矩陣特征值的一種新型求法

1、第12卷 第1期 衡水學(xué)院學(xué)報(bào) Vol. 12, No. 1 2010年2月 Journal of Hengshui University Feb. 2010收稿日期：2009-11-21作者簡(jiǎn)介：劉和義(1956-,男,河北衡水人,衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院教授;玉 強(qiáng)(1979-,男,河北邯鄲人,衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院助教,理學(xué)碩士.矩陣特征值的一種新型求法劉和義 玉 強(qiáng)（衡水學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 衡水 053000）摘 要：現(xiàn)行線性代數(shù)教科書求矩陣特征值較困難，計(jì)算較復(fù)雜，且容易出錯(cuò)，本文提出了一種新方法，該方法與一般方法相比具有求解程序化、計(jì)算簡(jiǎn)便、不易出錯(cuò)等特點(diǎn) 關(guān)鍵詞：矩陣

2、；特征值；主子式；整除；因式分解中圖分類號(hào)：O153.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-2065(201001-0017-03學(xué)生在初學(xué)計(jì)算特征值，展開(kāi)I A 為特征多項(xiàng)式時(shí)，現(xiàn)行教科書1-3所采用的方法是直接將行列式展開(kāi)，再分解因式求特征方程的根，計(jì)算時(shí)容易出錯(cuò)，即使行列式展開(kāi)后，可能由于數(shù)字較大因式分解較困難，相應(yīng)的，求特征方程的根就比較麻煩下面針對(duì)一般求矩陣特征值方法的這一缺陷，首先給出一個(gè)命題，其次，基于該命題給出一種較直接，程式化，易計(jì)算的新的矩陣特征值的計(jì)算方法命題12 設(shè)(n n ij A a P ×=，則(11nknn k k k I A b =+其中(1, 2

3、, k b k n =" 是A 的所有k 階主子式之和，特別地(1, n b tr A b A =證明：記12, , , n I e e e =" ，12, , , n A a a a =" ，其中i e 和i a 分別是I 和A 的第i 列, 則1122, , , n n I A e a e a e a =" 利用行列式性質(zhì)，將上式右端拆成每列是i e 或i a 的行列式，例如122122, , , , , , n n n n I A e e a e a a e a e a =+" " , 于是有 (111121111121, ,

4、, , , , , , 1, , , , 1k k nnn n i i i n i knn ki i i i nk n I A e e e e e a e e a a A+=<<=+" " " " " " " " " 行列式1, , , , k i i a a " " " 中第1i 列，" 第k i 列依次是1, , k i i a a " 其余列是單位矩陣I 的相應(yīng)列例如1235, 3, 1, 2, 4, n k i i i =則111214

5、212224111214123453132342122244142444142445151540000, , , , 100001a a a a a a a a a a a e a e a a a a a a a a a a a a a a a = 是A 的一個(gè)3階主子式因此，3b 是關(guān)于12315i i i <<求和，即A 得所有3階主子式之和對(duì)一般n 階矩陣A ，同理可得1, , , , k i i a a " " " 是A 的一個(gè)k 階主子式，因此k b 是A 的所有k 階主子式之和18 衡水學(xué)院學(xué)報(bào) 第12卷具體到三階矩陣而言, 32123I

6、A b b b =+，其中1112233( , b tr A a a a =+2223222322232323332333233, a a a a a a b a a a a a a =+3b A = 下面舉例應(yīng)用一下此結(jié)果例1：設(shè)321222361A =, 求A 的特征值 解：A 的特征多項(xiàng)式為323321222361321223132(321 ( 2226131223611216.I A =+=+=+ 應(yīng)用綜合除法：2101216241621282814所以A 的特征根為2=（二重），4=例2：設(shè)121431315316205A =, 求A 的特征值解：A 的特征多項(xiàng)式為323212143

7、13153162051214315312314(12155 ( 13153205165151620522.I A A =+=+=+ 應(yīng)用綜合除法：112121121112012120 所以A 的特征根為1, 1=，2=（下轉(zhuǎn)第35頁(yè)）第1期 王銀花，等 基于混沌加密的DCT 域盲數(shù)字水印技術(shù) 35 (a 經(jīng)過(guò)剪切后的圖像和提取的水印圖像 (b 經(jīng)過(guò)JPEG 壓縮后的圖像和提取出的水印圖像(c 經(jīng)過(guò)椒鹽噪聲后的圖像和提取的水印圖像 (d 經(jīng)過(guò)白噪聲后的圖像和提取的水印圖像圖2 魯棒性實(shí)驗(yàn)效果圖參考文獻(xiàn)：1 王炳錫, 陳琦, 鄧峰森. 數(shù)字水印技術(shù)M.西安:西安電子科技大學(xué)出版社, 2003:52

8、-60.2 王慧琴, 李人厚, 王志雄. 基于DCT 域的加密二值圖像數(shù)字水印新算法J.小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng),2003,24(1:103-106. 3 武者東, 劉國(guó)枝, 譚秀湖. 一種新型的脆弱性水印算法J.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2008,44(19:98-99.A Blind Digital Watermarking Embedding Technology Based OnChaotic Sequences and DCTWANG Yin-hua, WANG li-ping(Department of Electrical Engineering, Tongling College, Tong

9、ling, Anhui 244000, ChinaAbstract: Digital watermarking technology is widely used in digital media copyright protection. In this paper, a chaotic encrypted image digital watermarking algorithm based on DCT is presented. We encrypt image watermark by a chaotic sequence cipher before it is embedded in

10、to original images. In the algorithm, the original image is split into blocks; watermarking components are inserted into the Mid-frequency coefficients of DCT domain. The experimental results show the watermarks are robust against Gaussian noise, salt & pepper noise, JPEG, crop procession, etc.

11、Key words: chaotic sequence; digital watermarking; DCT(責(zé)任編校：李建明 英文校對(duì)：李玉玲）（上接第18頁(yè)）總結(jié)：本文通過(guò)引入一命題結(jié)合多項(xiàng)式整除定理，給出一種計(jì)算矩陣特征值的方法該方法具有對(duì)低階矩陣特征值計(jì)算簡(jiǎn)便、有效、不易出錯(cuò)等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于高階矩陣，本方法具有可程序化、易于用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn) 參考文獻(xiàn)：1 張禾瑞, 郝炳新. 高等代數(shù)M. 4版. 北京:高等教育出版社,2002:293-296. 2 戴華. 矩陣論M.南京:南京航空航天大學(xué)出版社,2002:63-64.3 馮國(guó)勇. 淺談實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的求法經(jīng)驗(yàn)技巧J.科技信息, 200

12、7(11:406.A New Method to Solve the Matrix EigenvalueLIU He-yi, YU Qiang(College of Mathematics and Computer Science, Hengshui University, Hengshui, Hebei 05300, China Abstract: Solving matrix eigenvalue is difficult, complex and error-prone in the existing "Linear Algebra" textbook. This paper presen