高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與積分題型大總結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)的單調(diào)性(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性注意：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，f'(x)是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時(shí)f'(x)=0。也就是說(shuō)，如果已知f(x)為增函數(shù)，解題時(shí)就必須寫(xiě)f'(x)0。(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟確定f(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；由（或）解出相應(yīng)的x的范圍當(dāng)f'(x)0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f'(x)0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)2函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的判定如果在兩側(cè)符號(hào)相同，則不是f(x)的極值點(diǎn)；極大值與極小值判斷3求函數(shù)極值的步驟確

2、定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；在定義域內(nèi)求出所有的駐點(diǎn)，即求方程及的所有實(shí)根；檢查在駐點(diǎn)左右的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值4函數(shù)的最值(1)如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)內(nèi)一點(diǎn)處取得的，顯然這個(gè)最大值（或最小值）同時(shí)是個(gè)極大值（或極小值），它是f(x)在(a，b)內(nèi)所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端點(diǎn)a或b處取得，極值與最值是兩個(gè)不同的概念(2)求f(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中

3、最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值7.   注意事項(xiàng)（1）函數(shù)圖像看增減，導(dǎo)數(shù)圖像看正負(fù)。（2）極大值不一定比極小值大。高階導(dǎo)數(shù)的求法：由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).一般用來(lái)尋找解題方法?！纠}解析】考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念【例1】 是的導(dǎo)函數(shù)，則的值是【例2】.設(shè)函數(shù),集合M=,P=,若MP,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考點(diǎn)2 曲線的切線（1）關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線求曲線y=f(x)在某一點(diǎn)P（x,y）的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率.（2） 關(guān)于兩曲線的公切線 ：若一直線

4、同時(shí)與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.【例3】.已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)（I）求的最大值；（II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過(guò)函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式解答過(guò)程：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且于是，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處過(guò)的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則不是的極值點(diǎn)而，且若，則和都是的極值點(diǎn)所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，所以在兩邊附近的

5、函數(shù)值異號(hào)，于是存在（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則，所以，又由，得，故【例4.】若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D【例5】過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 【例6】已知兩拋物線, 取何值時(shí)，有且只有一條公切線，求出此時(shí)公切線的方程.解答過(guò)程：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)P()處的切線方程為，即 曲線在點(diǎn)Q的切線方程是即若直線是過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去得方

6、程， 若=，即時(shí)，解得，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合.當(dāng)時(shí)，和有且只有一條公切線，由式得公切線方程為 .考點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 求函數(shù)的解析式; 2. 求函數(shù)的值域; 3.解決單調(diào)性問(wèn)題; 4.求函數(shù)的極值（最值）;5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.典型例題【例7】.函數(shù)定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)圖象如圖，則函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè)D 4個(gè)【例8】 設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值（）求a、b的值；（）若對(duì)于任意的，都有成立，求c的取值范圍解答過(guò)程：（），因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，即解得，（）由（）可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，則當(dāng)時(shí)，的最大值為因?yàn)閷?duì)于任意的，有恒成立，所

7、以，解得或，因此的取值范圍為【例9】函數(shù)的值域是_.解答過(guò)程：由得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.【例10】已知函數(shù)，其中為參數(shù)，且（1）當(dāng)，判斷函數(shù)是否有極值；（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解答過(guò)程（）當(dāng)時(shí)，則在內(nèi)是增函數(shù)，故無(wú)極值.（），令，得.由（），只需分下面兩種情況討論. 當(dāng)時(shí)，隨x的變化的符號(hào)及的變化情況如下表：x0+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.當(dāng)時(shí)，隨x的變化，的符號(hào)及的變化情況如下表：+0-0+

8、極大值極小值因此，函數(shù)處取得極小值，且若，則.矛盾.所以當(dāng)時(shí)，的極小值不會(huì)大于零.綜上，要使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為.（III）解：由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè)，函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿足不等式組 或 由（II），參數(shù)時(shí)時(shí)，.要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.【例11】設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解答過(guò)程由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時(shí)，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：

9、當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.【例12】已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如圖所示.求：（）的值；（）的值.解答過(guò)程解法一：（）由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以（）由得解得解法二：（）同解法一（）設(shè)又所以由即得所以【例13】設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).（）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，.若存在使得成立，求的取值范圍.解答過(guò)程（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，則 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x3

10、3a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點(diǎn)，所以x+a+10，那么a4.當(dāng)a<4時(shí)，x2>3x1，則在區(qū)間（，3）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（3，a1）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（a1，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù).當(dāng)a>4時(shí)，x2<3x1，則在區(qū)間（，a1）上，f (x)<0， f (x)為減函數(shù)；在區(qū)間（a1，3）上，f (x)>0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，）上，f (x)<0，f (x)為減函數(shù).（）由（）知，當(dāng)a&g

11、t;0時(shí)，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e3<0，f (4)（2a13）e1>0，f (3)a6，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只須僅須（a2）（a6）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范圍是（0，）.【例14】 已知函數(shù)，在處取得極大值，在處取得極小值，且（1）證明；（2）

12、若z=a+2b,求z的取值范圍。解答過(guò)程求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個(gè)根所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由，得（）在題設(shè)下，等價(jià)于即化簡(jiǎn)得此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫嫔先龡l直線：所圍成的的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為：ba2124O在這三點(diǎn)的值依次為所以的取值范圍為考點(diǎn)4 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例15】.用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？解答過(guò)程設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x（m），則長(zhǎng)為2x(m)，高為.故長(zhǎng)方體的體積為從而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當(dāng)0x1時(shí)，V

13、（x）0；當(dāng)1x時(shí)，V（x）0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積VV（x）9×12-6×13（m3），此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m，高為1.5 m.答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為3 m3?！纠?6】統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米.（I）當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 曲邊梯形

14、的面積與定積分例1（1）已知和式當(dāng)n+時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則A可用定積分表示為（）AB C D（2）下列定積分為1是（）A B C D（3）求由圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，若選擇為積分變量，則積分區(qū)間為（）A0，B0，2 C1，2D0，1（4）由y=cosx及x軸圍成的介于0與2之間的平面圖形的面積，利用定積分應(yīng)表達(dá)為 （5）計(jì)算= 。 例2利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分的值是正是負(fù)？（1）； （2）； （3）利用定積分的幾何意義，比較下列定積分的大小， ， 。 例3計(jì)算下列定積分：； ； 。例4 利用定積分表示圖中四個(gè)圖形的面積：xOay = x2 l (1)xO21y = x2 (

15、2)yyy=(x-1)2 -1Ox12(3)xabOl y = 1(4)yy 【練習(xí)】1下列定積分值為1的是（）AB。C。D。2=（）A0B。CD。3設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)0，則當(dāng)ab時(shí)，定積分的符號(hào)（ ）A一定是正的B當(dāng)0<a<b時(shí)為正，當(dāng)a<b<0時(shí)為負(fù)C一定是負(fù)的D當(dāng)0<a<b時(shí)為負(fù)，當(dāng)a<b<0時(shí)為正4由直線，及軸所圍成平面圖形的面積為（）AB。CD。5和式當(dāng)n+時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則A用定積分可表示為 。6曲線，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為7計(jì)算曲邊三角形的面積的過(guò)程大致為：分割；以直代曲；作和；逼近。試用該方法計(jì)算由直線x=0

16、，x=1，y=0和曲線y=x2所圍成的曲邊三角形的面積。（下列公式可供使用：12+22+n2=）8求由曲線與所圍的圖形的面積.9計(jì)算，其中,10彈簧在拉伸過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常數(shù)，x是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)b所做的功曲邊梯形的面積與定積分 A組1若是上的連續(xù)偶函數(shù)，則 （）AB0CD2變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v(t)，初始t=0時(shí)所在位置為，則當(dāng)秒末它所在的位置為（）ABCD3由直線，及軸所圍成平面圖形的面積為（）ABCD4設(shè)且，給出下列結(jié)論：A0；B0；。其中所有正確的結(jié)論有 。5設(shè)函數(shù)f (x)的圖象與直線x =a, x =b及x軸所圍成圖形的面

17、積稱為函數(shù)f(x)在a，b上的面積。已知函數(shù)ysinnx在0，（nN*）上的面積為。ysin3x在0,上的面積為 ；ysin（3x）1在，上的面積為 。6求由曲線與所圍的圖形的面積。7試根據(jù)定積分的定義說(shuō)明下列兩個(gè)事實(shí)：；。8物體按規(guī)律（m）作直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)介質(zhì)的阻力與速度成正比，且速度等于10（m/s）時(shí)阻力為2（N），求物體從x=0到x=2阻力所做的功的積分表達(dá)式 曲邊梯形的面積與定積分B組1如果1kg力能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm，則力所作的功為（）A0.18kg·mB0.26kg·mC0.12kg·mD0.28kg·m2已知ba，下列值：

18、，|的大小關(guān)系為（）A|B。|C= |=D= |3若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線x=a, x=b所圍圖形的面積（）ABC，D4給出下列命題：若0，ba，則f(x)0；若f(x)0，ba，則0；若=0，ba，則f(x)=0；若f(x)=0，ba，則=0；若=0，ba，則f(x)=0。其中所有正確命題的序號(hào)為 。5給出下列定積分：，其中為負(fù)值的有 。6求由曲線所圍圖形的面積。7計(jì)算：。8試問(wèn)下面的結(jié)論是否成立？若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是單調(diào)增函數(shù)，則。若成立，請(qǐng)證明之；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。【典型例題】例1（1）B（2）C3B。（4）或。（5）。提示：這是求單位圓落在第一象限內(nèi)部分的面積。 例2（1）正 (2)正 (3)負(fù)。 。 例3 (1)； (2) ；(3)0 ；(4)0。 例4 (1) ； (2) ； (3) ；(4) 【課內(nèi)練習(xí)】1C。2A。提示：被積函數(shù)為奇函數(shù)，且積分區(qū)間又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用定積分的幾何意義知，面積的代數(shù)