高中數(shù)學(xué)中對稱性問題

1、對稱性與周期性函數(shù)對稱性、周期性的判斷1. 函數(shù)有（若等式兩端的兩自變量相加為常數(shù)，如），則的圖像關(guān)于軸對稱；當(dāng)時，若，則關(guān)于軸對稱；2. 函數(shù)有（若等式兩端的兩自變量相減為常數(shù)，如），則是周期函數(shù)，其周期；當(dāng)時，若，則是周期函數(shù)，其周期；3. 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；4. 奇函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱是周期函數(shù)，且是函數(shù)的一個周期；偶函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱是周期函數(shù)，且是函數(shù)的一個周期；5. 奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱是周期函數(shù)，且是函數(shù)的一個周期；偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱是周期函數(shù)，且是函數(shù)的一個周期；6. 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對稱函數(shù)是周期函數(shù)，且是函數(shù)的一個周期；7. 函數(shù)的

2、圖像關(guān)于直線和直線對稱函數(shù)是周期函數(shù)，且是函數(shù)的一個周期。關(guān)系圖像特征關(guān)于軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于軸對稱，或關(guān)于直線對稱關(guān)于直線軸對稱關(guān)于直線對稱周期函數(shù)，周期為心)中稱對(軸稱對)線直(點(diǎn)稱對線直、點(diǎn)原點(diǎn)（0，0）軸軸直線直線一、 點(diǎn)對稱(1) 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)問題若點(diǎn)A, B, 則線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是()；據(jù)此可以解求點(diǎn)與點(diǎn)的中心對稱，即求點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，解算的的坐標(biāo)為。例如點(diǎn)M(6,-3)關(guān)于點(diǎn)P(1,-2)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是. 點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)的坐標(biāo); 點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).(2) 直線關(guān)于點(diǎn)對稱 直線L：關(guān)于原點(diǎn)的對稱直線設(shè)所求直線上一點(diǎn)為，

3、則它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，故有，即； 直線：關(guān)于某一點(diǎn)的對稱直線它的求法分兩種情況：1)、當(dāng)在上時，它的對稱直線為過點(diǎn)的任一條直線。2)、當(dāng)點(diǎn)不在上時，對稱直線的求法為：解法（一）：在直線上任取一點(diǎn)，則它關(guān)于的對稱點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線在中，便得到的方程即為，簡化為：.解法（二）：在上取一點(diǎn)，求出關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。再由，可求出直線的方程。解法（三）：由，可設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對稱直線為且求設(shè)從而可求的及對稱直線方程。(3) 曲線關(guān)于點(diǎn)對稱曲線關(guān)于的對稱曲線的求法：設(shè)是所求曲線的任一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為在曲線上。故對稱曲線方程為。二、 直線的對稱(1) 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱1)

4、 點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為2) 點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為3) 關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是4) 關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是5) 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為6) 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為7) 點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)解法（一）：由知，直線的方程，由可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。解法（二）：設(shè)對稱點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)為把中點(diǎn)坐標(biāo)代入中得到；再由得，聯(lián)立、可得到點(diǎn)坐標(biāo)。解法（三）：設(shè)對稱點(diǎn)為，由點(diǎn)到直線的距離公式有，再由得，由、可得到點(diǎn)坐標(biāo)。(2) 直線關(guān)于直線的對稱直線設(shè)直線，則關(guān)于軸對稱的直線是關(guān)于軸對稱的直線是關(guān)于對稱的直線是關(guān)于對稱的直線是1) 當(dāng)與不相交時，則在上取一點(diǎn)求出它關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

5、再利用可求出的方程。2) 當(dāng)與相交時，、三線交于一點(diǎn)。解法（一）：先解與組成的方程組，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。則交點(diǎn)必在對稱直線上。再在上找一點(diǎn)，點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在上，由、兩點(diǎn)可求出直線的方程。解法（二）：在上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在直線上，再由，。又的中點(diǎn)在上，由此解得，把點(diǎn)代入直線的方程中可求出的方程。解法（三）：設(shè)關(guān)于的對稱直線為，則必過與的交點(diǎn)，且到的角等于到的角，從而求出的斜率，進(jìn)而求出的方程。例：求直線關(guān)于直線對稱的直線的方程解：設(shè)為所求直線上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于對稱的點(diǎn)在直線上.故所求直線方程為(3) 曲線關(guān)于直線對稱曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程，在上任取一點(diǎn)，可求出它關(guān)于的對稱點(diǎn)坐標(biāo)

6、，再代入中，就可求得的方程。例：求圓關(guān)于直線：的對稱圓的方程解法（一）：設(shè)為所求圓上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于對稱的點(diǎn)在上. -即為對稱圓的方程解法（二）：求圓心（0，0）關(guān)于對稱點(diǎn)C（1，1）例：求橢圓 關(guān)于直線：對稱橢圓的方程解：設(shè)為所求橢圓上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于對稱的點(diǎn)在上.綜合上述，求對稱問題通常采用變量替換、數(shù)形結(jié)合等解題思想。求對稱問題的通法是： 求對稱點(diǎn)一般采用，先設(shè)對稱點(diǎn)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式或垂直、平分等條件，列出的方程組，解方程組所得的解就是對稱點(diǎn)的坐標(biāo)， 求對稱直線一般是：先設(shè)對稱曲線上任一點(diǎn)，再利用求對稱點(diǎn)的方程求出點(diǎn)的對稱點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入已知曲線方程中，所得的關(guān)于的關(guān)系式，

7、就是所求對稱曲線的方程。通過上述研究，解析幾何中的各種對稱點(diǎn)，對稱曲線（包括直線）列表如下：心)中稱對(軸稱對)線直(點(diǎn)稱對線直、點(diǎn)原點(diǎn)（0，0）軸軸直線直線三、 函數(shù)圖像自身的對稱(1) 一般地，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱滿足證明:1)若滿足,設(shè)是的圖象上的任意一點(diǎn),則,關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是由條件知所以在的圖象上,故函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.2) 若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱. 設(shè)是的圖象上的任意一點(diǎn)，則關(guān)于對稱點(diǎn)也在的圖象上。從而有。令則有特例： 當(dāng)b=a時，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱滿足 當(dāng)a=0,b=2m時，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱滿足 當(dāng)a+b=0時，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱滿足(2) 函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，或或 簡證：設(shè)點(diǎn)在上，即

8、，通過可知，所以，所以點(diǎn)也在上，而點(diǎn)與關(guān)于對稱。得證。關(guān)系圖像特征關(guān)于軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于軸對稱，或關(guān)于直線對稱關(guān)于直線軸對稱關(guān)于直線對稱周期函數(shù)，周期為四、 兩個函數(shù)圖像的對稱關(guān)系圖像特征與換種說法：與若滿足關(guān)于軸對稱與關(guān)于軸對稱與關(guān)于原點(diǎn)對稱與關(guān)于直線對稱與關(guān)于直線對稱與或與關(guān)于直線對稱與換種說法：與若滿足關(guān)于直線對稱 換種說法：與若滿足關(guān)于點(diǎn)對稱五、 周期性1、一般地，對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。說明：周期函數(shù)定義域必是無界的。推廣：若，則是周期函數(shù)，是它的一個周期2.若是周期，則也是周期

9、，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期。說明：周期函數(shù)并非都有最小正周期。如常函數(shù)；3、對于非零常數(shù)，若函數(shù)滿足，則函數(shù)必有一個周期為。證明：函數(shù)的一個周期為。4、對于非零常數(shù)，函數(shù)滿足，則函數(shù)的一個周期為。證明：。5、對于非零常數(shù)，函數(shù)滿足，則函數(shù)的一個周期為。證明：。6、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對任意正整?shù)都有則函數(shù)的一個周期為證明： （1） （2）兩式相加得：六、 對稱性和周期性之間的聯(lián)系性質(zhì)1：函數(shù)滿足，求證：函數(shù)是周期函數(shù)。證明：得得函數(shù)是周期函數(shù)，且是一個周期。性質(zhì)2：函數(shù)滿足和時，函數(shù)是周期函數(shù)。（函數(shù)圖象有兩個對稱中心（a，）、（b，）時，函數(shù)是周期函數(shù)，且對稱中心距離的兩倍，是函數(shù)的一個周期）證明：由 得 得函數(shù)是以為周期的函數(shù)。性質(zhì)3：函數(shù)有一個對稱中心（a，c）和一個對稱軸（ab）時，該函數(shù)也是周期