第九章第7節(jié)方向?qū)?shù)與梯度ppt課件

1、第九章第九章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法 第九章 第七節(jié)第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、問題的提出一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義三、梯度的概念三、梯度的概念實例：一塊長方形的金屬板，四

2、個頂點的坐實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在比在(3,2)處有一只螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿處有一只螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方問題的實質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向即梯度方向爬行向即梯度方向爬行一、問題的提出一、問題的提出l),(zyxP二、方向?qū)?shù)二、方向?qū)?shù)定義

3、定義: : 若函數(shù)若函數(shù)),(zyxf f 0lim則稱則稱lf lf ,)()()(222zyx ,cos x,cos y cos z ),(),(lim0zyxfzzyyxxf 在點在點 ),(zyxP處處 ) ) 存在下列極限存在下列極限: : P記作記作 在一些實際問題中，需要研究函數(shù)在一些實際問題中，需要研究函數(shù)),(zyxfu 在某一點沿任意方向的變化率，因此產(chǎn)生了方向?qū)?shù)。在某一點沿任意方向的變化率，因此產(chǎn)生了方向?qū)?shù)。 ,沿方向沿方向 ( (方向角為方向角為l為函數(shù)在點為函數(shù)在點 P P 處沿方向處沿方向 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù). .l:說明說明在在直直線線上上，且且有有有有約約

4、束束，),(,)1(zzyyxxPzyx coscoscoszyx.0 , 0 , 1),(),(,),()2(1的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)軸正向軸正向沿著沿著在點在點則是則是存在存在若若 exzyxPzyxfzyxfx.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf xzyxfzyxxfx ),(),(lim0 ),(),(lim0zyxfzzyyxxf lf xzyxfzyxxfx ),(),(lim0 xf .),(),(,),(),(:32的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)軸軸正正向向和和軸軸正正向向沿沿著著在在點點則則分分別別是是存存在在若若同同理理ezeyzyxPzyxfzyxfzyxfzy(3)(

5、3)對于二元函數(shù)對于二元函數(shù), ),(yxf向角為向角為, , ) ) 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為方方處處沿沿方方向向在在點點(),(lyxP ),(),(lim0yxfyyxxflf ,)()(22yx )cos.,cos yx:思考思考?,0 , 1),(),(1是是否否存存在在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在的的方方向向軸軸正正向向沿沿在在點點若若xfexyxPyxf 不一定不一定0 , 1)0 , 0(122 eyxz點點處處沿沿在在如如方向?qū)?shù)方向?qū)?shù), 1)()(lim220 yxlz不存在不存在但但xxxxxzxx 020lim)(limxflf 特別特別: : 有有時時,2,0 有有時時,2,

6、xflf 當當 與與 軸同向軸同向xl 當當 與與 軸反向軸反向lx?:如何求如何求方向?qū)?shù)何時存在方向?qū)?shù)何時存在問題問題,),(),(處處可可微微在在點點若若函函數(shù)數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl定理定理: : flf 0lim coscoscoszfyfxflf .,的的方方向向角角為為其其中中l(wèi) 證明證明: : 由函數(shù)由函數(shù)),(zyxf)( ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf 且有且有)( o 在點在點 P P 可微可微 , ,得得P故故 coscoscoszfyfxf 則函數(shù)在該點沿任意方向則函數(shù)在該點沿任意方向 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在 , ,l對于二元

7、函數(shù)對于二元函數(shù), ),(yxf向角為向角為, , ) ) 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為方方處處沿沿方方向向在在點點(),(lyxP ),(),(lim0yxfyyxxflf cos),(cos),(yxfyxfyx ,)()(22yx )cos.,cos yxPlxyo sin),(cos),(yxfyxfyx ),(),(lim0yxfyyxxflf 或或,)()(22yx )sin.,cos yx解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù))4sin(2)4cos( lz.22 解解 sin)1 , 1(cos)1 ,

8、1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計算公式知由方向?qū)?shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當當4 時時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當當45 時時，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)達達到到最最小小值值2 ;（3）當當43 和和47 時時，方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于 0.xd d例例3. 3. 函數(shù)函數(shù))ln(22zyxu提示提示: : 31,32,32那那么么cos,cos,cos Axu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96(96考研考研) ), ) 1 ,2,2(A

9、B0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21在點在點 處沿點處沿點)1 , 0 , 1(AA指向指向 方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是 . .)2 , 2, 3( B解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為：方向余弦為：,142cos ,143cos .141cos ,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuy

10、uxunu)coscoscos( .711 故故三、梯度三、梯度 方向?qū)?shù)公式方向?qū)?shù)公式 coscoscoszfyfxflf 令向量令向量這說明這說明方向：方向：f f 變化率最大的方向變化率最大的方向模模 : f : f 的最大變化率之值的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：方向?qū)?shù)取最大值： zfyfxfG,)cos,cos,(cos0 l),cos(0lGG )1(0 l0lGlf ,0方向一致時方向一致時與與當當Gl:G Glf max一個函數(shù)一個函數(shù))y,x(fZ 在點在點),(yxP沿著不同的方向沿著不同的方向l的方向?qū)?shù)是不同的，的方向?qū)?shù)是不同的，1. 1. 定義定義, fadr

11、g即即fadrg同樣可定義二元函數(shù)同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxP yfxfjyfixff,grad zfyfxf,kzfjyfixf 記作記作(gradient),(gradient),在點在點處的梯度處的梯度 G說明說明: : 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影. .向量向量2. 2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在點在點 處的梯度處的梯度)P(fP函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等量面函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等量面( (或等值線或等值線) ,) ,面上的投面上的投在在曲線曲線xoyCzyxfz ),(C)y,x(f:L* 影影

12、稱為函數(shù)稱為函數(shù) f f 的等值線的等值線 . . ,不同時為零不同時為零設(shè)設(shè)yxff則則L L* *上點上點P P 處的法向量為處的法向量為 Pyxff),(Pfgrad oyx1cf 2cf 3cf )(321ccc 設(shè)設(shè)P同樣同樣, , 對應(yīng)函數(shù)對應(yīng)函數(shù), ),(zyxfu 有等量面有等量面,),(Czyxf 當各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時當各偏導(dǎo)數(shù)不同時為零時, , 其上其上 點點P P處的法向量為處的法向量為.fgradP, ),(yxfz 對函數(shù)對函數(shù)指向函數(shù)增大的方向指向函數(shù)增大的方向. .解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32

13、(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為 0. 求函數(shù) 處的梯度，并問在處的梯度，并問在 哪些點處梯度為零？哪些點處梯度為零？例例5 5 在點在點 yxzyxu2332222 2 , 1 , 1例例6. 6. 函數(shù)函數(shù))ln(222zyxu 在點在點)2,2,1( M處的梯度處的梯度 Mugrad)2, 2, 1(,grad zuyuxuuM解解: :,222zyxr 令令那那么么 xu21rx2 注意注意 x , y , z x , y , z 具有輪換對稱性具有輪換對稱性)2, 2, 1(2222,2,2 rzry

14、rx)2,2,1(92 )2,2,1(92 (92(92考研考研) )例例7 7：求函數(shù)：求函數(shù) xzzyyxzyxf ,處的最大方向?qū)?shù)。處的最大方向?qū)?shù)。解：解： 11,0,1 xf 11,0,1 zf 01,0,1 yf kifgrad 1,0, 1在點在點M M1 1，0 0，1 1）處的最大方向?qū)?shù)為：處的最大方向?qū)?shù)為： 21011,0, 1222 fgrad xxf 1,0,同理同理: : xzzyyxzyxf ,在點在點 )1, 0 , 1( M內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點在點),(zyxP沿方向沿方向 l (l (方向角方

15、向角), 為為的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點在點),(yxP),的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 coscosyfxflf 沿方向沿方向 l (l (方向角為方向角為yfxf cos sin2. 2. 梯度梯度 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點在點),(zyxP處的梯度為處的梯度為 zfyfxff,grad 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點在點),(yxP處的梯度為處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx 3. 3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微可微0gradlflf 梯度在方向梯度在方向

16、 l l 上的投影上的投影. .思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zyxzyxf 2),( 12 32tztytx在該點切線正方向?qū)?yīng)于在該點切線正方向?qū)?yīng)于t t增大的方向的方向?qū)?shù)增大的方向的方向?qū)?shù); ;的夾角的夾角 . .2. P131 2. P131 題題 1616(1) (1) 求函數(shù)在點求函數(shù)在點 處沿曲線處沿曲線)1 , 1 , 1(M(2) (2) 求函數(shù)在求函數(shù)在 處的梯度與處的梯度與(1)(1)中切線方向中切線方向 )1 , 1 , 1(M,yxf(x,y,z)z 2曲線曲線 12 32tztytx1. (1)在點在點),(ttdzd,tdyd,tdxd3411 )1 , 1 , 1(coscoscos zyxMffflf266263026412612 解答提示解答提示:函數(shù)沿函數(shù)沿 l l 的方