2010年江蘇省高考數(shù)學試卷(共21頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2010年江蘇省高考數(shù)學試卷一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1（5.00分）設集合A=1，1，3，B=a+2，a2+4，AB=3，則實數(shù)a= 2（5.00分）設復數(shù)z滿足z（23i）=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為 3（5.00分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是 4（5.00分）某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5，40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有 根在棉花纖維的長度小于20

2、mm5（5.00分）設函數(shù)f（x）=x（ex+aex）（xR）是偶函數(shù)，則實數(shù)a= 6（5.00分）在平面直角坐標系xOy中，雙曲線上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是 7（5.00分）如圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是 8（5.00分）函數(shù)y=x2（x0）的圖象在點（ak，ak2）處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1，k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5= 9（5.00分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是 10（5.00分）定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖象與y=5tanx的

3、圖象的交點為P，過點P作PP1x軸于點P1，直線PP1與y=sinx的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為 11（5.00分）已知函數(shù)，則滿足不等式f（1x2）f（2x）的x的范圍是 12（5.00分）設實數(shù)x，y滿足3xy28，49，則的最大值是 13（5.00分）在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若+=6cosC，則+的值是 14（5.00分）將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則S的最小值是 二、解答題（共9小題，滿分110分）15（14.00分）在平面直角坐標系xOy中，點A（1，2）、B（2，3）、C（2，1）（1）求以線段

4、AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；（2）設實數(shù)t滿足（）=0，求t的值16（14.00分）如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90°（1）求證：PCBC；（2）求點A到平面PBC的距離17（14.00分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=（1）該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的值；（2）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度若電視

5、塔的實際高度為125m，試問d為多少時，最大？18（16.00分）在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F設過點T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m0，y10，y20（1）設動點P滿足PF2PB2=4，求點P的軌跡；（2）設x1=2，x2=，求點T的坐標；（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）19（16.00分）設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列（1）求數(shù)列an的通項公式（用n，d表示）；（2）設c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且

6、mn的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+SncSk都成立求證：c的最大值為20（16.00分）設f（x）是定義在區(qū)間（1，+）上的函數(shù)，其導函數(shù)為f（x）如果存在實數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x（1，+）都有h（x）0，使得f（x）=h（x）（x2ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a），設函數(shù)f（x）=，其中b為實數(shù)（1）求證：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）已知函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P（2），給定x1，x2（1，+），x1x2，設m為實數(shù)，=mx1+（1m）x2，=（1m）x1+mx2，1，1，若|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，求m的取值范

7、圍21（10.00分）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A：AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BCB：在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，0），B（2，0），C（2，1）設k為非零實數(shù)，矩陣M=，N=，點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點分別為A1、B1、C1，A1B1C1的面積是ABC面積的2倍，求k的值C：在極坐標系中，已知圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切，求實數(shù)a的值D：設a、b是非負實數(shù)，求證：2

8、2某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元設生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立（1）記X（單位：萬元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列；（2）求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率23（10.00分）已知ABC的三邊長都是有理數(shù)（1）求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)2010年江蘇省高考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題（共14小題，每

9、小題5分，滿分70分）1（5.00分）設集合A=1，1，3，B=a+2，a2+4，AB=3，則實數(shù)a=1【解答】解：AB=33B，又a2+43a+2=3 即 a=12（5.00分）設復數(shù)z滿足z（23i）=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為2【解答】解：z（23i）=2（3+2i），|z|（23i）|=2|（3+2i）|，|23i|=|3+2i|，z的模為2故答案為：23（5.00分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是【解答】解：考查古典概型知識總個數(shù)n=C42=6，事件A中包含的基本事件的個數(shù)m=C31=3故填：4（5.00分）某棉紡廠

10、為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5，40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有30根在棉花纖維的長度小于20mm【解答】解：由圖可知，棉花纖維的長度小于20mm段的頻率為0.01+0.01+0.04，則頻數(shù)為100×（0.01+0.01+0.04）×5=30故填：305（5.00分）設函數(shù)f（x）=x（ex+aex）（xR）是偶函數(shù)，則實數(shù)a=1【解答】解：因為函數(shù)f（x）=x（ex+aex）（xR）是偶函數(shù)，所以g（x）=ex+aex為奇函數(shù)由g（0）=0，得a=1另解：由

11、題意可得f（1）=f（1），即為（e1+ae）=e+ae1，即有（1+a）（e+e1）=0，解得a=1故答案是16.（5.00分）在平面直角坐標系xOy中，雙曲線上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是4【解答】解：=e=2，d為點M到右準線x=1的距離，則d=2，MF=47（5.00分）如圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是63【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求滿足條件S=1+2+22+2n33的最小的S值S=1+2+22+23+24=3133，不滿足條件S=1+2+22+23+24+25=6333，滿足條件故輸出

12、的S值為：63故答案為：638（5.00分）函數(shù)y=x2（x0）的圖象在點（ak，ak2）處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1，k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=21【解答】解：在點（ak，ak2）處的切線方程為：yak2=2ak（xak），當y=0時，解得，所以故答案為：219（5.00分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是（13，13）【解答】解：圓半徑為2，圓心（0，0）到直線12x5y+c=0的距離小于1，即，c的取值范圍是（13，13）10（5.00分）定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖象

13、與y=5tanx的圖象的交點為P，過點P作PP1x軸于點P1，直線PP1與y=sinx的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為【解答】解：線段P1P2的長即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，即6cosx=，化為6sin2x+5sinx6=0，解得sinx=線段P1P2的長為11（5.00分）已知函數(shù)，則滿足不等式f（1x2）f（2x）的x的范圍是（1，1）【解答】解：由題意，可得故答案為：12（5.00分）設實數(shù)x，y滿足3xy28，49，則的最大值是27【解答】解：因為實數(shù)x，y滿足3xy28，49，則有：，再根據(jù) ，即當且僅當x=3，y=1取得等號，即有的最大值是2713

14、（5.00分）在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若+=6cosC，則+的值是4【解答】解：+=6cosC，由余弦定理可得，則+=14（5.00分）將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則S的最小值是【解答】解：設剪成的小正三角形的邊長為x，則：（方法一）利用導數(shù)求函數(shù)最小值，=，當時，S（x）0，遞減；當時，S（x）0，遞增；故當時，S的最小值是（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值令，則：故當時，S的最小值是二、解答題（共9小題，滿分110分）15（14.00分）在平面直角坐標系xOy中，點A（1，2）、B（2，3）、C（2，1）（1）求以

15、線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；（2）設實數(shù)t滿足（）=0，求t的值從而得：【解答】解：（1）（方法一）由題設知，則所以故所求的兩條對角線的長分別為、（方法二）設該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則：E為B、C的中點，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點，所以D（1，4）故所求的兩條對角線的長分別為BC=、AD=；（2）由題設知：=（2，1），由（）=0，得：（3+2t，5+t）（2，1）=0，從而5t=11，所以或者：，16（14.00分）如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90°（1

16、）求證：PCBC；（2）求點A到平面PBC的距離【解答】解：（1）證明：因為PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC由BCD=90°，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD因為PC平面PCD，故PCBC（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于（方法二

17、）等體積法：連接AC設點A到平面PBC的距離為h因為ABDC，BCD=90°，所以ABC=90°從而AB=2，BC=1，得ABC的面積SABC=1由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐PABC的體積因為PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC又PD=DC=1，所以由PCBC，BC=1，得PBC的面積由VAPBC=VPABC，得，故點A到平面PBC的距離等于17（14.00分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=（1）該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的

18、值；（2）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，最大？【解答】解：（1）=tanAD=，同理：AB=，BD=ADAB=DB，故得=，得：H=124因此，算出的電視塔的高度H是124m（2）由題設知d=AB，得tan=，tan=，tan（）=d+2，（當且僅當d=55時，取等號）故當d=55時，tan（）最大因為0，則0，所以當d=55時，最大故所求的d是55m18（16.00分）在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓=1的左、右頂點為A、B，右焦點為F設過點T（t，m）的直線TA

19、、TB與橢圓分別交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m0，y10，y20（1）設動點P滿足PF2PB2=4，求點P的軌跡；（2）設x1=2，x2=，求點T的坐標；（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）【解答】解：（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（3，0）由PF2PB2=4，得（x2）2+y2（x3）2+y2=4，化簡得故所求點P的軌跡為直線（2）將分別代入橢圓方程，以及y10，y20，得M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為（3）點T的坐標為（9，m）直線MTA方程為

20、：，即，直線NTB方程為：，即分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到x13，x23，解得：、（方法一）當x1x2時，直線MN方程為：令y=0，解得：x=1此時必過點D（1，0）；當x1=x2時，直線MN方程為：x=1，與x軸交點為D（1，0）所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）（方法二）若x1=x2，則由及m0，得，此時直線MN的方程為x=1，過點D（1，0）若x1x2，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得kMD=kND，所以直線MN過D點因此，直線MN必過x軸上的點（1，0）19（16.00分）設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列（1）

21、求數(shù)列an的通項公式（用n，d表示）；（2）設c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且mn的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+SncSk都成立求證：c的最大值為【解答】解：（1）由題意知：d0，=+（n1）d=+（n1）d，2a2=a1+a3，3a2=S3，即3（S2S1）=S3，化簡，得：，當n2時，an=SnSn1=n2d2（n1）2d2=（2n1）d2，適合n=1情形故所求an=（2n1）d2（2）（方法一）Sm+SncSkm2d2+n2d2ck2d2m2+n2ck2，恒成立又m+n=3k且mn，故，即c的最大值為（方法二）由及，得d0，Sn=n2d2于是，對滿足題設的m，n，k，mn，有所以c的

22、最大值另一方面，任取實數(shù)設k為偶數(shù)，令，則m，n，k符合條件，且于是，只要9k2+42ak2，即當時，所以滿足條件的，從而因此c的最大值為20（16.00分）設f（x）是定義在區(qū)間（1，+）上的函數(shù)，其導函數(shù)為f（x）如果存在實數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x（1，+）都有h（x）0，使得f（x）=h（x）（x2ax+1），則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（a），設函數(shù)f（x）=，其中b為實數(shù)（1）求證：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）已知函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P（2），給定x1，x2（1，+），x1x2，設m為實數(shù)，=mx1+（1m）x2，=（1m）x1+mx2

23、，1，1，若|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，求m的取值范圍根據(jù)第一問令（x）=x2bx+1，討論對稱軸與2的大小，當b2時，對于x1，（x）0，所以f（x）0，可得f（x）在區(qū)間（1，+）上單調(diào)性，當b2時，（x）圖象開口向上，對稱軸，可求出方程（x）=0的兩根，判定兩根的范圍，從而確定（x）的符號，得到f（x）的符號，最終求出單調(diào)區(qū)間（2）先對函數(shù)g（x）求導，再m分m0，m1，0m1進行，同時運用函數(shù)的單調(diào)性即可得到【解答】解：（1）f（x）=x1時，恒成立，函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（b）；當b2時，對于x1，（x）=x2bx+1x22x+1=（x1）20所以f（x）0，故此時f（x

24、）在區(qū)間（1，+）上遞增；當b2時，（x）圖象開口向上，對稱軸，方程（x）=0的兩根為：，而當時，（x）0，f（x）0，故此時f（x）在區(qū)間上遞減；同理得：f（x）在區(qū)間上遞增綜上所述，當b2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+）；當b2時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為；f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（2）由題設知：g（x）的導函數(shù)g（x）=h（x）（x22x+1），其中函數(shù)h（x）0對于任意的x（1，+）都成立，所以，當x1時，g（x）=h（x）（x1）20，從而g（x）在區(qū)間（1，+）上單調(diào)遞增當m（0，1）時，有=mx1+（1m）x2mx1+（1m）x1=x1，mx2+（1m）x2=x2，得（x1，x2

25、），同理可得（x1，x2），所以由g（x）的單調(diào)性知g（），g（）（g（x1），g（x2），從而有|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，符合題設；當m0時，=mx1+（1m）x2mx2+（1m）x2=x2，=mx2+（1m）x1mx1+（1m）x1=x1，于是由1，1及g（x）的單調(diào)性知g（）g（x1）g（x2）g（），所以|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，與題設不符當m1時，同理可得x1，x2，進而得|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，與題設不符因此，綜合、得所求的m的取值范圍為（0，1）21（10.00分）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答若

26、多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A：AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BCB：在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，0），B（2，0），C（2，1）設k為非零實數(shù)，矩陣M=，N=，點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點分別為A1、B1、C1，A1B1C1的面積是ABC面積的2倍，求k的值C：在極坐標系中，已知圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切，求實數(shù)a的值D：設a、b是非負實數(shù)，求證：【分析】A、連接OD，則ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO，再證明O

27、B=BC=OD=OA，即可求解B、由題設得，根據(jù)矩陣的運算法則進行求解C、在極坐標系中，已知圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切，由題意將圓和直線先化為一般方程坐標，然后再計算a值D、利用不等式的性質(zhì)進行放縮證明，然后再進行討論求證【解答】解：A：（方法一）證明：連接OD，則：ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO，DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=30°，DOC=60°，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC（方法二）證明：連接OD、BD因為AB是圓O的直徑，所以ADB=90°，AB=2OB因

28、為DC是圓O的切線，所以CDO=90°又因為DA=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，從而AB=CO即2OB=OB+BC，得OB=BC故AB=2BCB滿分（10分）由題設得由，可知A1（0，0）、B1（0，2）、C1（k，2）計算得ABC面積的面積是1，A1B1C1的面積是|k|，則由題設知：|k|=2×1=2所以k的值為2或2C解：2=2cos，圓=2cos的普通方程為：x2+y2=2x，（x1）2+y2=1，直線3cos+4sin+a=0的普通方程為：3x+4y+a=0，又圓與直線相切，所以，解得：a=2，或a=8D（方法一）證明：=因為實數(shù)a、b0，所以上式0即有（方法二）證明：由a、b是非負實數(shù)，作差得=當ab時，從而，得；當ab時，從而，得；所以22某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元設生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨