橢圓的簡單性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案

1、第2課時(shí)橢圓的簡單性質(zhì)學(xué)習(xí)由走帕月標(biāo)喇嘛他，課程學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .進(jìn)一步理解橢圓白標(biāo)準(zhǔn)方程及a,b,c之間的關(guān)系.2 .掌握橢圓的幾何圖形及簡單幾何性質(zhì) ，并能利用簡單幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3 .根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，討論研究其幾何性質(zhì)，使學(xué)生初步嘗試?yán)脵E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來 研究橢圓的幾何性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)曲線與方程的理解，同時(shí)提高分析問題和解決問題 的能力.需一層皴能*林他A統(tǒng)相 泉化知識(shí)體系梳理o創(chuàng)債楠麓1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆 鉞星”系統(tǒng)通訊衛(wèi)星，衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.若衛(wèi)星的近地點(diǎn)高度（即軌道上的點(diǎn)到地球表面的最近距

2、離 ）為mkm,遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為n km,地球半徑為Rkm,且該軌跡上兩點(diǎn) MN 和軌跡中心O在一條直線上.問題1:在上述情境中，|OM|與|ON|之間的大小為 ,|MN|的最小值|AF|=m+R=a-G |BF|=n+R=a+c, a2-c 2=( m+R n+R,即 b=;(fll + Rg+J!),當(dāng) M于 M', N位于N'時(shí)，|MN|取最小值.問題2:根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)填寫下表橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)(-c,0),( c,0)(0, -c),(0, c)頂點(diǎn)(-a,0),( a,0),(0, -b),(0, b)(-b,0),( b,0),(0, -a),(0, a)對(duì)

3、稱性關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱離心率e=,0 <e<la, b, c的關(guān)系a2=b2+c2半軸長長半軸長a,短半軸長b, a>b問題3:橢圓的焦距與長軸長的比e=,叫作橢圓的.>00, .0<e<1.a 當(dāng)e越接近1時(shí)，c越接近a,從而b二 |aa嗜，越小，因此橢圓越(2)當(dāng)e越接近0時(shí)，c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓越接近于 (3)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0,兩焦點(diǎn)，圖形變?yōu)閳A，方程成為x2+y2=a2.,|PO|= '問題4:如何求橢圓上到中心距離最遠(yuǎn)或最近的點(diǎn)？設(shè)P(x, y)為橢圓=1( a>b»)上任意一

4、點(diǎn) d甘.-a今面.當(dāng)x=0時(shí)，|PO|有,這時(shí)P在短軸端點(diǎn) Bi或R處.當(dāng)x=1a時(shí)，|PO|有,這時(shí)P在長軸端點(diǎn) A或A處.加也H麗化間 « 火化基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.橢圓x2+4y2=1的離心率為().A.1B.C. 一2D.2.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-v2，0),( 2，0)，離心率是,則橢圓C的方程為().A.3+y2=1B. x2+L=1r 戶 r y*C. + =1D.+=11 2： 13.已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13),另一個(gè)頂點(diǎn)是(-10,0),則焦點(diǎn)坐標(biāo) 為.4.求橢圓L+y2=1的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)第二居霾思維徐

5、究與創(chuàng)新一技能<鬲統(tǒng)小性悵重點(diǎn)難點(diǎn)探究利用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)22短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)求橢圓9x +16y =144的長軸長、由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程已知在橢圓C中，長軸長為2a,焦距為2c,且a+c=10, a-c=4,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程O撮咒三與離心率有關(guān)的問題工："A E 1 八 L -A r -A a 1 八 W 曰 l L 什(1)橢圓r + r =1( a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分力1J是 AB,左、右焦點(diǎn)分力1J是Fi, F2.右|AFi| , IF1F2I , |FiB|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為().1Al -A.-B.=C.'

6、;D. -2452(2)橢圓L+L=i(a>b>0)的右頂點(diǎn)是 A a,0),其上存在一點(diǎn)P,使/ APO90 ,求橢圓的離r r心率的取值范圍.才法覺力化力具體卡思維拓展應(yīng)用d應(yīng)用一橢圓C±+L=1和橢圓C2：上+L=1(0 <內(nèi)9)有().K »M型A.等長的長軸B.相等的焦距C.相等的離心率D.等長的短軸應(yīng)用二求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：4(i)長軸長是io,離心率是二；§(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.應(yīng)用三已知橢圓 -+=1(a>b>0) 的長、短軸端點(diǎn)分別為A B,從此橢圓上一點(diǎn) M

7、(在x軸上方)? ?向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)Fi, AB/ OM.(1)求橢圓的離心率e;(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求/FQF的取值范圍.基礎(chǔ)智能檢測1.已知橢圓x2+my=1的焦點(diǎn)在y軸上,且長軸長是短軸長的 2倍,則m等于（）.A.-B.-C.2D.4412 .橢圓=+=1 和 £+=k（ k>0）具有（）.a? f s? rA.相同的長軸B.相同的焦點(diǎn)C.相同的頂點(diǎn)D.相同的離心率3 .已知橢圓 +1=1的離心率為-,則k的值為 如4ini in4 .點(diǎn)P是橢圓+L=1上一點(diǎn),F1、F2是其焦點(diǎn)，若/ F1PF2=60°,

8、求FiPE的面積.材料也囊他視角步元化全新視角拓展（2013年新課標(biāo) 噴）設(shè)橢圓 d+：=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2, P是C上的點(diǎn)，PE± F1F2, / PFF2=30°,則 C的離心率為（）.A. B. - C. - D.一考題變式（我來改編）:第四層皴總結(jié)評(píng)價(jià)與反思、思學(xué)區(qū)不思不發(fā)星片耐將出里帝直楣也.思維導(dǎo)圖構(gòu)建學(xué)習(xí)京俄化班塞異產(chǎn)化.學(xué)習(xí)體騏分享第2課時(shí)橢圓的簡單性質(zhì) 知識(shí)體系梳理問題 1:|OM|=|ON| 2 蕊:一問題2:&問題3:離心率 （1）扁（2）圓（3）重合問題4:最小值最大值基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1. A將橢圓方程x2+

9、4y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2+=1,貝U a2=1, b2=,2. A因?yàn)?#163;=，且c二”,所以a=Q, b= /寸*=1.所以橢圓C的方程為L+y2=l.=麗，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為3 .(0, 書麗)由題意知，橢圓焦點(diǎn)在 y軸上，且a=13, b=10,則c= it;(0,而).4 .解：已知方程為L+L=1,所以a=2, b=1, c= J=C 因此,橢圓的長軸長和短軸長分別為2a=4,2 b=2,離心率e=；=二兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi(-y,0),尸2(例,0),橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是.UA(-2,0), A2(2,0), B(0, -1),艮(0,1). 重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一：【解析】已知方程化成標(biāo)

10、準(zhǔn)方程為匚+t=1,It J于是 a=4, b=3, c= 13 山三鏟，橢圓的長軸長和短軸長分別是2a=8和2b=6,力 離心率e=,又知焦點(diǎn)在x軸上， A兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 F1(-行,0)和F2(M,0),四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A1(-4,0), A2(4,0), Bi(0, -3)和 B2(0,3).【小結(jié)】解決此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a, b,c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.fi+c=ia探究二：【解析】因?yàn)镮所以a=7, c=3,(2-c=4,所以 b2=a2-c2=72- 32=40.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-+

11、-=1.fl 41問題本題中橢圓的焦點(diǎn)是在x軸上嗎？有沒有可能在y軸上？結(jié)論由于題目中沒有告訴我們焦點(diǎn)的位置，因此所求標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況：焦點(diǎn)在x軸上；焦點(diǎn)在y軸上.于是，正確解答為：焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)方程為不+1=1( a>b>0),則有1解得a=7, c=3.Lt二4所以 b2=a2-c2=72- 32=40.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+-=1.曲«焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為:+ =1( a>b>0),則有J解得a=7, c=3,S七二4所以 b2=a2-c2=72- 32=40.所以標(biāo)準(zhǔn)方程為+ =1.助49綜上所述，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 戈=1或匚+t=i.

12、44 40 期助【小結(jié)】利用性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通常采用待定系數(shù)法，而其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定其標(biāo)準(zhǔn)方程的形式并列出有關(guān)參數(shù)的關(guān)系式，利用解方程(組)求解，同時(shí)注意a、b、c、e的內(nèi)在聯(lián)系以及對(duì)方程兩種形式的討論.還要注意兩點(diǎn)：(1)根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是 選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”,一般步驟為：求出a2, b2的值；確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；寫出 標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)當(dāng)所求橢圓焦點(diǎn)不確定時(shí)一定要注意分類討論，并且體會(huì)方程思想在解題中的應(yīng)用.探究三：【解析】(1)由橢圓的幾何性質(zhì)可知：|塢| =a-c,下面| =2c,幟國=a+c又|A片|F誨|,|F成等比數(shù)列，故(a-c)( a+c)=(2c

13、)2,可得；=e.故應(yīng)選B.(2)設(shè)P(x, y),由/ APO900知：P點(diǎn)在以O(shè)M直徑的圓上圓的方程是:(x-?)2+y2=(三)2?y2=ax-x2.又P點(diǎn)在橢圓上，故：1=1. af把代入得：+=1 ?(a2-b 2) x2-a3x+a2b2=0.正又 0<x<a -x=故(x-a)( a2-b 2) x-ab 2 =0.而.即 0V ” <a?2b2<a2?a2<2c2?e>?.又.0<e<1,故所求的橢圓離心率的取值范圍是二<e<1.2【答案】(1)B【小結(jié)】橢圓的離心率是刻畫橢圓扁平程度的量，求e的值或范圍問題就是尋求它

14、們的方程或不等式，具體如下:(1)定義法：若給定橢圓的方程，則根據(jù)焦點(diǎn)位置確定a2,b2,求出 a, c的值，利用公式e3直接求解.(2)方程法：若橢圓的方程未知，則根據(jù)條件建立a, b, c滿足的關(guān)系式，化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次哥，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一 ：B 依題意知橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上,對(duì)于橢圓G:焦距=2 125-9 =8,對(duì)于橢圓G：1=8,故答案為B.焦品巨=2應(yīng)用二：(1)設(shè)橢圓的方程為r VV* I+g=1( a>b>0)或：+?=1( a>b>0).由已知得，2

15、 a=10, a=5.又 e=三,c=4. b2=a2-c 2=25-16=9.r 了r 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+二=1或一+彳=1.25 1» 25(2)依題意，可設(shè)橢圓方程為-7+T=1(a>b>0).如圖所示，AFA為一等腰直角三角形，OF為斜邊AA的中線(高，且|OF|二c , |AA|二 2b,. c=b=3, . a2=b2+c2=18,故所求橢圓的方程為+ =1Li 1應(yīng)用三：(1) ,.Fi(-c ,0),則 xM=-c,yM=一,/ko=-. ,.kAEF-, OIW AB fi! fl,- L=，,b=c,故 e=./Qfi 2(2)設(shè)|FiQ|=ri,|F2Q|=r2, / FiQF= Q. r i+2=2a, |F iF2|= 2c,cos =一-=： 一況力況l?工當(dāng)且僅當(dāng)ri=r2時(shí),cos 0=0,：任0,白.基礎(chǔ)智能檢測1. A將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；a= -, b=i. .a=2b,m=.J JJ H2. D 在橢圓 匕+1=i和匚 J=k( k>0)中，不妨設(shè)x2+T=i, .焦點(diǎn)在 y軸上，_>i,0<m<.由方程得a>b,橢圓+i-=i的離心率 ei=,橢圓%+7=20v2- ,解得16a