特殊平行四邊形專題訓(xùn)練

1、專訓(xùn)一：矩形的性質(zhì)與判定靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金:1 .矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)還具 有一些獨(dú)特的性質(zhì)，可歸結(jié)為三個(gè)方面：（1）從邊看：矩形的對(duì)邊平行且相等； 從角看：矩形的四個(gè)角都是直角；（3）從對(duì)角線看：矩形的對(duì)角線互相平分且 相等.2 .判定一個(gè)四邊形是矩形可從兩個(gè)角度進(jìn)行： 一是判定它有三個(gè)角為直角； 二是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個(gè)角為直角或兩條對(duì)角線相等.融施圈庭龍 利用矩形的性質(zhì)與判定求線段的長(zhǎng)（轉(zhuǎn)化思想）1 .如圖，將矩形紙片ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，點(diǎn)A,點(diǎn)B落在點(diǎn)M處, 點(diǎn)C ,點(diǎn)D落在點(diǎn)N處，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙不重疊的四邊形 EFGH,

2、若EH= 3 cm , EF= 4 cm ,求 AD 的長(zhǎng).黝倏箴魔妻利用矩形的性質(zhì)與判定證明線段相等2 .如圖，點(diǎn) O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DE/ AC, CE/ BD,連結(jié)OE.求證：OE = BC.（第2題）翻修責(zé)虞重利用矩形的性質(zhì)與判定判斷圖形形狀3 .如圖，在矩形 ABCD中，AB = 2, BC = 5, E, P分別在 AD, BC上, 且 DE= BP= 1,連結(jié) AP , EC,分別交 BE, PD 于 H , F.判斷 BEC勺形狀，并說(shuō)明理由.（2）判斷四邊形EFPH是什么特殊的四邊形？并證明你的判斷.E D邈裝董葭型利用矩形的性質(zhì)與判定求面積4 .如圖，已知E是？

3、 ABCD中BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié) AE并延長(zhǎng)AE交DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)連結(jié)AC, BF,若/ AEC= 2/ABC,求證：四邊形ABFC為矩形.在的條件下，若AFD等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4,求四邊形ABFC的面積.(第4題)專訓(xùn)二：菱形的性質(zhì)與判定靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：1 .菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)又具有一些特性，可以歸納為 三個(gè)方面：(1)從邊看：對(duì)邊平行，四邊相等；(2)從角看：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；(3) 從對(duì)角線看：對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.2.判定一個(gè)四邊形是菱形，可先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，也可直接判定四

4、邊相等.避施度屢想利用菱形的性質(zhì)與判定證明角的關(guān)系1 .如圖，在四邊形 ABCD中，AB=AD, CB = CD , E是CD上一點(diǎn)，BE 交AC于點(diǎn)F,連結(jié)DF.(1)證明：/ BAC= / DAC, / AFD=/ CFE;(2)若AB/ CD,試證明：四邊形 ABCD是菱形；在(2)的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，使/ EFD=/ BCD,并說(shuō)明理由.避:施一箴屢遴利用菱形的性質(zhì)與判定證明線段的位置關(guān)系2 .(中考蘭州)如圖，在四邊形 ABCD中，AB/ CD, ABw CD, BD = AC.(1)求證：AD = BC;(2)若E, F, G, H分別是AB, CD, AC, BD的中點(diǎn)，

5、求證：線段 EF與 線段GH互相垂直平分.翻施海遽案利用菱形的性質(zhì)與判定解決周長(zhǎng)問(wèn)題3 .(中考貴陽(yáng))如圖，在R£ ABC中，/ ACB= 90° ,D, E分別為AB, AC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)DE,將 ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180 ° ,得到 CFE,連結(jié)AF.(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若BC = 8, AC =6,求四邊形 ABCF的周長(zhǎng).A避誨嘴,盛軍利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問(wèn)題4 .如圖，已知等腰三角形 ABC中，AB = AC, AD平分/ BAC,交BC于 點(diǎn)D,在線段AD上任取一點(diǎn)PQ A除外），過(guò)點(diǎn)P作EF/ AB,分別交AC , BC于

6、點(diǎn)E, F,作PM1/ AC,交 AB于點(diǎn)M ,連結(jié)ME.（1）求證：四邊形AEPM為菱形.當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？請(qǐng)說(shuō) 明理由.專訓(xùn)三：正方形的性質(zhì)與判定靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金:正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性質(zhì)，判定一個(gè)四邊 形是正方形，只需保證它既是矩形又是菱形即可.翻倏養(yǎng)魔事利用正方形的性質(zhì)證明線段位置關(guān)系1 .如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn)O, E, F分別在 OD , OC上，且DE=CF,連結(jié)DF, AE, AE的延長(zhǎng)線交 DF于點(diǎn)M.求證：AM± DF.通融遹港簽利用正方形的性質(zhì)解決線段和差倍分問(wèn)

7、題2 .已知：在正方形 ABCD中，/ MAN= 45 ° , / MAN§點(diǎn)A順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB, DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M, N.如圖，當(dāng)/ MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM = DN時(shí)，易證：BM + DN=MN.當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMW DN時(shí)，如圖，請(qǐng)問(wèn)圖中的結(jié)論是否還成立?如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，線段 BM, DN和MN之間有 怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明.A D翻蘸的逸基正方形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用3.如圖，P, Q, R, S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn) 時(shí)出發(fā)，以同樣的

8、速度分別沿AB, BC, CD , DA的方向滾動(dòng), C, D, A.(1)不管滾動(dòng)時(shí)間多長(zhǎng)，求證：連結(jié)四個(gè)小球所得的四邊形A , B, C , D 同其終點(diǎn)分別是B,PQRS總是正方形.(2)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積最大?(3)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積為原正方形面積的一半？并說(shuō)明理由.(第3題)翻卷黃庭軍正方形中的探究性問(wèn)題4.如圖，在正方形 ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)N,連結(jié)FM,易證：DM= FM, DMIL FM(無(wú)需寫證明過(guò)程)；(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N, 其余條

9、件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線 于點(diǎn)N,其余條件不變，探究線段 DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出猜想.專訓(xùn)I四：利用矩形的性質(zhì)巧解折疊問(wèn)題名師點(diǎn)金：折疊問(wèn)題往往通過(guò)圖形間的折疊找出線段或角與原圖形之間的聯(lián)系， 從而得 到折疊部分與原圖形或其他圖形之間的關(guān)系， 即折疊前后的圖形全等，且關(guān)于折 痕或所在直線成軸對(duì)稱；在計(jì)算時(shí)，常常通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程求解.道,施噴癡灌利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中的角1.當(dāng)身邊沒(méi)有量角器時(shí)，怎樣得到一些特定度數(shù)的角呢？動(dòng)手操作有時(shí)可 以解“燃眉之急”.如圖，已知矩形紙

10、片 ABCD(矩形紙片要足夠長(zhǎng))，我們按如 下步驟操作可以得到一個(gè)特定的角：(1)以點(diǎn)A所在直線為折痕，折疊紙片，使點(diǎn) B落在邊AD上，折痕與BC 交于點(diǎn)E;(2)將紙片平展后，再一次折疊紙片，以點(diǎn) E所在直線為折痕，使點(diǎn)A落在 BC上，折痕EF交AD于F.求/ AFE的度數(shù).4百h1（第 i 題）翻蘸商避法利用矩形的性質(zhì)巧求折疊中的線段的長(zhǎng)2 .如圖，有矩形紙片ABCD，長(zhǎng)AD為4 cm ,寬AB為3 cm ,把矩形折疊，使相對(duì)兩頂點(diǎn)A, C重合，然后展開.求折痕EF的長(zhǎng).word完美格式（第2題）:遮施彘密S利用矩形的性質(zhì)巧證線段的位置關(guān)系3 .如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)

11、C落在點(diǎn)E處，BE交AD于F,連結(jié)AE.證明：(1)BF=DF; (2)AE / BD.黛謙遹港筵,利用矩形的性質(zhì)巧求線段的比（面積法）4 .如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊, 點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M ,交AD于點(diǎn)（1）求證：CM=CN;使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處,N.若 CMN的面積與4MNCDN6面積比為3 ： 1,求DN的值.（第4題）專訓(xùn)五：用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題名師點(diǎn)金：利用特殊四邊形的性質(zhì)解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題， 一般將動(dòng)點(diǎn)看作特殊點(diǎn)解決問(wèn)題，再運(yùn)用從特殊到一般的思想，將特殊點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一般點(diǎn) (動(dòng)點(diǎn))為條件解答. 避倏箴度事平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1 .如圖，在？ ABCD中

12、，E, F兩點(diǎn)在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且保持 BE= DF, 連結(jié)AE, CF.請(qǐng)你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并對(duì)你的猜想加以證明.黝屣箴盛選矩形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題2.在矩形ABCD中，AB = 4cm , BC = 8 cm , AC的垂直平分線EF分另U 交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.(1)如圖，連結(jié)AF、CE,求證：四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿AFB CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn) P自A一 F一 B-A停止，點(diǎn)Q自C- D- E-C停止.在 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒5 cm ,點(diǎn)Q的速度為每秒4 cm ,運(yùn)動(dòng)時(shí)

13、間為t秒，當(dāng)以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求 t的值.a ed a e iy(第2題)懣簸賞出:：菱形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題3.如圖，在菱形 ABCD中，/B= 60° ,正在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD(1)如圖，若E是BC的中點(diǎn)，/AEF= 60 0 ,求iBE= DF;如圖，若/EAF=60° ,求證：是AEF三角形.避,施嘴,盛軍正方形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題4.如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為8 cm , E、F、G、H分別是AB、BC、 CD、DA 上的動(dòng)點(diǎn)，且 AE = BF= CG =DH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形;判斷直線EG是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

14、專訓(xùn)六：特殊四邊形中的最值問(wèn)題名師點(diǎn)金：求特殊四邊形中的最值問(wèn)題，一般都要用它們的軸對(duì)稱的性質(zhì)把幾條線段轉(zhuǎn)移到一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題. 黝候貴盤篝矩形中的最值問(wèn)題1 .如圖，/ MO* 90° ,矩形ABCD的頂點(diǎn) A、B分別在邊 OM , ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB = 2, BC1 ,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離.融舞度族客菱形中的最值問(wèn)題2 .如圖，菱形ABCD中，AB = 2, / A= 120 ° ,點(diǎn)P、Q、K分別為線段 BC、CD、BD上任意一點(diǎn)，求PK+ QK的最小值.（第2

15、題）翻熊第鹿溪正方形中的最值問(wèn)題（第3題）3 .（中考宿遷）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)， 點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng)，則PE+ PC的最小值是.4 .如圖，四邊形ABCD是正方形， ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不 含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連結(jié)EN, AM , CM.5 1）求證： AMB ENB.6 2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；當(dāng) M點(diǎn)在何處時(shí)，AM + BM + CM的值最小，并說(shuō)明理由.心（第4題）專訓(xùn)七：思想方法薈萃名師點(diǎn)金:本章中，由于涉及內(nèi)容是各種特殊四邊形， 解決這類問(wèn)題時(shí)，常將它們與 角形、直角坐

16、標(biāo)系、方程等知識(shí)結(jié)合在一起進(jìn)行研究.而轉(zhuǎn)化思想、分類討論思 想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想是解決四邊形問(wèn)題常要用到的思想方法.黝:施彘密修數(shù)形結(jié)合思想40 cm（第1題）1 .如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)矩形，則每塊長(zhǎng)方形地磚的面積為（）A. 200 cm 2 B. 300 cm 2C. 600 cm 2 D . 2 400 cm 2題誨解愛運(yùn)方程思想2 .已知平行四邊形 ABCD中，AE± BCT E, AF，CD于F.(1)若 AE = 3 cm , AF = 4 cm , AD = 8 cm ,求 CD 的長(zhǎng)；(2)若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36 cm , AE = 4

17、cm , AF = 5 cm ,求平 行四邊形ABCD的面積.翻礁毒奕您轉(zhuǎn)化思想3 .如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC , BD相交于。點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），PO的延長(zhǎng)線交BC于Q點(diǎn).連結(jié)BP, DQ.（1）求證：四邊形PBQD為平行四邊形.(2)若AB = 3 cm , AD =4 cm , P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s,問(wèn)四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能,求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由.4 .如圖，已知六邊形 ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角均為120° ,且CD =2 cm ,BC = 8 cm , AB =

18、8 cm , AF = 5 cm .試求此六邊形的周長(zhǎng).（第4題）黜倏亮美軍分類討論思想圖形的位置不確定5 .四邊形ABCD是正方形， ADE等邊三角形，求/BEC數(shù).等腰三角形的腰與底邊不確定6 .已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形 OABC是 矩形，點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別為（10, 0）, （0, 4）,點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC 邊上運(yùn)動(dòng).當(dāng) ODP腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).答案解碼專訓(xùn)一1 ,解：. /HEMk / AEH, / BEF=/ FEM, . / HEF=/ HEM / FEM=1-X 180 = 90 同理可得：/ EHG= / HGF=

19、/ EFG= 90 ，四邊形 EFGH為矩形，a HG/ EF,HG=EF,GHN= / EFM.又HNG= / FME= 90 ° ,.HN+ FME,. HNMF.又= HN=HD,. HD= MF,. AD=AH + HD= HM + MF = HF.又= hTeI + EF =,32+42 = 5(cm),.AD =5 cm .點(diǎn)撥：此題利用折疊提供的角相等，可證明四邊形EFGH為矩形，然后利用 三角形全等來(lái)證明HN = MF,進(jìn)而證明HD = MF,從而將AD轉(zhuǎn)化為直角三角 形的斜邊HF,進(jìn)而得解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.2.證明：: DE/ AC, CE/ BD,.四邊版CED是

20、平行四邊形.丁四邊形 ABCD 是菱形，. AC± BD,即 / COA 90 ° .四邊形OCED是矩形.OECD.二.四邊形ABCD是菱形，BC= CD.OE= BC.點(diǎn)撥：線段CD既是菱形ABCD的邊，又是四邊形OCED的對(duì)角線，可以 用等量代換推出OE = BC.3.解：(1) 4B如角三角形.理由如下：二.四邊形ABCD是矩形， ./ ADC= / ABP=90° ,AD=BC = 5, CD =AB = 2. DE=BP=1,. AE=PC = 4.由勾股定理得 CE =，5, BE=245,. CE + BE2 = 5 + 20 = 25. = BC

21、= 52 = 25 , . BE + CE2 = BC2. . . / BEC= 90 0 . BE是直角三角形.(2)四邊形EFPH為矩形，證明：:四邊形 ABCD是矩形，.AD君C,AD/ BC. V DE=BP, .四邊形DEBP是平行四邊形.BE/ DP. v AD/ BC AE = PC , .四邊形 AECP 是平行四邊 形. AP/ CE. .四邊鹿FPH是平行四邊形.=/BEC= 90 ° ,平行四邊形EFPH是矩形.4. (1)證明：二四邊形ABCD為平行四邊形，AB/ DC,. / ABE=/ ECF.又;E為BC的中點(diǎn)，.二 BECE,j/ABE=/ FCE,在

22、 ABEffi FCE中，.BE= CE, /AEB=/ FEC, . ABEA FCE. ABCF.又AB/ CF, 四邊形ABFC為平行四邊形，BE=EC, AE = EF, AECA ABE勺外角， ./ AEC= / ABC+ / EAB. X.Z AEC= 2/ABC, ./ ABC= / EAB, . AE=BE,. AE4EF= BE+ EC,即AF=BC,.四邊形ABFC為矩形.(2)解：:四邊形ABFC是矩形，. AC± DF.又. AFD!等邊三角形， CF=CD = 2=2 ,AC=412 2 23 , S 矩形 ABFC = 23 X 2=4"3.解

23、碼專訓(xùn)二AB = AD ,1 . (1)證明：.在 AB©A ADC中，BC = DC,ABC ADC,、AC = AC , ./ BAC= / DAC.AB = AD ,.在 AB和 ADF中， / BAF=/ DAF, af=af, . ABFA ADF, . / AFB=/ AFD./ AFB=/ CFE, ./ AFD=/ CFE.證明：: AB/ CD,. / BAC= / ACD.又./ BAC= / DAC,. / CAD= / ACD,AD= CD. v AB=AD , CB = CD ,AB=CB = CD =AD ,一四邊形ABCD是菱形.(3)解：當(dāng) EBLCD

24、 時(shí)，/ EFD=/ BCD.理由：二.四邊形ABCD為菱形，BC= CD , / BCF=/ DCF,BC=DC ,在 BCFffi DCF 中，/BCF=/ DCF, 、CF = CF, . BCFA DCF,. / CBF=/ CDF.v BEX CD,. / BEC= / DEF=90° , ./ EFD=/ BCD.D F C M（第2題）2. .證明：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM/ AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M, v AB/ CD, 四邊形 ABMC為平行四邊形. . AC= BM = BD, .BDC= / M= / ACD.在 ACDffiA BDC中(AC =BD,/ AC

25、D= / BDC, ACM BDC,. AD書C.CD =DC ,(2)如圖，連結(jié) EH, HF, FG, GE,V E, F, G , H 分別是 AB , CD , AC , BD 的中點(diǎn)，_ L _1 _ 一 1 _HE/ AD,且 HE=AD , FG/ AD,且 FG=AD ,一四邊形HFGE為平行四邊形.由(1)知 AD=BC, . HE壬G,.？ HFGE為菱形，EFGH互相垂直平分.3. (1)證明：二.將人跳點(diǎn)£旋轉(zhuǎn)180°得到 CFE,. AEE, DE=FE, 四邊形ADCF是平行四邊形. 二D分另J為AB, AC邊上的中點(diǎn)， 口£是4 AB

26、C的中位線，.DE/ BC. / ACB= 90 °/ AED= 90 ° ,DF± AC,;四邊形ADCF是菱形.(2)解：在 Rt ABC 中，BC = 8, AC=6,. AB=10. D是AB邊上的中點(diǎn)，AD5f丁四邊形ADCF是菱形，.二 AFFC = AD=5, 四邊形ABCF的周長(zhǎng)為8+10+5+5=28.4. (1)證明：: EF/ AB, PMAC ,四邊形AEPM為平行四邊形. AD 平分/ CAB,. / CAD= / BAD.v EP/ AB, .BAD= / EPA, ./ CAD= / EPA,EAWP, .二四邊形 AEPM 為菱形.

27、c(第4題)1(2)解：當(dāng)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，S菱形AEPM=S四邊形EFBM.理由如下：:四邊形AEPM 為菱形，. . AP，EM.A況 AC , / CAD = / BAD ,AD± BC ,. EM/ BC.又: EF II AB,四邊鹿FBM為平行四邊形.過(guò)點(diǎn) E作ENL AB于11點(diǎn) N,如圖，則 S 菱形 aepm = am - EN= EP - EN =/EF EN =2S 四邊形 efbm.解碼專訓(xùn)三1 .證明：: AC,BD是正方形ABCD的兩條對(duì)角線，.AC± BKOA =OD =OC =OB.v DE = CF ,. OE = OF.在 RtA AO

28、E 與 RtA DOF 中，OA =OD ,A A AOE= / DOF= 90 °RtA AOE RtA DOF,Loe=of, ./ OAE= / ODF.vZ DOF= 90 °/ DFO+ / FDO= 90 ° , ./ DFO+ / FAE=90 ° .丁. / AMF= 90 0 , SPAM! DF.2 .解：（1）仍有BM + DN = MN成立.證明如下：過(guò)點(diǎn)A作AE± AN,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易證 ABEA ADN,. DNBE, AE=AN.又. / EAM= / NAM= 45 0 , AM =AM , . EAM

29、 NAM. a ME= MN.ME= BE+ BM = DN+BM ,BM+ DN = MN .（第2題）有DN BM = MN.證明如下：如圖，在DN上截取DE=BM,連結(jié)AE. ;四邊形ABCD是正方形，/ ABM =/ D= 90 0 ,AB = AD.又= DE =BM, .ABM ADE. AM =AE, / BAM= / DAE. v Z DAB=90 ° . . . / MAE= 90 0 .vZ MAN= 45 0 ,丁. / EAN = 45 °= / MAN.又 = AM = AE , AN = AN , . AMN AEN. MN= EN. . DN=

30、 DE+EN = BM + MN,. DN-BM = MN.3. (1)證明：v 四邊形 ABCD 是正方形，A= / B=/ C= / D= 90 AB = BC = CD =DA.又v在任何運(yùn)動(dòng)時(shí)刻,AP = BQ = CR = DS, . PB=QC =RD=SA,. ASPA BPg CQF DRS, PS=QP = RQ = SR, / ASP=/ BPQ,在任何運(yùn)動(dòng)時(shí)亥U,四邊形 PQRS 是菱形.又./ APS+Z ASP=90° , .APS+Z BPQ= 90 ° , ./ QPS= 180 ° ( Z APS+Z BPQ)=180°

31、90 ° = 90 ° . 在任何運(yùn)動(dòng)時(shí)刻，四邊形 PQRS總是正方形.(2)解：當(dāng)P, Q, R, S在出發(fā)時(shí)或在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的面積就 等于原正方形ABCD的面積.(3)解：當(dāng)P, Q, R, S四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形四邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形 PQRS的面 積是原正方形ABCD面積的一半.理由：設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a. 1 當(dāng) PS2=2a2時(shí)，在 RtAPS中，AS=a SD=aAP.1 .由勾股定理，得 AS2+AP2=PS2,即(a AP)2 + AP2=a2,一一 11解彳4AP=Qa.同理可得 BQ = CR = SD= ga. 當(dāng)P, Q, R, S四點(diǎn)

32、運(yùn)動(dòng)到正方形ABCD各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形 PQRS的 面積為原正方形面積的一半.(第4題)4.解：(1)DM =FM, DM! FM.證明：如圖，連結(jié)DF、NF.二.四邊形ABCD和四邊形CGEF都是正方形，AD/ BC, BC/ GE,AD/ GE,/ DAM= / NEM.VM是AE的中點(diǎn)，AM毛M. / AMD= / EMN,. MA* MEN,DM= MN , AD =NE. AD= CD ,. CD= NE. CF=EF, / FCD= / FEN=90° , . DCF NEF,. DFFN, / CFD= / EFN./ EFN+Z CFN= 900 , ./ CFD+

33、/ CFN= 90 0 ,即 / DFN= 90 ° ,DM= FM , DM1 FM.(2)DM =FM, DM1 FM.解碼專訓(xùn)四AE1 .解：如圖，由折疊性質(zhì)得/EABAB' =/ BEB' =/(第1題)AEF=/ A' 即EA= / AEB' BE= B' E,ABE=/ AB' E=90° , . AE為/ BAB'的平分線，丁. / BEA= / BAE= 45 ° ,又/ BEA+ / AEF+Z FEA' = 180 ./ FEA' = 67.5.在矩形 ABCD 中，AD/

34、 BC,/ AFE=/ FEA' = 67.5。.2.解：易得EF為AC的垂直平分線.AE8, AF=FC.v AE/ FC, .AEO= / CFO.又= OA= OC , / AOE= / COF,. AE8 CFO,AE= FC. .四邊形AECF是菱形.設(shè) BF 為 xcm ,則 AF= FC = (4 x)cm .由勾股定理，得 32 + x2 = (4 x)2,-x -q , FC c cm . ooAB=3 cm , BC = 4 cm ,AC=32 + 42 = 5(cm).525? f5 2 15百J 一0="8(cm) OC= 2 cm .在 RtFOC

35、中，OF =FC2OC2 = EF =2OF = cm . 4即折痕EF的長(zhǎng)為7 cm .43 .證明：(1)由折疊可知，/FBD=/ CBD,京D/ BC,所以/ FDB=/ CBD,所以/ FBD=/ FDB,所BF= DF.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以 AB = DC, AD = BC,由折疊可知 DC=ED = AB, BC = BE= AD,又1。因?yàn)?AE = AE,所以 AEBA EADff以/ AEB= / EADJf以/ AEB5(180,_ 10, / _, -, 一-Z AFE)皿/ DBE =(180 -Z BFD)4AFE=/ BFD所以/ AEB= / DB

36、E,所以 AE/ B D.4 . (1)證明：由折疊的性質(zhì)可得：/ENMk / DNM即/ ENMk / ENA+/ ANM , / DNM = / DNC + / CNM , / ENA= / DNC , . / ANM =/ CNM .四邊形 ABCD 是矩形，a AD/ BC, . / AN昨 / CMN / CMN =/ CNM. CM= CN.(2)解：過(guò)點(diǎn)N作NHL BC于點(diǎn)H,則四邊形NHCD是矩形，.HCDN ,NH = DC ,. CMN的面積與 CDNJ面積比為3： 1,1- MC- NH ”S' CMNSA CDN2MC-= =3,- DN- NH2MC= 3ND

37、 = 3HC,MH= 2HC.設(shè) DN=x,貝U HC=x, MH=2x,CM= 3x = CN.在 RtCDN 中，DC=JCN NH= 2aJ2x,在 RtA MNH 中,MN =/MH2+HN2 = 2低,MN 2 3x 2 3.DN x解碼專訓(xùn)五1 .解：猜想：AE=CF, AE/ CF.證明如下： 四邊形ABCD是平行四邊形， . AB=CD , AB/ CD,. / ABE= / CDF,在 ABEffi CDF 中， . AB=CD , / ABE=/ CDF,BE= DF, . ABEA CDF, .AE=CF, / AEB=/ CFD. / AEB+Z AED= / CFD+

38、 / CFB= 180 ° , ./ AED= / CFB,. AE/ CF.2 . (1)證明：:四邊形ABCD是矩形，.二 AD/ BC, ./ CAD= / ACB、/ AEF=/ CFE.v EF垂直平分AC ,垂足為O，.二OA= OC , . AOE COF,. OE=OF, 四邊形 AFCE 為平行四邊形.又; EF± AC,;四邊形AFCE為菱形.設(shè)菱形的邊 AF=CF = x cm ,則 BF= (8 x) cm ,(第2題)在RD ABF中，AB =4 cm ,由勾股定理得42+(8 x)2 = x2,解得x = 5, AF=5 cm .(2)解：顯然當(dāng)

39、P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，止匕時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不 可能構(gòu)成平行四邊形；同理 P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成 平行四邊形.因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形， 如圖，當(dāng)以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC= QA.二點(diǎn) P的速度為每秒5 cm ,點(diǎn)Q的速度為每秒4 cm ,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，4PC= 5t, QA=12 4t, 5t 424t,解得 t = -,3 以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=&.3 .證明：(1)連結(jié)AC. .在菱形 ABCD中，/ B=60° , .AB=BC = CD

40、, / BCD= 180 ° -Z B= 120 ° ,. ABC是等邊三角形.;E是BC的中點(diǎn)，AE± BC. / AEF=60° , .FEC=90° -Z AEF= 30 ° , ./ CFE= 180 ° -Z FEC-Z BCD= 180 ° 30° 120 ° = 30 ./ FEC=/ CFE,. EC= CF. . . BE.(2)連結(jié)AC.由(1)知4 ABC是等邊三角形， . AB=AC , / ACB=/ BAC= / EAF= 60 ° , ./ BAE=/ C

41、AF. / BCD= 120 ° , / ACB= 60 0 , ./ ACF=60° =/ B,ABEA ACF,；AE=AF,. AEF1等邊三角形.(第4題)4. (1)證明：:四邊形 ABCD為正方形，.A= / ABC= / C= / ADC= 90 0 AB=BC=CD=AD. . AE=BF=CG =DH ,BE=CF=DG=AH, . AEH0 BFEA CGF DHG, . EH=EF=FG = GH , / 1 = / 2.一四邊形EFGH為菱形./ 1 + / 3=90° , / 1 = / 2,2+/ 3=90° , ./ HEF

42、= 90 0 .二.四邊形EFGH為菱形，四邊形EFGH為正方形.(2)解：直線EG必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).理由如下：如圖，連結(jié)BD、EG, BD與EG交于O點(diǎn)，連結(jié)ED, BG.V BE%fe DG，四邊形BGDE為平行四邊形，. BD、EG互相平分，易知O為正方形中心， EG必過(guò)正方形中心 O.解碼專訓(xùn)六(第1題)1 _1 .解：如圖，取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)OE、DE、OD ,則OE = 2AB = 1, AE =1,所以DE=42,當(dāng)D, E, O三點(diǎn)共線時(shí)，OD=OE+DE,否則OD<OE + DE,所以O(shè)D長(zhǎng)的最大值是42+ 1.D到點(diǎn)O點(diǎn)撥：在這個(gè)問(wèn)題中，關(guān)鍵是運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系確

43、定點(diǎn)的距離何時(shí)最大，具體做法是取 AB的中點(diǎn)E,連結(jié)OE、DE、OD后，通過(guò)分 情況討論得出ODC OE+ DE,所以O(shè)D的最大值等于OE+DE.B P C(第2題)2 .解：二四邊形ABCD是菱形，AD/ BC, / BAD= 120 0 , ./ ABC= 180 0 -Z BAD= 180 ° 120 ° = 60° .如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)P',連結(jié)P' Q, P' C,則P' Q的 長(zhǎng)即為PK+ QK的最小值，當(dāng)P' Q± AB時(shí)，P' Q最短.假設(shè)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重 合，CP' &#

44、177; AB,此時(shí)CP'的長(zhǎng)即為PK+ QK的最小值.連結(jié)AC.v BC=AB = 2, / ABC= 60 ° , . ABC為等邊三角形.一，1v CP ± AB,. BP = AP 2AB = 1,.CP' =，bc2bp，2 =血即PK+ QK的最小值為小.3. 54. (1)證明：. ABE等邊三角形，BA= BE, / ABE= 60 ° . . / MBN= 60 0 , ./ MBN- / ABN= / ABE/ ABN.即 / MBA= / NBE.又= MB= NB, . AMB ENB;(2)解：當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM

45、 +CM的值最?。贿B結(jié)CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM +BM + CM的值最小.理 由如下：由(1)知4 AMB ENB,AM= EN, . / MBN= 60° , MB = NB, . BMN是等邊三角形，BM= MN ,AM+ BM + CM = EN+ MN + CM ,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短"，得 EN+MN+CM =EC最短. 當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM +BM + CM的值最小，即等于 EC的長(zhǎng).解碼專訓(xùn)七1 . B點(diǎn)撥：設(shè)每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為 x cm ,寬為y cm ,由題意可得x + y = 40,2x=x+ 3y,x + y =

46、40,x=30,即4解之得x-3y=0,j=10,所以每塊長(zhǎng)方形地磚的面積是 300 cm 2.故選B.2.解：（1） ;四邊服BCD 是平行四邊形，AD = 8 cm ,BC=AD = 8 cm . S平行四邊形 abcd= BC - AE= CD- AF, 8X 34CD，二 CD= 6 cm .2) ) :四邊形ABCD是平行四邊形，.ABC, AB= CD.二平行四邊形的周長(zhǎng)為36 cm，.,BC+ CD =18 cm ,由平行四邊形的面積公式得：4BC = 5CD ,BC + CD = 18,則解得：BC=10 cm , CD =8 cm，.二平行四邊形 ABCD的&BC = 5CD,面積是4X 10工0(cm 2).3) (1)證明：:四邊形 ABCD 是矩形，.二 AD/ BC,OD=OB,./ PDOr / PDO= / QBQ=/ QBO.ftA POLDf QOB中，:OD=OB, L / POD= / QOB ,.PO廬 QOB,. OP= OQ ,一四邊形PBQD為平行四邊形；(2)解：能.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)t s時(shí)，AP = t cm , PD = (4 t) cm .當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB= PD = (4t) cm .二四邊形ABCD是矩形， ./ BAP=90° .在直角三角型BP 中