求圓的切線方程的幾種方法

1、求圓的切線方程的幾種方法四川省冕寧中學(xué) 謝玉 在高中數(shù)學(xué)人教版第二冊(cè)第七章 圓的方程一節(jié)中有一例題： 求過已知圓上一點(diǎn)的切線方程， 除了用斜率和向量的方法之外還有幾種方法，現(xiàn)將這些方法歸納整理，以供參考。 例：已知圓的方程是 x2 + y2 = r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn) M(x0，y0)的切線的方程。解法一：利用斜率求解如圖 1，設(shè)切線的斜率為k，則 k kOM1.kOMy0 , kx0x0y0經(jīng)過點(diǎn) M 的切線方程是：x0y y0(x x0)y0整理得 x0x y0 y x02 y02.因?yàn)辄c(diǎn) M在圓上，所以 x02 y02 r 2. 所求的直線方程為： x0x y0 y r 2.圖1當(dāng)點(diǎn) M

2、在坐標(biāo)軸上時(shí)上面方程同樣適用解法二：利用向量求解如圖2，設(shè)切線上的任意一點(diǎn) p的坐標(biāo) x,yOM PM，OM (x0, y0 ), PM (x0 x,y0 y)OM PM 0x0 (x0 x) y0 (y0 y) 0 整理得： x0x y0 y x02 y02. 因?yàn)辄c(diǎn) M在圓上，所以 x02 y02 r 2. 所求的直線方程為： x0 x y0y r2.(這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于不用考慮直線的斜率存不存在) 解法三：利用幾何特征求解如圖 2，設(shè)直線上不同于 M (x0, y0 )的一點(diǎn) P(x, y) OM PM2 2 2OM 2 PM 2 OP 2x02 y02 (x x0)2 (y y0 )2

3、 x2 y2 整理得： x0x y0 y x02 y02 . 因?yàn)辄c(diǎn) M在圓上，所以 x02 y02 r 2. 所求的直線方程為： x0x y0y r 2. 當(dāng)P和M 重合時(shí)上面方程同樣適用。解法四：用待定系數(shù)法求解1、 利用點(diǎn)到直線的距離求解圖2設(shè)所求直線方程的斜率 為 k,則直線方程為：y y0 k(x x0 ),即： kx y y0 kx0 0 原點(diǎn) O(0,0)到切線的距離等于半徑 y0 kx0r 1 k2 化簡整理得：(r 2 x02)k2 2x0 y0k r2 y02 0 因?yàn)?x0 2 y02 r 2 所以式可化為： y02k2 2x0 y0k x02 0 解得： kx0 代入式

4、y0整理得 x0x y0 y x02 y02.因?yàn)辄c(diǎn) M在圓上，所以 x02 y02 r 2. 所求的直線方程為： x0x y0y r 2. 當(dāng)斜率不存在時(shí)上面方 程同樣適用。2、 利用直線與圓的位置關(guān)系求解： 設(shè)所求直線方程的斜率 為 k,則直線方程為： y y0 k(x x0 ),即： kx y y0 kx0 0( 1) 由 kx2 y2 y02 kx0 0消去 y得x2 y2 r 2 2 222 2 2(1 k2)x22k(y0 kx0)xy02k2x022 ky0 x0 r 204k2(y0 kx0)2 4(1 k2)(y02 k2x02 2ky0 x0 r 2) 0 整理得：( r 2 x02)k2 2x0y0k r 2 y02 0 因?yàn)?x02 y02 r2 所以式可化為： y02k 2 2x0 y0k x02 0 解得： kx0 代入式y(tǒng)0整理得 x0x y0 y x02 y02 .因?yàn)辄c(diǎn) M在圓上，所以 x02 y02 r 2. 所 求 的 直 線 方 程 為x0x： y0y r2. 當(dāng) 斜 率 不 存 在 時(shí) 上 面程 同方 樣 適 用 。這是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的切線方程的求法，若圓心不在原點(diǎn)，也可以用這些方法求解。 同樣一道題，思路不同，方法不同，難易程度不同。顯然在以上