數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例及評(píng)析

1、數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例及評(píng)析第一節(jié)初中數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例及評(píng)析 課例1等腰三角形的判定師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，哪位同學(xué)來(lái)敘述一下？生1:等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角；等腰三 角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.師：很好下面有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1, ABC是等腰三角形，AB=AC不留心, 它的一部分被墨水涂沒(méi)了，只留下一條底邊BC和一個(gè)底角C。同學(xué)們想一想，有沒(méi)有辦法 把原來(lái)的等腰三角形ABC重新畫出來(lái)？大家試試看。學(xué)生先畫出殘余圖形，略作思索，然后獨(dú)立畫圖畫好后，學(xué)生間相互交流畫法教師在全班巡視，不時(shí)參加學(xué)生間的議論.最后由兩名學(xué)生口答畫圖的

2、方法生2：先用量角器量出 C的度數(shù)，然后以BC為一邊，B為頂點(diǎn)畫出 B=/C,- B和.C的一邊相交得到頂點(diǎn)A。如圖2左所示。生3:取BC邊上的中點(diǎn)D,用三角板過(guò)D作BC的垂線，與.C的一邊相交得到交點(diǎn)A連結(jié)AB如圖2右所示.師：很好！剛才我看了一下，同學(xué)們大都想出了上面兩種畫法第一種方法，用角相等的方法來(lái)畫.第二種方法用過(guò)一邊中點(diǎn)作垂線的方法來(lái)畫，同學(xué)們，你們認(rèn)為這樣畫出來(lái)的三角形都是等腰三角形嗎？生眾：是的.師：為什么是等腰三角形呢？這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容一一“等腰三角形的判定”，板書(shū)課題師：要判定剛才作出的三角形是等腰三角形，應(yīng)當(dāng)給出證明我們先分析第一種畫法，即在兩角相等條件下能否

3、判定畫出的是等腰三角形？大家想一想，在這里已知是什么？求證又是什么？生4:已知：在ABC中，.B = C，求證：AB=AC評(píng)第一種畫法正好可以得出這節(jié)課要學(xué)的判定定理，第二種畫法則是今后學(xué)習(xí)線段垂直平分線性質(zhì)的事實(shí)基礎(chǔ).據(jù)了解，當(dāng)時(shí)學(xué)生還有將殘余圖對(duì)折的第三種畫法，而這又是等腰三角形對(duì)稱性的體現(xiàn).理論源干生活，對(duì)于初學(xué)平面幾何的學(xué)生來(lái)說(shuō)，選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)讓他們從個(gè)體的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)，可以提高其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.在這里，等腰三角形的判定定理不是由教師給出，而是學(xué)生憑經(jīng)驗(yàn)畫圖，那么畫出的圖形究竟是不是等腰三角形呢？產(chǎn)生A了問(wèn)題，然后從問(wèn)題出發(fā)，得出判定定理.這樣做，學(xué)生改變了只是被動(dòng)接受的狀況，因此, 學(xué)

4、習(xí)的興趣和積極性大有提高。師：考慮一下，這個(gè)問(wèn)題怎樣來(lái)證明，已知告訴我們的是兩個(gè)角相等，要求證明的是 兩條線段相等。那么，要證明兩條線段相等，常用什么方法？生眾：三角形全等.師：圖上有嗎？生眾：沒(méi)有.師：那怎么辦？生眾：添輔助線.師：同學(xué)們動(dòng)手做一做，怎么添輔助線，又怎么證明？把主要證明過(guò)程寫下來(lái).學(xué)生練習(xí)，教師巡視了解情況待全班學(xué)生基本完成證明之后，教師要求學(xué)生相互議論：還有哪些不同的證明方法？全體同學(xué)對(duì)不同的證法很感興趣，接著，教師請(qǐng)學(xué)生敘述自己是怎么證明的生5:作.A的平分線AT,交BC于T,如圖3左所示，在.BAT和CAT中，.1-/2（角平分線定義）， ZB=ZC（已知），AT =A

5、T（公共邊），.IBAT二CAT（角角邊）AB二AC（全等三角性形對(duì)應(yīng)邊相等）.師；這位同學(xué)添了. A的平分線，通過(guò)“角角邊”來(lái)證明三角形全等，從而得到ABAC。還有其他方法嗎？生6:過(guò)A點(diǎn)作AD _ BC，垂足為D。如圖3中所示.：AD _ BC，ABD =/ADC.在ADB禾r ADC中，ABD二ADC，:B C，AD =AD,ADB二ADCAB = AC師：這位同學(xué)作了BC邊上的高AD兩個(gè)直角三角形全等，還有其它方法嗎？生7：作BC邊上的中線AM如圖3右所示，用“邊角邊”證全等. AM是BC邊上的中線，.BM=CM在.：AMB和.AMC中BM =CM,AM =AM,NB =NC,嗯.這名

6、同學(xué)發(fā)現(xiàn)不對(duì)，停頓不講了，不少同學(xué)也紛紛指出他的錯(cuò)誤，這是“邊邊角”不能證明三角形全等評(píng)想出如此多樣的證明方法，可見(jiàn)興趣的力量是不可低估的.“知之者，不如好之者；好之者，不如樂(lè)之者”，由“好”和“樂(lè)”所產(chǎn)生的迫切追求和探索知識(shí)的熱情是克服一切困難的 內(nèi)部動(dòng)力師：經(jīng)過(guò)證明我們知道， 剛才大家通過(guò)畫圖獲得的那個(gè)幾何命題是正確的，它可以作為“等腰三角形的判定定理”，同學(xué)們能不能用語(yǔ)言來(lái)正確敘述一下這條判定定理？生&有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形.教師板書(shū)師：大家有不同意見(jiàn)嗎？在沒(méi)有說(shuō)明它是等腰三角形之前，能不能講“底角”？生眾：不能！圖3右教師擦去“底”字，定理變?yōu)椤坝袃蓚€(gè)角相等的三角形

7、是等腰三角形”，然后，教師要求學(xué) 生翻開(kāi)課本，集體朗讀課本上的判定定理： “如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等， 那么這兩個(gè)角所 對(duì)的邊也相等.”師：課本上講的和同學(xué)們講的似乎有些不同，但實(shí)質(zhì)上是一致的.同學(xué)們講的等腰三角形沒(méi)講明是哪兩條邊相等， 課本上講清楚了，是相等的角所對(duì)的邊相等， 所以這條判定定理 又簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”.此外，能不能判定第二種畫法畫出的三角形也是等腰三角形呢？這個(gè)問(wèn)題留給大家課后去考慮.有了這條判定定理，今后我們證明線段相等，又多了一種方法： 在一個(gè)三角形中，如果角相等了，就可以得到所對(duì)的邊也相等.下面我們一起應(yīng)用這條定理來(lái)研究一些題目：先看第一個(gè)題目：求證：如果三角形一個(gè)外角

8、的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.想一想，題設(shè)是什么？結(jié)論又是什么？如何寫成已知、求證的形式？生9：題設(shè)是“三角形的一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊”，結(jié)論是“這個(gè)三角形是等腰三角形”.圖4左圖4右?guī)煟航Y(jié)合圖4左，具體說(shuō)一下.生9：已知：1/2, AE/BC求證：ABAC.師：這個(gè)題目要求證明一個(gè)三角形中的兩條邊相等，應(yīng)該怎樣證?生眾：只要證兩個(gè)角相等.師：題目已知是1-2，能不能使已知的兩個(gè)角相等和要證明的兩個(gè)角相等建立聯(lián) 系?思考一下請(qǐng)同學(xué)們回答.不少學(xué)生舉手要求回答，此時(shí)教師指定一名學(xué)生口述生10: ；AE/ BC（已知），.1B（兩直線平行， 同位角相等），.2

9、= C（兩直 線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等）； ；.1=/2,（已知），.B=/C （等量代換），.ABAQ等角對(duì)等 邊）教師隨學(xué)生口述板書(shū)師：很好。本題要求證 也ABC的兩邊AB=AC其實(shí)只要證明NB=NC，由已知的角平 分線性質(zhì)就容易證出。接下來(lái)，我們研究第二個(gè)題目：如圖4右，厶ABC中，.B=/C,BD=CE求證.1=/2,。這個(gè)題目是證明兩個(gè)角相等，看清.1和.2在圖中的位置。請(qǐng)同學(xué)們畫畫、想想，如何充分利用已知條件。學(xué)生在圖上比劃，簡(jiǎn)要地記下證明的思路師：就做到這里，請(qǐng)哪位同學(xué)把你思考的主要過(guò)程講一講？生11:要證明N 1=N2,就必須先證明ADAE要得到ADAE我是通過(guò)三角形全等 的方法來(lái)

10、解決的。師：哪兩個(gè)三角形？生11:. ：ABD和.：ACE師：你用什么方法證它們?nèi)?？?1：我是用“邊角邊”的方法。AB=AQ B=/C,BD=CE師：條件中沒(méi)有AB=AC?。∩?1:這在ABC中由.B = C可得。師：這位同學(xué)根據(jù)已知條件B = C,利用剛才學(xué)到的判定定理 “等角對(duì)等邊”得出 了ABAC,再結(jié)合已知條件BD=CE -B- C，用這三條件推出了UABD和厶ACE全等，于 是AD= AE最后在：ADE中利用等腰三角形的性質(zhì)定理“等邊對(duì)等角”得出 1-2。教師邊講邊板書(shū)下列思路方法一B C二AB二ACBD =CE、NB =C jn也ABDn AD = AE n 1=2.AB =

11、AC師：還有沒(méi)有不同的方法?生12：要證，可以用等角的補(bǔ)角來(lái)證，就是先證.ADB二/AEC師：.ADB二.AEC是怎么得來(lái)的？生12：是用三角形全等，就是CABD二ACE得出的。師：這位同學(xué)的思路是：教師板書(shū)方法二=ABD三.；ACE=.ADB = - AEC=.1 = . 2。師：還有其他方法嗎？生13:用全等三角形的對(duì)應(yīng)角來(lái)證。師：哪兩個(gè)三角形全等？生13：. AEBffi.ADC。師：這兩個(gè)三角形為什么全等？生13:因?yàn)锽D=CE所以B&DE=CE+ED就是BE=CD加上N B=NC，ABAC所以三角形全等。師：對(duì)，很好！這位同學(xué)先由等式性質(zhì)得出BE=CD然后根據(jù)B = . C，

12、結(jié)合今天學(xué)習(xí)的等腰三角形的判定定理得ABAC最后利用“邊角邊”得 心ABE與AACD全等，馬上得 出對(duì)應(yīng)角相等。板書(shū)方法三（略）師：很好！這道題同學(xué)們想出了很多方法，第一種方法：把.1和.2理解為同一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角，用“等邊對(duì)等角”的思路結(jié)合三角形全等得到。第二種方法：通過(guò)等角的補(bǔ)角來(lái)證，也是結(jié)合三角形全等得到。第三種方法：是把 1和.2直接看作兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角證出想出的方法多，說(shuō)明同學(xué)們能夠從不同的途徑去考慮問(wèn)題。評(píng)這兩道基本例題編排得很好。第一道題比較容易做，是等腰三角形判定定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。它安排在練習(xí)的開(kāi)頭，讓所有學(xué)生都能順利完成，由淺入深是必要的。第二道題則進(jìn)了一層，證明時(shí)既

13、要應(yīng)用判定定理，又要應(yīng)用性質(zhì)定理，繞了個(gè)彎，而且可有幾條證明途徑，這可以了解學(xué)生靈活運(yùn)用以往學(xué)過(guò)知識(shí)的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，配置合適的習(xí)題，并且有效地利用它們，對(duì)于學(xué)生在課堂上獨(dú)立地、 積極地進(jìn)行認(rèn)識(shí)活動(dòng)具有重要作用，值得引起注意。師：下面我們一起來(lái)研究第三個(gè)題目 如圖5左所示，在厶ABC中,已知.ABC = . ACB,BO平分.B，CO平分.C，請(qǐng)同學(xué)們想想看，在這張圖上，由這兩個(gè)已知條件，你能導(dǎo)出 什么結(jié)論？生14：可以得出.OBC=/OCB。師：能不能從道理上說(shuō)明一下？生14：因?yàn)?B = C，B0平分.B，CO平分.C，根據(jù)等量的一半相等，可以得到NOBC =NOCB。另外還可以得到O

14、B=OC理由是“等角對(duì)等邊”。師：好！現(xiàn)在把這個(gè)題目變化一下，大家看清楚，就在這張圖上，過(guò)0作一條直線EF和邊BC平行，與AB交于E,與AC交于F，如圖5右所示。請(qǐng)同學(xué)們考慮兩個(gè)問(wèn)題： 仔細(xì)尋找一下，這張圖中有幾個(gè)等腰三角形？為什么？添上 去的這條線段EF和圖中的線段EB FC之間有沒(méi)有關(guān)系？如果有，是怎樣一種關(guān)系？學(xué)生思考一兩分鐘后，教師要求他們相互討論，頓時(shí)氣氛熱烈。有些學(xué)生認(rèn)為有兩個(gè)或三個(gè)等腰三角形，另一些學(xué)生則認(rèn)為共有五個(gè)等腰三角形，還高興地把自己的理由說(shuō)給其 他同學(xué)聽(tīng)。在討論線段EF時(shí)，不同意見(jiàn)更多了。有的說(shuō)0是線段EF的中點(diǎn)，因此EF是EB或FC的兩倍，還有的說(shuō)EF等于EB、FC的

15、和.教師在各個(gè)討論組之間巡視，并參加一些小組討論師：好！討論到這里，請(qǐng)同學(xué)們發(fā)表意見(jiàn)。 先回答第一個(gè)問(wèn)題：圖中有幾個(gè)等腰三角形？生15：有五個(gè)。師：哪五個(gè)？生15:ABC也OBC也AEFEOB A FOC回答略師：很好！大多數(shù)同學(xué)都看出有五個(gè)等腰三角形。第二個(gè)問(wèn)題：添上去的線段EF和EBFC之間有沒(méi)有關(guān)系？如果有，是怎樣一種關(guān)系？圖5右生16:有關(guān)系，EO FO EB FC這四條線段都相等。師：講講理由看。生16：因?yàn)檑藺BC是等腰三角形，所以。AB：AC;因?yàn)檑藺EF是等腰三角形，所以AE=AF。 利用等式性質(zhì)就可以得到EB=FC又因?yàn)?：ECB和厶FOC都是等腰三角形，所以EB=EQFC=

16、FO這樣EQ FQ EB FC四條線段就都相等了。師：大家聽(tīng)懂沒(méi)有？這位同學(xué)用了四個(gè)等腰三角形，也就是通過(guò)四組對(duì)邊相等并結(jié)合等式性質(zhì)推得結(jié)論。還有其他的方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們回去思考。根據(jù)這四條線段相等，EF和EBFC的關(guān)系是怎樣的？噢！他還沒(méi)有講完生16：EF是EB或FC的2倍。師：很好。四條線段相等了，EF就是EB或FC的2倍。生16:還有，EF=EBFG師：對(duì)！還可以得到EF=EBFFC我們把這個(gè)題目再改變一下， 原來(lái).B、. C是相等的， 現(xiàn)在變成不相等，但是，BQ CQ還是.B、 C的平分線，還是EF/BG認(rèn)真想一想，這 個(gè)圖形中還有沒(méi)有等腰三角形？若有，又有幾個(gè)？EF和EB FC之間還有

17、沒(méi)有關(guān)系？如果有， 又是怎樣一種關(guān)系？生17：沒(méi)有等腰三角形。師：他認(rèn)為這圖上沒(méi)有了，同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下，究竟有沒(méi)有？生眾：有的。師：有哪幾個(gè)？生18:. EOB和厶FQC師：理由？生18:因?yàn)閮芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得到Z EOBZ OBC因?yàn)锽O是角平分線，所以ZEBZ OBC所以N EOB= EBOEBC是等腰三角形。 也FO（也是等腰三角形的道理是 一樣的。師：噢！還有等腰三角形，不過(guò)由五個(gè)變成了兩個(gè)。第二個(gè)問(wèn)題，線段EF和EB FC之間還有沒(méi)有關(guān)系？生19:仍有EF=EBFFC這個(gè)關(guān)系。師：對(duì)，仍有這一種關(guān)系，在等腰三角形也EOB中，EO=EB在等腰三角形 也FOC中，F(xiàn)O=FC,

18、合起來(lái)就是EF=EBFFC這個(gè)題目，從原來(lái)兩個(gè)角相等，變成了不等，但是角平分線和平行線這兩個(gè)條件沒(méi)有改變。AEOB AFOC還是等腰三角形，所以還是保持著EF=EBbFC的關(guān)系。評(píng)這道討論題比前面兩道題目要求更高一些。第一，它要求學(xué)生能根據(jù)已知條件自行推測(cè)可能的結(jié)論。第二，通過(guò)圖形的變化、引申，讓學(xué)生在條件變化時(shí)觀察論證結(jié)論的變 化。這些做法，可逐步培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、靈活轉(zhuǎn)換的基本能力，發(fā)展學(xué)生的思維，提高課 堂教學(xué)的時(shí)間利用率。 課后，我們?cè)圆煌愋偷念}目進(jìn)行當(dāng)堂效果測(cè)驗(yàn)，平均分為89.51，可見(jiàn)適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)，是使學(xué)生熟練掌握解題技能技巧的有效措施之一。師：今天這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么呢？第

19、一，我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的判定定理：“等角對(duì)等邊”。它與前面我們學(xué)過(guò)的等腰三角形的性質(zhì)定理：“等邊對(duì)等角”，都是說(shuō)同一個(gè)三角形邊角之間的一種相依關(guān)系，即在一個(gè)三角形中，邊等可以得到角等，角等可以得到邊等。今 天初步應(yīng)用判定定理研究了一些題目。第二，這個(gè)判定定，理是同學(xué)們通過(guò)畫圖、估計(jì)，然 后加以證明，由自己得出來(lái)的，在證明定理和應(yīng)用定理時(shí)，同學(xué)們都注意從幾種途徑來(lái)思考，得到了很多解法。在第三個(gè)練習(xí)中，同學(xué)們不僅能夠根據(jù)已知條件自行推測(cè)可能的結(jié)論，而且能在已知條件發(fā)生變化時(shí)，觀察結(jié)論的變化，這些都是訓(xùn)練我們思維能力的有效方法。請(qǐng)同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)作業(yè)中也要多進(jìn)行這種嘗試。今天的課外作業(yè)：課本第83頁(yè)，

20、習(xí)題八3，7A組的2、3、4、5、6題。還有剛才講的 思考題：第二種畫法得到的是不是等腰三角形？為什么？思考題不必做在作業(yè)本上，評(píng)該課例是上海市青浦縣一位數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)實(shí)例，曾獲得上海市青年教師教學(xué)比賽大獎(jiǎng)，是上海市青浦縣“顧冷沅教改實(shí)驗(yàn)小組”總結(jié)出的一種新型數(shù)學(xué)教學(xué)方法“嘗試指導(dǎo)，效果回授法”。這種方法有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)精神， 發(fā)展能力。青浦縣在以此種教學(xué)方法改革為樞紐的教改實(shí)驗(yàn)中，已取得了實(shí)踐與理論認(rèn)識(shí)升華的雙豐收。他們?cè)谌h范圍內(nèi)大面積提高了初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。編者注2這種方法的程序是：誘導(dǎo)一一嘗試一一變式一一歸納一一回授一一調(diào)節(jié)。具體做法是：(1)啟發(fā)誘導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)

21、問(wèn)題情境教師根據(jù)教材的重點(diǎn)和難點(diǎn)，編制問(wèn)題，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，在強(qiáng)烈的求知欲望下， 在注意力高度集中、思想最活躍的狀態(tài)中進(jìn)行嘗試學(xué)習(xí)。(2)嘗試探求知識(shí) 教師指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展嘗試活動(dòng)。學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、歸納和推演等方法， 嘗試探求新知識(shí)和新方法，解決提出的問(wèn)題。(3)嘗試變式練習(xí)通過(guò)變更概念中的非本質(zhì)特征， 變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論； 變換問(wèn)題的形式或內(nèi)容； 配 置與新知識(shí)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，讓學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、靈活應(yīng)變、獨(dú)立 思考的能力。(4)歸納結(jié)論，納入知識(shí)系統(tǒng)組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納概括知識(shí)和技能的一般結(jié)論， 結(jié)合必要的講解， 揭示這些結(jié)論在教 材整體中的相互關(guān)系和

22、結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一性， 揭示新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系， 完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)。(5)回授嘗試效果，組織質(zhì)疑和講解 教師通過(guò)觀察、交談、提問(wèn)、分析、課內(nèi)巡視、課堂練習(xí)和考查考試等反饋方法，及時(shí) 了解學(xué)生掌握知識(shí)情況，回授嘗試效果，有針對(duì)性地進(jìn)行質(zhì)疑和講解。(6)單元教學(xué)效果的回授和調(diào)節(jié)。在單元學(xué)完之后， 再次進(jìn)行教學(xué)反饋， 給那些對(duì)這段內(nèi)容學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生， 予以個(gè)別 指導(dǎo)和幫助。上述幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)相輔相成， 組成了一個(gè)有特色的教學(xué)結(jié)構(gòu)， 而反饋調(diào)節(jié)更是貫穿課堂 教學(xué)始終。有人為此指出，這種教學(xué)方法還是一種基本教學(xué)模式。需要指出的是，這種教學(xué) 方法當(dāng)然需要借鑒，但是蘊(yùn)含在教學(xué)方法中的原理，如情意原理、序進(jìn)原理

23、、活動(dòng)原理和反 饋原理更是需要認(rèn)真學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)的。本節(jié)課除了具有前面已經(jīng)評(píng)述過(guò)的創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣以及組織嘗試練習(xí)等 特點(diǎn)外，還采用了講、議、練結(jié)合的方法。教師通過(guò)觀察、提問(wèn)、巡視、談話等活動(dòng)，及時(shí) 了解學(xué)生的學(xué)習(xí)、練習(xí)過(guò)程，隨時(shí)反饋調(diào)節(jié)教法，盡量做到個(gè)別輔導(dǎo)，把學(xué)生的思維發(fā)展與 學(xué)習(xí)效果結(jié)合起來(lái)。課例2三角形全等的判定教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)際操作理解 “學(xué)習(xí)三角形全等的四種判定方法 ”的必要性.2.比較熟練地掌握應(yīng)用邊角邊公理時(shí)尋找非已知條件的方法和證明的分析法，初步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力3.初步掌握利用三角形全等來(lái)證明線段相等或角相等或直線的平行、垂直關(guān)系等”的方法.4.掌握證明三角形全

24、等問(wèn)題的規(guī)范書(shū)寫格式.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)應(yīng)用三角形的邊角邊公理證明問(wèn)題的分析方法和書(shū)寫格式教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、實(shí)例演示，發(fā)現(xiàn)公理1.教師出示幾對(duì)三角形模板，讓學(xué)生觀察有幾對(duì)全等三角形，并根據(jù)所學(xué)過(guò)的全等三 角形的知識(shí)動(dòng)手操作，加以驗(yàn)證，同時(shí)寫出全等三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式2.在此過(guò)程中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生注意以下幾點(diǎn)：(1)可用移動(dòng)三角形使其重合的方法驗(yàn)證圖3-49中的三對(duì)三角形分別全等，并根據(jù)圖中已知的三對(duì)對(duì)應(yīng)元素分別相等的條件，可以證明結(jié)論成立.如圖3-49(c)中，由AB=AC=3cm,可將ABC繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)到B與C重合；由于/BAD/CAE=120，保證AD能與AE重合；由AD=AE=5cm可得到D與E重合.因此

25、BAD可與厶CAE重合，說(shuō)明BADACAE.(b)圖3-49(2)每次判斷全等，若都根據(jù)定義檢查是否重合是不便操作的，需要尋找更實(shí)用的判斷方 法一一用全等三角形的性質(zhì)來(lái)判定.（3）由以上過(guò)程可以說(shuō)明，判定兩個(gè)三角形全等，不必判斷三條邊、三個(gè)角共六對(duì)對(duì)應(yīng)元 素均相等，而是可以簡(jiǎn)化到特定的三個(gè)條件，引導(dǎo)學(xué)生歸納出：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.3.畫圖加以鞏固.教師照課本上所敘述的過(guò)程帶領(lǐng)學(xué)生分析畫圖步驟并畫出圖形，理解“已知兩邊及夾角畫三角形”的方法，并加深對(duì)結(jié)論的印象二、提出公理1.板書(shū)邊角邊公理，指出它可簡(jiǎn)記為“邊角邊”或“SAS,說(shuō)明記號(hào)“SAS的含義.2.強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：（1

26、）使用條件：三角形的兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等.（2）使用時(shí)記號(hào)“SAS和條件都按邊、夾角、邊的順序排列，并將對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母順 序?qū)懺趯?duì)應(yīng)位置上.3板書(shū)定理證明應(yīng)使用標(biāo)準(zhǔn)圖形、文字及數(shù)學(xué)表達(dá)式，正確書(shū)寫證明過(guò)程.如圖3-50，在ABC與AB C中,（指明范圍）AB = AB（已釦）:丁=廠（列齊條件）AC二已知）丿- AABCAA C （SAS） + （褂出結(jié)論三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)i充分發(fā)揮一道例題的作用，將條件、結(jié)論加以變化，進(jìn)行變式練習(xí)，例1已知：如圖3-51,AB=CB/ABD=ZCBD求證：ABDACBD分析：將已知條件與邊角邊公理對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，只需再有一組對(duì)應(yīng)邊相等即可，這可由公共邊相

27、等BD=BD得到.說(shuō)明：（1）證明全等缺條件時(shí)，從圖形本身挖掘隱含條件，如公共邊相等、公共角相等、對(duì)頂角相等，等等.（2）學(xué)習(xí)從結(jié)論出發(fā)分析證明思路的方法（分析法）分析：ABDACBD2ABCB （已知）ZABD-ZCBD （已知） 未知因此只能在兩個(gè)等角分別所在的三角形中尋找與AB, CB夾兩已知角的公共邊BD.（3）可將此題做條種變式練習(xí)：練習(xí)1（改變結(jié)論）如圖3-51，已知AB=CB/ABD=ZCBD求證：AD=CD BD平分/ADC.分析：在證畢全等的基礎(chǔ)上，可繼續(xù)利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，即AD=CD對(duì)應(yīng)角相等/ADB=/ CDB即BD平分/ADC.因此，通過(guò)證明兩三角形全

28、等可證明兩個(gè)三角形中 的線段相等或和角相關(guān)的結(jié)論，如兩直線平行、垂直、角平分線等等練習(xí)2（改變條件）如圖351,已知BD平分/ABC AB=CB.求證：/A=ZC.分析：能直接使用的證明三角形全等的條件只有AB= CB所缺的其余條件分別由公共邊相等、角平分線的定義得出.這樣，在證明三角形全等之前需做一些準(zhǔn)備工作.教師板書(shū) 完整證明過(guò)程如下:ffi 3-51在下一課時(shí)中，可在圖中連結(jié)EA及BF,進(jìn)一步統(tǒng)習(xí)證明兩次全等.；BD平分ZABCJ已知)二ZABD-ZCBD. (角平分既的定義(唯備條件在/!?)與ACBD中，(指明范圍AB = CB,(已知)Z ABP = ZCBD,(已證)a(列齊條件

29、)iBO= ED(公共邊)JABD也CBD* (SAS)(埒出蛀論、.,G =等三角形的對(duì)應(yīng)角相敘X 尋出“)以上四步是證明兩三角形全等的基本證明格式.(4) 將題目中的圖形加以有規(guī)律地圖形變換，可得到相關(guān)的一組變式練習(xí)，使剛才的 解題思路得以充分地實(shí)施，并加強(qiáng)例題、習(xí)題之間的有機(jī)聯(lián)系，熟悉常見(jiàn)圖形，同時(shí)讓學(xué)生 總結(jié)常用的尋找所缺邊、缺角條件的方法.練習(xí)3如圖3-52(c),已知AB=AE, AD=AF,/1=/2.求證：DB=FE.分析：關(guān)鍵由/1=72，利用等量公理證出/BAD=ZEAF.練習(xí)4如圖3-52(d)，已知A為BC中點(diǎn)，AE/BD,AE=BD.求證：AD/CE.分析：由中點(diǎn)定義

30、得出AB=AC;由AE/BD及平行線性質(zhì)得出/ABD7CAE練習(xí)5已知：如圖3-52(e) ,AE/BD,AE=DB求證：AB/DE.分析：由AE/BD及平行線性質(zhì)得出/ADB7DAE由公共邊AD=DA及已知證明全等.練習(xí)6已知：如圖3-52(f),AE/BD,AE=DB.求證：AB/DE,AB=DE分析：通過(guò)添加輔助線一一連結(jié)AD構(gòu)造兩個(gè)三角形去證明全等.練習(xí)7已知：如圖3-52(g),BA=EF,DF=CA,7EFD=7CAB求證：7B=7E.分析：由DF=CA及等量公理得出DA= CF;由/EFD=7CAB及“等角的補(bǔ)角相等”得出7BAD=7EFC.練習(xí)8已知：如圖3-52(h),BE和

31、CD交于A,且A為BE中點(diǎn)，EC丄CD于C,BD丄CD于D,CE=丄BD.求證：AC=AD.分析：由于目前只有邊角邊公理，因此，必須將角的隱含條件一一對(duì)頂角相等轉(zhuǎn)化為已知兩邊的夾角7B=7E,這點(diǎn)利用“等角的余角相等”可以實(shí)現(xiàn).練習(xí)9已知如圖352(i)，點(diǎn)C,F,A,D在同一直線上，AC=FD, CE=DB, EC丄CD, BD丄CD垂足分別為C和D.求證：EF/AB.小結(jié)：在以上例1及它的九種變式練習(xí)中， 可讓學(xué)生歸納概括出目前常用的證明三角形 全等時(shí)尋找非已知條件的途徑.缺邊時(shí)：圖中隱含公共邊；中點(diǎn)概念；等量公理其它.缺角時(shí)：圖中隱含公共角；圖中隱含對(duì)頂角；三角形內(nèi)角和及推論角平分線定義

32、；平行線的性質(zhì)；同（等）角的補(bǔ)（余）角相等；等量公理；其它.例2已知：如圖3-53,4ABE和ACD均為等邊三角形求證：BD=EC分析：先選擇BD和EC所在的兩個(gè)三角形ABD與AEC已知沒(méi)有提供任一證兩個(gè)三角形全等所需的直接條件，均需由等邊三角形的定義提供.潛E4方向?qū)⒄貱D蜒將雄轉(zhuǎn)平平移到1如團(tuán)徨覽轉(zhuǎn)到4AEF1化為直負(fù)直負(fù).ACEF堆填平樓到魯F與用歪合將眈 Q 沿迥Pfif折到與ZVIED直臺(tái)移到如I.)將將AADE沿AD撩去AD邊D練習(xí)舟B -（練習(xí)70竦習(xí)9A（h）練習(xí)&圖3-52四、 師生共同歸納小結(jié)1證明兩三角形全等的條件可由定義的六條件減弱到至少幾個(gè)？邊角邊公理是哪三個(gè)

33、條件？2在遇到證明兩三角形全等或用全等證明線段、角的大小關(guān)系時(shí)，最典型的分析問(wèn)題的思路是怎樣的？你體會(huì)這樣做有些什么優(yōu)點(diǎn)？3.遇到證明兩個(gè)三角形全等而邊、角的直接條件不夠時(shí)，可從哪些角度入手尋找非已知條件？五、 練習(xí)與作業(yè)練習(xí)：課本第28頁(yè)中第1題，第30頁(yè)中1,3題.作業(yè)：課本第32頁(yè)中第6,7,8,9,10題.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成.1課本第3.5節(jié)內(nèi)容安排3課時(shí)，前兩課時(shí)學(xué)習(xí)三角形全等的邊角邊公理，重點(diǎn)練習(xí)直接應(yīng)用公理及證明格式， 初步學(xué)習(xí)尋找證明全等所需的非已知條件的方法，以及利用性質(zhì)證明邊角的數(shù)量關(guān)系及直線的位置關(guān)系，第3課時(shí)加以鞏固并學(xué)習(xí)解決應(yīng)用題和兩次全等的問(wèn)題2

34、本節(jié)將“理解全等三角形的判定方法的必要性“列為教學(xué)目標(biāo)之一，目的是引起教師和學(xué)生的重視，只有學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到了研究判定方法的必要性，才能從思想上接受判定方法，并發(fā)揮出他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性3本節(jié)課將“分析法和尋找證明全等三角形時(shí)非已知條件的方法”作為教學(xué)目標(biāo)之一，意在給學(xué)生歸納一些常用的解題思路，以便將它作為證明全等三角形的一種技能加以強(qiáng)化4教材中將“利用證明兩個(gè)三角形全等來(lái)證明線段或角相等”的方法做為例5出現(xiàn)，為時(shí)過(guò)晚，達(dá)不到訓(xùn)練的目的，因此教師應(yīng)提前到第一、二課時(shí)，就教給學(xué)生分析的方法，并從 各種角度加以訓(xùn)練5教師可將例題1和幾種變式練習(xí)制成投作影片（圖3-52）提高課堂教學(xué)效率教學(xué)使用時(shí)，重點(diǎn)放

35、在題目的分析上，并體現(xiàn)出題目之間圖形的變化和內(nèi)在聯(lián)系6本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的兩課時(shí)既教會(huì)學(xué)生分析全等問(wèn)題的思路一一分析法和尋找非已知條件的方法，又要求他們落實(shí)證明的規(guī)范步驟一一準(zhǔn)備條件，指明范圍，列齊條件和得出結(jié)論，使 學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會(huì)快速分析，又會(huì)正確表達(dá).學(xué)生學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會(huì)快速分析，又會(huì)正確表達(dá)。資源選自http:/課例3初二平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用習(xí)題課教學(xué)目標(biāo)1、綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定來(lái)解決幾何問(wèn)題2、培養(yǎng)學(xué)生分析幾何問(wèn)題的方法教學(xué)重難點(diǎn)讓學(xué)生學(xué)會(huì)證明和根據(jù)需要來(lái)構(gòu)造平行四邊形教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)1、平行四邊形的性質(zhì)和判定2、理解學(xué)習(xí)了平行四邊形后，證

36、明全等和利用平行四邊形的關(guān)系二、例題講解例1、 ABC中，延長(zhǎng)中線CE至G,使EG=CE延長(zhǎng)中線BD至F,使DF=BD求證：G A、F三點(diǎn)共線。證明思路：1、證明四邊形GBCA為平行四邊形BC/ GA2、證明四邊形ABCF為平行四邊形BC/ AF因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)A作BC的平行線只有一條GA與AF為同一條直線即G A、F為三點(diǎn)共線注通過(guò)證明平行于同一條直線來(lái)證明三點(diǎn)共線例2、ABCD中，AE!BD于E,CF丄BD于F,G H分別為AD BC的中點(diǎn)，求證：EF和GH互相平分。證明： AE! BD G是AD中點(diǎn)GE=GD= ADiZGEDMGDE同理H

37、F=HB= BCMZHFB2HBF四邊形ABCD是平行四邊形 AD/ BC/ GDEMHBF GE=HF且/GEDMHFBGE/ HF四邊形GEHF為平行四邊形EF和GH互相平分注結(jié)合直角三角形的性質(zhì)來(lái)構(gòu)造平行四邊形的條件，從而證明對(duì)角線互相平分例3、已知ABC中，AB=AC D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且BE=CD求證：DE被BC平分。證明：作EP/ AD交BC于P,連結(jié)EP EC PD/ EPB2ACB又AB=AC/ B=Z ACB/ B=Z EPBEB=EP=CDEP/CD，四邊形PDCE是平行四邊形DE被BC平分注構(gòu)造平行四邊形，從而證明線段平分例4、如圖，已知RtABC中，

38、ACB=90,CDLAB垂足為D, AE平分CAB交CD于F,過(guò)F作FH/ AB交BC于Ho求證：CE=BH證明：過(guò)F作FP/ BC交AB于P四邊形BPFH是平行四邊形PF=BH又/CEF=90 -/CAE/CFE2AFD=90  -/DAE AE平分/CAD/ CEF2CFECF=CE在人。卩人。卩和厶APF中，/CAF2PAF,AF=AF, /ACF2B=ZAPF,ACFAAPF(AASCF=FPCE=BH注通過(guò)利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等 從而證明兩線段相等例5、如圖，已知ABC以BC為邊在點(diǎn)

39、A的同側(cè)作正DBC以AC AB為邊在ABC的外 部作正EAC和正厶FAB求證：四邊形AEDF是平行四邊形。證明:/ABF為正三角形 AB=FB/1+Z2=60同理,AE=AC,BC=BD/ 1+Z2=60仁/3在厶BDF和BCA中， BDFABCA (SAS)FD=AC又TAE=AC.FD=AE同理，AF=ED四邊形AEDF是平行四邊形注通過(guò)證明全等來(lái)構(gòu)造平行四邊形的條件三、課堂總結(jié)這節(jié)課通過(guò)上述幾個(gè)例題的講解，加強(qiáng)了同學(xué)們對(duì)平行四邊形的理解和運(yùn)用的能力。四、 課后練習(xí) 另補(bǔ)充(作者：湯麗娟)課例4用換元法解可化為一元二次方程的分式方程課時(shí)安排：1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生學(xué)會(huì)用換元法解可

40、化為一元二次方程的分式方程 德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的辨正唯物主義觀點(diǎn)，引導(dǎo)他們辨正的看待問(wèn)題 能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力 教學(xué)重點(diǎn)：用換元法解可化為一元二次方程的分式方程 教學(xué)難點(diǎn)：使用換元法，即設(shè)元與換元教學(xué)內(nèi)容簡(jiǎn)介：本節(jié)課內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)用去分母法解可化為一元二次方程的分式方程的基礎(chǔ)上 學(xué)習(xí)的。用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)解的分式方程的特點(diǎn)： 主要是方程所含有的兩個(gè)分 式互為倒數(shù)，且分式的分子，分母一般為未知數(shù)次數(shù)不大于2的整式。用換元法不是解分式 方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。 它的基本思想是用換元法把原方程化簡(jiǎn)，把解一個(gè)較復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為

41、較簡(jiǎn)單的方程的問(wèn)題。教學(xué)方法：本節(jié)課米用啟發(fā)式教學(xué)教學(xué)過(guò)程：分為兩部分1.復(fù)習(xí)提問(wèn)解分式方程的基本思想式什么?解分式方程為什么必須驗(yàn)根?2.講授新課我們知道，解分式方程的一般方法是去分母法，但對(duì)一些特殊的分式方程， 仍然用去分 母法來(lái)解，難度較大，運(yùn)算過(guò)程較復(fù)雜。b 請(qǐng)大家考慮：上與上（a工0,b工0）有什么關(guān)系？（學(xué)生回答：這兩個(gè)分式的乘積等于1,a b所以b與a是互為倒數(shù)關(guān)系）。接著追問(wèn)：如果設(shè) -=y,那么a等于什么？（學(xué)生回答:ab系。我們共同分析下面的分式方程。22(x1)6(x1)例1解萬(wàn)程27x +1 x+1分析：（1）如果用去分母法解這個(gè)分式方程，兩邊要同乘以（x 1）（x21

42、）得到一個(gè)難解的四次方程，因此要尋求簡(jiǎn)捷的解法.（2）我們觀察分式方程中的兩個(gè)分式有什么特點(diǎn)？抓住方程形式上的特點(diǎn):a 11-=-）,又追問(wèn)：y與一有什么關(guān)系？因?yàn)閎 yy11y與-之積等于1，所以y與-是互為倒數(shù)關(guān)yy方程中含有未知數(shù)的兩部分的式子X(jué)21互為倒數(shù)。（3）由于具有上述的倒數(shù)關(guān)系，因此如果設(shè)xLj.yX 111（可以啟發(fā)y學(xué)生回答）又可化為一元二次方程2y2_7y ,6=0邊啟發(fā)學(xué)生口述解的過(guò)程邊板書(shū)，然后總結(jié)解這類題的步驟。例2解方程（）2 5（） 6 = 0 x+1X+1分析：?jiǎn)l(fā)學(xué)生觀察、分析這個(gè)分式方程，抓住方程形式上的特點(diǎn)：方程中含有未知數(shù)的兩部分的式子（一）2與（一匚

43、），每式括號(hào)內(nèi)的分式都相同，一個(gè)式子是另一個(gè)式子的平x+1X+1方。由于具有這兩條特點(diǎn)，原方程可用換元法來(lái)解。解以上例題時(shí)邊啟發(fā)學(xué)生口述解的過(guò)程邊板書(shū)，然后由學(xué)生總結(jié)解這類題的步驟。用換元法解分式方程的一般步驟：（1）以觀察、分析方程的特點(diǎn)，尋求換元和簡(jiǎn)捷途徑；（2）設(shè)輔助未知數(shù)；（3）用含有輔助未知數(shù)的代數(shù)式表示原方程中另外的代數(shù)式，把原方程化為含輔助未知數(shù)的新方程；（4）解關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；（5）把輔助未知數(shù)的值代入原設(shè)，求出原方程未知數(shù)的值；（6）驗(yàn)根，并做答。練習(xí)：課后習(xí)題（118頁(yè)第2題），在學(xué)生解題時(shí)常在未知數(shù)系數(shù)處出現(xiàn)問(wèn)題，在此特給予糾正并做說(shuō)明。作業(yè)：

44、課后習(xí)題（119頁(yè)第3題）小結(jié)：（1）解分式方程有兩種方法：去分母法，換元法（2）用換元法解分式方程換元法適合解分式方程的特點(diǎn)：a.倒數(shù)型b.平方型解分式方程時(shí)，要善于分析，判斷方程屬于那種類型，然后解方程。（3）無(wú)論那種方法解分式方程都要驗(yàn)根。（紅橋區(qū)八十中學(xué)，孫文君）第二節(jié)高中數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例及評(píng)析 課例3復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡習(xí)題課所以原方程化簡(jiǎn)為2y - =7y教學(xué)目的通過(guò)復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡習(xí)題課的教學(xué)，進(jìn)一步使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何、三角表示法及彼之間的聯(lián)系。發(fā)展綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、探究問(wèn)題的能力。通過(guò)復(fù)數(shù)、復(fù)平面上點(diǎn)及位置向 量三者之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化的教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行事物間普遍聯(lián)系及轉(zhuǎn)化等辯證

45、觀點(diǎn)的教育。教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)師：我們?cè)诟叨W(xué)習(xí)了復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡問(wèn)題。解析幾何中解決軌跡問(wèn)題可以通過(guò)建立直角坐標(biāo)系這條渠道來(lái)進(jìn)行。由于復(fù)數(shù)有三種表示方法，復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡相應(yīng)也有代數(shù)形式、三角形式與幾何形式的表示方法。我們首先回想一下線段垂直平分線、圓、橢圓、雙曲 線、拋物線的復(fù)數(shù)方程。生：（回答略）。（二）用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解決復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡問(wèn)題問(wèn)題一 若復(fù)數(shù)z適合Iz1=，求復(fù)數(shù)2z+3-4i，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程。（讓學(xué)生審題并分析）師：求點(diǎn)的軌跡方程的實(shí)質(zhì)是什么？生:就是求點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所滿足的代數(shù)關(guān)系。師:求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程的實(shí)質(zhì)是什么呢？生:就是求復(fù)數(shù)實(shí)部、摩部之間所滿足的代

46、數(shù)關(guān)系。師：那么如何求復(fù)數(shù)2z 3 - 4i對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程呢？生甲：設(shè)z =x yi（x, y R）。生乙：我認(rèn)為應(yīng)設(shè)z = a bi（a,b R）,2z 3 -4i=x yi（x, y R）。師:為什么？生乙:在解析幾何中，若求點(diǎn)P的軌跡方程，往往設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），類似地可聯(lián)想到若求復(fù)數(shù)3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)3的實(shí)部為x,虛部為y,即 =x yi（x,yR）。師:這位同學(xué)的聯(lián)想很好，但設(shè)x yi并非不對(duì)，只是和我們習(xí)慣不一致，易混淆。因?yàn)檫@時(shí)求的不是x、y的關(guān)系，而是2z 3-4i實(shí)部與虛部的關(guān)系，下面怎樣繼續(xù)深入地 討論下去呢？生：令z=a+bi，=2z + 34i=x + y

47、i( a,b,x,yR)，則Z二=2(a bi) 3-4i =(2a 3) (2b -4)i.：(2a 3) (2b _4)i二x yi,2a 3 = x2b _4 = y師：這是根據(jù)復(fù)數(shù)相等條件得到Z與，實(shí)部、虛部間的關(guān)系，而我們要求的是哪個(gè)量與哪個(gè)量的關(guān)系呢？怎么求呢？生：要求的是實(shí)部x與虛部y之間的關(guān)系，只要在式中消去a、b便可得到。x -32y 42（）2（牙）7。評(píng)這里若采用講述法進(jìn)行教學(xué)， 往往會(huì)陷入平鋪直敘的狀況，較難激起學(xué)生思考問(wèn)題的積極性，不利于學(xué)生生動(dòng)活潑地學(xué)習(xí)，這節(jié)課一開(kāi)始就在教師所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，讓學(xué)生成為探索問(wèn)題的主體，使問(wèn)題在濃厚的探求氣氛中得到解決，學(xué)生們?cè)诮處?/p>

48、引導(dǎo)下自己去層層剖析，探索復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡問(wèn)題的一般思考萬(wàn)法：如何設(shè)元，求的是哪些量之間的關(guān)系，如何尋找解決問(wèn)題的突破口，如何消去參數(shù) .（三）用復(fù)數(shù)的三角和幾何形式解決復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡問(wèn)題師：剛才的問(wèn)題我們用Z、二的代數(shù)形式，得到a、b、x、y的關(guān)系，是如何消去a、b的？生：利用a2b2=1，即IZ|=1O師：在已知模的條件下，復(fù)數(shù)表示方法中哪種更簡(jiǎn)單？生：設(shè)Z為三角形式更好，由IZ1=1,可令Z=COSTis in二得2cos r 3 = x2si n J - 4二yx -3由得b其余同前。師：z用三角形式表示，一是充分利用了條件Izl=1，二是參數(shù)二消起來(lái)很自然這 種解法比原來(lái)進(jìn)了一步，

49、但本質(zhì)上是一致的，都是根據(jù)復(fù)數(shù)相等條件得到a、b、x、y或cos二、sin二、x、y間關(guān)系后由IzI=1的條件用平方法消去參數(shù)，從而得到x、y的關(guān)系，那么，直接利用IZ1=1消z可不可以呢？生：可以，令 =2z 3-4i，則ZI =1-(3-I=12 -(3 _4i) I=2這就是2z 3-4i的軌跡方程。師：怎么和前面得到的結(jié)果形式不一樣生丙：這樣做不對(duì)生丁 ：對(duì)的。因?yàn)橹灰?二x yi(x, yR)，代入后，兩個(gè)結(jié)果便完全相同了，所以這種解法不但正確，而且更簡(jiǎn)單。師：前兩種解法得到的是復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部所滿足的代數(shù)關(guān)系式?，F(xiàn)在得到的是關(guān)于變?cè)膹?fù)數(shù)方程，它們從不同角度表示對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，形異

50、實(shí)同，以上三種解法實(shí)質(zhì)上都應(yīng)用了IzI=1的代數(shù)關(guān)系式，那么在IzI=1中，復(fù)數(shù)z的幾何意義是什么呢？它對(duì)我們解題又有何幫助？(學(xué)生們沉思片刻，立即活躍起來(lái))生：圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。當(dāng)IzI=1,2z表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓,2z，3-4i的幾何意義是將剛才得到的圓向右平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，即以復(fù)平面上的點(diǎn)3- 4 i為圓心，以2為半徑的圓，復(fù)數(shù)方程為COST =x-32y 42I _ （34i） I=2評(píng)探索問(wèn)題時(shí)，必須使學(xué)生能夠從不同的角度來(lái)考慮解決問(wèn)題的途徑，若只從單一角度、在同一個(gè)思維模式中展現(xiàn)其面貌就會(huì)造成思路固定、思域狹窄的毛病，因此，教學(xué)中 利用數(shù)形結(jié)合

51、，一題多解來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的多維型思維是非常重要的。（四）復(fù)平面上軌跡問(wèn)題的變式探究師：我們把題目中“求軌跡方程”改為“求軌跡”，題意是否相同？生：求軌跡方程是求滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，而求軌跡則是求圖形，求軌跡時(shí)，只要說(shuō)出軌跡是什么圖形就可以了。師：軌跡是幾何形式，必須說(shuō)明它的形態(tài)、所在位置（如圓心及主要數(shù)量特征，如半徑等）。軌跡方程則屬于代數(shù)形式。生：“求軌跡”就要回答：“這是復(fù)平面上以點(diǎn)3-4 i，為圓心、以2為半徑的圓?！睅煟含F(xiàn)在把題目條件Iz1=改為IzI=r（rA 0）,結(jié)果會(huì)怎樣呢？生：解法完全一樣，結(jié)果是以點(diǎn)34i為圓心、以2r為半徑的圓，即滿足I，- （3 -4i） I=2r。

52、師：若原題改為“I2z 3-4iI=1,求z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡?！比绾谓忸}？生：這很好辦：因?yàn)镮z -（3 4i）I=,z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)-3 2i為圓心、以為半徑的圓。2 2 2 2師：若題目改為：“設(shè)復(fù)平面上以-3、3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為一邊，周長(zhǎng)為16的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,求iz 3-4i對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡?！比绾芜M(jìn)行分析？生：z的軌跡方程是Iz 3I+Iz -3I=10,用以上的幾種解法都可以解。師：你認(rèn)為哪種解法較好？生：我認(rèn)為幾何方法較好。因?yàn)閦對(duì)應(yīng)的軌跡是橢圓，iz對(duì)應(yīng)的軌跡是將此橢圓繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900所得的圖形，iz，3-4i對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡則是將旋轉(zhuǎn)后的橢圓向右

53、平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位所得的圖形，這是一個(gè)在復(fù)平面上以點(diǎn)3-4 i為中心、半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5、半短軸長(zhǎng)為4的橢圓。師：對(duì)這個(gè)解法和所得結(jié)論有什么不同意見(jiàn)？生；由于z不能取一5、5,故iz3-4i不能取3+i及39i，因此所得出的軌跡中要除去（3，1）與（3，-9）兩點(diǎn)。師：他考慮得很仔細(xì)，這樣問(wèn)題就嚴(yán)密周到了。（五）舉例師：我們?cè)賮?lái)看一個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題二若R（z） =1，KI zlw,2。（1）求z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡；（2）求z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡。（討論過(guò)程略）（六）小結(jié)師：我們這節(jié)課研究了復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，基本解題方法有哪些？生：用代數(shù)形式或三角形式，把復(fù)數(shù)間關(guān)系表示出后再代回原條件，還可利用

54、數(shù)形結(jié)合解題。師：對(duì)！大致有設(shè)元法、回代法和幾何法，這是復(fù)數(shù)三種表示方法在軌跡問(wèn)題上的運(yùn)用。復(fù)平面點(diǎn)的軌跡同解析幾何中的軌跡問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是同一個(gè)問(wèn)題，對(duì)它的理解、分析和解決的基本思路也大致相同，但是，復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡還可以直接寫成更為簡(jiǎn)單的形式一一復(fù)數(shù)方程。這也是用復(fù)數(shù)解決平面點(diǎn)的軌跡問(wèn)題的優(yōu)越性。（七）布置作業(yè)1.若Iz 2 5iI-Iz 2 -5iI=6,求iz -3 5i對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡。33k k2.設(shè)zk（k=1、2、3）為互異復(fù)數(shù)，x -1=0的三個(gè)根為xk（k=1、2、3）,且x z =0,km試判斷乙、Z2、Z3對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形的類型。評(píng)這節(jié)課的主要特點(diǎn)是采用探索法進(jìn)行習(xí)題課教學(xué)，

55、注意暴露思維過(guò)程，效果顯著。具體說(shuō)：（1）探索法是探索或設(shè)計(jì)教學(xué)的重要方法，它是以發(fā)展探究能力為目標(biāo)，以學(xué)科的基本知識(shí)結(jié)構(gòu)為內(nèi)容，以探索、發(fā)現(xiàn)為步驟的教學(xué)法。它是突出知識(shí)形成與建構(gòu)過(guò)程的教學(xué)， 必須把學(xué)生置于認(rèn)知主體的地位，讓學(xué)生自己來(lái)探索規(guī)律，在探索中建立自己有特色的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。（2）探索法要緊緊抓住“疑問(wèn)”把學(xué)生的思維引向深入，疑問(wèn)可以揭示學(xué)生認(rèn)識(shí)上的矛 盾，可以對(duì)學(xué)生心理機(jī)制產(chǎn)生刺激，因此探索過(guò)程就是一個(gè)以問(wèn)題為中心，不斷提出問(wèn)題,不斷分析問(wèn)題和不斷解決問(wèn)題的過(guò)程。根據(jù)已知與未知、新知識(shí)與舊知識(shí)、現(xiàn)象與本質(zhì)之間的矛盾來(lái)明確探索課題，巧妙地存疑設(shè)問(wèn)，用懸念激發(fā)學(xué)生情趣，促進(jìn)思考。在探索中，通

56、 過(guò)師生雙邊信息交流，力求把各種情、趣、意因素組織起來(lái)，達(dá)到最大限度發(fā)展思維的目的，本課的“疑問(wèn)”環(huán)環(huán)相扣，步步深入，從而把用代數(shù)、三角、幾何諸形式解決復(fù)平面上點(diǎn)的軌 跡問(wèn)題的思路逐步展開(kāi)，使學(xué)生在探索過(guò)程中建立該問(wèn)題的較牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)得到鞏固。課例6等差數(shù)列的性質(zhì)目的：使學(xué)生掌握并會(huì)運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，它有下列性質(zhì)*(1)an=am+(n-m)d(其中m、nN)(2)m、n、p、qN且m+n=p+q,貝V有：am+an=ap+aq(3)ai+an=a2+an-i= = ai+an-I= *(4)am+i-ai=am+k-ak

57、=md(其中m、k、IN)(5)若bn也為等差數(shù)列，則an土bn與kan+bn(k、b為非零實(shí)數(shù))也是等差數(shù)列。難點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用。過(guò)程：一、 復(fù)習(xí)：等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，等差中項(xiàng)，等差數(shù)列的證明二、 例1、在等差數(shù)列an/中，d為公差，若m,n, p,q N.且m n = p q求證：1am n=apaq2ap二aq(p-q)d證明：1設(shè)首項(xiàng)為a1,aman= a1(m -1)da1(n - 1)d = 2a1(m n -2)dapaq=a1(p T)da1(q 1)d =2(p q - 2)d m n = p q二ama. =apaq2 ap= a1(p -1)daq(p -q)

58、d二a1(q -1)d( p - q)d二引(p -1)dap二aq(p -q)d注意：由此可以證明一個(gè)定理：設(shè)成AP,則與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和，即：印a*= a2anJ=a3-an=同樣：若m n =2p貝Uam- a2ap例2、在等差數(shù)列/中，1若aaa = b求解：2aio= a5 ai5即2b = a ai5- -ai5= 2b - a2若a3a$二m求a5a6解:a5a6=a3a8二m3右a5 6 a$=15求ai4解：a8= a5(8 -5)d即i5 = 6 3d /. d = 3從而ai4= a5 (i4-5)d = 6 9 3 =334若aia2_a5= 3

59、0 a6a?ai0= 80求aiiai2ai5解：6+6=ii+i7+7=i2+26= aiaii2a=a?ai2二(aiiai2 ai5)+(ai- a2 a5)=2a7 aio) an玄伐- ai5=2(a6 a?=2X80-30=i30例3、在等差數(shù)列a*中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,則a2+a8=()分析：禾U用等差數(shù)列的性質(zhì)：距首、末兩項(xiàng)距離相等的兩個(gè)項(xiàng)的和都相等，即若m+n=p+q,貝U am+an=ap+aq比較容量解出。解：Ta3+a4+a5+a6+a7=450,而a3+ a7=a4+ a6=2a55 a5=450, - - 35=90- - a2+a8=2a5=

60、i80.例4、設(shè)數(shù)列a*,bn都是等差數(shù)列，且ai=25,bi=75,a2+b2=i00,那么由an+bn所組成的數(shù)列的第37項(xiàng)為()分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解十分方便。解：由an,bn都是等差數(shù)列，可知an+ bn也為等差數(shù)列。設(shè)Cn=an+bnci=a i+bi=100,C2=a2+b2=100*二d=C2-ci=0故Cn=100(nN)從而C37=100例5、已知a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證:的倒數(shù)也成等差數(shù)列。分析：給定的是三個(gè)數(shù)的倒數(shù)成等差數(shù)列故應(yīng)充分利用三個(gè)數(shù)充要條件：x+y=2z。證明：因?yàn)閍、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列211，即2ac=b(a+c)ba cc2a22ac (a c)2 2(a c)2_ 2(a c) _ 2(c a _b)_2=