線性代數(shù)第六章 線性空間及線性變換

1、Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-131第六章第六章 線性空間與線性變換線性空間與線性變換 線性變換線性變換結(jié)束結(jié)束基、維數(shù)與坐標(biāo)基、維數(shù)與坐標(biāo)線性空間線性空間Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 (設(shè)設(shè) , , V ; , R):Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 就稱為就稱為 簡言之簡言之, 凡滿足八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算凡滿足八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算, . Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 次數(shù)不超過次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式的全體的多項(xiàng)式的全體, 記記作作P x n , 即即R)(00111,a,|aaxaxaxaxp

2、xPnnnnnn對于通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成對于通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成只要驗(yàn)證只要驗(yàn)證 P x n 對運(yùn)算封閉對運(yùn)算封閉:項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算顯然滿足線性運(yùn)算規(guī)律項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算顯然滿足線性運(yùn)算規(guī)律, 故故線性空間線性空間. 這是因?yàn)檫@是因?yàn)? 通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,)()()()()(00110101nnnnnnnnxPbaxbaxbabxbxbaxaxa,)()()()(0101nnnnnxPaxaxaaxaxa所以所以 P x n是一個(gè)線性空間是一個(gè)線性空間.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)

3、學(xué)院 n 次多項(xiàng)式的全體次多項(xiàng)式的全體0 ,R,|001nnnnnaaaaxaxapxQ且對于通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)乘運(yùn)算不構(gòu)成向量空對于通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)乘運(yùn)算不構(gòu)成向量空Q x n 對運(yùn)算不封閉對運(yùn)算不封閉.間間. 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?0 p = 0 xn + + 0 x + 0 Q x n , 即即Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 正弦函數(shù)的集合正弦函數(shù)的集合R,| )sin(BABxAsxS對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性, )sin(sin)(cos)()sincos()sincos()sin()sin(212122112211

4、21xSBxAxbbxaaxbxaxbxaBxABxAss閉閉:滿足線性運(yùn)算規(guī)律滿足線性運(yùn)算規(guī)律, 故只要驗(yàn)證故只要驗(yàn)證 S x 對運(yùn)算封對運(yùn)算封空間空間. 這是因?yàn)檫@是因?yàn)? 通常的函數(shù)加法及乘數(shù)運(yùn)算顯然通常的函數(shù)加法及乘數(shù)運(yùn)算顯然Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院, )sin()()sin(11111xSBxABxAs所以所以 S x 是一個(gè)線性空間是一個(gè)線性空間. 檢驗(yàn)一個(gè)集合是否構(gòu)成線性空間檢驗(yàn)一個(gè)集合是否構(gòu)成線性空間,當(dāng)然不能當(dāng)然不能則就應(yīng)仔細(xì)檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律則就應(yīng)仔細(xì)檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律.加法和數(shù)乘運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算加法和數(shù)乘運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間

5、的加乘運(yùn)算,只檢驗(yàn)對運(yùn)算的封閉性只檢驗(yàn)對運(yùn)算的封閉性(如上面兩例如上面兩例). 若所定義的若所定義的Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 正實(shí)數(shù)的全體正實(shí)數(shù)的全體, 記作記作 R+ , 在其中定在其中定義義加法及乘數(shù)運(yùn)算為加法及乘數(shù)運(yùn)算為, )R,(baabba, )R,R(aaa驗(yàn)證驗(yàn)證 R+ 對上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間對上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間.;Rabba 對任意的對任意的 a , b R+ , 有有 實(shí)際上要驗(yàn)證十條實(shí)際上要驗(yàn)證十條:Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 對任意的對任意的 R, a R+ , 有有;Raa;abbaabba);()()()()(cbabc

6、acabcabcba R+ 中存在零元素中存在零元素 1 , 對任何對任何 a R+ , 有有;11aaa 對任何對任何 a R+ , 有負(fù)元素有負(fù)元素 a- -1 R+ , 使使;111aaaaCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 ;11aaa ;)()()(aaaaa ;)(aaaaaaaa .)()()(bababaababba 因此因此, R+ 對于所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間對于所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間. 下面討論線性空間的性質(zhì)下面討論線性空間的性質(zhì).Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 設(shè)設(shè) 01, 02 是線性空間是線性空間V中的兩個(gè)零元素中的兩個(gè)零元素, 即對任何即對任何 V,

7、 有有 + 01 = , +02 = . 于是特于是特別有別有 02 + 01 = 02 , 01 + 02 = 01 .所以所以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 .即零元素是唯一的即零元素是唯一的. Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 . Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 在第三章中在第三章中, 我們提過子空間我們提過子空間, 今稍作修正今稍作修正. 因因 L 是是 V 的一部分的一部分, V 中的運(yùn)算對于中的運(yùn)算對于 L 而言而言, 規(guī)規(guī) 一個(gè)非空子集要滿足什么條件才構(gòu)成子空間一個(gè)非空子集要滿足什么條件才構(gòu)成子空間? Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院

8、律律 (i), (ii), (v), (vi), (vii), (viii) 顯然是滿足的顯然是滿足的, 因因此此因此我們有因此我們有 滿足規(guī)律滿足規(guī)律(iii),(iv).但由線性空間的性質(zhì)知但由線性空間的性質(zhì)知, 若若 L 對運(yùn)算封閉對運(yùn)算封閉,則即能則即能只要只要 L 對運(yùn)算封閉且滿足規(guī)律對運(yùn)算封閉且滿足規(guī)律 (iii)、(iv) 即可即可. Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 在第三章中在第三章中, 我們用線性運(yùn)算來討論我們用線性運(yùn)算來討論 n 維數(shù)組維數(shù)組這些概念和性質(zhì)這些概念和性質(zhì).性空間中的元素仍然適用性空間中的元素仍然適用. 以后我們將直接引用以后我們將直接引用有關(guān)的性質(zhì)只

9、涉及線性運(yùn)算有關(guān)的性質(zhì)只涉及線性運(yùn)算, 因此因此, 對于一般的線對于一般的線組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)等等組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)等等. 這些概念以及這些概念以及向量之間的關(guān)系向量之間的關(guān)系, 介紹了一些重要概念介紹了一些重要概念, 如線性如線性Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 在第三章中我們已經(jīng)提出了基與維數(shù)的概念在第三章中我們已經(jīng)提出了基與維數(shù)的概念,的主要特性的主要特性, 特再敘述如下特再敘述如下.這當(dāng)然也適用于一般的線性空間這當(dāng)然也適用于一般的線性空間. 這是線性空間這是線性空間Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 記作記作 Vn . 維數(shù)為維數(shù)為 n 的線性空間稱為的線性空間稱

10、為 , Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 若知若知 1 , 2 , , n為為 Vn 的一個(gè)基的一個(gè)基, 則則 Vn ,R,|12211nnnnxxxxxV這就較清楚地顯示出線性空間這就較清楚地顯示出線性空間 Vn 的構(gòu)造的構(gòu)造.并且這組數(shù)是唯一的并且這組數(shù)是唯一的. = x1 1 + x2 2 + + xn n,何何 Vn , 都有一組有序數(shù)都有一組有序數(shù) x1 , x2 , , xn , 使使若若 1 , 2 , , n為為 Vn 的一個(gè)基的一個(gè)基, 則對任則對任可表示為可表示為Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 反之反之 , 任給一組有序數(shù)任給一組有序數(shù) x1 , x2 , ,

11、 xn , 總有總有組有序數(shù)來表示元素組有序數(shù)來表示元素 . 于是我們有于是我們有之間存在著一種一一對應(yīng)的關(guān)系之間存在著一種一一對應(yīng)的關(guān)系, 因此可以用這因此可以用這 (x1 , x2 , , xn )T 這樣這樣, Vn 的元素的元素 與有序數(shù)組與有序數(shù)組 唯一的元素唯一的元素 = x1 1 + x2 2 + + xn n Vn .Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 = (x1 , x2 , , xn)T ., 并記作并記作Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 在線性空間在線性空間 P x 4 中中, p1 = 1, p2 = x , p3 = x2 , p4 = x3 , p5 =

12、x4 就是它的一個(gè)基就是它的一個(gè)基. 任一不超過任一不超過 4 次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式 p = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 都可表示為都可表示為 p = a0p1 + a1p2 + a2p3 + a3p4 + a4p5 ,因此因此 p 在這個(gè)基下的坐標(biāo)為在這個(gè)基下的坐標(biāo)為 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )T .Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 若另取一若另取一 個(gè)基個(gè)基.21)(54433221110qaqaqaqaqaap因此因此 p 在這個(gè)基下的坐標(biāo)為在這個(gè)基下的坐標(biāo)為.),21,(T432110aaaaaa ,2,1, 1453423

13、21xqxqxqxqq則則Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 在二階實(shí)矩陣組成的集合構(gòu)成在二階實(shí)矩陣組成的集合構(gòu)成一個(gè)線性空間一個(gè)線性空間 R2 2 中中, 1000,0100,0010,000122211211EEEE為其一個(gè)基為其一個(gè)基任意一個(gè)二階矩陣可表示為任意一個(gè)二階矩陣可表示為222221211212111122211211EaEaEaEaaaaaACopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 建立了坐標(biāo)以后建立了坐標(biāo)以后, 就把抽象的向量就把抽象的向量 與具體與具體于是于是 = y1 1 + y2 2 + + yn n , = x1 1 + x2 2 + + xn n , 設(shè)設(shè) ,

14、Vn , 有有系起來系起來:可把可把 Vn 中抽象的線性運(yùn)算與數(shù)組的線性運(yùn)算聯(lián)中抽象的線性運(yùn)算與數(shù)組的線性運(yùn)算聯(lián)的數(shù)組向量的數(shù)組向量 (x1 , x2 , , xn)T 聯(lián)系起來了聯(lián)系起來了. 并且還并且還Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 + = (x1 + y1) 1 + + (xn + yn) n , = (x1) 1 + + (xn) n ,即即 + 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 ( x1 , , xn )T = ( x1 , , xn )T. 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 = ( x1, , xn )T + ( y1, , yn )T , ( x1 + y1, , xn + yn )T Copyrigh

15、t 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 總之總之, 設(shè)在設(shè)在 n 維線性空間維線性空間 Vn 中取定一個(gè)基中取定一個(gè)基 因此因此,我們可以說我們可以說 Vn 與與 Rn 有相同的結(jié)構(gòu)有相同的結(jié)構(gòu), 我們稱我們稱也就是說也就是說, 這個(gè)對應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對應(yīng)這個(gè)對應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對應(yīng). 2. (x1, , xn )T , 1. + (x1, , xn )T + (y1, , yn )T ; 設(shè)設(shè) (x1, , xn )T , (y1, , yn )T , 則則個(gè)一一對應(yīng)的關(guān)系個(gè)一一對應(yīng)的關(guān)系, 且這個(gè)關(guān)系具有下述性質(zhì)且這個(gè)關(guān)系具有下述性質(zhì):向量空間向量空間 Rn 中的向量中的向量 ( x1, , xn

16、)T 之間就有一之間就有一 1 , 2 , , n, 則則 Vn 中的向量中的向量 與與 n 維數(shù)組維數(shù)組Vn與與 Rn 同構(gòu)同構(gòu).Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 由例由例 1 可見可見, 同一元素在不同的基下有不同同一元素在不同的基下有不同間間 Vn 中的兩個(gè)基中的兩個(gè)基, 且有且有 設(shè)設(shè) 1 , 2 , , n 及及 1 , 2 , , n 是線性空是線性空 的關(guān)系呢的關(guān)系呢?的坐標(biāo)的坐標(biāo), 那么那么, 不同的基與不同的坐標(biāo)之間有怎樣不同的基與不同的坐標(biāo)之間有怎樣基變換和坐標(biāo)變換基變換和坐標(biāo)變換Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院) 1 (,2211222211221221111

17、1nnnnnnnnnnppppppppp把把 1 , 2 , , n 利用向量和矩陣的形式利用向量和矩陣的形式, (1) 式可表示為式可表示為 ( 1 , 2 , , n) , 這這 n 個(gè)有序元素記作個(gè)有序元素記作Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院) 1 (.),(),(2121Pnn (1) 稱為稱為, 矩陣矩陣 P 稱為由基稱為由基由于由于 1 , 2 , , n 線性無關(guān)線性無關(guān), 故過渡矩陣故過渡矩陣 P 可逆可逆. 1 , 2 , , n 到到基基 1 , 2 , , n 的的.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 )2(. ,211212121nnnnxxxPxxxxxxP

18、xxx或 Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 在在 P x 3 中取兩個(gè)基中取兩個(gè)基,2231xxx, 12231xx, 12233xxx; 1234xx, 1232xxx及及. 23234xxx, 22233xxx, 2222xx求坐標(biāo)變換公式求坐標(biāo)變換公式.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 將將 1 , 2 , 3 , 4 用用 1 , 2 , 3 , 4 表示表示.Axxx) 1,(),(234321Bxxx) 1,(),(234321其中其中,1110011112121111A2221112031111202B由由Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院得得

19、.),(),(143214321BA 故坐標(biāo)變換公式為故坐標(biāo)變換公式為.432114321xxxxABxxxxCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,11111000100001000011001011100001 用矩陣的初等變換求用矩陣的初等變換求 B-1A :11102221011111201212311111111202)|(AB . 計(jì)算如下計(jì)算如下:Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院即得即得.111110000011111043214321xxxxxxxxCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,1,2232231xxxpxxxp;1,12234233xxpxxxp,22,122

20、2231xxqxxq. 23,22234233xxxqxxxqCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 規(guī)定多項(xiàng)式規(guī)定多項(xiàng)式dcxbxax23對應(yīng)對應(yīng)向量向量T),(dcba這是這是P x 3與與 R4 之間的一個(gè)同之間的一個(gè)同別對應(yīng)于向量別對應(yīng)于向量 1, 2, 3, 4, 1 , 2 , 3 , 4 , 則則有有,) 1, 1, 1, 1 (,)0, 1, 2, 1 (T2T1,) 1, 0, 1, 1(,) 1, 1, 2, 1(T4T3,)2, 2, 1, 0(,) 1, 0, 1, 2(T2T1,)2, 1, 3, 1 (,)2, 1, 1, 2(T4T3構(gòu)對應(yīng)構(gòu)對

21、應(yīng). 設(shè)多項(xiàng)式設(shè)多項(xiàng)式 p1 , p2 , p3 , p4 , q1 , q2 , q3 , q4 分分Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院所以所以 P = A-1B. 用矩陣的初等行變換來求用矩陣的初等行變換來求 A-1B.先求從基先求從基 1 , 2 , 3 , 4 到基到基 1 , 2 , 3 , 4 的過渡矩陣的過渡矩陣, 即要用向量組即要用向量組 1 , 2 , 3 , 4 表示向表示向量組量組 1 , 2 , 3 , 4 .設(shè)過渡矩陣為設(shè)過渡矩陣為 P , 則有則有( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 )P , 記記 A = ( 1 , 2 ,

22、3 , 4 ), B = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , 則則上式可寫為上式可寫為 B = AP , Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院22211110112001113111121212021111),(BA,01001000111001001011001010010001Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院所以過渡矩陣所以過渡矩陣 P 為為,0100111010111001PCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院因此坐標(biāo)變換公式為因此坐標(biāo)變換公式為.010011101011100143214321xxxxxxxxCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1344T(

23、+)=T()+T()(2) 對任意V, 及任意實(shí)數(shù) k，有T(k)=kT()則稱T為V 到 W 的一個(gè)線性映射.定義定義1:向量空間V到向量空間W一個(gè)映射T， 滿足：(1) 對任意, V, 有第三節(jié) 線性變換Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1345T(+)=T()+T()(2) 對任意V, 及任意實(shí)數(shù) k，有T(k)=kT()則稱T為V 的一個(gè)線性變換.定義定義2向量空間V到自身的一個(gè)線性映射T，稱為V 的一個(gè)變換.若T 滿足：(1) 對任意, V, 有Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1346向量在T下的像,記為T()或T.2.用粗體粗體大寫字母T, A

24、，B，C，表示線性變換,1.定義式中（1),(2）可合并為)()()(,212121TkTkkkTRkkVCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1347證：證：T(+)=(+)A=A+A=T+T設(shè)A為一n階實(shí)矩陣，對任意Rn,令 T= A,則T為Rn 中的線性變換.T(k)= (k)A=k(A)=k(T)故 T 為 Rn 中的線性變換.例例1 1完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1348V 中兩類特殊的線性變換：1. 恒等變換 E EE= , V2. 零變換 OO= 0 , VCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1349例例2 2判定下列變換

25、是否為 上的線性變換3R12312231(1) ( ,)(2,) ;TTT a a aaa aa a2123123(2) ( ,)( ,3) ;TTT a a aa aa解解（1）是（2）不是Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1350定理定理1設(shè) T 是V 的一個(gè)線性變換，則(1)T 把零向量變到零向量,把 的負(fù)向量變到 的像的負(fù)向量,即T 0=0；T()= T.(2)T 保持向量的線性組合關(guān)系不變, 即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.(3)T 把線性相關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向 量組.p91(4）線性空間Vn中的線性變換T的像集T(Vn)是線性空

26、間Vn的一個(gè)子空間。Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1351定義定義3設(shè) L(V) 是向量空間V的全體線性變換的集合,定義 L(V) 中的加法，數(shù)乘與乘法如下：加法: (T1+T2) =T1+T2;數(shù)乘: (kT)=kT乘法: (T1T2)=T1(T2)對 V, kR.注注:若 T1, T2 均為 V 的線性變換，則 T1+T2，T1T2， kT均為 V 的線性變換.線性變換的運(yùn)算p91Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1352二、線性變換的矩陣二、線性變換的矩陣T =k1 T 1+k2 T 2+ +km T m設(shè) V 為向量空間, dim(V)=m.假設(shè)

27、1, 2, , m 為V 的一組基,T 為 V 的一個(gè)線性變換. =k11+k22+ +kmmVmmkkkTTT2121),( 上式告訴我們,只要知道基底的像,就可以知道任何向量在這組基底下的像了.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1353T1 =a111+a212+ +am1mT2 =a121+a222+ +am2mTm =a1m1+a2m2+ +ammm 即(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A其中mmmmmmaaaaaaaaaA212222111211簡記為 T(1,2,m)=(1,2,m)A（1）（2）設(shè)基底向量的像在該基底下的表示為Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)

28、學(xué)院2022-2-1354定義定義:設(shè)T為向量空間V中的線性變換, 1, 2, , m為V的一組基,如果給定V的基1,2,m,線性變換T 對應(yīng)一個(gè) 實(shí)矩陣A.(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A稱矩陣A為線性變換T 在基1,2,m, 下的矩陣.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1355定理定理3設(shè) V 的線性變換 T有(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A向量在基1, 2, , m下的坐標(biāo)為 (x1, x2, , xm)，T在此基下的坐標(biāo)為 (y1, y2, , ym), 則nmxxxyyy2121ACopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1356= (1, 2

29、, , m ) A =x11+x22+ +xmmT =x1 T 1+x2 T 2+ +xm T mmmxxxTTT2121),(mxxx21= (1,2, ,m )myyy21nmxxxAyyy2121證明證明：所以完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1357設(shè) R3 的線性變換T為T(x1, x2, x3) 求 T 在標(biāo)準(zhǔn)基1, 2, 3下的矩陣. =(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) 例例3 3Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1358ATTT),(),(321321T1=

30、T(1, 0, 0)=(a11, a21, a31)T2=T(0, 1, 0)=(a12, a22, a32)T3=T(0, 0, 1)=(a13, a23, a33)解解：設(shè) T 在標(biāo)準(zhǔn)基1, 2, 3下的矩陣為A.即 = a111+a21 2+ a31 3= a121+a22 2+ a32 3= a131+a23 2+ a33 3Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1359),(),(321321TTT333231232221131211aaaaaaaaa故 T T 在標(biāo)準(zhǔn)基 1, 2, 3 下的矩陣為333231232221131211aaaaaaaaaA完完Copyri

31、ght 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1360設(shè) R3 的線性變換T為T(x1, x2, x3) 求 T 在標(biāo)準(zhǔn)基1, 2, 3下的矩陣. =(2x1-x2, x2+x3, x1) ATTT),(),(321321解：設(shè) T 在標(biāo)準(zhǔn)基1, 2, 3下的矩陣為A.即 exeCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1361由于T1=T(1, 0, 0)T2=T(0, 1, 0)=(-1, 1, 0)T3=T(0, 0, 1)=(0, 1, 0)= (2x1-x2 ,x2+ x3, ,x1)= (2 ,0, ,1),(),(321321TTT001110012A),(321001110

32、012A完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1362設(shè) R3 的線性變換T為T(x1, x2, x3) 求 T 在標(biāo)準(zhǔn)基1, 2, 3下的矩陣. =(kx1, kx2, kx3) =k(x1, x2, x3) 解解:由于 T 1 =k 1=(k,0,0)TT 2 =k 2=(0,k,0)T,T 3 =k 3=(0,0,k)T),(),(321321TTTkkk000000kEkkkk100010001000000例例4 4完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1363特例：特例：線性變換 T T=k 數(shù)量矩陣kE恒等變換 T T= 單位矩陣E零變換 T T

33、=0 零矩陣O 1.由于線性變換與矩陣的對應(yīng),所以線性變換之間的運(yùn)算(加法,數(shù)乘,乘法)對應(yīng)于相應(yīng)的矩陣之間的運(yùn)算.2.線性變換與矩陣的對應(yīng)關(guān)系是在取定了空間的一組基的情況下建立的.基不同,矩陣也不同.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1364在線性空間 R3 中線性變換T關(guān)于基 的矩陣為A，其中(1)求 T 1, T2, T3. 1, 2, 3(2)若向量 T求,53215118723194Aexe完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1365,)8 , 3, 4() 1 (1TT2(9,2, 11) ,TT3( 1,7,5)TT TT)56,10,10(

34、)2(Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-13661,2,m；1,2,m定理定理4 設(shè)向量空間V有兩組基，分別為則B=C1AC證明： (1,2,m)B=T(1,2,m)(1,2,m)=(1,2,m)C且T(1,2,m)=(1,2,m)AT(1,2,m)=(1,2,m )B=T (1,2,m)C=(1,2,m)C1ACp93dli3=(1,2,m)AC故故B=C1ACCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1367例例5 5設(shè)線性變換12312231( ,)(2,) ;TTT a a aaa aa a求基123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1)TTT1

35、23( 1,1,1) ,(1, 1,1) ,(1,1, 1)TTT 與基在上述變換下的矩陣Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1368123123( ,)( ,) ;TA 210011100A123123(,)(,)TB 111222221131222B解解Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1369線性變換T在R3中基1,2,3下的矩陣為6788152051115A求T在基1=21+32+3 , 2=31+42+3 , 3=1+22+23 下的矩陣.p94例例6 6Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1370故線性變換 T 在 1, 2, 3

36、下的矩陣B=C1AC300020001解：解：從1, 2, 3 到1, 2, 3的過渡矩陣211243132C1111342561C完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1371 設(shè)平面直角坐標(biāo)系xy逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某角度后變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系 ,平面上任意向量的舊坐標(biāo)和新坐標(biāo)分別為(x,y)和 ,則新舊坐標(biāo)之間的關(guān)系為三三.正交變換正交變換定義定義3歐氏空間 V 的線性變換T稱為正交變換.若對任意, V, 均有(T, T )=( , )例例7 7cossinsincosyxyyxxyx) , (yxCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1372oxy y xcossi

37、nxxyABCsincosyxyDEF完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1373)cossin,sincos(),(yxyxyxT定義映射此映射為一個(gè)線性變換,它在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為cossinsincosA并且為一個(gè)正交變換(通常稱為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換),常記為 .ICopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1374 定理定理2設(shè)T是歐氏空間的一個(gè)線性變換，則下面 幾個(gè)命題等價(jià)：(1)T是正交變換；(2)T保持向量的長度不變，即對于任意的 V, |T|=| |; (3)如果1,2,m是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基,則T1, T2,Tm也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基；(4)T在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1375定義定義4 4設(shè) T 是向量空間 V 的一個(gè)線性變換,如果存在數(shù) 及 n 維非零向量 ,使得T = 成立,則稱 為T的一個(gè)特征值,而 稱為 T 屬于特征值 的一個(gè)特征向量.2.特征向量的求法在第四章具體講述.四、線性變換的特征值與特征向量T (k )= kT = k = (k )1.若 為 T的屬于特征值 的一個(gè)特征向量, 則k (k0)也為T的屬于特征值 的特征向量.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院2022-2-1376