高中數(shù)學(xué)完整講義排列與組合8排列組合問(wèn)題的常用方法總結(jié)(共11頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 排列組合問(wèn)題的常用方法總結(jié)2知識(shí)內(nèi)容1基本計(jì)數(shù)原理加法原理分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，在第類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱加法原理乘法原理分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個(gè)子步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同方法，做第個(gè)步驟有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱乘法原理加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件

2、事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問(wèn)題的基本思想方法，這兩個(gè)原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用2 排列與組合排列：一般地，從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列（其中被取的對(duì)象叫做元素）排列數(shù)：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示排列數(shù)公式：，并且全排列：一般地，個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示規(guī)定：組合

3、：一般地，從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素中任取個(gè)元素的一個(gè)組合組合數(shù)：從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示組合數(shù)公式：，并且組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：（規(guī)定）排列組合綜合問(wèn)題解排列組合問(wèn)題，首先要用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時(shí)要掌握一些常見(jiàn)類型的排列組合問(wèn)題的解法：1特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2分類分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，常需

4、要分類討論或分步計(jì)算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏3排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法4捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列5插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空6插板法：個(gè)相同元素，分成組，每組至少一個(gè)的分組問(wèn)題把個(gè)元素排成一排，從個(gè)空中選個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有7分組、分配法：分組問(wèn)題（分成幾堆，無(wú)序）有等分、不等分、部分等分之別一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個(gè)數(shù)相等，必須除以！8錯(cuò)位法：編號(hào)為1至的個(gè)小球放入編號(hào)為1到

5、的個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱為錯(cuò)位排列，特別當(dāng)，3，4，5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1，2，9，44關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問(wèn)題1排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問(wèn)題，解決此類問(wèn)題通常有三種途徑：元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題；再通過(guò)分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步

6、計(jì)數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；最后列出式子計(jì)算作答2具體的解題策略有：對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排；理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類，分類后要驗(yàn)證是否不重不漏；對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問(wèn)題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)；對(duì)于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對(duì)于元素間隔排列的問(wèn)題，采取插空法或隔板法；順序固定的問(wèn)題用除法處理；分幾排的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直排問(wèn)題處理；對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮反面對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問(wèn)題，需要構(gòu)造模型典例分析擋板法（名額分配或者相同物品的分配問(wèn)題）【例1】 某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)

7、較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有 種【例2】 某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由人組成籃球隊(duì)，這個(gè)人由個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種【例3】 有多少項(xiàng)？ 【例4】 有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號(hào)數(shù)，問(wèn)有多少種不同的方法？【例5】 不定方程中不同的正整數(shù)解有 組，非負(fù)整數(shù)解有 組【例6】 5個(gè)人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少種不同的帶法【例7】 將個(gè)完全相同的小球任意放入個(gè)不同的盒子中，共有多少種不同的放法？【例8】 一個(gè)樓梯共個(gè)臺(tái)階步登完，可一步登一個(gè)臺(tái)階也可一步登兩個(gè)臺(tái)階，一共

8、有多少種不同的走法【例9】 有個(gè)三好學(xué)生名額，分配到高三年級(jí)的個(gè)班里，要求每班至少個(gè)名額，共有多少種不同的分配方案【例10】 某中學(xué)準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì)，這18人由高一年級(jí)10個(gè)班的學(xué)生組成，每個(gè)班至少一個(gè)，名額分配方案共有_種【例11】 10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)名額分配到一、二、三3個(gè)班，若名額數(shù)不少于班級(jí)序號(hào)數(shù)，共有多少種不同的分配方法？插空法（當(dāng)需排的元素不能相鄰時(shí)）【例12】 從個(gè)自然數(shù)中任取個(gè)互不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的取法【例13】 某會(huì)議室第一排共有8個(gè)座位，現(xiàn)有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法種數(shù)為（ ）A B16 C24 D32【例14】 三個(gè)人坐在一排個(gè)座位

9、上，若每個(gè)人左右兩邊都有空位，則坐法種數(shù)為_(kāi)【例15】 要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，排法種數(shù)有_種【例16】 馬路上有編號(hào)為l，2，3，10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有_種 （用數(shù)字作答）【例17】 為配制某種染色劑， 需要加入三種有機(jī)染料、兩種無(wú)機(jī)染料和兩種添加劑， 其中有機(jī)染料的添加順序不能相鄰現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊懀?總共要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為 （用數(shù)字作答）【例18】 一排個(gè)座位有個(gè)人坐，若每個(gè)空位兩邊都坐有人

10、，共有_種不同的坐法【例19】 某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等名學(xué)生中選派名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加當(dāng)甲乙同時(shí)參加時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰那么不同發(fā)言順序的種數(shù)為（ ）ABCD【例20】 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？【例21】 某人連續(xù)射擊次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種捆綁法（當(dāng)需排的元素有必須相鄰的元素時(shí)）【例22】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？【例23】 四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有 種【例24

11、】 某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有 【例25】 停車站劃出一排個(gè)停車位置，今有輛不同型號(hào)的車需要停放，若要求剩余的個(gè)空車位連在一起，則不同的停車方法共有_種【例26】 四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_種（用數(shù)字作答）除序法（平均分堆問(wèn)題，整體中部分順序固定，對(duì)某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規(guī)定順序元素個(gè)數(shù)的全排列）【例27】 6本不同的書(shū)平均分成三堆，有多少種不同的方法？【例28】 6本書(shū)分三份，2份1

12、本，1份4本，則有不同分法？【例29】 用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個(gè)？若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個(gè)？ 【例30】 一天的課程表要排入語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，英語(yǔ)，體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？【例31】 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面不同的安排方法共有（ ）A種B種C種D種【例32】 某考生打算從所重點(diǎn)大學(xué)中選所填在第一檔次的個(gè)志愿欄內(nèi)，其中校定為第一志

13、愿，再?gòu)乃话愦髮W(xué)中選所填在第二檔次的個(gè)志愿欄內(nèi)，其中校必選，且在前，問(wèn)此考生共有 種不同的填表方法（用數(shù)字作答）遞推法【例33】 一樓梯共10級(jí)，如果規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要走上這10級(jí)樓梯，共有多少種不同的走法？用轉(zhuǎn)換法解排列組合問(wèn)題【例34】 某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種【例35】 6個(gè)人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法【例36】 從1，2，3，1000個(gè)自然數(shù)中任取10個(gè)不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的取法【例37】 某城市街道呈棋盤(pán)形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種【例38】 一個(gè)樓梯共18個(gè)臺(tái)階12步登完，可