高中數(shù)學(xué)完整講義排列與組合8排列組合問題的常用方法總結(jié)(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 排列組合問題的常用方法總結(jié)2知識內(nèi)容1基本計數(shù)原理加法原理分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，在第類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱加法原理乘法原理分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，做第個步驟有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱乘法原理加法原理與乘法原理的綜合運用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件

2、事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用2 排列與組合排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列（其中被取的對象叫做元素）排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示排列數(shù)公式：，并且全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示規(guī)定：組合

3、：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示組合數(shù)公式：，并且組合數(shù)的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：（規(guī)定）排列組合綜合問題解排列組合問題，首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：1特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2分類分步法：對于較復(fù)雜的排列組合問題，常需

4、要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏3排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法4捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列5插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空6插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有7分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）有等分、不等分、部分等分之別一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！8錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到

5、的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當(dāng)，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題1排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問題，解決此類問題通常有三種途徑：元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)求解時應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步

6、計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏；最后列出式子計算作答2具體的解題策略有：對特殊元素進行優(yōu)先安排；理解題意后進行合理和準(zhǔn)確分類，分類后要驗證是否不重不漏；對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)；對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理；對于正面考慮太復(fù)雜的問題，可以考慮反面對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構(gòu)造模型典例分析擋板法（名額分配或者相同物品的分配問題）【例1】 某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)

7、較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有 種【例2】 某校準(zhǔn)備組建一個由人組成籃球隊，這個人由個班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種【例3】 有多少項？ 【例4】 有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子里，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種不同的方法？【例5】 不定方程中不同的正整數(shù)解有 組，非負整數(shù)解有 組【例6】 5個人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少種不同的帶法【例7】 將個完全相同的小球任意放入個不同的盒子中，共有多少種不同的放法？【例8】 一個樓梯共個臺階步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共

8、有多少種不同的走法【例9】 有個三好學(xué)生名額，分配到高三年級的個班里，要求每班至少個名額，共有多少種不同的分配方案【例10】 某中學(xué)準(zhǔn)備組建一個18人的足球隊，這18人由高一年級10個班的學(xué)生組成，每個班至少一個，名額分配方案共有_種【例11】 10個優(yōu)秀指標(biāo)名額分配到一、二、三3個班，若名額數(shù)不少于班級序號數(shù)，共有多少種不同的分配方法？插空法（當(dāng)需排的元素不能相鄰時）【例12】 從個自然數(shù)中任取個互不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的取法【例13】 某會議室第一排共有8個座位，現(xiàn)有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法種數(shù)為（ ）A B16 C24 D32【例14】 三個人坐在一排個座位

9、上，若每個人左右兩邊都有空位，則坐法種數(shù)為_【例15】 要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，排法種數(shù)有_種【例16】 馬路上有編號為l，2，3，10 十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有_種 （用數(shù)字作答）【例17】 為配制某種染色劑， 需要加入三種有機染料、兩種無機染料和兩種添加劑， 其中有機染料的添加順序不能相鄰現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊懀?總共要進行的試驗次數(shù)為 （用數(shù)字作答）【例18】 一排個座位有個人坐，若每個空位兩邊都坐有人

10、，共有_種不同的坐法【例19】 某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等名學(xué)生中選派名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加當(dāng)甲乙同時參加時，他們兩人的發(fā)言不能相鄰那么不同發(fā)言順序的種數(shù)為（ ）ABCD【例20】 在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？【例21】 某人連續(xù)射擊次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種捆綁法（當(dāng)需排的元素有必須相鄰的元素時）【例22】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？【例23】 四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有 種【例24

11、】 某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有 【例25】 停車站劃出一排個停車位置，今有輛不同型號的車需要停放，若要求剩余的個空車位連在一起，則不同的停車方法共有_種【例26】 四個不同的小球放入編號為的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有_種（用數(shù)字作答）除序法（平均分堆問題，整體中部分順序固定，對某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規(guī)定順序元素個數(shù)的全排列）【例27】 6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？【例28】 6本書分三份，2份1

12、本，1份4本，則有不同分法？【例29】 用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個？若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個？ 【例30】 一天的課程表要排入語文，數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，英語，體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？【例31】 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面不同的安排方法共有（ ）A種B種C種D種【例32】 某考生打算從所重點大學(xué)中選所填在第一檔次的個志愿欄內(nèi)，其中校定為第一志

13、愿，再從所一般大學(xué)中選所填在第二檔次的個志愿欄內(nèi)，其中校必選，且在前，問此考生共有 種不同的填表方法（用數(shù)字作答）遞推法【例33】 一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題【例34】 某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種【例35】 6個人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法【例36】 從1，2，3，1000個自然數(shù)中任取10個不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的取法【例37】 某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種【例38】 一個樓梯共18個臺階12步登完，可