階線性微分方程組第二講一階線性微分方程組的一般概念及理論

1、第二講 一階線性微分方程組的一般概念與一階線性齊次方程組的一般理論（4課時）一、 目的與要求: 了解一階線性微分方程組的一般概念與一階線性齊次方程組的一般理論, 掌握一階線性齊次方程組的通解結(jié)構(gòu), 理解基本解矩陣, Wronsky行列式等概念.二、重點(diǎn)：一階線性齊次方程組的通解結(jié)構(gòu), 基本解矩陣, Wronsky行列式.三、難點(diǎn)：基本解矩陣, Wronsky行列式.四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：1. 一階線性微分方程組的一般概念如果在一階微分方程組(3.1)中, 函數(shù), 關(guān)于是線性的, 即(3.1)可以寫成

2、 (3.6)則稱(3.6)為一階線性微分方程組. 我們總假設(shè)(3.6)的系數(shù)及在某個區(qū)間上連續(xù).為了方便, 可以把(3.6)寫成向量形式. 為此, 記及根據(jù)第13講的記號, (3.6)就可以寫成向量形式1 / 13 (3.7)如果在上, ,方程組(3.7)變成 (3.8)我們把(3.8)稱為一階線性齊次方程組.如果(3.8)與(3.7)中相同, 則稱(3.8)為(3.7)的對應(yīng)的齊次方程組.與第二章中關(guān)于一階線性微分方程的結(jié)果類似, 我們可以證明如下的關(guān)于(3.7)的滿足初始條件(3.2)的解的存在與唯一性定理.定理3.1 如果(3.7)中的及在區(qū)間上連續(xù), 則對于上任一以及任意給定的, 方程

3、組(3.7)的滿足初始條件(3.2)的解在上存在且唯一.這個定理的證明留給讀者完成. 它的結(jié)論與定理3.1的不同之處是定理3.1的解的存在區(qū)間是局部的，而定理3.1則指出解在整個區(qū)間上存在.2. 一階線性齊次方程組的一般理論 一階線性齊次微分方程組解的性質(zhì)本節(jié)主要研究一階線性齊次方程組(3.8)的通解結(jié)構(gòu).為此我們首先從(3.8)的解的性質(zhì)入手.   定理3.2 如果是方程組(3.8)的個解，則              &#

4、160;     (3.9)也是(3.8)的解，其中是任意常數(shù).換句話說，線性齊次方程組(3.8)的任何有限個解的線性組合仍為(3.8)的解.  證明 因?yàn)槭?3.8)的解，即 成立. 再由 這就證明了(3.9)是(3.8)的解.    定理3.2告訴我們，一階線性齊次微分方程組(3.8)的解集合構(gòu)成了一個線性空間.為了搞清楚這個線性空間的性質(zhì)，進(jìn)而得到方程組(3.8)的解的結(jié)構(gòu)，我們引入如下概念.定義3.1  設(shè)是個定義在區(qū)間I上的n維向量函數(shù). 如果存在m個不全為零的常數(shù)，使得&#

5、160;              在區(qū)間上恒成立, 則稱這個向量函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān), 否則稱它們在區(qū)間上線性無關(guān).顯然，兩個向量函數(shù)的對應(yīng)分量成比例是它們在區(qū)間I上線性相關(guān)的充要條件. 另外, 如果在向量組中有一零向量, 則它們在區(qū)間I上線性相關(guān).若是(3.8)的個解, 稱下面的矩陣為這個解組對應(yīng)的矩陣 對它它的第個列向量為. 如果這組解是線性無關(guān)的, 則稱此矩陣為(3.8)的基本解矩陣    例1 向量函數(shù)它 

6、  在任何區(qū)間(a, b)上是線性相關(guān)的. 事實(shí)上取有。例2 向量函數(shù)   在(-,+)上線性無關(guān). 事實(shí)上，要使得成立，或?qū)懗杉兞啃问剑?顯然, 僅當(dāng)時, 才能使上面三個恒等式同時成立, 即所給向量組在上線性無關(guān).上上上例3 向量函數(shù) 在上線性無關(guān). 事實(shí)上，由于相當(dāng)于純量形式 由此可以看出：僅當(dāng)時，才能使上面三個恒等式同時成立，即所給向量組在上線性無關(guān).    例3中兩個向量函數(shù)的各個對應(yīng)分量都構(gòu)成線性相關(guān)函數(shù)組. 這個例題說明，向量函數(shù)組的線性相關(guān)性和由它們的分量構(gòu)成的函數(shù)組的線性相關(guān)性并不等價.下面介紹n個n維向量

7、函數(shù)組                                                (3.10)在其定義區(qū)間I上線性相關(guān)與

8、線性無關(guān)的判別準(zhǔn)則.我們考察由這些列向量所組成的行列式通常把它稱為向量組(3.10)的朗斯基(Wronsky)行列式.定理3.3 如果向量組(3.10)在區(qū)間I上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在I上恒等于零.證明 依假設(shè)，存在不全為零的常數(shù),使得                     把上式寫成純量形式, 有 這是關(guān)于的線性齊次代數(shù)方程組，且它對任一，都有非零解.根據(jù)線性代數(shù)知識，它的系數(shù)行列式

9、W (x)對任一都為零.故在I上有W(x)0.證畢.對于一般的向量函數(shù)組, 定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函數(shù)   的朗斯基行列式恒等于零，但它們卻是線性無關(guān)的.然而，當(dāng)所討論的向量函數(shù)組是方程組(3.8)的解時，我們有下面的結(jié)論.定理3.4 如果是方程組(3.8)的n個線性無關(guān)解，則它們的朗斯基行列式W(x)在I上恒不為零.證明(反證法) 如果有使得，考慮線性齊次代數(shù)方程組                &

10、#160;由于系數(shù)行列式, 所以它存在非零解, 即考慮函數(shù)由定理3.2知函數(shù)是(3.8)的解，而且它滿足初始條件.另一方面，也是方程(3.8)的滿足初值條件的解. 因此，根據(jù)定理3.1有即 因?yàn)椴蝗珵榱?，從而在I上線性相關(guān)，這與假設(shè)矛盾，定理證畢.由定理3.3和定理3.4立即得到如下的推論.推論3.1 如果向量組(3.10)的朗斯基行列式W(x)在區(qū)間I上的某一點(diǎn)處不等于零，即, 則向量組(3.10)在I上線性無關(guān).實(shí)際上，這個推論是定理3.3的逆否命題.推論3.2 如果方程組(3.8)的n個解的朗斯基行列式W(x)在其定義區(qū)間I上某一點(diǎn)等于零，即, 則該解組在I上必線性相關(guān).實(shí)際上

11、，這個推論是定理3.4的逆否命題.    推論3.3 方程組(3.8)的n個解在其定義區(qū)間I上線性無關(guān)的充要條件是它們的朗斯基行列式W(x)在I上任一點(diǎn)不為零.條件的充分性由推論3.1立即可以得到 必要性用反證法及推論3.2證明是顯然的證畢3. 一階線性齊次微分方程組解空間的結(jié)構(gòu) 我們把一階線性齊次方程組(3.8)的n個線性無關(guān)解稱為它的基本解組. 顯然基本解組對應(yīng)的矩陣中基本解矩陣.例4 易于驗(yàn)證向量函數(shù)           

12、0;   是方程組   的基本解組.   定理3.5 方程組(3.8)必存在基本解組.證明 由定理(3.1)可知，齊次方程組(3.8)必存在分別滿足初始條件                        (3.11)的n個解. 由于它們所構(gòu)成的朗斯基行列式在 處有      &#

13、160;因而，由推論3.3知   是基本解組.滿足初始條件(3.11)的基本解組稱為方程組(3.8)的標(biāo)準(zhǔn)基本解組. 標(biāo)準(zhǔn)基本解組對應(yīng)的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣. 顯然, 標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣在時的值為單位陣. 下面我們可以給出齊次方程組(3.8)的基本定理了.定理3.6 如果是齊次方程組(3.8)的基本解組，則其線性組合                  (3.12)是齊次方程組(3.8)的通解,其中為n個任意常

14、數(shù).  證明 我們僅需證明如下兩點(diǎn).首先，由定理3.2，對任意一組常數(shù) ,(3.12)是齊次方程組(3.8)的解.其次，證明：對于任何滿足初始條件(3.2)的齊次方程組(3.8)的解，都可找到常 ,使得為此，作方程組或?qū)懗杉兞啃问?   (3.13)這是一個線性非齊次代數(shù)方程組，它的系數(shù)行列式恰是線性無關(guān)解的朗斯基行列式在處的值，由定理3.4知，從而方程組(3.13)有唯一解令顯然，是(3.8)的一個解，且與滿足同一個初始條件，由解的唯一性，定理得證.推論3.4 線性齊次方程組(3.8)的線性無關(guān)解的個數(shù)不能多于n 個.實(shí)際上，設(shè)是(3.8)的

15、任意n+1個解. 現(xiàn)任取其中n個解，如果它們線性相關(guān)，這時易證n+1個解當(dāng)然也線性相關(guān).如果它們線性無關(guān)，從而構(gòu)成(3.8)的基本解組，由定理3.6，余下的這個解可由基本解組線性表出，這就說明這n+1個解是線性相關(guān)的. 至此，我們證明了一階線性齊次微分方程組(3.8)的解的全體構(gòu)成一個n維線性空間.  4劉維爾公式 齊次方程組(3.8)的解和其系數(shù)之間有下列聯(lián)系.定理3.7 如果是齊次方程組(3.8)的n個解，則這n個解的朗斯基行列式與方程組(3.8)的系數(shù)有如下關(guān)系式        

16、                       (3.14)這個關(guān)系式稱為劉維爾(Liouville)公式.證明 僅證n = 2情形，n 的情形類似                      

17、             （3.15）設(shè)   是（3.15）的兩個解，它們的朗斯基行列式            因?yàn)榉謩e是（3.15）的解，所以有               &#

18、160;   ,    分別代入中，然后對每一個行列式進(jìn)行化簡，第一個行列式的第二行乘以再與第一行相加，第二個行列式的第一行乘以再與第二行相加，具體計算如下                 即