABF H,交AC于 F

6、. P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且 PC=PF(1) 求證：PC是O C的切線；(2) 點(diǎn)D在劣弧AC十么位置時(shí)，才能使AD2=DE?DF為什么?(3) 在(2)的條件下，若 OH=1 AH=2求弦AC的長(zhǎng).12. 如圖，在 ABC中，/ ABC=90，以AB的中點(diǎn) O為圓心、OA為半徑的圓交 AC于點(diǎn)D, E是BC的中點(diǎn)，連接DE OE(1) 判斷DE與O O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;2(2) 求證：BC=CD?2O；(3) 若 COS/ BAD= BE=6,求 OE的長(zhǎng).專(zhuān)題：圓與相似答案1.( 1)相切，理由見(jiàn)解析；(2) 4.(1)如圖，連接0GOA= OGOGAfZ OAG.CD丄AB,aZ

7、AKHZ OAG= 90°./ KE= GEZ KGE=Z GKE=Z AKH.Z KGEFZ OGAfZ AKHZ OAG= 90° Z OGE= 90°,即卩 OGL EF. 又 G在圓O上， EF與圓O相切.CHOG Rt AHC Rt FGOACOFAH/在 Rt OAH中壬，設(shè)AH= 3t，貝U ACAC5=5t , CH= 4t . CH 4 OG 4AC 5." OF 5OG4-FB= 1解得：OG= 4.OG 15(2) AC/ EF, / F=Z CAH考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.切線的判定；3.相似三角形的判定與性質(zhì).3102.

8、（ 1）證明見(jiàn)解析；（2） E尸=4OD?O,證明見(jiàn)解析；（3） 3 , 10 .53【解析】試題解析：（1）如圖，連接OB/ PB是OO的切線，/ PBO=90 ./ OA=OB BAL PO于 D,. AD=BDZ POAZ POB.又 PO=POA PAOA PBO（ SAS . Z PAOZ PBO=90 . 直線 PA為OO 的切線.(2) EF2=4OD?O,證明如下：-Z PAOZ PDA=9C° ,/ OAD-Z AOD=90 , Z OPA+Z AOP=90 . Z OADZ OPA.OADA OPA. 即 oA=OD?OP.OP OA '又 EF=2OA

9、- Eh=4OD?OP.1 (3 ) OA=OC AD=BD BC=6 - OD BC=32(三角形中位線定理).設(shè) AD=x,AD 1 tan Z F=, FD=2x, OA=OF=2)x 3.FD 2在 Rt AOD中 ,由勾股定理，得(2x - 3)2=x2+32 ,解得，X1=4 , X2=0 (不合題意，舍去). AD=40A=2x- 3=5./ AC是OO直徑，/ ABC=90口z BC 63又 AC=2OA=10 BC=6 cos / ACB=-AC 105/ OA2=OD?OP 3 ( PE+5)=25. PE=1°.3CG丄3.試題解(1 )證/ C是劣 OC丄/

10、CG /DG析：明：如圖，連結(jié)OC 弧AE的中點(diǎn)，AE,AE,OC CG是O O的切線；(2)證明：連結(jié)AC BC,/ AB是O O的直徑， / ACB=90 , / 2+Z BCD=90 ,而 CDLAB / B+Z BCD=90 , / B=Z 2,/ AC 弧=CE 弧， Z 1 = Z B,Z 1 = Z 2 ,AF=CF(3) 解：在 Rt ADF中，Z DAF=3C° , FA=FC=21 DF=i AF=1,2 AD= . 3 DF=>.：3 ,/ AF/ CG DA: AG=DF CF,即亦:AG=1 2, AG=2 . 3 .4. ( 1)證明：連接 AE,v

11、 AB 是O O 的直徑，/ AEB=90 , Z 1 + Z 2=90°.v AB=AC11 Z 仁一Z CAB tZ CBF Z CAB /22(2)過(guò)點(diǎn)C作CGL ABCBF, / CBF+Z 2=90 °，即 Z ABF=90° , 是OO的直徑，直線 BF是O O的切線.于 G. / sin Z CBF=5 ,5Z 1 = Z CBF,sin Z 1 = 5 , 在 Rt AEB中，Z AEB=90° , AB=55 BE=AB?sinZ1= . 5-AB=AC Z AEB=90 , BC=2BE=2.5，在 Rt ABE中，由勾股定/ aeZ

12、 2=2 5/o BE .5cos Z 2=-理得 AE=AB2BE2 =2.5 , sin，在 Rt CBG中,AB5AB 5可求得GC=4：,GB=2,- AG=3, GC/ BF, AGS ABF,GC = AGBF AB 'bf=GC AB20AG 3考點(diǎn)：1切線的判定與性質(zhì)；2.勾股定理；3.圓周角定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì);5. 試題解析：(1)如圖，連接AQ/ OM : MD=3:2 ,可設(shè) 0M=3 k, MD=2 k (k >0)，貝U OA=OD=5 k.又弦 AB=8 直徑 CDL AB于 M - AM=4.在Rt OAM中，由勾股定理可得：k=1 .

13、圓O的半徑為5 .(2)如圖，連接AE由垂徑定理可知：AEC= CAF又 ACF= ACF, AC0 FCA. AC 21 即 aC=CE CF.CF AC在 Rt ACM中 ,由勾股定理可得：AC=AM+CM=16+64=80 , CE CF=80.6. 解：(1)證明：連接CD/ AD是OO的直徑，/ ACD=90 。 / CAD+/ ADC=90。又/ PAC=z PBA / ADC玄 PBA / PAC玄 ADCCAD+Z PAC=90。 PA 丄 OA又 AD是O O的直(2)由(1)知,又 CF丄 AD, CF 又/ PACZ PBA 又/ CAGZ BACAC AG 卄-,即AB

14、 AC/ AG?AB=12,1 徑， PA是O O的切線。PAL AD,/ P GCAZ PAG / GCAZ PBA CA&A BAC2AC=AG?ABAC=12°. AC=2 3。(3 )設(shè) AF=x,/AF: FD=1: 2,. FD=2x°. AD=AF+FD=3x在 Rt ACD中，T CF丄AD, / AC=AF?AD 即卩 3x2=12。 解得；x=2。 AF=2, AD=6 © O半徑為 3。在 Rt AFG中，T AF=2, GF=1,根據(jù)勾股定理得：AG . AF2 GF222 125。由(2)知，AG?AB=12 - AB12AG12

15、.55連接BD,魚(yú)! sin Z ADBl。55t AD是OO 的直徑，/ ABD=90。AB在 Rt ABD中，t sin / ADB= , AD=6 AB AD2/5 tZ ACE玄 ACB玄 ADB - sin Z ACE57. ( 1)解：tZ C=90 , AC=3 BC=4 AB=5,t DB為直徑, Z DEB玄 C=90 ,DEHDAB DE=OE線，又tZ B=Z B , DBEA ABCDE 即亍祚,(2)證法一：連接t EF為半圓O的切 Z DEO-Z DEF=90 , Z AEF=Z DEO DBEA ABC Z A=Z EDB又tZ EDOZ DEO Z AEF=Z

16、A , FAE是等腰三角形; 證法二：連接OEt EF為切線， Z AEF+Z OEB=90 , tZ C=90 , Z A+Z B=90° ,t OE=OB/ OEB=/ B,/ AEF=Z A, FAE是等腰三角形.8. 證明：(1)如圖，連接0E/ BE丄 EF,/ BEF=90 , BF是圓0的直徑./ BE平分/ ABC/ OB=OE/ OEB=/ CBE / AEO= / AC是O O的切(2)如圖，連結(jié)/ CBEh OBE EC=EH/ CBE=/ OBE / OBE/ OEB OE/ BC,C=90 ,線；DEEC丄 BC于 C, EHL AB 于 H,/ CDE+Z

17、 BDE=180，/ HFE+Z BDE=180 , / CDE=/ HFE在厶 CDE-與 HFE中， CDEA HFE( AAS ,CD=HF(3) 由(2)得 CD=HF 又 CD=1 HF=1,在 Rt HFE中, EF= ：廠亠,/ EF± BE,/ BEF=90 ,/ EHFN BEF=90 ,/ EFHN BFE, EHFA BEF,EF=,即.=, BF=10 , OE=BF=5 OH=5-仁4, Rt OHE中 , COS/ EOA=OE Rt EOA中 , COS/ EOA= =,25 OA=,25 AF=4-5=.9. ( 1)證明：連接OM/ MP是圓的切線，

18、 OML PM, / OMD/ DMP=90 ,/ OA OB/ OND# ODM=9° ,/ MNP# OND / ODM# OMD(2)解：設(shè)BC交OM于E,OA=OB=BD=2 PO=5MPBE=BCMOP=9° ,在直角三角形OM沖,# MPO# MOP=9° ,# BOM# MPO# BEO# OMP=9° , OM» BEOOMBEOP _,即=解得：BE= BC=10. (1)證明：連接OF, AB切半圓O于點(diǎn)F, OF是半徑,# OFB=90 ,# ABC=90 ,# OFB=/ ABC OF/ BC,/ BC=OE OE=O

19、F BC=OF四邊形OBCF是平行四邊形， DE/ CF;(2)解：若 OB3A ACBOU AC-.=',/ # A=30°AC=4 OB=W OB=,# ABC=90 , BC=OE=2AB=2 .又 OF=OE=2若厶 BOFA ACB OB AC， OB=4C5D上綜上，OB或4;(3 )解：畫(huà)出移動(dòng)過(guò)程中的兩個(gè)極值圖， 由圖知：點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離是線段 BE的長(zhǎng),/ A=30°,aZ ABO=30 , BO=4, / BE=2, 點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離是線段 BE的長(zhǎng)為2.11. (1)證明：連接OCPC=PF OA=OC / PCA玄 PFC / OCAM OACOHD( AAS, AG=DH AC=4 .12. (1)證明：連接OD BD,/