初中數(shù)學(xué)模型解題法

1、初中數(shù)學(xué)模型解題法解答題1. （2001江蘇蘇州6分）如圖，已知 AB是半圓。的直徑，AP為過點A的半圓的切線。在 上任取一點C （點C與A、B不重合），過點C作半圓的切線 CD交AP于點D;過點C作 CEXAB ,垂足為E.連接BD,交CE于點F。（1）當(dāng)點C為的中點時（如圖1）,求證：CF=EF ;（2）當(dāng)點C不是 的中點時（如圖2）,試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變，并證 明你的結(jié)論?！敬鸢浮拷猓海?）證明：.DA是切線，AB為直徑，DA ABo 點C是 的中點，且 CELAB, 點E為半圓的圓心。又DC是切線，DCXECo又CEAB , 四邊形 DAEC是矩形。 .CD/AO,

2、CD=AD。,即 EF= AD= EC 。 .F 為 EC 的中點，CF=EF 。（2） CF=EF保持不變。證明如下：如圖，連接BC,并延長BC交AP于G點，連接AC,AD、DC是半圓。的切線，DC=DA。 ./ DAC= / DCA。. AB 是直徑，ACB=90 。 .CG=90 。 / DGC+ / DAC= / DCA+ / DCG=90 。 ./ DGC= / DCG。 在4GDC 中，GD=DC。 DC=DA , .1. GD=DA。.AP是半圓。的切線，APXABo又. CELAB,，CE/AP。 . BCFs bgd , BEF BAD o o,. GD=AD , C CF=

3、EF ?！究键c】探究型，圓的綜合題，切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理， 等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由題意得DALAB,點E為半圓的圓心，DCLEC,可得四邊形 DAEC是矩形， 即可得出，即可得EF與EC的關(guān)系，可知 CF=EF 。（2）連接BC,并延長BC交AP于G點，連接 AC,由切線長定理可得 DC=DA , / DAC= / DCA ,由角度代換關(guān)系可得出/ DGC= / DCG ,即可得 GD=DC=DA ,由已知可得 CE / AP , 所以，即可知CF=EF 。2. （2001江蘇蘇州7分）已知一個三角形紙片 ABC ,面積為25

4、, BC的長為10, /B、/C 都為銳角，M為AB邊上的一動點（M與A、B不重合），過點M作MN / BC交AC于點N , 設(shè) MN=x。（1）用x表示 AMN的面積；（2） AAMN沿MN折疊，使 AMN緊貼四邊形 BCNM （邊AM、AN落在四邊形 BCNM所 在的平面內(nèi)），設(shè)點A落在平面BCNM內(nèi)的點A , A MN與四邊形BCNM重疊部分的 面積為y。用的代數(shù)式表示 y,并寫出x的取值范圍；當(dāng)x為何值時，重疊部分的面積 y最大，最大為多少？【答案】解：（1） MN/BC, . AMNs abc。,即。（2）當(dāng)點A落在四邊形BCMN內(nèi)或BC邊上時，（0 v xw 5）。當(dāng)點A在四邊形B

5、CMN外，連接AA 與MN交于點G與BC交于點F ,1. MN / BC, ,即。.AG= x。a AA =2AG=x。.A F=x5。 , MP o o，重合部分的面積 。綜上所述，重合部分的面積。;當(dāng)x= 時，y最大，最大值為 y最大=?！究键c】翻折變換（折疊問題），相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值。【分析】（1）根據(jù)已知條件求出 AMNs abc,再根據(jù)面積比等于相似比的平方的性質(zhì)即 可求出 AMN的面積。（2）根據(jù)已知條件分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)點 A落在四邊形 BCMN內(nèi)或BC邊上時和當(dāng) 點A在四邊形BCMN外時進(jìn)行討論，第一種情況很容易求出，第二種情況進(jìn)行畫圖，連 接AA與MN

6、交于點G與BC交于點F,再根據(jù)面積比等于相似比的平方的性質(zhì)求出即可.再根據(jù)求出的式子，即可求出重疊部分的面積y的最大值來。3.（江蘇省蘇州市 2002年7分）已知：O與。外切于點，過點 的直線分別交。 、O于 點、，。的切線交。于點、，為。的弦，（1）如圖（1）,設(shè)弦交于點，求證：；（2）如圖（2）,當(dāng)弦 繞點 旋轉(zhuǎn)，弦 的延長線交直線 B于點 時，試問：是否仍然成立？ 證明你的結(jié)論?！敬鸢浮拷猓海?）證明：連結(jié)，過點 作。與。的公切線。 O又二是。的切線，。又丁 ,。又丁 ,。,即。（2）仍成立。證明如下：連結(jié)，過點作。和。的公切線。 -是。的切線，。.二。 O又丁 ,。又丁 ,。,即?！究?/p>

7、點】相切兩圓切線的性質(zhì)，弦切角定理，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)，對頂角的性 質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）連結(jié)，過點作。與。的公切線。根據(jù)弦切角定理可得，由也是。的切線，根據(jù)切線長定理可得，從而根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，得到 ，由對頂角相等的性質(zhì)，得到。又，從而，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明。（2）同（1）可以證明。4.（江蘇省蘇州市 2002年7分）如圖，梯形 OABC中，。為直角坐標(biāo)系的原點，A、B、C的坐標(biāo)分別為（14, 0）、（14, 3）、（4, 3）。點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動。其 中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位；點Q沿OC、CB向終點

8、B運動。當(dāng)這 兩點中有一點到達(dá)自己的終點時，另一點也停止運動。（1）設(shè)從出發(fā)起運動了 秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試分別寫出這時點 Q 在OC上或在CB上時的坐標(biāo)（用含 的代數(shù)式表示，不要求寫出的取值范圍）；（2）設(shè)從出發(fā)起運動了 秒，如果點P與點Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半。試用含的代數(shù)式表示這時點 Q所經(jīng)過的路程和它的速度；試問：這時直線PQ是否可能同時把梯形 OABC的面積也分成相等的兩部分？如有可能，求出相應(yīng)的 的值和P、Q的坐標(biāo)；如不可能，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）當(dāng)點Q在OC上時，如圖，過點 C作CELOA于點E,過點Q作QFLOA 于點F。依題意,有

9、 OE=4 , EC=3 , OC=5, OQ=2。 由OCEsoqf 得，即。，當(dāng)點Q在OC上時，點Q的坐標(biāo)為。當(dāng)點Q在CB上時，如圖，過點 C作CMLOA于點M,過點Q作QN，OA于點N。. CQ=2 -5, OM=4 + 2 5=2 1。又MQ=3, .當(dāng)點 Q在CB上時，點 Q的坐標(biāo)為（）。（2）二點P所經(jīng)過的路程為 ，點Q所經(jīng)過的路程為 OQ,且點P與點Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，+OQ= （14+ 3+10+ 5）,即 OQ=16。點Q所經(jīng)過的路程為16-,速度為。不能。理由如下：當(dāng)Q點在OC上時，如圖，過點 Q作QFLOA于點F。則 OP= , QF=。 O

10、又 ，令，解之，得。 當(dāng) 時，,這時點Q不在OC上，故舍去；當(dāng) 時，這時點Q不在OC上，故舍去。 當(dāng)Q點在OC上時，PQ不可能同時把梯形 OABC的面積也分成相等的兩部分。 當(dāng) Q 在 CB 上時，CQ=16 5=11, O當(dāng)Q點在CB上時，PQ不可能同時把梯形 OABC的面積也分成相等的 兩部分。綜上所述，這時PQ不可能同時平分梯形 OABC的面積?！究键c】動點問題，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）當(dāng)點Q在OC上時，作直角三角形 OCE和OQF,由二者相似即可求出此時點Q的坐標(biāo)。當(dāng)點 Q在CB上時，過點 C作CMLOA于點M,過點Q作QNLOA于點N,即 可得出OM=4 +

11、2 5=2 -1,從而求出此時點 Q的坐標(biāo)。(2)由點P與點Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，列出等式，+OQ= (14+ 3+10+ 5),即可求出點 Q所經(jīng)過的路程。用路程+時間即可求得速度。分Q點在OC上和Q點在OC上，分別討論即可得出結(jié)論。5.(江蘇省蘇州市 2003年7分)如圖1,。的直徑為AB ,過半徑 OA的中點G作弦CE XAB ,在上取一點 D,分別彳直線 CD、ED ,交直線 AB于點F、M。(1)求/ COA和/ FDM的度數(shù)；(2)求證： FDMACOM;(3)如圖2,若將垂足G改取為半徑 OB上任意一點，點D改取在 上，仍作直線CD、ED, 分別交直線

12、AB于點F、Mo試判斷：此時是否仍有 FDMACOM?證明你的結(jié)論。【答案】解：(1) .AB 為直徑，CEXAB, CG=EG。在 RtCOG 中， OG= OC, . OCG=30 。 c JCOA=60 。又 / CDE的度數(shù)=的度數(shù)= 的度數(shù)=/ COA的度數(shù)=60 , ./FDM=180 -zCDE=120 。(2)證明：. / COM=180 -zCOA=120 , .JCOM=/FDM。在 Rt 4CGM 和 Rt 4EGM 中，,R Rt ACGMRtAEGM (HL)。 ./ GMC= / GME。又DMF= / GME ,GMC= / DMF。/.A FDMA COMo(3

13、)結(jié)論仍成立。證明如 / EDC的度數(shù)=的度數(shù)=的度數(shù)=/ COA的度數(shù)， ./FDM=180 OA=/COM。. AB 為直徑，CE ABo在 Rt 4CGM 和 Rt 4EGM 中，. . Rt CGM Rt EGM (HL)。/ GMC= / GME。 FDMCOM?！究键c】圓周角定理，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，平角定義，直角三角形全等的判定和性質(zhì)，垂徑定理，相似三角形的判定?！痉治觥?1)由于CGXOA,根據(jù)垂徑定理可得出， ，那么根據(jù)圓周角定理可得出/ CDE= /COA,在Rt ACOG中，可根據(jù) OG是半徑的一半得出/ AOC

14、是60 ,那么就能得出/ FDM=180 -zCDE=120 。(2)在(1)中根據(jù)垂徑定理得出 OA是CE的垂直平分線，那么 CMG和 BMG就應(yīng)該 全等，可得出/ CMA=/EMG,也就可得出/ CMO=/FMD,在(1)中已經(jīng)證得/ AOC= / EDC=60 ,那么/COM=/MDF,因此兩三角形相似。(3)可按(2)的方法得出/ DMF= ZCMO,關(guān)鍵是再找出一組對應(yīng)角相等，還是用垂徑定 理來求，根據(jù)垂徑定理我們可得出，那么/ AOC=/EDC,根據(jù)等角的余角相等即可得出/ COM= / FDM ,由此可證出兩三角形相似。6.(江蘇省蘇州市2003年7分)OABC是一張放在平面直角

15、坐標(biāo)系中的矩形紙片，。為原點，點A在x軸上，點 C在y軸上，OA=10, OC=6。(1)如圖1,在OA上選取一點G,將 COG沿CG翻折，使點 。落在BC邊上，記為E, 求折痕CG所在直線的解析式。(2)如圖2,在OC上選取一點 D, WA AOD沿AD翻折，使點。落在BC邊上，記為 。求折痕AD所在直線的解析式；再作F / AB ,交AD于點F,若拋物線 過點F,求此拋物線的解析式，并判斷它與直線 AD的交點的個數(shù)。（3）如圖3, 一般地，在 OC、OA上選取適當(dāng)?shù)狞c，使紙片沿 翻折后，點。落在BC邊上，記為。請你猜想：折痕 所在直線與中的拋物線會有什么關(guān)系？用（1）中的情形驗證你的猜想。

16、【答案】解：（1）由折疊法知，四邊形 OCEG是正方形，OG=OC=6。，G （6, 0）, C （ 0, 6）。設(shè)直線CG的解析式為y=kx+b ,則，解得。，直線CG的解析式為：y= x+6。（2）在 Rt AABE中，。，CE =2。設(shè) OD=x,貝U DE=x , CD=6-x,在 RtDCE中，解得。則 D （0,）。設(shè)AD所在直線的解析式為 y=kx + ,由于它過 A （10, 0） ,k=。AD所在直線的解析式為。 EF / AB, E （2, 6）, 設(shè) F （2, yF）。 . F 在 AD 上，。 F （2,）。又.點F在拋物線上，解得h=3。 拋物線的解析式為。聯(lián)立和得

17、，即。 =0,，直線AD與拋物線只有一個交點（2, ）。（3）例如可以猜想：（i）折痕所在直線與拋物線只有一個交點；或（ii）若作 EF /AB,交DG于F,則F在拋物線 上。驗證：（i）在圖1中，折痕為CG,將y= -x+6代入，得，即O =0, .折痕CG所在直線與拋物線 只有一個交點?；颍╥i）在圖1中，D即C, E即E, G即G,交點F也為G （6, 0）,當(dāng)x=6時，。一. G點在這條拋物線上?！究键c】二次函數(shù)綜合題，折疊的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線點的坐標(biāo) 與方程的關(guān)系，勾股定理，一元二次方程根的判別式。【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：四邊形 OGEC是個正方形，

18、因此 OC=OG=6,據(jù)此可得 出G點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線CG的解析式。（2）求出D的坐標(biāo)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知 AE =OA,那么可在RtABE中求出BE 的長，從而可求出 CE的值。在 RtCDE中，CD=6 -OD, DE =OD ,根據(jù)勾股定理 即可求出OD的長，也就得出了 D點的坐標(biāo)，然后可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式。中已經(jīng)求得 CE的長，即F點的橫坐標(biāo)，可根據(jù)直線AD的解析式求出F點的坐標(biāo)，然后將F的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式.從而可根據(jù)拋物線的解析式來判 斷其與x軸交點的個數(shù)。（3）可以猜想：（i ）折痕所在直線與拋物線 只有一個交點：（ii）若作 EF /AB,交 DG于F,則F在拋物線 上。驗證（i ）時，將y= x+6代入，證明 =0即可。驗證（ii） 時，說明G （6, 0）滿足即可。7.（江蘇省蘇州市2004年7分）某中學(xué)為籌備校慶活動，準(zhǔn)備印制一批校慶紀(jì)念冊。該紀(jì) 念冊每冊需要10張8K大小的紙，其中4張為彩頁，6張為黑白頁。印制該紀(jì)念冊的總費用 由制版費和印刷費兩部分組成，制版費與印數(shù)無關(guān)，價格為：彩頁 300元/張，黑白頁 50 元/張；印刷費與印數(shù)的關(guān)系見下表。印數(shù)a （單位：千冊）1w a5 5 a 10彩色（單位：元/張）2.2 2.0黑白（單位：元/張）0.7 0.6（