34基本不等式

1、 341基本不等式（1）【教學(xué)目標(biāo)】1學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；2過程與方法：通過實(shí)例探究抽象基本不等式；3情態(tài)與價(jià)值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學(xué)難點(diǎn)】基本不等式等號(hào)成立條件【教學(xué)過程】1.課題導(dǎo)入基本不等式的幾何背景：探究：如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。2 合作探究（1）問題 1：

2、你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)。 系）提問2:我們把“風(fēng)車”造型抽象成圖在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的長(zhǎng)為、，那么正方形的邊長(zhǎng)為多少？面積為多少呢？生答：，提問3：那4個(gè)直角三角形的面積和呢？生答：提問4：好，根據(jù)觀察4個(gè)直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個(gè)不等式，。什么時(shí)候這兩部分面積相等呢？生答：當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即時(shí)，正方形EFGH變成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有結(jié)論：（板書）一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) 、，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。提問5：你能給出它的證明嗎？(學(xué)生嘗試證明后口答,老師

3、板書)證明: 所以 注意強(qiáng)調(diào) 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), (2)特別地,如果,也可寫成,引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)(板書,請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)板演):要證: 即證 要證,只要證 要證,只要證 ( - ) 顯然, 是成立的,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 的等號(hào)成立(3)觀察圖形3.4-3,得到不等式的幾何解釋兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)探究：課本中的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證tADtDB，那么D2A·B即D.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓

4、心重合，即ab時(shí)，等號(hào)成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評(píng)述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).即學(xué)即練:1若且，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是 （ ） 2aba 2 a,b是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)的大小順序是（ ） 答案 B C例題分析： (1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）2·2·2x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.變式訓(xùn)練： 0，當(dāng)取何值時(shí)+有最小值，最小值是多少 解析：因?yàn)?， + 2=2 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)即

5、x=1時(shí)有最小值2 點(diǎn)評(píng)：此題恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具體解釋每一項(xiàng)的意思。當(dāng)堂檢測(cè)： 1.下列敘述中正確的是（ ）.（A）兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)（B）兩個(gè)不等正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于它們的幾何平均數(shù)（C）若兩個(gè)數(shù)的和為常數(shù)，則它們的積有最大值（D）若兩個(gè)數(shù)的積為常數(shù)，則它們的和有最小值12下面給出的解答中，正確的是（ ）.（A）yx22，y有最小值2（B）y|sinx|24，y有最小值4（C）yx（2x3），又由x2x3得x1，當(dāng)x1時(shí)，y有最大值1（D）y3 323，y有最大值33.已知x0，則x3的最小值為（ ）.（A）4 （B）7 （C）8 （D）1

6、14.設(shè)函數(shù)f（x）2x1（x0），則f（x）（ ）.（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函數(shù) （D）是減函數(shù)1 B 2.D 3 B 4 .A 基本不等式 第一課時(shí)課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理。二、預(yù)習(xí)內(nèi)容一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) 、，我們有，當(dāng) ，等號(hào)成立。兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，字母表示： 。三、提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容 課內(nèi)探究學(xué)案教學(xué)目標(biāo) ，不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；學(xué)會(huì)推

7、導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學(xué)難點(diǎn)】基本不等式等號(hào)成立條件合作探究 1 證; 強(qiáng)調(diào)：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 特別地,如果,也可寫成,引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo) 證明: 結(jié)論：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)探究2：課本中的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋練習(xí)1若且，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是 （ ） 2aba 2 a,b是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)的大小順序是（ ） 答案 B C例題分析

8、：已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)2； ( 2） 0，當(dāng)取何值時(shí)+有最小值，最小值是多少 分析：，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形. 1正2定3相等變式訓(xùn)練：1已知x，則函數(shù)f（x）4x的最大值是多少？ 2 證明：（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3. 分析：注意湊位法的使用。 注意基本不等式的用法。 當(dāng)堂檢測(cè)： 1.下列敘述中正確的是（ ）.（A）兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)（B）兩個(gè)不等正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于它們的幾何平均數(shù)（C）若兩個(gè)數(shù)的和為常數(shù)，則它們的積有最大值（D）若兩個(gè)數(shù)的積為常數(shù)，則它們的和有最小值2下面給出的解答中，

9、正確的是（ ）.（A）yx22，y有最小值2（B）y|sinx|24，y有最小值4（C）yx（2x3），又由x2x3得x1，當(dāng)x1時(shí)，y有最大值1（D）y3 323，y有最大值33.已知x0，則x3的最小值為（ ）.（A）4 （B）7 （C）8 （D）114.設(shè)函數(shù)f（x）2x1（x0），則f（x）（ ）.（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函數(shù) （D）是減函數(shù)答案 1 B 2.D 3 B 4.A課后練習(xí)與提高 1 已知 如果積 如果和 拓展探究2. 設(shè)a, b, c且a+b+c=1，求證：答案：1略 2 提示可用a+b+c換里面的1 ，然后化簡(jiǎn)利用基本不等式。 §3.4.2

10、基本不等式的應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】1 會(huì)應(yīng)用基本不等式求某些函數(shù)的最值,能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；2 本節(jié)課是基本不等式應(yīng)用舉例。整堂課要圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心。3 能綜合運(yùn)用函數(shù)關(guān)系，不等式知識(shí)解決一些實(shí)際問題教學(xué)重點(diǎn)：正確運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn)：注意運(yùn)用不等式求最大（?。┲档臈l件教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情景，引入課題提問：前一節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本不等式，我們常把叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)。今天我們就生活中的實(shí)際例子研究它的重用作用。講解：已知都是正數(shù)，如果是定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大

11、值二、探求新知，質(zhì)疑答辯，排難解惑1、 新課講授例1、（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大。最大面積是多少？分析： （1）當(dāng)長(zhǎng)和寬的乘積確定時(shí)，問周長(zhǎng)最短就是求長(zhǎng)和寬和的最小值（2）當(dāng)長(zhǎng)和寬的和確定時(shí)，求長(zhǎng)與寬取何值時(shí)兩者乘積最大解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為 m,寬為 m,則 籬笆的長(zhǎng)為2（）由 ，可得 2（）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為10 m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為40m (2)設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為 m,寬為 m,則2（）=36

12、，=18，矩形菜園的面積為，由 可得 ,可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 點(diǎn)評(píng)：此題用到了 如果是定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值變式訓(xùn)練： 用長(zhǎng)為的鐵絲圍成矩形，怎樣才能使所圍的矩形面積最大？解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為，則寬為，矩形面，且由（當(dāng)且近當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），由此可知，當(dāng)時(shí)，有最大值答：將鐵絲圍成正方形時(shí)，才能有最大面積例2（教材例2）某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函

13、數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為，水池的總造價(jià)為元，根據(jù)題意，得 當(dāng)因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。變題：某工廠要制造一批無蓋的圓柱形桶，它的容積是立方分米，用來做底的金屬每平方分米價(jià)值3元，做側(cè)面的金屬每平方米價(jià)值2元，按著怎樣的尺寸制造，才能使圓桶的成本最低。解：設(shè)圓桶的底半徑為分米，高為分米，圓桶的成本為元，則3求桶成本最低，即是求在、取什么值時(shí)最小。將代入的解析式

14、，得=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)。當(dāng)1（分米），（分米）時(shí)，圓桶的成本最低為9（元）。點(diǎn)評(píng)：分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解，歸納整理，整體認(rèn)識(shí)1求最值常用的不等式：，2注意點(diǎn)：一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小3.建立不等式模型解決實(shí)際問題當(dāng)堂檢測(cè)：1 下列函數(shù)中，最小值為4的是： （ ） 2. 設(shè)的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 3函數(shù)的最大值為 .4建造一個(gè)容積為18m3, 深為2m的長(zhǎng)方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2 的造價(jià)為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為 元.5某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需要面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管等

15、其它費(fèi)用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？答案：1C 2 D 3 4 3600 5 時(shí)，有最小值，基本不等式的應(yīng)用課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)會(huì)應(yīng)用基本不等式求某些函數(shù)的最值,能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1如果是定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最 2如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最 3若，則=_時(shí),有最小值，最小值為_.4.若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b2,則3a+3b的最小值是_.三、提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容 課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 用基本不等式求某些函數(shù)的最值,能夠

16、解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2 引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心. 教學(xué)重點(diǎn)：正確運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn)：注意運(yùn)用不等式求最大（?。┲档臈l件二、學(xué)習(xí)過程例題分析：例1、（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大。最大面積是多少？分析： （1）當(dāng)長(zhǎng)和寬的乘積確定時(shí)，問周長(zhǎng)最短就是求長(zhǎng)和寬和的最小值（2）當(dāng)長(zhǎng)和寬的和確定時(shí)，求長(zhǎng)與寬取何值時(shí)兩者乘積最大 解：變式訓(xùn)練：1用長(zhǎng)為的鐵絲圍成矩形，怎樣才能使所圍的矩

17、形面積最大？ 2一份印刷品的排版面積（矩形）為它的兩邊都留有寬為的空白，頂部和底部都留有寬為的空白，如何選擇紙張的尺寸，才能使用紙量最少？變式訓(xùn)練 答案 1 時(shí)面積最大。 2此時(shí)紙張長(zhǎng)和寬分別是和例2：）某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ 分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。答案：底面一邊長(zhǎng)為40時(shí)，總造價(jià)最低2976000。變式訓(xùn)練：建造一個(gè)容積為18m3, 深為2m的長(zhǎng)方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2 的造價(jià)為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為 元. 答案：3600當(dāng)堂檢測(cè)：1若x, y是正數(shù)，且，則xy有（3 ）最大值16 最小值 最小值16最大值2已知且滿足,求的最小值.416 20 14183 某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需要面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管等其它費(fèi)用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？答案:1 C 2 D 3 時(shí)，有最小值， 課后復(fù)習(xí)學(xué)