數(shù)學物理方程及定解問題

1、第八章 數(shù)學物理方程及定解問題n第一節(jié) 波動方程及定解條件n第二節(jié) 熱傳導方程與擴散方程n第三節(jié) 位勢方程n第四節(jié) 定解問題的適定性第一節(jié) 波動方程及定解條件n一維波動方程或弦振動方程物理模型一長為 l 的柔軟、均勻的細弦，拉緊以后，讓它離開平衡位置在垂直于弦線的外力作用下作微小橫振動，求弦上個點的運動規(guī)律。柔 軟 性： 發(fā)生于弦中的張力其方向總是沿著弦線的切線方向均勻細弦：線密度為常數(shù)，弦線可以ol來代替微小振動：若用u(x,t)來表示弦線在t時刻的形狀，則微小振動是指21xu 數(shù)學模型的建立211212t tt ttt ttt t 動量 動量外力產(chǎn)生的沖量 張力產(chǎn)生的沖量22112100(

2、 , )( , )bbtbtxxaatatt tt tuudxdxdtf dxT u b tu a t dttt2221112002tbtbtbtatatauudtdxdtf dxdtTdxttx設： u(x,t)表示在時刻 t 弦上點 x 處的位移f 0(x,t)表示作用在弦線上且垂直平衡位置的強 表示線密度 (千克/米)，迫外力密度(牛頓/米)數(shù)學模型22222( , )uuaf x ttx其中：u(x,t)表示在 t 時刻、弦線在 x 點處的位移f (x,t)=f0/表示單位質(zhì)量所受的外力a2=T0/： T0表示張力、 為線密度n定解條件初始條件給出弦在初始時刻 t=0 的位移和速度(

3、,0)( ),( ,0)( )tu xxu xx邊界條件給定位移函數(shù) u(x,t) 在邊界或端點 x=0, l 上的限制。一般來有三種類型：12(0, )( ),( , )( )utg tu l tg t第一類邊界條件：12(0, )( ),( , )( )xxTutg tTu l tg t第二類邊界條件：1122(0, )(0, )( )( , )( , )( )xxTututg tTu l tu l tg t第三類邊界條件：n定解問題由方程與定解條件可以描述一個特定的物理現(xiàn)象，它構(gòu)成一個定解問題混合問題：由方程、初始條件和一類邊界條件構(gòu)成的定解問題初始問題：由方程和初始條件構(gòu)成的定解問題2

4、2222,0( ,0)( ),( ,0)( ),tuuaxttxu xxxu xx 22222,0,0(0, )( , )0,0( ,0)0,0( ,0)( ),tuuaxl ttxutu l ttu xxlu xx例：n二維波動方程或膜振動方程2222222( , , )uuuaf x y ttxy一塊均勻的緊張的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動，其運動規(guī)律滿足其中：u(x,y,t)表示在 t 時刻、膜在 (x,y) 點處的位移f (x,y,t)表示單位質(zhì)量所受的外力a2=T/： T表示張力、 為線密度n三維波動方程或聲波方程222222222( , , , )uuuuaf

5、x y z ttxyz第二節(jié) 熱傳導方程與擴散方程n熱傳導方程在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物體。假定它的內(nèi)部有熱源或匯，并且與周圍的介質(zhì)有熱交換，來研究物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。物理模型均勻物體：物體的密度為常數(shù)各向同性： 物體的比熱和熱傳導系數(shù)均為常數(shù)數(shù)學模型的建立設： u(x,y,z,t)表示物體于時刻 t 在位置 x,y,z 處的溫度C 表示是比熱 (焦耳/度千克)f 0(x,y,z,t)表示熱源強度(焦耳/千克秒) 表示密度 (千克/米3)，k 表示導熱系數(shù)211212t tt ttt ttt t 熱量 熱量通過邊界的流入量 熱源的生成量2211210( , , , )( , ,

6、 , )( , , , )ttttDDDuCu x y z tu x y z tdxdydzdtkdSdtf x y z t dxdydzn2221110ttttttDDDudtCdxdydzdtk udtf dxdydzt 數(shù)學模型2( , , , )uauf x y z tt 二維的情形：22222( , , )uuuaf x y ttxy一維的情形：222( , )uuaf x ttx其中：a2=k/C， f (x,y,z,t)=f0/C，222222xyz n定解條件邊界條件給定溫度函數(shù) u(x,y,z,t) 在物體表面的限制。一般來有三種類型：(0,)( , , , )( , , ,

7、 )u x y z tg x y z t第一類邊界條件：初始條件給出物體在初始時刻 t=0 的溫度( , , ,0)( , , )u x y zx y z第二類邊界條件：(0,)( , , , )ukg x y z tn第三類邊界條件：(0,)( , , , )uug x y z tnn定解問題由方程與定解條件可以描述一個特定的物理現(xiàn)象，它構(gòu)成一個定解問題混合問題：以三維為例：設是R3中的任意有界開區(qū)域，在柱體30,)上，由方程、初始條件和一類邊界條件構(gòu)成的定解問題初始問題：以三維為例：在上半空間R30,)上，由方程和初始條件構(gòu)成的定解問題222,0( ,0)( ),uuaxttxu xxx

8、222,0,0(0, )( , )0,0( ,0)( )0 xuuaxl ttxutu l ttu xxxl例：n擴散方程考慮三維空間中一均勻的、各向同性的物體，假定它的內(nèi)部有擴散源，來研究物體內(nèi)部分子的濃度在時刻 t 的分布規(guī)律。物理模型數(shù)學模型( , , , )uD uf x y z tt 其中：u(x,y,z,t)表示于時刻 t 在 (x,y,z) 處的分子濃度f (x,y,z,t)表示單位時間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)D 為擴散系數(shù)第三節(jié) 位勢方程n穩(wěn)定的溫度場n膜平衡方程22222( , )uuaf x yxy2( , , )auf x y z n定解條件與定解問題的提法( , , )

9、( , , )u x y zg x y z第一類邊界條件：第二類邊界條件：( , , )ukg x y zn第三類邊界條件：( , , )uug x y zn定解問題只提邊值問題定解問題只提邊值問題第四節(jié) 定解問題的適定性222( , , , )uauf x y z tt 波動方程雙曲型2( , , , )uauf x y z tt 熱傳導方程拋物型2( , , )auf x y z 位勢方程橢圓型2,1( )( )( )( )mmijii jiijiuuaxb xc x uf xx xx 二階線性偏微分方程的一般形式n存在性存在一個足夠光滑的函數(shù)，使其滿足方程和定解條件H.Lewy例 (1957年)2()( , , )xytuiuixy uf x y t存在一個函數(shù)f(x) C ()使得該方程在C1()中無解n唯一性定解問題在給定的函數(shù)類中最多有一個解量子力學中能量本征值問題當能量 E 取何值時，該定解問題有非零解22