獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想

1、1.2 1.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，獨(dú)立性檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。否有關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。 所謂所謂“分類變量分類變量”，就是指?jìng)€(gè)體所屬的類別不同，也，就是指?jìng)€(gè)體所屬的類別不同，也稱為稱為屬性變量屬性變量或或定型變量定型變量。 在日常生活中，我們常常關(guān)心兩個(gè)分類變量之間是在日常生活中，我們常常關(guān)心兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系，例如吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)否有關(guān)系，例如吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響等等。于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響等等。 吸煙與

2、患肺癌列聯(lián)表吸煙與患肺癌列聯(lián)表患肺癌患肺癌不患肺癌不患肺癌總計(jì)總計(jì)吸煙吸煙49492099209921482148不吸煙不吸煙42427775777578177817總計(jì)總計(jì)91919874987499659965為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了地調(diào)查了99659965人，得到如下結(jié)果（單位：人）人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表列聯(lián)表2 22 2在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 0.54%0.54%2.28%2.28%1)通過圖形直觀判斷通過圖形直觀判斷三

3、維柱三維柱狀圖狀圖2) 通過圖形直觀判斷通過圖形直觀判斷二維二維條形圖條形圖3)通過圖形直觀判斷通過圖形直觀判斷患肺癌患肺癌比例比例不患肺癌不患肺癌比例比例等高等高條形圖條形圖 獨(dú)立性檢驗(yàn)H H0 0： 吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌之間之間 沒有關(guān)系沒有關(guān)系 通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到結(jié)論是：結(jié)論是：吸煙與患肺癌有關(guān)吸煙與患肺癌有關(guān)結(jié)論的可靠結(jié)論的可靠程度如何？程度如何？ 吸煙與患肺癌列聯(lián)表吸煙與患肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計(jì)總計(jì)不吸煙不吸煙a ab ba+ba+b吸煙吸煙c cd dc+dc+d總計(jì)總計(jì)a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+daca

4、c,a+bc+da+bc+d a c+d c a+b , a c+d c a+b ,adbc吸煙的人中不患肺癌的比例：吸煙的人中不患肺癌的比例：baa不吸煙的人中不患肺癌的比例：不吸煙的人中不患肺癌的比例：dcc若若H H0 0成立成立0.adbcad-bc 越小，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，ad-bc 越小，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，ad-bc 越大，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強(qiáng)ad-bc 越大，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強(qiáng)引入一個(gè)隨機(jī)變量：引入一個(gè)隨機(jī)變量：卡方統(tǒng)計(jì)量卡方統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)在多大程度上可以認(rèn)為作為檢驗(yàn)在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)變量?jī)蓚€(gè)變量有關(guān)系有關(guān)系”的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)

5、 。dcban其中dbcadcbabcadnK22通過公式計(jì)算通過公式計(jì)算 吸煙與患肺癌列聯(lián)表吸煙與患肺癌列聯(lián)表患肺癌患肺癌不患肺癌不患肺癌總計(jì)總計(jì)吸煙吸煙49492099209921482148不吸煙不吸煙42427775777578177817總計(jì)總計(jì)91919874987499659965632.569198742148781720994249777599652k已知在已知在 成立的情況下，成立的情況下，0H故有故有99%99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為H H0 0不成立，即有不成立，即有99%99%的把的把握認(rèn)為握認(rèn)為“患肺癌與吸煙有關(guān)系患肺癌與吸煙有關(guān)系”。即在即在 成立的情況下，成立的情

6、況下， 大于大于6.6356.635概率非常小，概率非常小，近似為近似為0.0100.0100H2K現(xiàn)在的現(xiàn)在的 =56.632=56.632的觀測(cè)值遠(yuǎn)大于的觀測(cè)值遠(yuǎn)大于6.6356.635，出現(xiàn)這樣的觀測(cè)值的概率不超過出現(xiàn)這樣的觀測(cè)值的概率不超過0.0100.010。k010.0)635.6(2KPa+b+c+da+b+c+db+db+da+ca+c總計(jì)總計(jì)c+dc+dd dc ca+ba+bb ba a總計(jì)總計(jì)一般地，對(duì)于兩個(gè)分類變量一般地，對(duì)于兩個(gè)分類變量X X和和Y Y。X X有兩類取值：有兩類取值：即類即類 和和 （如吸煙與不吸煙）；（如吸煙與不吸煙）；Y Y也有兩類取值：也有兩類取

7、值：即類即類 和和 （如患病與不患?。?。于是得到下列樣（如患病與不患?。Ｓ谑堑玫较铝袠颖绢l數(shù)的本頻數(shù)的2 22 2列聯(lián)表為：列聯(lián)表為：x1x2y2y1y1y2x1x2 用卡方統(tǒng)計(jì)量來確定在多大程度上可以認(rèn)為用卡方統(tǒng)計(jì)量來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為這兩個(gè)分類變的方法稱為這兩個(gè)分類變量的量的獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)。要推斷要推斷“X X和和Y Y有關(guān)系有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行：，可按下面的步驟進(jìn)行：（1 1）提出假設(shè)）提出假設(shè)H H0 0 ：X X和和Y Y沒有關(guān)系；沒有關(guān)系；（3 3）查對(duì)臨界值，作出判斷。）查對(duì)臨界值，作出判斷。（2 2）根據(jù)）

8、根據(jù)2 22 2列聯(lián)表與公式計(jì)算列聯(lián)表與公式計(jì)算 的值；的值；k2K0k0k0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828P（ ） 0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.706例例1.在某醫(yī)院在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人名男性病人中中,有有214人禿頂人禿頂;而另外而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有院的男性病人中有175禿頂禿頂.分別利用圖形和獨(dú)立性檢分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系驗(yàn)方法判斷禿頂

9、與患心臟病是否有關(guān)系?你所得的結(jié)論你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效在什么范圍內(nèi)有效?禿頂與患心臟病列聯(lián)表禿頂與患心臟病列聯(lián)表患心臟病患心臟病患其他病患其他病總計(jì)總計(jì)禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計(jì)總計(jì)6657721437有有99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)禿頂與患心臟病有關(guān)”635. 6373.167726651048389)451175597214(14372k例例2 為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系。在某城市的某校高中生隨機(jī)抽取系。在某城市的某校高中生隨機(jī)抽取300名學(xué)生。得到名學(xué)生。得到如下

10、列聯(lián)表：如下列聯(lián)表：性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表喜歡喜歡不喜歡不喜歡總計(jì)總計(jì)男男3785122女女35143178總計(jì)總計(jì)72228300 由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值的觀測(cè)值k4.514。能夠。能夠以以95的把握認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程的把握認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？為什么？之間有關(guān)系嗎？為什么？ 解：在假設(shè)解：在假設(shè) “ “性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間沒有關(guān)系性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間沒有關(guān)系”的前提下，的前提下， 應(yīng)該很小，并且應(yīng)該很小，并且而我們所得到的而我們所得到的 的觀測(cè)值的觀測(cè)值 超過超過3.8413.841，

11、這就，這就意味著意味著“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”這一結(jié)論這一結(jié)論是錯(cuò)誤的可能性約為是錯(cuò)誤的可能性約為0.050.05，即有，即有95%95%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“性別與性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”。2K2K2K05. 0)841. 3(2KP514. 4k練習(xí)練習(xí): ( P17 )甲乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門考試甲乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門考試,按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后,得到如下列聯(lián)表得到如下列聯(lián)表:優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)總計(jì)甲班甲班103545乙班乙班73845總計(jì)總計(jì)177390畫出列聯(lián)表的條形圖出列聯(lián)表的條形圖,并通過圖形判斷成績(jī)與班級(jí)是否并通過圖形判斷成績(jī)與班級(jí)是否有關(guān)有關(guān).利用列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)利用列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì),認(rèn)為認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率是多少。犯錯(cuò)誤的概率是多少。由圖及表直觀判斷，好像由圖及表直觀判斷，好像“成績(jī)優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系成績(jī)優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系”，由表中，由表中數(shù)據(jù)計(jì)算，得數(shù)據(jù)計(jì)算，得 的觀察值為的觀察值為 。由教科書中表。由教科書中表1-121-12，得，得從而由從而由50%50%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系成績(jī)優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系