電磁感應(yīng)中的“雙桿問題

1、電磁感應(yīng)中的“雙桿問題”電磁感應(yīng)中“雙桿問題”是學(xué)科內(nèi)部綜合的問題，涉及到電磁感應(yīng)、安培力、牛頓運動定律和動量定理、動量守恒定律及能量守恒定律等。要求學(xué)生綜合上述知識，認(rèn)識題目所給的物理情景，找出物理量之間的關(guān)系，因此是較難的一類問題，也是近幾年高考考察的熱點。下面對“雙桿”類問題進(jìn)行分類例析1 .“雙桿”向相反方向做勻速運動當(dāng)兩桿分別向相反方向運動時，相當(dāng)于兩個電池正向串聯(lián)。例兩根相距d=的平行金屬長導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，并處于豎直方向的勻強磁場中，磁場的磁感應(yīng)強度B=,導(dǎo)軌上面橫放著兩條金屬細(xì)桿，構(gòu)成矩形回路，每條金屬細(xì)桿的電阻為r=Q,回路中其余部分的電阻可不計。已知兩金屬細(xì)桿在平行于

2、導(dǎo)軌的拉力的作用下沿導(dǎo)軌朝相反方向勻速平移，速度大小都是v=s,如圖所示，不計導(dǎo)軌上的摩擦。(1)求作用于每條金屬細(xì)桿的拉力的大小。(2)求兩金屬細(xì)桿在間距增加的滑動過程中共產(chǎn)生的熱量。-口解析：(1)當(dāng)兩金屬桿都以速度v勻速滑動時，每條金屬桿中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢分別為:E1=E2=Bdv由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強度大小為:F1=F2=IBdo因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力的大小為月=瑪一爐/-2乂10由以上各式并代入數(shù)據(jù)得Ng=/2r-(2)設(shè)兩金屬桿之間增加的距離為L,則兩金屬桿共產(chǎn)生的熱量為，代入數(shù)據(jù)得Q=X10-2J。2.“雙桿”同向運動，但一桿加速另一桿減速當(dāng)兩桿

3、分別沿相同方向運動時，相當(dāng)于兩個電池反向串聯(lián)。例兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd,構(gòu)成矩形回路，如圖所示。兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m,電阻皆為R,回路中其余部分的電阻可不計。在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為Bo設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行。開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若兩導(dǎo)體棒在運動中始終不接觸，求：(1)在運動中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少。(2)當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?4時，cd棒的加速度是多少八. b解析：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是

4、產(chǎn)生感應(yīng)電流。ab棒受到與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動。在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應(yīng)電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速。兩棒速度達(dá)到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度v作勻速運動。根據(jù)能量守(1)從初始至兩棒達(dá)到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒，有恒，整個過程中產(chǎn)生的總熱量(2)設(shè)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?4時，cd棒的速度為v1,則由動量守恒可知:3WJVq=用0一%+用2vlJ4此時回路中的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流分別為:4二此時棒所受的安培力：F=蒞L,所以cd棒的加速度為期由以上各式，可得4m

5、R（二時為0）1尸 i2R一再f入數(shù)據(jù)得L.底5d3.“雙桿”中兩桿都做同方向上的加速運動?！半p桿”中的一桿在外力作用下做加速運動，另一桿在安培力作用下做加速運動，最終兩桿以同樣加速度做勻加速直線運動。例7（全國理綜卷）如圖所示，兩根平行的金屬導(dǎo)軌，固定在同一水平面上，磁感應(yīng)強度B=的勻強磁場與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌的電阻很小，可忽略不計。導(dǎo)軌間的距離1=。兩根質(zhì)量均為m=的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=QO在t=0時刻，兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行、大小為的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動。經(jīng)過t=，金屬桿甲的加速

6、度為a=s2,問此時兩金屬桿的速度各為多少解析：設(shè)任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x,速度分別為v1和v2,經(jīng)過很短的時間At,桿甲移動距離v1At,桿乙移動距離v2At,回路面積改變AS=+口山黑依一打）=（4一%）?也i=i5由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢一Er二回路中的電流二二桿甲的運動方程-匚一王？二次二由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量等于外力F的沖量1出2R%-+(F-ma)聯(lián)立以上各式解得2m力f點評：題中感應(yīng)電動勢的計算也可以直接利用導(dǎo)體切割磁感線時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式和右E1手定則求解：設(shè)甲、乙速度分別為v1和v2,兩桿切割磁感線

7、產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢分別為=Blv1,E2=Blv2由右手定則知兩電動勢方向相反，故總電動勢為E=E2E1=Bl（v2v1）。分析甲、乙兩桿的運動，還可以求出甲、乙兩桿的最大速度差施：開始時，金屬桿甲在恒力F作用下做加速運動，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，金屬桿乙在安培力作用下也將做加速運動，但此時甲的加速度肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差將增大。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電流將增大，同時甲、乙兩桿所受安培力增大，導(dǎo)致乙的加速度增大，甲的加速度減小。但只要a甲a乙，甲、乙的速度差就會繼續(xù)增大，所以當(dāng)甲、乙兩桿的加速度相等時，速度差最大。此后，甲、乙兩桿做加速度相等的勻加速直線運動。設(shè)金屬桿甲、乙的共

8、同加速度為a,回路中感應(yīng)電流最大值Im。對系統(tǒng)和乙桿分別應(yīng)用牛頓第二定律有：F=2ma;BLIm=ma。由閉合電路歐姆定律有E=2ImR,而.FR1rl.總=-T7T=1U陽/8由以上各式可解得二二4.“雙桿”在不等寬導(dǎo)軌上同向運動?！半p桿”在不等寬導(dǎo)軌上同向運動時，兩桿所受的安培力不等大反向，所以不能利用動量守恒定律解題。例8（全國理綜卷）圖中alblcldl和a2b2c2d2為在同一豎直平面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌所在平面（紙面）向里。導(dǎo)軌的albl段與a2b2段是豎直的，距離為11;cldl段與c2d2段也是豎直的，距離為12。x1y1與x2y2為

9、兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為ml和m2,它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持光滑接觸。兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為RoF為作用于金屬桿xlyl上的豎直向上的恒力。已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。解析：設(shè)桿向上的速度為V,因桿的運動，兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢的大小?=-回路中的電流式電流沿順時針方向。兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿xlyl的安培力為方向向上，作用于桿x2y2的安培力為人二J方向向下，當(dāng)桿作勻速運動時，根據(jù)牛頓第二定律有一嗎且一叫

10、自+工為=。夕一（的十陶。自L=解以上各式得36一4）玉一作用于兩桿的重力的功率的大小產(chǎn)=伽1+啊酒_.Il電阻上的熱功率Q二I由式，可得問題4:電磁感應(yīng)中的一個重要推論一一安培力的沖量公式BL感應(yīng)電流通過直導(dǎo)線時，直導(dǎo)線在磁場中要受到安培力的作用，當(dāng)導(dǎo)線與磁場垂直時，安培的=3LiM=BLq=BL力的大小為F=BLI。在時間t內(nèi)安培力的沖量R，式中q是通過導(dǎo)體截面的電量。利用該公式解答問題十分簡便，下面舉例說明這一點。例9如圖所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的勻強磁場分布在寬為L的區(qū)域內(nèi)，有一個邊長為a（aL）的正方形閉合線圈以初速v0垂直磁場邊界滑過磁場后速度變?yōu)関（vv0）那么（）A

11、.完全進(jìn)入磁場中時線圈的速度大于（v0+v）/2B.安全進(jìn)入磁場中時線圈的速度等于（v0+v）/2C.完全進(jìn)入磁場中時線圈的速度小于（v0+v）/2D.以上情況A、B均有可能，而C是不可能的解析：設(shè)線圈完全進(jìn)入磁場中時的速度為vx。線圈在穿過磁場的過程中所受合外力為安培力。對于線圈進(jìn)入磁場的過程，據(jù)動量定理可得：-F母=-Ba=-Ba次心-陽環(huán)&Rx對于線圈穿出磁場的過程，據(jù)動量定理可得：一F出二絲=一5看三二網(wǎng)一期vxv0+v%由上述二式可得2,即B選項正確。例10光滑U型金屬框架寬為L,足夠長，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab,左端連接有電容為C的電容器，現(xiàn)給棒一個初速v0,使棒始終垂直框架并

12、沿框架運動，如圖所示。求導(dǎo)體棒的最終速度。解析：當(dāng)金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當(dāng)ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運動時,有：BLv=UC=q/C而對導(dǎo)體棒ab利用動量定理可得：BLq=mvmv0P=由上述二式可求得：,一：問題5:電磁感應(yīng)中電流方向問題例11（廣東物理卷）如圖所示，用一根長為L質(zhì)量不計的細(xì)桿與一個上弧長為“，下弧長為1的金屬線框的中點聯(lián)結(jié)并懸掛于O點，懸點正下方存在一個上弧長為笈口、下弧長為2*口的方向垂直紙面向里的勻強磁場，且0n/口先將線框拉開到如圖所示位置，松手后讓線框進(jìn)入磁場，忽略空

13、氣阻力和摩擦。下列說法正確的是（）A.金屬線框進(jìn)入磁場時感應(yīng)電流的方向為：ab-c-d-aB.金屬線框離開磁場時感應(yīng)電流的方向為：a-d-cb-aC.金屬線框dc邊進(jìn)入磁場與ab邊離開磁場的速度大小總是相等D.金屬線框最終將在磁場內(nèi)做簡諧運動分析：金屬線框進(jìn)入磁場時，由于電磁感應(yīng)，產(chǎn)生電流，根據(jù)楞次定律判斷電流的方向為:a-d-c-b-a。金屬線框離開磁場時由于電磁感應(yīng)，產(chǎn)生電流，根據(jù)楞次定律判斷電流的方向為a-b-cd-a。根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒，可知，金屬線框dc邊進(jìn)入磁場與ab邊離開磁場的速度大小不相等。如此往復(fù)擺動，最終金屬線框在勻強磁場內(nèi)擺動，由于口,單擺做簡諧運動的條件是擺角小于等于1

14、0度，故最終在磁場內(nèi)做簡諧運動。答案為Do小結(jié)：本題考查了感應(yīng)電動勢的產(chǎn)生條件，感應(yīng)電流方向的判定，物體做簡諧運動的條件，這些是高中學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識。感應(yīng)電動勢產(chǎn)生的條件只要穿過回路的磁通量發(fā)生變化，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，若電路閉合則有感應(yīng)電流產(chǎn)生。因此弄清引起磁通量的變化因素是關(guān)鍵，感應(yīng)電流的方向判定可用楞次定律與右手定則，在應(yīng)用楞次定律時要把握好步驟：先明確回路中原磁場的方向及磁通量的變化情況，再依楞次定律確定感應(yīng)電流的磁場方向，然后根據(jù)安培定則確定感應(yīng)電流的方向。線圈在運動過程中的能量分析及線框最終的運動狀態(tài)的確定為此題增大了難度。練習(xí)：四川卷如圖所示，接有燈泡L的平行金屬導(dǎo)軌水

15、平放置在勻強磁場中，一導(dǎo)體桿與兩導(dǎo)軌良好接觸并做往復(fù)運動，其運動情況與彈簧振子做簡諧運動的情況相同。圖中O位置對應(yīng)于彈簧振子的平衡位置，P、Q兩位置對應(yīng)于彈簧振子的最大位移處。若兩導(dǎo)軌的電阻不計，則（）A.桿由。到P的過程中，電路中電流變大B.桿由P到Q的過程中，電路中電流一直變大C.桿通過O處時，電路中電流方向?qū)l(fā)生改變D.桿通過O處時，電路中電流最大廣nrr,LP0Q解答：D問題6:電磁感應(yīng)中的多級感應(yīng)問題例12如圖所示，ab、cd金屬棒均處于勻強磁場中，cd原靜止，當(dāng)ab向右運動時，cd如何運動（導(dǎo)體電阻不計）（）A.若ab向右勻速運動，cd靜止；B.若ab向右勻加速運動，cd向右運動;

16、C.若ab向右勻減速運動，cd向左運動分析：這是多級電磁感應(yīng)問題，ab相當(dāng)于一個電源，右線圈相當(dāng)于負(fù)載；左線圈相當(dāng)于電源，cd相當(dāng)于負(fù)載。ab運動為因，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流為果，電流流過右線圈為因，右線圈中形成磁場為果，右線圈磁場的磁感線通過左線圈，磁場變化時為因，左線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流為果，感應(yīng)電流流過cd為因，cd在左磁場中受安培力作用而運動為果。故A、B、C均正確。小結(jié)：分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的多級感應(yīng)問題，要正確處理好因果關(guān)系，步步為營，緊扣閉合回路及回路中的磁通量的變化這一關(guān)鍵，對于線圈問題還應(yīng)注意線圈的繞向。練習(xí)：在勻強磁場中放一電阻不計的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌跟大線圈次相接，如圖所示。導(dǎo)

17、軌上放一根導(dǎo)線ab,磁力線垂直于導(dǎo)軌所在平面。欲使M所包圍的小閉合線圈拉產(chǎn)生順時針方向的感應(yīng)電流，則導(dǎo)線的運動可能是（）A.向右運動B.加速向右運動C.減速向右運動D.加速向左運動分析：此題可用逆向思維的方法分析。欲使N產(chǎn)生順時針方向的感應(yīng)電流，感應(yīng)電流在葡中的磁場方向垂直紙面向里，由楞次定律可知，有兩種情況：一是M中有順時針方向的逐漸減小的電流，其在印中的磁場方向亦向里，且磁通量在減??；二是M中有逆時針方向的逐漸增大的電流，其在中的磁場方向為向外，且磁通量在增大，對于前者，應(yīng)使ab減速向右運動；對于后者，應(yīng)使ab加速向左運動，故CD正確。問題7:電磁感應(yīng)中的動力學(xué)問題例13(上海)如圖所示，

18、處于勻強磁場中的兩根足夠長、電阻不計的平行金屬導(dǎo)軌相距1m,導(dǎo)軌平面與水平面成。=370角，下端連接阻值為R的電阻。勻強磁場的方向與導(dǎo)軌平面垂直。質(zhì)量為、電阻不計的導(dǎo)體棒放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直并且接觸良好，它們間的動摩擦因數(shù)為。(1)金屬棒沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑時的加速度大小。(2)當(dāng)金屬棒下滑速度達(dá)到穩(wěn)定時，電阻R消耗的功率為8W,求該速度的大小。(3)在上問中，若R=2金屬棒中電流方向由a至1Jb,求磁感應(yīng)強度的大小與方向。(g=10m/s2,sin370=,cos370=)/分析：(1)金屬棒開始下滑時初速度為零，根據(jù)牛頓第二定律有：僧gma-Mg30=想匕代入數(shù)據(jù)得：L.一】1;(2

19、)設(shè)金屬棒達(dá)到穩(wěn)定時，速度為v,所受安培力為F,棒在沿導(dǎo)軌方向受力平衡，則梓邃3-cosP-F=0此時金屬棒克服安培力做功的功率等于電路中電阻R消耗的電功率FPPPE箕fS-IV雨/S7.甘摩加a-0,2x10x(06-025x08)V=vBL(3)設(shè)電路中電流強度為I,兩導(dǎo)軌間金屬棒的長度為L,磁場的感應(yīng)強度為B,則I=R“下P=I2R由以上兩式得B=-磁場的方向垂直導(dǎo)軌平面向上。小結(jié)：此題為電磁感應(yīng)知識與力學(xué)、電路知識的綜合問題，此類題目常以導(dǎo)軌運動為背景，解決此類題的關(guān)鍵是對金屬導(dǎo)體作出正確的受力分析，并通過運動狀態(tài)的動態(tài)分析來尋找過程的臨界狀態(tài)，得出速度、加速度的極值條件，找到解題的突破口，然后綜合運用力學(xué)及電學(xué)規(guī)律分析和解決實際問題。練習(xí)：（重慶卷）兩根相距為L的足夠長的金屬直角導(dǎo)軌