高中物理競賽運動學

1、運動學一.質(zhì)點的直線運動運動 1.勻速直線運動2.勻變速直線運動3.變速運動:微元法問題：如圖所示，以恒定的速率v1拉繩子時，物體沿水平面運動的速率v2是多少？ 設在Dt（Dt®0）的時間內(nèi)物體由B點運動到C點，繩子與水平面成的夾角由a增大到a+Da，繩子拉過的長度為Ds1，物體運動的位移大小為Ds2。因Dt®0，物體可看成勻速運動（必要時可看成勻變速度運動），物體的速度與位移大小成正比，位移比等于速率比，v平= v即=Ds/Dt，Ds1與Ds2有什么關系？如果取DACD為等腰三角形，則B D=Ds1，但Ds1¹Ds2cosa。如果取DACD¢為直角三角

2、形，則Ds1=Ds2cosa,但D¢B¹Ds1。普通量和小量；等價、同價和高價有限量（普通量）和無限量Dx®0的區(qū)別. 設有二個小量Dx1和Dx2，當, Dx1和Dx2為等價無窮小，可互相代替，當普通量, Dx1和Dx2為同價無窮小，當（或）, Dx2比Dx1為更高價無窮小。在研究一個普通量時,可以忽略小量；在研究一個小量時,可以忽略比它階數(shù)高的小量。如當a®0時，AB弧與AB弦為等價，a（圓周角）和q（弦切角）為同價。如圖DOAB為等腰三角形，DOAD為直角三角形，OA=OB=OD+BD=OD。，即（等價）。，比a更高價的無窮小量。回到問題：因為DD&

3、#162;為高價無窮小量，繩子拉過的長度Ds1=BD=BD¢，因直角三角形比較方便，常取直角三角形。（v2=v1/cosa） 例：如圖所示，物體以v1的速率向左作勻速運動，桿繞O點轉(zhuǎn)動，求（1）桿與物體接觸點P的速率？（v2=v1cosa）（2）桿轉(zhuǎn)動的角速度？（w=v1sina/OP）。 1. 細桿M繞O軸以角速度為w勻速轉(zhuǎn)動,并帶動套在桿和固定的AB鋼絲上的小環(huán)C滑動,O軸與AB的距離為d，如圖所示.試求小環(huán)與點距離為X時，小環(huán)沿鋼絲滑動的速度.（答案：） 解:設t時刻小環(huán)在C位置,經(jīng)Dt時間(Dt足夠小),小環(huán)移動Dx,由于Dt很小,所以Da也很小,于是小環(huán)的速度v=Dx/Dt

4、,根據(jù)圖示關系,CD=OC´Da,，,從上面關系得. 2. 用微元法求：自由落體運動，在t1到t2時間內(nèi)的位移。（答案：） 解：把t1到t2的時間分成n等分，每段為Dt,則,且看成勻速。則v1=gt1+gDt,Ds1=( gt1+gDt)Dt,v2=gt1+2gDt,Ds2=(gt1+2gDt)Dt,×××××××××vn=gt1+ngDt,Dsn=(gt1+ngDt)Dt,s=Ds1+Ds2×××××××+Dsn=. 若v1

5、=gt1,Ds1=gt1Dt,v2=gt1+gDt,Ds2=(gt1+gDt)Dt,×××××××××vn=gt1+（n-1）gDt,Dsn=gt1+（n-1）gDtDt,s=Ds1+Ds2×××××××+Dsn= 也可用圖象法求解。 3. 螞蟻離開巢沿直線爬行,它的速度與到蟻巢中心的距離成反比,當螞蟻爬到距巢中心L1=1m的A點處時,速度是v1=2cm/s.試問螞蟻從A點爬到距巢中心L2=2m的B點所需的時間為多少? （答案：75s）

6、 解法1:將蟻巢中心定為坐標原點O,OA連線即為x軸正方向,則坐標x處螞蟻的速度可表示為.將AB連線分成n等份,每等份.當n很大時,每小段的運動可看成是勻速運動.每小段對應的速度為，××××××。 s 解法2：各種圖象的意義？因螞蟻在任一位置時的速度,即，1/v-x的圖象如圖所示。螞蟻運動的時間t為如圖梯形的面積，t=75s. 二.運動的合成與分解1.相對運動4. 某汽艇以恒定的速率沿著河逆流航行,在某一地點丟失一個救生圈,經(jīng)過t時間才發(fā)現(xiàn)丟失,汽艇立即調(diào)頭航行,并在丟失點下游s距離處追上救生圈,則水流的速度大小為 . （答案：s/2

7、t） 以地為參照物,水速為v1,船速為v2,船調(diào)頭后追上救生圈的時間為t¢,對船(v2+v1)t¢=(v2-v1)+v1(t¢+t)t，得t¢=t,所以v1=s/2t.或以水為參照物,則救生圈靜止,t¢=t,所以v1=s/2t 5. 在空間某點,向三維空間的各個方向以大小相同的速度v0射出很多的小球,問(1)這些小球在空間下落時會不會相碰?(2)經(jīng)t時間這些小球中離得最遠的二個小球間的距離是多少?（答案：不會相碰；2v0t） 解(1)選取在小球射出的同時開始點作自由下落作參照系,則小球都以v0的速度作勻速直線運動,小球始終在以拋出點為圓心的球面

8、上,所以小球不會相碰.(2)這些小球中離得最遠的二個小球間的距離等于球面的直徑,即d=2v0t.6. 一只氣球以10m/s的速度勻速上升,某時刻在氣球正下方距氣球為10m的地方有一個石子以v0的初速度豎直上拋(取g=10m/s2),石子要擊中氣球,則v0應滿足什么條件? （答案：m/s） 解法1:設氣球的速度為v,開始相距為h,當石子與氣球的速度相等時追上,石子要擊中氣球,否則石子不能擊中氣球,速度相等時所用的時間t=(v0-v)/a-(1),則好擊中時的位移關系為v0t-gt22=vt+h-(2) 解得石子的初速度至少m/s. 解法2:以氣球為參照物,則初速度v1=v0-v,未速度v2=0,

9、所以(v0-v)2=2gh,解得石子的初速度至少m/s. 2.物體系的相關速度：桿、繩上各點在同一時刻具有相同的沿桿、繩的分速度（即兩質(zhì)點間的距離的改變只取決于沿它們連線方向分運動，而它們相對方們位改變只取決于垂直連線方向的分運動）。求下列各圖中v1和v2的關系.答案依次是：A:v1=v2cosa;B:v1=v2cosa;C:v1cosq=v2cosa;D:v2=vtana; 7. 如圖所示，AB桿的A端以勻速v沿水平地面向右運動，在運動時桿恒與一半圓周相切，半圓周的半徑為R，當桿與水平線的交角為q時，求此時：（1）桿上與半圓周相切點C的速度大小。（2）桿轉(zhuǎn)動的角速度。（3）桿上AC中點的速度

10、大小。（4）桿與半圓周相切的切點的速度大小。答案：（1）；（2）；（3）；（4） 解：把A的速度分解成沿桿的速度，和垂直桿方向速度。 （1）沿同一桿的速度相等，所以桿上與半圓周相切點C的速度大小。 （2）A點對C點的轉(zhuǎn)動速度為，所以桿轉(zhuǎn)動的角速度為。 （3） （4）在相同時間內(nèi)，桿轉(zhuǎn)過的角度與切點轉(zhuǎn)過的角度相同，所以切點轉(zhuǎn)動的角速度也為，桿與半圓周相切的切點的速度大小。 8. 如圖所示，桿長為，可繞過點的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，其端點系著一跨過定滑輪、的不可伸長的輕繩，繩的另一端系一物塊，滑輪的半徑可忽略，在的正上方，之間的距離為。某一時刻，當繩的段與之間的夾角為時，桿的角速度為，求此時物塊的

11、速率。 解：，沿繩的分量由正弦定理知由圖看出由以上各式得 3.運動的合成與分解:在船渡河中，。推廣9. 當騎自行車的人向正東方向以5m/s的速度行駛時,感覺風從正北方向吹來,當騎自行車的人的速度增加到10m/s時,感覺風從正東北方向吹來.求風對地的速度及的方向. （答案：m/s，方向正東南） V風對地=V風對人+V人對地，得V風對地=m/s，方向正東南 10. 如圖所示,質(zhì)點P1以v1的速度由A向B作勻速直線運動,同時質(zhì)點P2以v2的速度由B向C作勻速直線運動,AB=L,ÐABC=a,且為銳角,試確定何時刻t,P1、P2的間距d最短,為多少?（答案：；） 解:以A為參照物,vBA=v

12、B地+v地A。B相對A的運動方向和速度的大小如圖所示.則B相對A的速度為有正弦定理，當B運動到D時(AD垂直AB)P1、P2的間距d最短,.所需的時間. 11. 一半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速率為v做勻速運動.在半圓柱體上擱置一根豎直桿,桿與半圓柱體接觸為點P，此桿只能沿豎直方向運動,如圖所示.求當OP與柱心的連線與豎直方向的夾角為a時,豎直桿運動的速度和加速度.（答案：vtana；） 解:(1)取半圓柱體作為參照系.在此參照系中P點做圓周運動,v桿柱的方向沿著圓上P點的切線方向,v桿地的方向豎直向上,因為,矢量圖如圖a所示.得v桿地=vtana。也可用微元法求. (2)有,因a柱地=

13、0,所以a桿地=a桿柱,而a桿地的方向豎直向下,又a桿柱可分解成切線方向at和法線方向an,矢量圖如圖b所示,所以得到.問題：若圓柱體的加速度為a，則a桿地=？，a桿地的方向仍在豎直方向上。 三拋體運動1.豎直上拋運動:v=v0-gt,s=v0t-gt2/2.如初速v0=20m/s豎直向上拋出,取g=10m/s2.求經(jīng)t=3s物體的位移.可用分段解,也可用s=v0t-gt2/2直接求解(15m,方向向下)12. 在地面上的同一點分別以v1和v2的初速度先后豎直向上拋出兩個可視作質(zhì)點的小球,第二個小球拋出后經(jīng)過Dt時間與第一個小球相遇,改變兩球拋出的時間間隔,便可改變Dt的值,已知v1<v

14、2,則Dt的最大值為 .(忽略空氣阻力) （答案：） 解法1：，相碰條件得要使方程有解：解得,取 解法2：因v1<v2,所以第二小球一定在上升時與第一小球相碰,在使Dt最大,則高度h應為最大:,解得,取2.平拋運動水平方向勻速運動:vx=v0,x=v0t 豎直方向自由落體運動:vy=gt,y=gt2 13. 如圖所示,從高H處的同一點先后平拋兩球1和2.球1直接經(jīng)豎直擋板的頂端落到水平地面B點,球2與地面的A點碰撞后經(jīng)豎直擋板的頂端,第二次落到水平地面B點.設球2與地面的碰撞是彈性碰撞,求豎直擋板的高度h. （答案：） 解:因球2與地面的碰撞是彈性碰撞,所以彈起后的運動與原來的運動對稱,

15、它的運動時間為t2=3t1,它們的水平初速v1=3v2,所以當水平位移相等時,它們的運動時間為3倍關系,兩球飛抵擋板的時間是t2¢=3t1¢,設球2第一次著地到飛躍擋板頂端的時間為t,因小球的上升和下落的運動是對稱的,所以它們的時間關系為:.得對球2下落解得. 3.斜拋運動（拋射角為a，初速為v0）水平方向：vx=v0cosa,x=v0cosat,豎直方向：vy=v0sina,y= v0sinat-gt2,物體運動到最高點的時間：,射高：，射程：，當a=45°時X最大。14. 一物體以v0的初速從A點開始以恒定的加速度作曲線運動，經(jīng)1s運動到B點，再經(jīng)1s運動到C

16、點。已知AB=3m，BC=m，ABBC，求初速度大小v0和加速度大小a。（答案：m/s; m/s2,） 解：物體與加速度垂直方向是勻速運動，在相等時間內(nèi)的位移相等。作直角三角形，AC的中點P與B的連線應是加速度反方向，如圖所示。在A到B的過程，設x方向的初速為vx,則m/s設y方向的初速為vy,加速度大小為a,m在A到B的過程在A到C的過程解得加速度大小m/s2,m/s，所以m/s=4.58m/s。 15. 如圖所示,一倉庫高25m,寬40m.今在倉庫前L、高5m的A點處拋出一石塊過屋頂,問L為多少時所需的初速v0可最小.（答案：14.6m） 解:當v0最小時,拋物線必經(jīng)過屋頂邊緣的B、C兩點

17、,物體經(jīng)過B點時的速度也必最小,所以把坐標的原點移到B點,建立水平方向為x軸,豎直方向為y軸.因斜拋物體的射程BC一定,所以當vB的方向與水平方向成a=450角時,vB最小.由，所以-水平方向x=vBcosat, 豎直方向y=vBsinat-gt2-.兩式消去t得y=x-x2/40-(3),將A點的坐標(-L,-20)代入(3)得L=14.6m. 16. 如圖所示,一人從離地平面高為h處以速率v0斜向上拋出一個石子,求拋射角為多少時，水平射程最遠？最遠射程為多少？（答案：;） 解法1：射程最大時，a¹45°（a<45°）根據(jù)斜拋運動規(guī)律：x=v0cosat-

18、 y=-h=v0sinat-gt2-把上述二式消去a得或-當時，x2有極值，即x有極值。把t代入式得。再把t代入式，得。 解法2：用x=v0cosat,y=v0sinat-gt2,兩式中消去a,得或,有D³0求得.x的最大值x=. 解法3:設發(fā)射角為a,水平方向為x=v0cosat,豎直方向為y=v0sinat-gt2,有運動方程消去時間得,當y=-h時,x=s,.令j=tan-1,則v02=,當sin(2a-j)=1,s最大,s的最大值s=. 解法4：把斜拋運動分解成v0方向的勻速運動和豎直方向的自由落體運動，其位移矢量圖如圖所示。則由圖可得。以下解法與解法1相同。 解法5:初速v

19、0、末速v和增加的速度gt有如圖的關系,這個矢量三角形的面積S=vxgt=g(vxt),式中vxt就是石子的水平射程,所以當S最大時,石子的水平射程也最大,而三角形面積又可表示為S=v0vsinq.因v0和v=的大小都是定值,所以當q=900時,S有最大值,.因此最大射程s=vxt=. 說明：不同的解法，a有不同的表達式，根據(jù)三角函數(shù)可證明結(jié)果一樣。 17. 如圖所示，彈性小球從高為h處自由下落，落到與水平面成a角的長斜面上，碰撞后以同樣的速率反彈回來。求：（1）每相鄰兩點第一點和第二點、第二點和第三點×××××××第n點和

20、第（n+1）間的距離。（2）當小球與斜面發(fā)生碰撞前瞬間，斜面以v的速度豎直向上作勻速直線運動，求第一點和第二點間的距離。答案：（1）; 解：（1）取沿斜面向下為x軸，垂直斜面方向為y軸。小球與斜面第一次碰撞前后的速度大小，方向與y軸對稱，則vx1=v0sina,ax=gsina,vy1=v0cosa,ay=-gcosa,第一點與第二點碰撞時間間隔。所以第一點與第二點間的距離。第二次碰撞時刻的速度vx2=v0sina+gsinat1=3v0sina,vy2=v0cosa-gcosat1=-v0cosa,碰后，vy大不變，每相鄰兩次碰撞時間間隔不變，。所以第二點與第三點間的距離。同理，第n點與第n

21、+1點間的距離。 (2)因，當斜面向上作勻速運動時，以斜面為參照物，小于與斜面碰撞時的速度v¢=v0+v,所以。四圓周運動1.質(zhì)點的勻速圓周運動(1)線速度度,(2)角速度,(3)角加速度,(4)線速度和角速度的關系,(5)角速度與時間的關系,(6)角度與時間和關系,(7)向心加速度(改變速度方向),(8)切向加速度(改變速度大小)(9)質(zhì)點的加速度(法向和切向的合成).18. 一質(zhì)點以半徑為R,線速度為v作勻速圓周運動,求證質(zhì)點的向心加速度. 解:根據(jù)相似三角形,得,兩邊同除Dt,得,當Dt®0時,j®0,Dv的方向與vA方向垂直,即加速度的方向指向圓心,就是線

22、速度,所以得到向心加速度大小.問題：，對非勻速圓周運動適用嗎？ 19. 賽車在公路的平直段上以盡可能大的加速度行駛,在0.1s時間內(nèi)速度由10.0m/s加大到10.5m/s,那么該賽車在半徑為30m的環(huán)形公路段中,達到同樣的結(jié)果需要多少時間?當環(huán)行公路的半徑為多少時,賽車的速度就不可能增大到超過10m/s?設公路的平面是水平的.（答案：0.14s;20m） 解:合力產(chǎn)生的最大加速度am=(v2-v1)/Dt1=5m/s2,作圓周運動時 , ,則s,半徑最小時：,所以=20m. 20. 如圖所示,半徑為r的圓輪在半徑為R的固定圓柱上滾動,已知半徑為r的圓輪的輪心的速率恒為v,求當圓輪在固定圓柱的

23、最高點的如圖時刻:(1)圓輪上P點的加速度.(2)圓輪與圓柱接觸點的加速度.答案：(1) ; 解:(1)P點相對O轉(zhuǎn)動,有,P點相對地的速度多大?由.無相對滑動時,vP地=0，aP地¹0，vPO大小等于vO地=v，有滑動時？而aP對O=,方向向上;aO對地=,方向向下.所以P點的速度度aP對地=aP對O-aO對地=,方向向上. (2)接觸點P運動的線速度v¢=,接觸點的加速度. 21. 如圖所示，利用定滑輪繩索拉物體，已知拉繩索的速率v恒定不變。求如圖時刻：物體離定滑輪的水平距離為s、物體離定滑輪的豎直距離為h時物體的加速度。（答案：） 解:設物體的速度為v¢，繩

24、與水平夾角為a。則，物體的速度v¢=v/cosa,此時刻物體可看成相對繞滑輪（圓心）半徑為、速度v切=vtana的轉(zhuǎn)動，物體的加速度沿水平方向。因圓心作勻速運動，物體對地的加速度等于物體對圓心作圓周運動的加速度，物體的加速度可分解成垂直繩子at切向加速度和沿繩子an法向加速度，其合加速度的方向水平。法向加速度：，所以物體的加速度：。注意：若拉繩子的加速為a¢,則物體的加速度多大？物體沿繩子方向相對地的加速度a¢地=a¢+ an ，所以物體的加速度：。a合不是a和a¢的合成，為什么？（a¢不影響an，但要影響at,a合的方向仍水平方向）

25、。 2.剛體的轉(zhuǎn)動、瞬時軸(1)剛體上各點相對某一點的角速度都相等。(2)瞬時軸是指某時刻的速度為零，確定方法：任意兩點的速度方向垂直的直線的交點，它與某點的距離R=v/w（3）瞬時軸的速度為零，加速度不為零。如圖所示,小球在地上無滑動的滾動,求A、B、C的速度大小加速度的大?。坑盟俣鹊暮铣桑ɑ蛴肁點為瞬時軸）求解：VA=0;vB=;vC=2v。O點作勻速運動，對地的加速度等于對O點的加速度，都為（或用）22. 一輛汽車沿水平公路以速度v無滑動地運動,如果車輪的半徑為R,求從車輪邊緣拋出的水滴上升的最大高度（離地）。（答案：當,;當，ym=2R） 解:設水滴拋出時速度方向與水平面成a角，根據(jù)速

26、度的合成（或瞬時軸），水滴的速度v¢=w2Rcosa=2vcosa其高度： =當cos2a=時，.因cos2a<1，所以當，即時， 當，即時，ym=2R（是的最小值）. 3.曲線運動的曲離半徑:如當圓柱體在水平地面上滾動時: B點運動的曲離半徑r¹，因vB=,所以曲離半徑23. 求拋物線曲率半徑與x關系。（答案：） 解：因平拋運動的軌跡為拋物線，如圖3所示。設平拋運動的初速度為v0¢，則平拋運動的水平位移為,豎直高度為，平拋運動的軌跡為。比較和，當，或時平拋運動的軌跡與拋物線的軌跡相同。 根據(jù)機械能守恒定律，物體在任一點（P點）時的速度大?。?。把和代入上式得

27、 在P點物體的法向加速度：。 所以拋物線曲率半徑與x關系：。 拋物線頂點（x=0）的曲率半徑：。 也可直接求頂點的曲率半徑：。 24. 有一只狐貍以不變的速度v1沿直線AB逃跑,一獵犬以不變的速率v2追擊,其運動方向始終對準狐貍.某時刻狐貍在F處,獵犬在D處,FDAB,且FD=L(如圖所示)求此時獵犬的加速度大小.（答案：） 解:獵犬作恒速率的曲線運動,設在Dt(很短)時間內(nèi),則可看成是勻速圓周運動,設半徑為R,則獵犬的加速度大小,在Dt的時間內(nèi)獵犬通過的路程Ds2=v2Dt，狐貍通過的路程Ds1=v1Dt，有相似三角形,得,所以獵犬的加速度大小.五綜合題例25. 百貸大樓一、二樓間有一部正在

28、向上運動的自動扶梯,某人以速度v沿梯向上跑,數(shù)得梯子有N1級,到二樓后他又反過來以速度v沿梯下跑,數(shù)得梯子有N2級,那么該自動扶梯的梯子實際為 級. （答案：） 解:因人相對扶梯的速度不變,所以扶梯的級數(shù)與時間成正比,N=t=S/v-(1), -(2), -(3).得N= 26. 在高為h處有一木球A由靜止開始下落,由于空氣阻力的作用,下落的加速度大小為g/10,同時在A正下方的地面上有一鐵球B以v0的初速度豎直上拋(空氣對鐵球的阻力可以忽略不計,鐵球的加速度大小為g)要使A和B在空中相撞,v0應滿足什么關系? （答案：） 解:相碰時位移關系v0t-gt2+at2=h-(1)v0較大時,A和B

29、在空中一定能相撞,當v0較小時,B在下落過程中與A相碰, v0最小的臨界條件速度相等,即-(v0-gt)=at-(2),式中代入(2)式得,把和,代入(1),得,即要使A和B在空中相撞.另解：使（1）式有解D³0來求解。 27. 如圖所示,水平方向以v0速度向右運動的車廂，車廂內(nèi)的桌面上離車廂底的高度為h處有一小球，當車廂以速度度大小為a作勻減速度直線運動時，小球以v0的速度水平離開車廂。求小球落到車廂底上距桌面邊緣A點的距離（車廂底足夠長）。（答案：當時;當時，.） 解：小球在空中運動的時間。當時，以車廂為參照物，距桌面邊緣A點的距離.當時，則.28. 如圖所示,直桿AB擱在半徑為

30、R的固定圓環(huán)上作平動,速度恒為v。求當桿運動到如圖位置時,桿與環(huán)的交點M的速度和加速度.（答案：;） 解:設M點相對桿的速度為v¢,則M點對地的速度vM是v¢和v的合成：，如左圖所示.得(也可用微元法解)。 M點對地的加速度因AB作勻速運動,a桿地=0,則因M點對地作圓周運動所以即aM地的方向沿桿向左(因環(huán)對桿作減速運動),矢量關系如右圖所示.因,得M對地的加速度.29. 有兩艘船在大海中航行,A船航向正東,船速每小時15公里,B船航向正北,船速每小時20公里,A船正午通過某一燈塔,B船下午2時通過同一燈塔.問:什么時候A、B兩船相距最近?最近距離是多少?（答案：下午1.28hA、B兩船相距最近; 24Km） 解:以A為參照系, 所以vBA=25Km/h,方向為北偏西370. 我們從正午開始考慮,B船以vBA航行,顯然B船使到C點時(ACBC)時二船相距最近.B船從B點使到D點(即燈塔)的時間為2小時.BD=vBAt=50Km,AB=BDcos370=40Km,最近距離AC=ABsin370=24Km.B到C的時間=1.28h,即下午1.28hA、B兩船相