二項(xiàng)式定理11種題型解題技巧

1、二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)及 11種答題技巧【知識(shí)點(diǎn)及公式】1 .二項(xiàng)式定理：(a +b)n =C；an +C；anb 川| +C：an,b+| + C：bn(n，N2 .基本概念：二項(xiàng)式展開(kāi)式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù) C； (r =0,1,2，,n).項(xiàng)數(shù)：共(r+1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開(kāi)式中的第 r +1項(xiàng)C；anbr叫做二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)。用 書(shū)=C；anbr表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開(kāi)式中總共有 (n+1)項(xiàng)。順序：注意正確選擇 a, b,其順序不能更改。(a + b)n與(b + a)n是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減

2、到0,是降哥排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n,是升哥排列。各項(xiàng)的 次數(shù)和等于n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是C：,C：,C；, -IC；, .jC：.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4 .常用的結(jié)論：令 a =1,b =x, (1 x)n =C0 C：x C2x2 IH C：xW C；xn(n N )n nn 0 0 1 12 2 2r1 r rn n n令 a=1,b= x,(1-x)=Cn-Cnx+CnxTH+Cnx+j|l+(1)Cnx(n = N )5 .性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C0 = C： , Cnk

3、= C：,二項(xiàng)式系數(shù)和：令 a =b =1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為 C0 +C： +C： +111 +C； +|l| +C； = 2n ,變形式 C： +C： +IH +C； +III+C： = 2n -1 0奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 =偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令 a =1,b = 7 ,則 C0 C； +C； -C3+HI + (-1)nCn =(1-1)n =0,從而得到：C： +C； +C：+C： + =C； + C； +|11 C：,，+ m 2 = 2”奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：/、n 0 n 01 n _12 nJ 2n 0 n12n(a x)= CnaxCnaxCna

4、xCnax = a。axa?xanx(x a)n = C10aoxn,C：axni - C：a2xn | ,C；anx= anxn|a2x2-a1x1- a0令x=1,貝 11ao +a1+a2 +a3 1H +an =(a + 1)n令義=-1,貝Ua0 -a1 +a2 -a3 +| +an =(a -1)n+得，a0 +a2 +a/H +% =3上3二11(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2得，為+a3 +a5用十a(chǎn)n =甘廠一(a 一V(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù) n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) Cn2取得最大值。如果二項(xiàng)式的哥指數(shù) n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

5、C3, cnt同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a+bx)n展開(kāi)式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別 一Ar1 A為A1, A，,8書(shū)，設(shè)第r十1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有 ，從而解出r來(lái)。A 1 _ Ar 2【二項(xiàng)式定理的十一種考題的解法】題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：C：+C2 6+C； 62+III + C： 6n=.解：(1+6)n =C； +C： 6 + C； 62 +C； 63+lll + C：式與已知的有一些差距，c1 . c2 .a. . c3 .o2nan,11q.c2q2nqnC nCn 6Cn6C n6 _ (Cn 6Cn6C n6 )611cle= 1(C0+

6、Cn 6+C； 62 十用十C； 6n -1)=-(1+6)n-1 = -(7n-1)666練：cn 3C： 9C3 I 卜 3n,C； =.解：設(shè) Sn =C： +3C； +9C； +IH+3n_1Cn1 ,貝U3Sn =C：3+C；32 +C333 出H +C：3n =C； +C13 + C232 +C333 +HI + C：3n -1=(1 + 3)n-1(1 3)n -1 4n -1Sn =n題型二：利用通項(xiàng)公式求 x的系數(shù);例：在二項(xiàng)式(4/1+3/X2)n的展開(kāi)式中倒數(shù)第 3項(xiàng)的系數(shù)為45 ,求含有X3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知C：n=45,即C； =45,n2 n90 = 0,解得

7、n = 9(舍去)或n = 10 ,由r 4 10 _r 2 r r 4 210 -P 2一口T+ =Ci0(x4)(x3) =Ci0X 4 3 ,由題意p十4 r =3,解得 r =6 ,43則含有X3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6書(shū)=C16)X3 =210X3,系數(shù)為210。2199練：求(X)展開(kāi)式中X的系數(shù)？2x解：Tr + =C；(x2)9()=CgX18-r(-)rx- =Cg(-1)rx18-r,令 18_3r =9,則 r =32x22故x9的系數(shù)為C；()3 =-21o22題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)?4525620 r5a 1 a解：Tr書(shū)=C10(x )

8、(=C10( ) x 2，令 20 2r ，得r=8,所以T9=C101.)=1.6練：求一項(xiàng)式(2x)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)？2x解：Tr , =C；(2x)6(1)(2)r =(1)rC；26(l)rx6/r ,令 62r =0,得 r =3,所以2x2T4 =(-1)七；=2021 n練：若(x +一)的二項(xiàng)展開(kāi)式中第 5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n =. x解：T5 =出“尸(1)4 =C：x,令 2n -12 = 0 ,得 n = 6. x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(JX-3/X)9展開(kāi)式中的有理項(xiàng)？1127.27-解：Tr + =C；(x2)9(x3)r =(1)rC

9、；x 6 ,令w Z ,( 0 Mr M9)得 r = 3或 r = 9 ,6所以當(dāng)r =3時(shí),T4 =(-1)3C；x4 = -84x4 ,當(dāng) r=9 時(shí)，27=3, T10 =(1)3C；x3 = x3。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;例：若（發(fā)工尸展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為 -256,求n.3 x2解:設(shè)（獷-白）n展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0, al, an )令x = -1,則有 a。+a +an =0,，令x =1,則有 a。a1 +a2 - + (1)n an = 2n, 將-得：2(a1+a3+a5+,.) = 2n,二a1+a3+a5+=2n，有題意得，2n

10、=256 = 28,，n = 9。練：若（盧+的展開(kāi)式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024,求它的中間項(xiàng)。而次.* c0 c2 44八 2r八1 332rln 1cn 1斛：，Cn +Cn +Cn+Cn +，=C0+ C0+ + C+，= 2 ,二 2 =1024 ,解得 n =11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n=6, n=7, 丁54=C；（產(chǎn)（5A）5 = 462，x工，T6書(shū)=462，x、題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；一一，.1 一 .n一例：已知（一+2x）n,若展開(kāi)式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二2項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：；C：+C； =2C；,. n2 21

11、n+98 = 0，解出n=7或n=14,當(dāng)n = 7時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是 T4 和 T5 二 T4 的系數(shù)=C；（1）423 = 35, T5 的系數(shù)=C；（1）324 =70，當(dāng) n=1452221 77時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8,，丁8的系數(shù)=014（-） 2 =3432。練：在（a+b）2n的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù) 2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2n =Tn書(shū)，也就是第n+1項(xiàng)。一12x 1 n_練：在（胃）n的展開(kāi)式中，只有第 5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？23 x解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 口+1=

12、5,即n =8,所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于2C*）2 =72例：寫(xiě)出在(a-b)7的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的哥指數(shù) 7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)(第4,5項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有T4 = -C；a4b3的系數(shù)最小，T5 =c4a3b4系數(shù)最大。1 n例:解:若展開(kāi)式刖二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求(一+2x)的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)？211由 CO +C： +C； =79，解出 n=12，假設(shè) Tr外項(xiàng)最大，(一+2x) =() (1 + 4x)22Ar 1 , AC；24r _C11214r,-J r+=412，化簡(jiǎn)得到 9.4Er E10.4

13、,又 YOgr E12 , J. r =10,Ar 1 - Ar 2C；2 4r 我/ 4r 1展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)11，有T11 =(1)12C112c410x10 =16896x12練:在(1+2x)10的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解:假設(shè)T一項(xiàng)最大，：Tf = C；o2xrAr 1 - ArAr 1 ; Ar 2C；0 2r _C；0,2C；02r _*2練：求式子(x解：(x：-2)3x?6,設(shè)第r +1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則-2(11 - r) . r一解得 ,化簡(jiǎn)得到6.3k n =0,因此(1 + 2乂)3(1-乂)4的展開(kāi)式中 x2的系數(shù)等于 C30 2 C42 (-1)2 +C

14、3 21 c4 (-1)1 +C22 ,C0 .(-1)0 = -6 .練:求(1十&)6(1+2)10展開(kāi)式中白常數(shù)項(xiàng)., x解:(1 3x)6(1 41m n產(chǎn))10展開(kāi)式的通項(xiàng)為C6mx三C；x=C6n C1； x x4m與n12m=0m = 3- m = 6其中 m=0,1,2, I6, n =0,1,2，,10，當(dāng)且僅當(dāng) 4m=3即或 或n = 0, J n = 4, n = 8,時(shí)得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C； C1-C； C14 C； C；0 =4246.O 1c練：已知(1 +x +x )(x + )的展開(kāi)式中沒(méi)有吊數(shù)項(xiàng)，n w N且2 W n M8,則n =. x解：這十工廠展開(kāi)式

15、的通項(xiàng)為C：，xnx，=C：，xn”r,通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得 xCn0口。；力工。父如出；展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng),2n8二 n #4r且n #4r +1且n # 4r +2,即 n # 4,8且n #3,7且n 豐 2,6, n = 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在(x-拒)2006的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含對(duì)勺奇次幕的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x = &時(shí),S =解： &(x-/2) 2006=a0 +a1x1 +a2x2 +%x3 + | + a2006x2006 (一x 歷2006 =a0 ax1 +a?x2 -a3x3 +Ill + a26x206 -得2(a1x +a3x3 +ax

16、5 十|+a2005x25) = (x-拒) 2006 -(x+&)2006二(x -揚(yáng)2006展開(kāi)式的奇次曷項(xiàng)之和為S(x)=1(x-V2 ) 2006 -(x +6)200623 2006當(dāng)x = .2時(shí)，S(、2)=工卜2 -2 ) 2006 -(,.22 ) 2006 = - = -2 300822題型十：賦值法；1 n例：設(shè)一項(xiàng)式(33x十)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p ,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為 s,若xp +s =272 ,則n等于多少？12斛：右(3次 + )=a0+a1x+a2x + anx，有 P = a0 + a+ an, S = C：+Cn=2 , x令 x=MHP=4n,又

17、 p+s= 272，即 4n +2n =272= (2n+17)(2n 16) = 0解得2n =12n =17(舍去)，, n=4.練：若 3x -二的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64 ,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為多少？x解：令x=1,則,36-二)的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n =64,所以n = 6,則展開(kāi)式的常數(shù)x項(xiàng)為 C；(3 .x)3 ( -L)3 = -540 .20091232009Si a2a2009 ,例：右(12x)=a0+a1x +a?x +a3x +川+22009x(x= R),貝U +/ +的值為222翩.人、,1 1彳曰 ca1a2a2009a1a2a2009 c斛. x =2,可信 a0y222009 = 0,一 萬(wàn)2T-22009= -a0在令x =0可得a。=1，因而a1 - -aj-黑I - -1.222練：若(x2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2 +a1x1+a0,貝+a2+a3 +a4+a5 =.解