2021-2022學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的，請將符合題意的答案代號寫在答題紙的相應(yīng)位置上．1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝，x2＝﹣2．（2分）二次函數(shù)y＝﹣2（x+1）2+3的圖象的頂點坐標是（）A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）3．（2分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（2分）用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝7 D．（x+2）2＝16．（2分）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)部一點，把△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B與點C重合，得到△ACQ，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）A．70° B．80° C．60° D．50°7．（2分）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）一個解的范圍是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.268．（2分）如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD．將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，連接ED．若BC＝6，BD＝5，則△AED的周長是（）A．17 B．16 C．13 D．11二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）在平面直角坐標系中，點P（5，﹣2）關(guān)于原點（0，0）的對稱點的坐標是．10．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根是1，則k的值為．11．（2分）如果拋物線y＝（m﹣1）x2的開口向上，那么m的取值范圍是．12．（2分）點A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上兩點，則y1與y2的大小關(guān)系為y1y2（填“＞”、“＜”、“＝”）．13．（2分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的實數(shù)a、b的值：a＝，b＝．14．（2分）“十一”黃金周，某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足關(guān)系：m＝140﹣x．寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的售價x之間的函數(shù)關(guān)系式是．15．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點，DE＝1．△ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合，連結(jié)EF，則EF＝．16．（2分）如圖，一段拋物線：y＝﹣x2+x（0≤x≤1），記為C1，它與x軸的兩個交點分別為O，A1，頂點為P1；將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，它與x軸的另一交點記為A2，頂點為P2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，它與x軸的另一交點記為A3，頂點為P3，…，這樣一直進行下去，得到拋物線段C1，C2，C3，…，?n，則點P2的坐標為；若點M（，m）在第3段拋物線C3上，則m＝．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分。解題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。）17．（5分）解方程：x2﹣3x＝0．18．（5分）已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝70°，點D，E分別在AB，AC上，BD＝BC，連接BE，將線段BE繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)70°得到線段BF，連接DF．求證：△BCE≌△BDF．19．（5分）已知拋物線的對稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過點（0，1），求該拋物線的表達式．20．（5分）給出一種運算：對于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y'＝nxn﹣1．例如：若函數(shù)，則有．若函數(shù)，求方程y2′＝12的解．21．（6分）如圖，在一塊長為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，要使草坪面積為300平方米，道路寬應(yīng)為多少米？22．（6分）已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k＝0（k≥1）．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）當(dāng)k取哪些整數(shù)時，方程的兩個實數(shù)根均為整數(shù)．23．（5分）已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一個根，求代數(shù)式3a2﹣15a﹣7的值．24．（6分）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點A，B（A在B的左側(cè)），與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交于A，C兩點．（1）求b的值；（2）求△ABC的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．25．（5分）如圖，在等邊△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．26．（6分）小華在研究函數(shù)y1＝x與y2＝2x圖象關(guān)系時發(fā)現(xiàn)：如圖所示，當(dāng)x＝1時，y1＝1，y2＝2；當(dāng)x＝2時，y1＝2，y2＝4；…；當(dāng)x＝a時，y1＝a，y2＝2a．他得出如果將函數(shù)y1＝x圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，就可以得到函數(shù)y2＝2x的圖象．類比小華的研究方法，解決下列問題：（1）如果函數(shù)y＝3x圖象上各點橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的函數(shù)圖象的表達式為；（2）①將函數(shù)y＝x2圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)y＝4x2的圖象；②將函數(shù)y＝x2圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到圖象的函數(shù)表達式為．27．（7分）已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG＝DE；（2）如圖2，將正方形CEFG繞著點C旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得CG∥BD，BG＝BD，連接BE，求∠BED的度數(shù)．28．（7分）定義：如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，同時，拋物線C2的頂點在拋物線C1上，則稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)．例如，如圖，拋物線y＝x2的頂點（0，0）在拋物線y＝﹣x2+2x上，拋物線y＝﹣x2+2x的頂點（1，1）也在拋物線y＝x2上，所以拋物線y＝x2與y＝﹣x2+2x關(guān)聯(lián)．（1）已知拋物線C1：y＝（x+1）2﹣2，分別判斷拋物線C2：y＝﹣x2+2x+1和拋物線C3：y＝2x2+2x+1與拋物線C1是否關(guān)聯(lián)；（2）拋物線M1：的頂點為A，動點P的坐標為（t，2），將拋物線M1繞點P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M2，若拋物線M1與M2關(guān)聯(lián)，求拋物線M2的解析式；（3）拋物線M1：的頂點為A，點B是與M1關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點，將線段AB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AB1，若點B1恰好在y軸上，請直接寫出點B1的縱坐標．

2021-2022學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的，請將符合題意的答案代號寫在答題紙的相應(yīng)位置上．1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝，x2＝﹣【分析】觀察發(fā)現(xiàn)方程的兩邊同時加4后，左邊是一個完全平方式，即x2＝4，即原題轉(zhuǎn)化為求4的平方根．【解答】解：移項得：x2＝4，∴x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2．故選：C．【點評】（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解．（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．2．（2分）二次函數(shù)y＝﹣2（x+1）2+3的圖象的頂點坐標是（）A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【分析】由拋物線的解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2+3，∴拋物線頂點坐標為（﹣1，3），故選：B．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）．3．（2分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．4．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】所給形式是二次函數(shù)的頂點式，易知其頂點坐標是（﹣1，﹣2），也就是當(dāng)x＝﹣1，函數(shù)有最大值﹣2．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣2，∴此函數(shù)的頂點坐標是（﹣1，﹣2），即當(dāng)x＝﹣1函數(shù)有最大值﹣2故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點式，并會根據(jù)頂點式求最值．5．（2分）用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝7 D．（x+2）2＝1【分析】把方程兩邊都加上4，方程左邊可寫成完全平方式．【解答】解：x2+4x+4＝7，（x+2）2＝7．故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．6．（2分）如圖，P是等邊△ABC內(nèi)部一點，把△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B與點C重合，得到△ACQ，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）A．70° B．80° C．60° D．50°【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB＝AC，∠BAC＝60°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到∠BAC為旋轉(zhuǎn)角，從而得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【解答】解：∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B與點C重合，得到△ACQ，∴∠BAC為旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°．故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．7．（2分）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）一個解的范圍是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【分析】根據(jù)函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點就是方程ax2+bx+c＝0的根，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷方程ax2+bx+c＝0一個解的范圍．【解答】解：函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點就是方程ax2+bx+c＝0的根，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的縱坐標為0；由表中數(shù)據(jù)可知：y＝0在y＝﹣0.02與y＝0.03之間，∴對應(yīng)的x的值在3.24與3.25之間，即3.24＜x＜3.25．故選：C．【點評】掌握函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的圖象與x軸的交點與方程ax2+bx+c＝0的根的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵所在．8．（2分）如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點，連接BD．將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，連接ED．若BC＝6，BD＝5，則△AED的周長是（）A．17 B．16 C．13 D．11【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE＝BD，AE＝CD，∠DBE＝60°，于是可判斷△BDE為等邊三角形，則有DE＝BD＝5，所以△AED的周長＝DE+AC，再利用等邊三角形的性質(zhì)得AC＝BC＝6，即可求得△AED的周長．【解答】解：∵△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，∴BE＝BD，AE＝CD，∠DBE＝60°，∴△BDE為等邊三角形，∴DE＝BD＝5，∴△AED的周長＝DE+AE+AD＝DE+CD+AD＝DE+AC，∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝BC＝6，∴△AED的周長＝DE+AC＝5+6＝11，故選：D．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）在平面直角坐標系中，點P（5，﹣2）關(guān)于原點（0，0）的對稱點的坐標是（﹣5，2）．【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．【解答】解：點P（5，﹣2）關(guān)于原點的對稱點的坐標是（﹣5，2），故答案為：（﹣5，2）．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．10．（2分）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根是1，則k的值為1．【分析】先把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0得1+k﹣2＝0，然后解關(guān)于k的方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+kx﹣2＝0得1+k﹣2＝0，解得k＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．11．（2分）如果拋物線y＝（m﹣1）x2的開口向上，那么m的取值范圍是m＞1．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)拋物線開口向上時，二次項系數(shù)m﹣1＞0．【解答】解：因為拋物線y＝（m﹣1）x2的開口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范圍是m＞1．【點評】解答此題要掌握二次函數(shù)圖象的特點．12．（2分）點A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象上兩點，則y1與y2的大小關(guān)系為y1＜y2（填“＞”、“＜”、“＝”）．【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式確定出對稱軸為直線x＝1，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性，x＜1時，y隨x的增大而減小解答．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1，∵x2＞x1＞1，∴y1＜y2．故答案為：＜【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性，求出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵．13．（2分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的實數(shù)a、b的值：a＝1，b＝2．【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根；進而得出答案．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a＝0，符合一組滿足條件的實數(shù)a、b的值：a＝1，b＝2．故答案為：1，2．【點評】此題主要考查了根的判別式，正確求出a，b之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．（2分）“十一”黃金周，某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足關(guān)系：m＝140﹣x．寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的售價x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣x2+170x﹣4200（30≤x≤140）．【分析】按等量關(guān)系“每天的銷售利潤＝（銷售價﹣進價）×每天的銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式，并由售價大于進價，且銷售量大于零求得自變量的取值范圍．【解答】解：由題意得，每件商品的銷售利潤為（x﹣30）元，那么m件的銷售利潤為y＝m（x﹣30），又∵m＝140﹣x，∴y＝（x﹣30）（140﹣x），即y＝﹣x2+170x﹣4200，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴140﹣x≥0，即x≤140．∴30≤x≤140．∴所求關(guān)系式為y＝﹣x2+170x﹣4200（30≤x≤140）．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系：“每天的銷售利潤＝（銷售價﹣進價）×每天的銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式．15．（2分）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點，DE＝1．△ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合，連結(jié)EF，則EF＝2．【分析】首先勾股定理得出AE的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△AEF等腰直角三角形，從而得出EF的長．【解答】解：在Rt△AED中，由勾股定理得，AE＝＝，∵△ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合，∴∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，∴∠EAF＝90°，∴△AEF等腰直角三角形，∴EF＝AE＝×＝2，故答案為：2．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定等知識，證明△AEF等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，一段拋物線：y＝﹣x2+x（0≤x≤1），記為C1，它與x軸的兩個交點分別為O，A1，頂點為P1；將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，它與x軸的另一交點記為A2，頂點為P2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，它與x軸的另一交點記為A3，頂點為P3，…，這樣一直進行下去，得到拋物線段C1，C2，C3，…，?n，則點P2的坐標為（，﹣），；若點M（，m）在第3段拋物線C3上，則m＝．【分析】由旋轉(zhuǎn)可知拋物線C2與拋物線C1關(guān)于點A1成中心對稱，拋物線C3與拋物線C2關(guān)于點A2成中心對稱，先求出點A1的坐標，再將拋物線C1的解析式配成頂點式，求出拋物線C1的頂點坐標，然后可依次求出P2、P3的坐標，再求出拋物線C3的解析式，進而求出m的值，得到問題的答案．【解答】解：如圖，拋物線y＝﹣x2+x，當(dāng)y＝0時，則﹣x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝1，∴A1（1，0），∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴C1的頂點為P1（，），∵C2與C1關(guān)于點A1成中心對稱，∴P2（，﹣），A2（2，0），∵C3與C2關(guān)于點A2成中心對稱，∴P3（，），∴C3的解析式為y＝﹣（x﹣）2+，將M（，m）代入y＝﹣（x﹣）2+，得m＝﹣（﹣）2+＝，∴m的值為，故答案為：（，﹣）；．【點評】此題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì)等知識，將y＝﹣x2+x配成頂點式，求出拋物線C1的頂點坐標及點A1的坐標是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分。解題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。）17．（5分）解方程：x2﹣3x＝0．【分析】將方程左邊的多項式提取公因式x，分解因式后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2﹣3x＝0，分解因式得：x（x﹣3）＝0，可得：x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．18．（5分）已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝70°，點D，E分別在AB，AC上，BD＝BC，連接BE，將線段BE繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)70°得到線段BF，連接DF．求證：△BCE≌△BDF．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BE＝BF，∠EBF＝70°，再利用SAS即可證明結(jié)論．【解答】證明：∵將線段BE繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)70°得到線段BF，∴BE＝BF，∠EBF＝70°，∵∠ABC＝70°，∴∠EBF＝∠ABC，∴∠DBF＝70°﹣∠ABE＝∠CBE，在△BCE與△BDF中，，∴△BCE≌△BDF（SAS）．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前面對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．19．（5分）已知拋物線的對稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過點（0，1），求該拋物線的表達式．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過點（0，1），∴，解得，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣x+1．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．20．（5分）給出一種運算：對于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y'＝nxn﹣1．例如：若函數(shù)，則有．若函數(shù)，求方程y2′＝12的解．【分析】根據(jù)新定義的規(guī)定先計算y2′，再解方程．【解答】解：∵y2′＝3x2，又∵y2′＝12，∴3x2＝12．∴x2＝4．∴x1＝2，x2＝﹣2．【點評】本題考查了解一元二次方程的直接開平方法．掌握新定義規(guī)定的運算和一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．21．（6分）如圖，在一塊長為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，要使草坪面積為300平方米，道路寬應(yīng)為多少米？【分析】設(shè)道路寬為x米，則剩余部分可合成長（22﹣x）米，寬（17﹣x）米的矩形，根據(jù)草坪面積為300平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合17﹣x＞0，即可得出道路寬應(yīng)為2米．【解答】解：設(shè)道路寬為x米，則剩余部分可合成長（22﹣x）米，寬（17﹣x）米的矩形，依題意得：（22﹣x）（17﹣x）＝300，整理得：x2﹣39x+74＝0，解得：x1＝2，x2＝37．又∵17﹣x＞0，∴x＜17，∴x＝2．答：道路寬應(yīng)為2米．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22．（6分）已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k＝0（k≥1）．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）當(dāng)k取哪些整數(shù)時，方程的兩個實數(shù)根均為整數(shù)．【分析】（1）先由k≠0，確定此方程為一元二次方程．要證明方程總有兩個實數(shù)根，只有證明△≥0，通過代數(shù)式變形即可證明；（2）先利用求根公式求出兩根，x1＝﹣1，，只要2被k整除，并且有k≥1的整數(shù)，即可得到k的值．【解答】證明：（1）∵k≥1，∴k≠0，此方程為一元二次方程，∵Δ＝4﹣4k（2﹣k）＝4﹣8k+4k2＝4（k﹣1）2，而4（k﹣1）2≥0，∴△≥0，∴方程恒有兩個實數(shù)根．（2）解：方程的根為，∵k≥1，∴．∴x1＝﹣1，，∵k≥1，若k為整數(shù)，∴當(dāng)k＝1或k＝2時，方程的兩個實數(shù)根均為整數(shù)．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式Δ＝b2﹣4ac．當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了解方程的方法和整數(shù)的整除性質(zhì)．23．（5分）已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一個根，求代數(shù)式3a2﹣15a﹣7的值．【分析】把x＝1代入已知方程求得a2﹣5a＝﹣1，然后整體代入所求的代數(shù)式中進行求解．【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一個根，∴1﹣5a+a2＝0．∴a2﹣5a＝﹣1，∴3a2﹣15a﹣7＝3（a2﹣5a）﹣7＝3×（﹣1）﹣7＝﹣10，即3a2﹣15a﹣7＝﹣10．【點評】此題主要考查的是一元二次方程解的定義，注意整體代入思想在代數(shù)求值中的應(yīng)用．24．（6分）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點A，B（A在B的左側(cè)），與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交于A，C兩點．（1）求b的值；（2）求△ABC的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)x為何值時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．【分析】（1）令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，得點A坐標為（﹣1，0），B（3，0），將點A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，即可求解；（2）方程組，解得：或，得點C坐標為（2，﹣3），根據(jù)面積公式即可求解；（3）根據(jù)圖象可知，﹣1＜x＜2時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值．【解答】解：（1）∵令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，∴點A坐標為（﹣1，0），B（3，0），將點A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，1+b＝0，解得b＝﹣1；（2）方程組，解得：或，∴點C坐標為（2，﹣3），∴△ABC的面積＝×4×3＝6；（3）根據(jù)圖象可知，﹣1＜x＜2時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值．【點評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，求得交點坐標是解題的關(guān)鍵．25．（5分）如圖，在等邊△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC．【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD＝CE，∠DCE＝60°，則∠DCE＝∠ACB，所以∠BCD＝∠ACE，接著證明△BCD≌△ACE得到∠EAC＝∠B＝60°，從而得到∠EAC＝∠ACB，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，∵線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠DCE＝∠ACB，即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD與△ACE中，，∴△BCD≌△ACE，∴∠EAC＝∠B＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．26．（6分）小華在研究函數(shù)y1＝x與y2＝2x圖象關(guān)系時發(fā)現(xiàn)：如圖所示，當(dāng)x＝1時，y1＝1，y2＝2；當(dāng)x＝2時，y1＝2，y2＝4；…；當(dāng)x＝a時，y1＝a，y2＝2a．他得出如果將函數(shù)y1＝x圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，就可以得到函數(shù)y2＝2x的圖象．類比小華的研究方法，解決下列問題：（1）如果函數(shù)y＝3x圖象上各點橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的函數(shù)圖象的表達式為y＝9x；（2）①將函數(shù)y＝x2圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y＝4x2的圖象；②將函數(shù)y＝x2圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到圖象的函數(shù)表達式為y＝x2．【分析】（1）設(shè)變換后直線解析式為y1＝kx，根據(jù)題意得出當(dāng)x＝1時，y1＝3×3＝9，代入求得k即可；（2）①求得x＝1時y＝x2＝1，y＝4x2＝4，即可得出答案；②設(shè)所得函數(shù)圖象的解析式為y2＝ax2，根據(jù)題意得出x＝2時，y2＝1，代入求得a的值即可．【解答】解：（1）設(shè)變換后直線解析式為y1＝kx，∵當(dāng)x＝1時，y＝3x＝3，∴y1＝3×3＝9，即k＝9，∴得到的函數(shù)圖象的表達式為y＝9x，故答案為：y＝9x；（2）①當(dāng)x＝1時，y＝x2＝1，y＝4x2＝4，∴縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y＝4x2的圖象，故答案為：4；②設(shè)所得函數(shù)圖象的解析式為y2＝ax2，由題意知當(dāng)x＝1時，y＝x2＝1，則x＝2時，y2＝1，即1＝4a，解得：a＝，即得到圖象的函數(shù)表達式為y＝x2，故答案為：y＝x2．【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平移變換，根據(jù)題意得出平移變換后對應(yīng)點的坐標是解題的關(guān)鍵．27．（7分）已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG＝DE；（2）如圖2，將正方形CEFG繞著點C旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得CG∥BD，BG＝BD，連接BE，求∠BED的度數(shù)．【分析】（1）先證∠BCG＝∠DCE，再證明△BCG≌△DCE，即可得出結(jié)論；（2）先證明∠BCG＝∠BCE，再證明△BCG≌△BCE，得出BG＝BE，證出△BDE為等邊三角形，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG為正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，即：∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）解：由（1）可知：BG＝DE．∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠GCD＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE為等邊三角形，∴∠BED＝60°．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．28．（7分）定義：如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，同時，拋物線C2的頂點在拋物線C1上，則稱拋物線C1與C2關(guān)聯(lián)．例如，如圖，拋物線y＝x2的頂點（0，0）在拋物線y＝﹣x2+2x上，拋物線y＝﹣x2+2x的頂點（1，1）也在拋物線y＝x2上，所以拋物線y＝x2與y＝﹣x2+