MATLAB實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

1、精品文檔MATLAB實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠工作的首要條件，因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并找出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，便成為自動(dòng)控制理論的一個(gè)基本任務(wù).線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入無關(guān).線性系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是其牛I征根均具有負(fù)實(shí)部.在實(shí)際工程系統(tǒng)中，為避開對特征方程的直接求解，就只好討論特征根的分布，即看其是否全部具有負(fù)實(shí)部，并以此來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由此形成了一系列穩(wěn)定性判據(jù)，其中最重要的一個(gè)判據(jù)就是Routh判據(jù).Routh判據(jù)給出線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)特征方程式不缺項(xiàng)，且所有系數(shù)均為正，勞斯陣列中第一列所有元素均為正號(hào)，構(gòu)造Ro

2、uth表比用求根判斷穩(wěn)定性的方法簡單許多，而且這些方法都已經(jīng)過了數(shù)學(xué)上的證明，是完全有理論根據(jù)的，是實(shí)用性非常好的方法.但是，隨著計(jì)算機(jī)功能的進(jìn)一步完善和Matlab語言的出現(xiàn)，一般在工程實(shí)際當(dāng)中已經(jīng)不再采用這些方法了.本文就采用Matlab對控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析作一探討.1系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的Matlab實(shí)現(xiàn)1.1直接判定法根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最簡單的方法是求出系統(tǒng)所有極點(diǎn)，并觀察是否含有實(shí)部大于0的極點(diǎn)，如果有，系統(tǒng)則不穩(wěn)定.然而實(shí)際的控制系統(tǒng)大部分都是高階系統(tǒng)，這樣就面臨求解高次方程，求根工作量很大，但在Matlab中只需分別調(diào)用函數(shù)roots(den)或eig(A

3、)即可，這樣就可以由得出的極點(diǎn)位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(1)S37s224s24-432s10s35s50s24若判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，輸入如下程序G=tf(1,7,24,24,1,10,35,50,24);roots(G.den1)運(yùn)行結(jié)果：ans=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000由此可以判定該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng).1.2用根軌跡法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性根軌跡法是一種求解閉環(huán)特征方程根的簡便圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)的分布和一些簡單的規(guī)則，研究開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零到無窮大時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)在s平面的軌跡.控制工具箱中提供了rlocus函數(shù)，來繪

4、制系統(tǒng)的根軌跡，利用rlocfind函數(shù)，在圖形窗口顯示十字光標(biāo)，可以求得特殊點(diǎn)對應(yīng)的K值.已知一控制系統(tǒng)，H(s)=1,其開環(huán)傳遞函數(shù)為：(2)繪制系統(tǒng)的軌跡圖.程序?yàn)?G=tf(1,1320);rlocus(G);k,p=rlocfind(G)根軌跡圖如圖1所示，光標(biāo)選定虛軸臨界點(diǎn)，程序結(jié)果為：Root LocusReel Axis432101234一 it 一 色登圖1系統(tǒng)的根軌跡圖selected_point=0-0.0124ik=0.0248P=-2.0122-0.9751-0.0127光標(biāo)選定分離點(diǎn)，程序結(jié)果為：selected_point=-1.9905-0.0124ik=0.0

5、308P=-2.0151-0.9692-0.0158上述數(shù)據(jù)顯示了增益及對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)位置.由此可得出如下結(jié)論(1) 0<k<0.4時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)具有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn),表明系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)；(2) k=0.4時(shí),對應(yīng)為分離點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)；(3) 0.4<k<6時(shí)，系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)為共軻復(fù)數(shù)極,系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)；(4) k=6時(shí)，系統(tǒng)有一對虛根,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；(5) k>6時(shí)，系統(tǒng)的一對復(fù)根的實(shí)部為正,系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài).1.3 用Nyquist曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性Matlab提供了函數(shù)Nyquist來繪制系統(tǒng)的Nyquist曲線，若式(2)系統(tǒng)分別取k

6、=4和k=10(圖2為階躍響應(yīng)曲線),通過Nyquist曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，程序如下：num1=4;num2=10;den1=1,3,2,0;gs1=tf(num1,den1);gs2=tf(num2,den1);hs=1;gsys1=feedback(gs1,hs);gsys2=feedback(gs2,hs);t=0:0.1:25;figure(1);subplot(2,2,1);step(gsys1,t)subplot(2,2,3);step(gsys2,t)subplot(2,2,2);nyquist(gs1)subplot(2,2,4);nyquist(gs2)奈氏穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容是

7、：若開環(huán)傳遞函數(shù)在s平半平面上有P個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng)系統(tǒng)角頻率X由-OC變到+8日,如果開環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上時(shí)針圍繞(-1,j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，是不穩(wěn)定的.prill五專40O2040 0510152025Time (sec)20圖2階躍響應(yīng)曲線當(dāng)k=4時(shí)，從圖3中k=4可以看出，Nyquist曲不包圍(-1,j0)點(diǎn)，同時(shí)開環(huán)系統(tǒng)所有極點(diǎn)都位于平面左半平面，因此，根據(jù)奈氏判據(jù)判定以此構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這一點(diǎn)也可以從圖2中k=4系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)得到證實(shí)，從圖2中k=4可以看出系統(tǒng)約23s后就漸漸趨于穩(wěn)定當(dāng)k=10時(shí)，從圖3中k=10可以看精品文檔NyquistDiagr

8、am2-10Real Axis- 1 JM3 o o o o o " 4 2 2 4 »皆 AJWgeNyquist Diagram-6-4-20Real Axiso o o 5 5 o001圖3Nyquist曲線出，Nyquist曲線按逆時(shí)針包圍(-1,jo)點(diǎn)2圈，但此時(shí)P=0,所以據(jù)奈氏判據(jù)判定以此構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，圖2中k=10的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線也證實(shí)了這一點(diǎn)，系統(tǒng)振蕩不定。1.4 bode圖法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性bode判據(jù)，實(shí)質(zhì)上是Nyquist判據(jù)的引伸.本開環(huán)系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，即P=0,用Xc表示對數(shù)幅頻特性曲線與橫軸(0dB)交點(diǎn)的頻率，Xg表示對數(shù)

9、相頻特性曲線與橫軸(-180。)交點(diǎn)的頻率，則對數(shù)判據(jù)可表述如下：在P=0時(shí)，若開環(huán)對數(shù)幅頻特性比其對數(shù)相頻特性先交于橫軸，即Xc<Xg,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開環(huán)對數(shù)幅頻特性比其對數(shù)相頻特性后交于橫軸，即Xc>Xg,則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；若Xc=Xg,則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定.num1=4;num2=10;den1=1,3,2,0;gs1=tf(num1,den1);gs2=tf(num2,den1);hs=1;gsys1=feedback(gs1,hs);gsys2=feedback(gs2,hs);t=0:0.1:25;figure。)；subplot(1,1,1);bode(gs1)Bo

10、de Diagram5DQ5000-1 治日考皇居fi苣80儂-1-2 5巖)如厘dFrequency (radlfeec)圖4k=4時(shí)開環(huán)系統(tǒng)的bode圖由圖4開環(huán)系統(tǒng)的bode圖可知，Xc<Xg,故當(dāng)k=4時(shí)，此時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)必然穩(wěn)定.實(shí)際上,系統(tǒng)的控制bode圖還可用于系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的分析一)用系統(tǒng)特征方程的根判別系統(tǒng)穩(wěn)定性：設(shè)系統(tǒng)特征方程為s5+s4+2s3+2s2+3s+5=0,計(jì)算特征根并判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在commandwindow窗口輸入下列程序，記錄輸出結(jié)果。>>p=112235;>>roots(p)二)用根軌跡法判別系統(tǒng)穩(wěn)定性：對給定的系統(tǒng)的開

11、環(huán)傳遞函數(shù)，進(jìn)行仿真。=0,2$s+l1.某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為+,在commandwindow窗口輸入程序,記錄系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)圖及零極點(diǎn)數(shù)據(jù)，判斷該閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。> >clear> >n1=0.251;> >d1=0.510;> >s1=tf(n1,d1);精品文檔>>sys=feedback(s1,1);>>P=sys.den1;p=roots(P)>>pzmap(sys)>>p,z=pzmap(sys)command window 窗口輸2.某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為入程序，記錄系統(tǒng)開環(huán)根軌跡

12、圖、系統(tǒng)開環(huán)增益及極點(diǎn)，確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。> >clear> >n=1;d=conv(110,0.51);> >sys=tf(n,d);> >rlocus(sys)> >k,poles=rlocfind(sys)三)頻率法判別系統(tǒng)穩(wěn)定性：對給定的系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，進(jìn)行仿真。75(02+1)口二i71.已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)式、+16£+1001,在commandwindow窗口輸入程序，用Bode圖法判穩(wěn)，記錄運(yùn)行結(jié)果，并用階躍相應(yīng)曲線驗(yàn)證(記錄相應(yīng)曲線)1)繪制開環(huán)系統(tǒng)Bode圖，記錄數(shù)據(jù)。> >nu

13、m=75*000.21;> >den=conv(10,116100);> >sys=tf(num,den);> >Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys)> >margin(sys)2)繪制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線，證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。> >num=75*000.21;> >den=conv(10,116100);> >s=tf(num,den);> >sys=feedback(s,1);> >t=0:0.01:30;c 10000G =-2虱, +5s + 100j , 在 comma

14、nd window窗口輸入程> >step(sys,t)2.已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)序，用Nyquist圖法判穩(wěn)，記錄運(yùn)行結(jié)果，并用階躍相應(yīng)曲線驗(yàn)證(記錄相應(yīng)曲線)。1)繪制Nyquist圖，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。精品文檔精品文檔>>clear> >num=10000;> >den=151000;> >GH=tf(num,den);> >nyquist(GH)2)用階躍響應(yīng)曲線驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性> >num=10000;> >den=151000;> >s=tf(num,den);> >

15、sys=feedback(s,1);> >t=0:0.01:0.6;> >step(sys,t)tf用法：G=tf(21,122)s=tf('s');%定義s為傳遞函數(shù)拉普拉斯算子；G=(2s+1)/(sA2+2s+2);%定義傳遞函數(shù)；其實(shí)生成的傳遞函數(shù)可以任意計(jì)算。set(G)可以得到傳遞函數(shù)對象的屬性，可以修改或預(yù)設(shè)其屬性，如G=tf(21,122,'variable','p');%修改使用的變量G=tf(21,122,'inputdelay',0.25);%設(shè)置輸入延遲，即G=exp(-0.25s)

16、(2s+1)/(sA2+2s+2)G=tf(132,1573,0.1);%設(shè)置離散情況的采樣周期tfdata功能描述：獲得tf模型傳遞函數(shù)的參數(shù)對于SISO系統(tǒng)：G=tf(21,122);num,den=tfdata(G,'v');對于離散系統(tǒng)：num,den,Ts=tfdata(G);其實(shí)要得到系統(tǒng)的參數(shù)，可以直接引用傳遞函數(shù)的屬性，如G.den等函數(shù)名zpk功能描述：生成零極點(diǎn)增益?zhèn)鬟f函數(shù)模型或轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)模型G=zpk(-1,-3,0,-2,-5,10);可以用于轉(zhuǎn)化G=tf(-10200,172028195)sys=zpk(G);zpkdata功能描述：獲取零極點(diǎn)增益模型的參數(shù)z,p,k=zpkdata(G,'v');filt()功能描述：生成DSP式的離散傳遞函數(shù)：例子：生成采樣時(shí)間為0.5的DSP形式傳遞函數(shù)：H=filt(21,10.42,0.5)%求閉環(huán)傳函num1,den1=series(1,11,10,102);num2,den2=feedback(