不定積分計(jì)算

1、預(yù)科部：melinda 不定積分的計(jì)算不定積分的計(jì)算一一 分項(xiàng)積分法分項(xiàng)積分法二二 湊微分法（第一類換元積分法）湊微分法（第一類換元積分法）三三 換元積分法換元積分法四四 分部積分法分部積分法五五 小結(jié)小結(jié) 預(yù)科部：melinda 一、分項(xiàng)積分法)(1xf)(2xf1k2k定理1 設(shè)函數(shù) 與 的原函數(shù)存在， 、 為非零常數(shù)，則 2112211)()()(kdxxfkdxxfkxfkdxxf)(2 （ 1 ）預(yù)科部：melinda證明： 2211)()(dxxfkdxxfk 2211)()(dxxfkdxxfk 2211)()(dxxfkdxxfk )()(211xfkxfk 這表示，（這表示，

2、（1 1）式右端是）式右端是 的的原函數(shù)，且含有一個(gè)任意常數(shù)，因此（原函數(shù)，且含有一個(gè)任意常數(shù)，因此（1 1）式右）式右端是端是 的不定積分的不定積分. .)()(211xfkxfk )()(211xfkxfk 預(yù)科部：melinda 例1 求積分求積分 解 dxxx)1213(22 dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113Cxx arcsin2arctan3例2 求積分求積分dxxxx )1(12222預(yù)科部：melinda解 dxxxx )1(12222dxxdxx 11122dxxxxx )1()1(2222Cxx arctan1預(yù)科部：melinda例3 求求 dxxx

3、 )1(24解 dxxx )1(24dxxdxxxx 111)1)(1(2222Cxxx arctan313預(yù)科部：melinda例4 求求解 xdx 2tandxx)1(sec2 xdx 2tan dxxdx2secCxx tan預(yù)科部：melinda例5 求求 dxxxx)2sin2(cos2sin 解 dxxxx)2sin2(cos2sin dxxx)2cos1sin21( xdxdxxdxcos2121sin21Cxxx )sincos(21預(yù)科部：melinda例6 求求 dxxx 22cossin1解 dxxxxxdxxx 222222cossincossincossin1dxxd

4、xx 22sin1cos1Cxx cottan預(yù)科部：melinda說(shuō)明：以上幾例的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，以上幾例的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能把所求的積分化為基本積分表中已有的形式，才能把所求的積分化為基本積分表中已有的形式，再分項(xiàng)積分求出不定積分再分項(xiàng)積分求出不定積分. .預(yù)科部：melinda二、湊微分法（第一類換元積分法） 設(shè)設(shè)),()(ufuF 則則.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得由此可得預(yù)科部：melinda )(uF（2） CxFxdxfdxxxf )(

5、)()()( )()(xuCuF )()(xuduuf 設(shè))(uf具有原函數(shù) ， 可導(dǎo)，則有以下公式 定理2)(xu 預(yù)科部：melinda說(shuō)明：使用公式（使用公式（2 2）的關(guān)鍵在于將）的關(guān)鍵在于將化為化為 ，進(jìn)而化為進(jìn)而化為 ，這種計(jì)算不定積分的方法稱為湊微分法，這種計(jì)算不定積分的方法稱為湊微分法，也稱第一類換元法也稱第一類換元法. . dxxg)( dxxxf)()( )()(xdxf 預(yù)科部：melindadxxex 22例7 求求解 被積函數(shù)中的一個(gè)因子為被積函數(shù)中的一個(gè)因子為 ， ；剩下的因子剩下的因子 恰好是中間變量恰好是中間變量 的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，于是有于是有uxee 22xu

6、x22xu 2222dxedxxexx 2222dxedxxexx Cex 2預(yù)科部：melinda例8 求求dxx 231解Cu ln21dxx 231,)23(23121231xxx dxxx )23(23121xu23 .)23ln(21Cx duu 121預(yù)科部：melinda例9 求求.2sin xdx解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 預(yù)科部：mel

7、inda一般地，對(duì)于積分一般地，對(duì)于積分 總可以取總可以取 ，使之化為使之化為 )0()(adxbaxfbaxu )()()(baxdbaxfdxbaxfbaxuduufa )(1預(yù)科部：melinda例10 求求解dxxx 41244)(11211xxxx duudxxxdxxx 222241121)()(11211CxCu 2arctan21arctan21預(yù)科部：melinda一般地，對(duì)于積分一般地，對(duì)于積分 總可以取總可以取 ，使之化為使之化為 )0()(2axdxbaxfbaxu 2 baxuduufaxdxbaxf2)(21)(2預(yù)科部：melinda例11 求求.)ln51(1d

8、xxx 解dxxx )ln51(1)(lnln511xdx )ln51(ln51151xdx duu151Cu ln51.)ln51ln(51Cx xuln51 熟練以后就不需要進(jìn)行熟練以后就不需要進(jìn)行 轉(zhuǎn)化了轉(zhuǎn)化了)(xu 預(yù)科部：melinda例12 求求解 類似地，類似地， xdxtandxxxdxxxxdx cossincossintanCxxxd coslncoscosCxdx sinlncot預(yù)科部：melinda例13 求求.122dxxa 解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 預(yù)科部：melinda例14 求求解)0(22 a

9、xadx222)(11axdxaxadx Caxaxaxd arcsin)(1)(2預(yù)科部：melinda例15 求求解)0(22 aaxdxdxaxaxaaxdx)11(2122 dxaxadxaxa 121121Caxaaxa ln21ln21 Caxaxa ln21 axaxdaaxaxda)(21)(21預(yù)科部：melinda例16 求求.11dxex 解法一 dxex 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx dxeeexxx 11預(yù)科部：melinda 解法二dxex 11dxeedxeexxxx 1)1(1xxxxdeexdee 1

10、1)(1)1(11xxede .)1ln(Cex 預(yù)科部：melinda例17 求求.)11(12dxexxx 解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 預(yù)科部：melinda例18 求求.csc xdx解（一） dxxsin1 xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcsclnCxx （使用了三角函數(shù)恒等變形）預(yù)科部：melinda xdxcsc類似地可推出類似地可推出.tanseclnsec Cxxxdx解（二） dxxsin1 dxxx2sinsin )(cosc

11、os112xdxxucos duu211Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx （應(yīng)用例（應(yīng)用例1515的結(jié)論）的結(jié)論） 預(yù)科部：melinda例19 求求xdxx35sectan 解xdxx35sectan xdxxxxtansecsectan24 )()()(baxdbaxfdxbaxfxdxxxsec)secsec2(sec246 x7sec71 31sec525 xx3secC 預(yù)科部：melinda例20 求求.cossin52 xdxx說(shuō)明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分次項(xiàng)去湊微分. .解 xdxx52cossin

12、)(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx )(sincossin42xxdx預(yù)科部：melinda例12 求求.2cos3cos xdxx解),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 預(yù)科部：melinda三、換元積分法 dxxf)( 湊微分法是通過(guò)中間變量湊微分法是通過(guò)中間變量 將積分將積分 化成化成 , ,下面要介紹下面要介紹的換元積分法是通過(guò)變量

13、代換的換元積分法是通過(guò)變量代換 將積分將積分 化為積分化為積分)(xu dxxxf)()( duuf)()(tx dtttf)()( 預(yù)科部：melinda證設(shè)設(shè) 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 令令)()(xxF 則則dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 設(shè) . .其中是的反函數(shù)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)， )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式并且，又設(shè)具有原函數(shù)，定理2)(tx 0)( t )()(ttf )(tx )(t 預(yù)科部：melinda第二類積分換元公式第二類積分換元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdx

14、xf ,)(tf ).(xf 說(shuō)明為的原函數(shù))(xf)(xF預(yù)科部：melindat22xa xa1 三角代換例22 求求).0(22 adxxa解22,sin ttaxtdtadxcos tataaxacossin22222 tdtatadxxacoscos22dttatdta 22cos1cos222Cttata cossin2222Cxaxaxa 22221arcsin2axtarcsin 預(yù)科部：melinda例23 求求).0(122 adxax令令tax22ax 解解taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(s

15、ec.ln22Caaxax 2,2 t122lnCaxx aCCln1 其中其中預(yù)科部：melinda例14 求求).0(122 adxax令令tax22ax 解taxsec 2, 0 ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sec.ln22Caaxax 122lnCaxx aCCln1 其中其中預(yù)科部：melinda說(shuō)明以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換. .三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式. .一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;

16、sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 預(yù)科部：melinda)(xu)(xv四、分部積分法定理4 設(shè) ， 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 （4） 或 （5） 分部積分公式vdxuuvdxuv vduuvudv預(yù)科部：melinda證明： 由乘積的求導(dǎo)公式由乘積的求導(dǎo)公式 )(uvvuuv uv得得故故或?qū)懗苫驅(qū)懗蓈uuv)( vdxuuvdxuv vduuvudv預(yù)科部：melinda例25 25 求積分求積分.cos xdxx如果令如果令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)，積

17、分更難進(jìn)行選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行. .vu ,解令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx ，則則 ，dxdu xvsin 預(yù)科部：melinda）（）（容易積出容易積出. .要比要比要容易求得；要容易求得；21 vdu udvv一般要考慮下面兩點(diǎn)：一般要考慮下面兩點(diǎn)：和和選取選取udv預(yù)科部：melinda例26 求積分求積分.2 dxexx dxexx2解,2xu ,dvdedxexx dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex 總結(jié) 若被積函數(shù)

18、是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正( (余余) )弦函數(shù)或冪弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, , 就考慮設(shè)冪函數(shù)為就考慮設(shè)冪函數(shù)為 , ,使使其降冪一次其降冪一次( (假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù)) )u預(yù)科部：melindaxuln )41(43xddxxdv ，例2727 求求解 設(shè)設(shè) ， ，則，則dxxx ln3dxxdu1 441xv dxxx ln3 xdxxxln41ln4134Cxxx 44161ln41預(yù)科部：melinda例28 求求解 設(shè)設(shè) ， ， 則則 ， dxx arctanxuarctan dxdv dxxdu211 xv dxx arct

19、andxxxxx 21arctan 221)1(21arctanxxdxxCxxx )1ln(21arctan2預(yù)科部：melinda 當(dāng)分部積分公式比較熟練之后，就不必再把當(dāng)分部積分公式比較熟練之后，就不必再把 和和 寫出來(lái)了，只要把被積表達(dá)式湊成寫出來(lái)了，只要把被積表達(dá)式湊成 的的形式，便可使用分部積分法形式，便可使用分部積分法. .udv)()(xdx 例29 求求 dxxx arccos2解 dxxx arccos23arccos31dxx dxxxxx 233131arccos31預(yù)科部：melinda)1(11161arccos312223xdxxxx )1(161arccos31

20、223xdxxx 221)1(61xxdCxxxx 22323131)1(91arccos31總結(jié) 如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積或冪如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積，可設(shè)函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積，可設(shè) 為對(duì)數(shù)函數(shù)或反三為對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)角函數(shù). .uu預(yù)科部：melinda例30 求求解 （一） dxxex cos2dxxex cos2 dxxexexdexxx222sin2sinsin xdexexxcos2sin224cos2sin22 xexexxdxxex cos2dxxex cos2Cxxex )cos2(sin512預(yù)科部：melindadxxex cos2（二）xdex2cos21 xdxexexxsin21cos2122 xxxdexe22sin41cos21 xdxexexexxxcos41sin41cos21222dxxex cos2Cxxex )cos2(sin512預(yù)科部：melinda總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積，若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積，則則 可任選，但應(yīng)注意接連幾次應(yīng)用分部積分公式可任選，但應(yīng)注意接連幾次應(yīng)用分部積分公式時(shí)所選時(shí)所選 的應(yīng)為同類型函數(shù)的應(yīng)