第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 BA 圖11 中值定理一、羅爾定理1.定理內(nèi)容 若函數(shù)滿足以下條件： (1) 在 上連續(xù);(2) 在（）內(nèi)可導(dǎo); (3) 則在（）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.2分析： 如圖1，的幾何意義是過該點(diǎn)的切線平行于軸，顯然可能是函數(shù)的最大值（或最小值）的點(diǎn)。因此，需要證明的是（1）在（）有取最大值（或最小值）的點(diǎn)，（2）.3證 因?yàn)樵谏线B續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在 上必有最大值和最小值 （1）如果，則在上恒為常數(shù)，因此在（）內(nèi)恒有,于是,（）內(nèi)每一點(diǎn)都可取為定理的; （2）如果,因，則與中至少有一個(gè)不等于端點(diǎn)處的函數(shù)值,設(shè)，從而，在（）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得.我們來證明，在點(diǎn)，有.

2、事實(shí)上，因?yàn)槭亲畲笾?所以不論為正或負(fù),只要，恒有 ，由在點(diǎn)可導(dǎo)及極限的保號(hào)性; 因此必有.零點(diǎn)存在定理羅爾定理4.應(yīng)用（1）求根 例1 不求出函數(shù)=的導(dǎo)數(shù)，說明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間. 解 因=在1，4上可導(dǎo)，又，所以在，上滿足羅爾定理的條件因此 至少有三個(gè)實(shí)根,分別位于區(qū)間（）,（），（）內(nèi). 又知是三次多項(xiàng)式，故至多有三個(gè)實(shí)根于是方程恰有三個(gè)實(shí)根, 分別位于區(qū)間（）,（），（）內(nèi) B C A 圖2（2）證明（見后）二、拉格朗日定理1定理內(nèi)容 設(shè)函數(shù)滿足條件：（1） 在 上連續(xù);（2） 在上可導(dǎo)則至少存在一點(diǎn)使得 （1） 或 （2） 2幾何意義:如圖2 ，就是割線的斜率，而就

3、是曲線上點(diǎn)C的切線斜率.拉格朗日定理的意義是：若區(qū)間上有一條連續(xù)曲線，曲線上每一點(diǎn)都有切線，則曲線上至少有一點(diǎn)C，過C點(diǎn)的切線與割線平行.3證明分析：羅爾定理是拉格朗日定理特殊情況，我們就想到應(yīng)用羅爾定理來證明拉格朗日定理.要證等式變形為 ，即 ，為此，構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù) 則要證明的結(jié)論歸結(jié)為：在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得. 4證 作輔助函數(shù) 可知在上連續(xù)，在上可導(dǎo).又 所以，滿足羅爾定理的條件. 于是，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使即 亦即 . 或 5形式：由 ，可知 , 即 . 令 則 所以,拉格朗日定理常寫成： （3）所以拉格朗日定理一共有三種形式，我們要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。6推廣：當(dāng)時(shí)拉格朗日定理的公式仍然

4、成立，只不過介于，之間。7應(yīng)用例2 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于零，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)常數(shù).證 設(shè)，是區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)，不妨設(shè) ，在區(qū)間上滿足拉格朗日定理的兩個(gè)條件，因此有： 由假設(shè) 所以 區(qū)間 內(nèi)任意兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，所以 在區(qū)間內(nèi)是一常數(shù) 例3 試證： .證 ，有 =0 由例3可知， (C為常數(shù)) 為了確定常數(shù)，另，有 ，即 例4 證明 .（證明聯(lián)立的不等式的常用方法）證 函數(shù)在滿足拉格朗日定理的條件,有 ， 即 ,而 從而有 . 三、柯西定理:拉格朗日定理進(jìn)一步推廣 1定理 設(shè)函數(shù)與滿足條件： 在閉區(qū)間上連續(xù); 在開區(qū)間可導(dǎo); ，有則至少存在一點(diǎn)使得: （1） 2分析:變形公式（

5、1）為 上式可以寫成：|, 令 .驗(yàn)證滿足羅爾定理的條件即可. 3 證 首先，我們指出 事實(shí)上，若 ，由羅爾定理，在內(nèi)存在一點(diǎn)，使，與條件矛盾作輔助函數(shù), 在連續(xù)，可導(dǎo) .即 ，滿足羅爾定理的條件.由羅爾定理，在內(nèi)存在一點(diǎn)，使得,即 從而有 容易看出，在柯西中值定理中，當(dāng)時(shí)，（2）式就是 ，即拉格朗日定理是柯西定理當(dāng)?shù)奶厥馇闆r.4.2 洛必達(dá)法則（求未定式極限的較好方法）約定用“0”表示無(wú)窮小，用“”表示無(wú)窮大已知或可能有各種不同的情況與都稱為未定式約定用“1”表示以1為極限的一類函數(shù)，未定式還有五種： 一、“”型1洛必達(dá)法則 設(shè)函數(shù)和滿足條件： 1) 在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且; 2) ;

6、 3) （或）, 則 （或）.2證 將函數(shù)與在作連續(xù)開拓，即設(shè) 則函數(shù)與在的鄰域內(nèi)連續(xù). ，在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上, 與滿足柯西中值定理的條件，則在與之間存在一點(diǎn)，使 已知 ，有，從而 ,因?yàn)樵谂c之間，所以當(dāng)時(shí)，有，由條件3），有 （或）. 例1 求極限. 解 由洛必達(dá)法則1，有 . 例2 求極限. 解 =.例3 求極限. 解 注1：求一個(gè)函數(shù)極限時(shí)可以多次應(yīng)用洛必達(dá)法則，求“”型未定式的極限時(shí)，如果一階導(dǎo)數(shù)之比依舊是型未定式，只要仍滿足法則的條件，則可以再次使用洛必達(dá)法則；倘若結(jié)果還是未定式，那么我們還可以繼續(xù)使用法則. 例4求極限. 解 = ,上式右端還是“”型未定式的極限，并且滿足法則的條

7、件，所以= （繼續(xù)使用洛必達(dá)法則）=.例5 求極限.解 =.注2：以上討論的是當(dāng)時(shí)的“”型極限洛必達(dá)法則，至于其它自變量的變化過程的“”型極限，也有類似的洛必達(dá)法則。二、“”型未定式 1洛必達(dá)法則 設(shè)函數(shù)與滿足： 1) 在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且;2) ; 3) 或， 則 或.在洛必達(dá)法則中，將換成其他自變量變化過程亦成立： 例6 求極限.解 =.例7 求極限.解 =. 例8 求極限.解 =0.三、其他型未定式例9 求極限. （） 解 . 例10 求極限. （）解 . 例11 求極限. （）解 ， 其中 ,故 例12 求極限. （）解 ，其中 ,故 .例13 求極限 （）解 ，其中 ,故 .

8、 最后，我們指出在使用洛必塔法則求極限時(shí)注意的問題： 1) 求“”，“”型未定式的極限，可考慮直接應(yīng)用洛必達(dá)法則，其他未定式應(yīng)先化為“”或“”型才可應(yīng)用.2) 在每次使用洛必塔法則后，都應(yīng)先盡可能化簡(jiǎn)，然后考慮是否繼續(xù)使用洛必塔法則,若發(fā)現(xiàn)用其他的方法很方便，就不必用洛必塔法則.3) 洛必塔法則的條件（3）僅是充分條件，當(dāng)不存在時(shí)，不能斷定也不存在，只能說明此時(shí)不能應(yīng)用洛必塔法則，而需應(yīng)用其他方法討論 例如，求極限 .極限 不存在,而極限 卻存在 例15 求極限.解 這是”型未定式，因極限 不存在，所以不能應(yīng)用洛必塔法則我們有 .4.3 函數(shù)的單調(diào)性與極值一、函數(shù)的單調(diào)性圖4.3-1 圖4.3

9、-2 1觀察2猜 (1），有，則函數(shù)在嚴(yán)格單調(diào)增加；（2），有，則函數(shù)在嚴(yán)格單調(diào)減少3證 ,且，函數(shù)在區(qū)間滿足拉格朗日中值定理的條件，有 ， （1）已知，有 （2）類似可證4注：（1）在定理中，區(qū)間可以是有限區(qū)間，也可以是無(wú)窮區(qū)間; （2）如果區(qū)間是閉區(qū)間，只要在端點(diǎn)連續(xù)，定理的結(jié)論仍然成立二、求單調(diào)區(qū)間例1 討論函數(shù)的單調(diào)性.解 定義域是令 ，其根是1與3，它們將分成三個(gè)區(qū)間，列表：（+-+符號(hào)“”表示嚴(yán)格增加，“”表示嚴(yán)格減小.圖4.3-3 例2 討論函數(shù)的單調(diào)性 解 ,而使 的點(diǎn)是于是,在內(nèi)是嚴(yán)格增加的（如圖：4.3-3）例3 證明當(dāng)時(shí), 不等式成立證 設(shè)，則函數(shù)在可導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在

10、嚴(yán)格增加因此，當(dāng)時(shí),有，即 二、函數(shù)的極值1定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，并且，有（），則稱為的極大值（極小值），稱為極大點(diǎn)（極小點(diǎn)）極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).說明：極值是局部的最值。若在點(diǎn)可導(dǎo)，且是函數(shù)的極值點(diǎn)，則證 不妨設(shè)是函數(shù)的極大點(diǎn)，即存在的某鄰域，有 ，或因此，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.由在點(diǎn)可導(dǎo)及極限的保號(hào)性，有 ; .于是有.定義 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)（即方程的根）稱為函數(shù)的駐點(diǎn)（穩(wěn)定點(diǎn)）.結(jié)論：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn);問題：函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)嗎？例如的導(dǎo)數(shù)為，因此是這可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)，但卻不是這函數(shù)的極值點(diǎn).問題： 什么樣的駐點(diǎn)是極值點(diǎn)？ 判別法1

11、 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)， （1） 如果當(dāng)時(shí)，,而當(dāng)時(shí),則函數(shù)在點(diǎn)取極大值; （2） 如果當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，,則函數(shù)在點(diǎn)取極小值;（3）當(dāng)時(shí)不變號(hào)，則 不是極值點(diǎn). 例1 求函數(shù)的極值. 解 （1）, （2）令，解得, (3) 列表如下：+0-0+極大點(diǎn)極小點(diǎn) -1是函數(shù)的極大點(diǎn)，極大值是;2是函數(shù)的極小點(diǎn)，極小值是 判別法2 設(shè)在具有二階導(dǎo)數(shù)，則是函數(shù)的極值點(diǎn)，且 1），則是函數(shù)的極小點(diǎn)，是極小值; 2），則是函數(shù)的極大點(diǎn)，是極大值證 因?yàn)?，利用?dǎo)數(shù)定義有: 1） 由及極限的保號(hào)性，在的某一去心鄰域內(nèi)有 ， 當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，由定理2，是函數(shù)的極小點(diǎn)，是極小值. 2）同理可證 例2

12、求函數(shù)的極值.解 1） 2）令求得駐點(diǎn); 3）; 4）在處取得極小值，極小值為; 5），用法1無(wú)法判斷.應(yīng)用法2圖4.3-4定義 函數(shù)的駐點(diǎn)以及函數(shù)的定義域中導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的臨界點(diǎn)例3 討論函數(shù)單調(diào)性和極值解 ，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，不存在列表討論如下：+不存在-0+極大點(diǎn)極小點(diǎn)函數(shù)在有極大值，在有極小值三、最大值和最小值 求閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值，方法如下 1） 求出函數(shù)的所有臨界點(diǎn) ； 2） 計(jì)算出函數(shù)值 ,； 3） 將上述函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值 例1 求 在區(qū)間上的最大值，最小值 解 由方程解得 ，所以在取極大值，在取極小值又端點(diǎn)處所以上，函數(shù)最大

13、值為10，最小值為 例2 求函數(shù)在-1，1上的最大值和最小值解 由上段的例3知，函數(shù)在（-1，1）內(nèi)有兩個(gè)臨界點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，不存在-11-20-0故知在-1，1上，函數(shù)最大值為0，最小值為.4.4 函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)一.凹凸性函數(shù)的單調(diào)性和極值，還不能準(zhǔn)確地反映函數(shù)圖形的主要特性例如，圖4.4-1中，和都在內(nèi)單調(diào)上升，但兩者的圖像卻有明顯的差別-它們的彎曲方向不同這種差別就是所謂的“凹凸性”的區(qū)別 1定義 設(shè)在上連續(xù)，如果對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)和，恒有 ,那么稱在是凹的;如果對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)和，恒有 ,那么稱在是凸的.BAO圖4.4-2aBAO圖4.4-2b 2問題：函數(shù)的凹凸性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系o

14、圖4.4-3通過觀察猜測(cè)有如下命題： 定理 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則:(1)若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的;(2)若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的 證明 （1）設(shè)和為內(nèi)任意兩點(diǎn)，且，記，并記 ，則 ，由拉格朗日中值定理，有， ， ， ，兩式相減，對(duì)在區(qū)間上再應(yīng)用一次拉格朗日中值定理，得， 由定理的條件，故有，即 ，亦即 所以，在上的圖形是凹的.類似的可證（2）. 例1 討論函數(shù)的凹凸性. 解 因?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，所以在的圖形為凹的, 當(dāng)時(shí)，所以在的圖形為凸的. 例2 討論函數(shù)的凹凸性. 解 因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，所以曲線在內(nèi)的圖形為凸的.當(dāng)時(shí)，所以曲線在內(nèi)的圖形為凹的.二、拐點(diǎn)：我們注意到，在例2中，

15、曲線在點(diǎn)的兩側(cè)有不同的凹凸性1定義 一條處處有切線的連續(xù)曲線，若在點(diǎn)兩側(cè)，曲線有不同的凹凸性，則稱此點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).注意：拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，是二維點(diǎn)要與駐點(diǎn)和極值點(diǎn)區(qū)別。2如何來尋求曲線的拐點(diǎn)呢？ 求曲線的拐點(diǎn)的步驟：(1) 求;(2) 令，求出這個(gè)方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根;(3) 對(duì)于解出的每一個(gè)實(shí)根，檢查在左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，當(dāng)在左、右兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，就是拐點(diǎn)；當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)不是拐點(diǎn). 例3 求函數(shù) 的凹凸區(qū)間及對(duì)應(yīng)曲線的拐點(diǎn). 解 ,， ，, 令 ，解得 和 .它們將定義域分成三個(gè)區(qū)間，列表如下： +-+ 注:“”表示凹,“” 表示凸. 注意：上述求拐點(diǎn)的方法是基于函數(shù)在區(qū)間每一點(diǎn)

16、都有二階導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間上有不存在二階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn). 例4 求的凹凸區(qū)間及對(duì)應(yīng)曲線的拐點(diǎn). 解 , , ，二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，但是不存在的點(diǎn)，它把分成兩個(gè)區(qū)間.列表如下：+不存在-在內(nèi),，曲線是凹的；在內(nèi),曲線是凸的，點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).NPO圖4.5-1xM4.5 漸近線一、 定義 1.定義：線上的點(diǎn)沿曲線無(wú)限遠(yuǎn)移時(shí)，若到某直線的距離趨于零（圖4.5-1），那么直線就叫曲線的漸近線.2.分類： 1) 鉛直漸近線：直于軸的漸近線叫做鉛直漸近線 若 或 ，則直線 就是曲線的一條鉛直漸近線. 例如，對(duì)于曲線 , 容易看出，和,是它的兩條鉛直漸近線，而則有著無(wú)數(shù)條漸近線 .2) 水平漸

17、近線：平行于軸的漸近線又稱為水平漸近線如果或(為常數(shù)),那么,就是曲線的一條水平漸近線. 例如，對(duì)于函數(shù)，因?yàn)樗?，都是曲線的水平漸近線. 3) 斜漸近線：其他的漸近線設(shè)直線 是曲線 的一條斜漸近線. 曲線上任一點(diǎn)到漸近線的距離是 ，其中是直線與軸的夾角（如圖411）.由定義，當(dāng)時(shí)，所以， （1） 當(dāng)然就有 ，即 （2） 由（1）式，可得 （3）所以，如果直線是曲線的斜漸近線，則我們可按（2）與（3）式求出與，從而得到漸近線的方程。注：只有（2）與（3）都存在，曲線才有斜漸近線。 例1 求曲線的漸近線. 解（1）鉛直漸近線 很明顯，當(dāng)趨于任何有限數(shù)時(shí)，都不會(huì)趨于，故它沒有鉛直漸線. (2)斜漸

18、近線 , .所以，是曲線的斜漸近線. , .所以，是曲線的另一條漸近線. 例2 討論曲線的漸近線. 解 定義域?yàn)椋?） 鉛直漸近線 因?yàn)?所以是曲線的一條鉛直漸近線.（2） 斜漸近線 ,但 （不存在）.所以，曲線沒有斜漸近線（包括水平漸近線）.例 求曲線的漸近線解 已知 ，則是曲線的垂直漸近線又有，直線 是曲線的漸近線4.6 函數(shù)圖形的描繪一、步驟： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）討論函數(shù)的一些基本性質(zhì)，如奇偶性、周期性等； （3）求出的零點(diǎn)和不存在的點(diǎn)，用所求出的點(diǎn)把定義域分成若干區(qū)間，列表，確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)； （4）確定函數(shù)是否存在漸近線； （5）在直角坐標(biāo)系中，首

19、先標(biāo)明所有關(guān)鍵性的點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出漸進(jìn)線，然后按照曲線的性態(tài)逐段描繪二、例1 試作出函數(shù)的圖像. 解 （1）的定義域?yàn)?（2）為偶函數(shù)，無(wú)周期性; （3）, ,和的零點(diǎn)是;在處，均不存在；(4) 用-1，0，1三點(diǎn)把定義域分為四個(gè)區(qū)間，并列表如下：+-+-+極大0（5）考察曲線的漸近線: , ,所以在均是鉛直漸近線,所以是一條水平漸近線.O1-12圖4.6-1(6) 繪出函數(shù)的圖像（如圖4.6-1） 例2 試作出函數(shù)的圖像. 解 的定義域?yàn)?非奇非偶，無(wú)周期性; ,的零點(diǎn)是, 無(wú)零點(diǎn),列表如下：+-+-+極大點(diǎn)極小點(diǎn)3-1O圖4.6-215考察曲線的漸近線: 所以是鉛直漸近線, , ，所以，是的

20、斜漸近線.O圖4.6-3 綜合上述討論，繪出函數(shù)的圖像（如圖4.6-2） 例3描繪函數(shù)的圖像解 的定義域是，為偶函數(shù)，無(wú)周期性; ，的零點(diǎn)是,的零點(diǎn)是與，它們把定義域分成三個(gè)區(qū)間，列表如下： +-+-+極大點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn) 因?yàn)?，所以是水平漸近線綜合上述討論，繪出函數(shù)的圖像（如圖4.6-3）4.7 最優(yōu)化方法一、建模初步1定義：把一個(gè)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)我們熟知的函數(shù)表達(dá)式，并在定義域上優(yōu)化該函數(shù)（求最大值或最小值）的方法稱為建模.圖4.7-1例1 一個(gè)裝500飲料的圓柱形鋁罐，要使所用材料最少，其尺寸應(yīng)如何設(shè)計(jì)？解：如圖4.7-1.設(shè)表示罐高，表示兩底的半徑，于是構(gòu)造模型如下：兩底用材量+周邊用材量 兩

21、底用材量，周邊用材量.因罐的容積等于常數(shù)500 ，所以 ，得 ,所以，周邊用材量，得到底半徑為的罐的用材總量的表達(dá)式，.求的最小值.方程 只有一個(gè)根 因，所以是極小點(diǎn),也是最小點(diǎn).當(dāng)時(shí)，即當(dāng)圓柱形鋁罐的高和直徑相等時(shí)，用料最少2建立優(yōu)化問題模型的提示：（1）全面思考問題，確認(rèn)優(yōu)化哪個(gè)量或函數(shù);（2）如有可能，畫出草圖來顯示變量之間的關(guān)系;（3）設(shè)法得出用上述確認(rèn)的變量表示要優(yōu)化的函數(shù),在公式中保留一個(gè)變量而消去其它的變量，確認(rèn)此變量的變化區(qū)間;（4）求出該函數(shù)的最大值或最小值.例2 把一根直徑為的圓木鋸成矩形橫梁，已知梁的抗彎強(qiáng)度與矩形寬成正比，又與它的高的平方成正比，問寬與高如何選擇能使橫梁

22、的抗彎強(qiáng)度為最大？圖4.7-4解 設(shè)梁的底寬為，則高為梁的強(qiáng)度與它的底寬成正比，又與它的高的平方成正比，所以強(qiáng)度.由解出 (不合理,舍去).當(dāng)時(shí)，此時(shí)高為 因此橫梁若鋸成寬為，高為時(shí)，抗彎強(qiáng)度最大二、函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用1最大利潤(rùn)問題（1）廠商規(guī)定產(chǎn)量，總收入和總成本都是產(chǎn)量的函數(shù)，分別記為和則總利潤(rùn)可表示為 求使得總利潤(rùn)最大的產(chǎn)量，為此一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于零，即，由此可得 根據(jù)極值存在的第二充分條件，為使總利潤(rùn)最大，還要求二階導(dǎo)數(shù) ，可得綜上，在獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量處，邊際收益等于邊際成本但此時(shí)若又有邊際收益對(duì)產(chǎn)量的微商小于邊際成本對(duì)產(chǎn)量的微商，則該產(chǎn)量處一定獲得最大利潤(rùn)（2）由廠商先定價(jià)格，

23、然后由需求關(guān)系去決定產(chǎn)量，此時(shí)可將產(chǎn)量看作價(jià)格的函數(shù)，這樣，總收入函數(shù)為 ，總成本函數(shù)為 在價(jià)格為時(shí)的總利潤(rùn)為 1），即，或;2），即 ，或 也就是說，只要滿足上述兩個(gè)條件，就可使總利潤(rùn)最大，此時(shí)的最優(yōu)產(chǎn)量由確定由1）我們?nèi)菀椎玫剑?說明，能使總利潤(rùn)達(dá)到最大的價(jià)格，也必能使邊際收益等于邊際成本由此可見，無(wú)論以產(chǎn)量還是以價(jià)格作為自變量，上述兩種分析得到的是同樣的最優(yōu)產(chǎn)量和最優(yōu)價(jià)格例 某產(chǎn)品生產(chǎn)單位的總成本為 ，每單位產(chǎn)品的價(jià)格是134元，求使利潤(rùn)最大的產(chǎn)量.解 生產(chǎn)單位時(shí)，總收入，總利潤(rùn)為 . 令 得.又 ，所以在有極小值; ，所以在有極大值，.因?yàn)椴庞幸饬x，而，且當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)減小，是的最大值.因此生產(chǎn)單位個(gè)產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元.例2 某商店每天向工廠按出廠價(jià)每件3元購(gòu)進(jìn)一批商品零售若零售價(jià)定為每件4元，估計(jì)銷售量為400件若一件售價(jià)每降低0.05元，則可多銷售40件問每件售價(jià)定為多少、從工廠購(gòu)進(jìn)多少件時(shí)，才可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解 設(shè)利潤(rùn)為，進(jìn)貨量為件，售價(jià)為元/件，則利潤(rùn)為 假定銷量